中考復(fù)習(xí)專題——解直角三角形

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上中考.解直角三角形中考復(fù)習(xí)之解直角三角形1.了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性質(zhì)定理：直角三角形的兩個銳角互余，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。掌握有兩個角互余的三角形是直角三角；2.探索勾股定理及其逆定理，并掌握運(yùn)用它們解決一些簡單的實(shí)際問題；3.利用相似的直角三角形，探索并認(rèn)識銳角三角函數(shù)(sin A、cos A、tan A)；知道30、45、60角的三角函數(shù)值；4會使用計算器由已知銳角求它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求它對應(yīng)的銳角；5.能用銳角三角函數(shù)解直角三角形，并用相關(guān)知識解決一些簡單的實(shí)際問題三知識回顧1知識脈絡(luò)直角三角形邊的關(guān)系：勾股

2、定理邊角關(guān)系：銳角三角函數(shù)解直角三角形角的關(guān)系：兩個銳角互余銳角三角函數(shù)的應(yīng)用2基礎(chǔ)知識(1)勾股定理及其逆定理勾股定理：直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方即：如果直角三角形的兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c，那么a2+b2=c2勾股定理的逆定理：如果三角形的一條邊的平方等于另外兩條邊的平方和，那么這個三角形是直角三角形ACB斜邊cA的對邊aA的鄰邊b圖7-1 (2)銳角三角函數(shù)銳角三角函數(shù)的定義如圖7-1，在RtABC中，C=90，則sin A=，cos A=，tan A=sin A、cos A、tan A分別叫做銳角A的正弦、余弦、正切，統(tǒng)稱為銳角A的三角函數(shù)銳角三角函數(shù)的取值范

3、圍0sin A1，0cos A0各銳角三角函數(shù)間的關(guān)系中考.解直角三角形sin A=cos (90A)，cos A=sin (90A)特殊角的三角函數(shù)值asin acos atan a3045160使用計算器由已知銳角求它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求它對應(yīng)的銳角(3)解直角三角形解直角三角形的的定義：已知邊和角(其中必有一條邊)，求所有未知的邊和角.解直角三角形的依據(jù)角的關(guān)系：兩個銳角互余；邊的關(guān)系：勾股定理；邊角關(guān)系：銳角三角函數(shù)；解直角三角形的常見類型及一般解法RtABC中的已知條件一般解法兩邊兩直角邊a，b(1)；(2)由求出A；(3)B=90A.一直角邊a，斜邊c(1)；(2)由求

4、出A；(3)B=90A.一邊一銳角一直角邊a，銳角A(1)B=90A；(2)；(3).斜邊c，銳角A(1)B=90A；(2)a=csin A；(3)b=ccos A.實(shí)際問題中術(shù)語的含義如圖7-2，在進(jìn)行測量時，從下向上看，視線與水平線的夾角叫做仰角；從上往下看，視中考.解直角三角形線與水平線的夾角叫做俯角鉛垂線視線視線水平線仰角俯角圖7-2 ai=h:lhl圖7-3 如圖7-3，坡面的鉛垂高度(h)和水平寬度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比)，記作i，即坡度通常寫成1m的形式，如i=16坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作a，有=tan a顯然，坡度越大，坡角就越大，坡面就越陡.方位角：指南或指

5、北的方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90角的為方位角 解決實(shí)際問題的關(guān)鍵在于建立數(shù)學(xué)模型，要善于把實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題在解直角三角形的過程中，常會遇到近似計算，應(yīng)根據(jù)題目要求的精確度確定答案四例題分析：1.勾股定理與銳角三角函數(shù)知識的應(yīng)用例1 在RtABC中，C=90，若sin A=，則cos A的值為()A B C D【分析】先畫出圖形，由于cos A=，故只需求得AC，AB的關(guān)系，可利用sin A=先求得BC，AB的關(guān)系，再利用勾股定理即可求得【解】選D【說明】本題主要是要學(xué)生了解三角函數(shù)的定義及勾股定理解決這一類問題，必須熟練掌握三角函數(shù)的定義以及勾股定理的應(yīng)用，把它們

6、有機(jī)地結(jié)合起來，因此在復(fù)習(xí)時要引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)對基礎(chǔ)知識的鞏固 變式： 如圖7-4，在RtABC中，C=90，AB=10，sin A=.求BC的長和tan B的值中考.解直角三角形【分析】用正弦的定義即可求得BC，而要求tan B則先要用勾股定理求得ACBAC圖7-4【解】sin A=，AB=10，BC=4AC=，tan B=【說明】本題是最基本的解直角三角形問題2.仰角、俯角、方位角、坡角和坡度(或坡比)的概念圖7-6-1CDBHAE4560例1 如圖7-6-1，某大樓的頂部樹有一塊廣告牌CD，小李在山坡的坡腳A處測得廣告牌底部D的仰角為60沿坡面AB向上走到B處測得廣告牌頂部C的仰角為45，已

7、知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米(i=1：是指坡面的鉛直高度BH與水平寬度AH的比)(1)求點(diǎn)B距水平面AE的高度BH；(2)求廣告牌CD的高度(測角器的高度忽略不計，結(jié)果精確到0.1米參考數(shù)據(jù)：1.414，1.732)【分析】(1)顯然在RtABH中，通過坡度的概念求出BH、AH；(2)在ADE解直角三角形求出DE的長，進(jìn)而可求出EH即BG的長，在RtCBG中，CBG=45，則CG=BG，由此可求出CG的長然后根據(jù)CD=CG+GE-DE即可求出宣傳牌的高度【解】(1)如圖7-6-2，過B作BGDE于G，CDBHAE4560G圖7-6-2在RtABF中，i=tanBAH=，

8、BAH=30. BH=AB=5；(2)由(1)得：BH=5，AH=5，BG=AH+AE=5+15.在RtBGC中，CBG=45， CG=BG=5+15中考.解直角三角形在RtADE中，DAE=60，AE=15，DE=AE=15CD=CG+GEDE=5+15+5-15=20-102.7m答：宣傳牌CD高約2.7米【說明】此題綜合考查了仰角、坡度的定義，能夠正確地構(gòu)建出直角三角形，將實(shí)際問題化歸為解直角三角形的問題是解答此類題的關(guān)鍵圖7-7-1453652AEBDC例2 如圖7-7-1，為了測量山頂鐵塔AE的高，小明在27m高的樓CD底部D測得塔頂A的仰角為45，在樓頂C測得塔頂A的仰角3652已

9、知山高BE為56m，樓的底部D與山腳在同一水平線上，求該鐵塔的高AE(參考數(shù)據(jù)：sin36520.60，tan36520.75)【分析】根據(jù)樓高和山高可求出EF，繼而得出AF，在RtAFC中表示出CF，在RtABD中表示出BD，根據(jù)CF=BD可建立方程，解出即可【解】如圖7-7-2，過點(diǎn)C作CFAB于點(diǎn)F設(shè)塔高AE=x，由題意得：EF=BE-CD=56-27=29，AF=AE+EF=(x+29)，在RtAFC中，ACF=3652，AF=(x+29)，453652AEBDCF圖7-7-2CF=x+，在RtABD中，ADB=45，AB=x+56，BD=AB=x+56.CF=BD，x+56=x+.

10、解得：x=52.答：該鐵塔的高AE為52米【說明】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，注意利用方程思中考.解直角三角形想求解，難度一般圖7-8-14560BCPA東北例3 如圖7-8，在一筆直的海岸線l上有AB兩個觀測站，A在B的正東方向，AB=2(單位：km)有一艘小船在點(diǎn)P處，從A測得小船在北偏西60的方向，從B測得小船在北偏東45的方向(1)求點(diǎn)P到海岸線l的距離；(2)小船從點(diǎn)P處沿射線AP的方向航行一段時間后，到點(diǎn)C處，此時，從B測得小船在北偏西15的方向求點(diǎn)C與點(diǎn)B之間的距離(上述兩小題的結(jié)果都保留根號)【分析】(1)過點(diǎn)P作PDAB于點(diǎn)D，設(shè)PD=x k

11、m，先解RtPBD，用含x的代數(shù)式表示BD，再解RtPAD，用含x的代數(shù)式表示AD，然后根據(jù)BD+AD=AB，列出關(guān)于x的方程，解方程即可；(2)過點(diǎn)B作BFAC于點(diǎn)F，先解RtABF，得出BF=AB=1，再解RtBCF，得出BC=BF=【說明】本題中涉及到方位角的問題，引導(dǎo)學(xué)生分析三角形的形狀后，通過作高構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵這一問題的解決，會讓學(xué)生進(jìn)一步感悟到數(shù)學(xué)知識在現(xiàn)實(shí)生活中的廣泛應(yīng)用變式：1如圖，天空中有一個靜止的廣告氣球C，從地面點(diǎn)A測得點(diǎn)C的仰角為45，從地面點(diǎn)B測得點(diǎn)C的仰角為60已知AB=20 m，點(diǎn)C和直線AB在同一鉛垂平面上，求氣球離地面的高度(結(jié)果保留根號)2如圖所

12、示，海上有一燈塔P，在它周圍3海里處有暗礁，一艘客輪以9海里時的速度由西向東航行，行至A點(diǎn)處測得P在它的北偏東60的方向，繼續(xù)行駛20分鐘后，到達(dá)B處又測得燈塔P在它的北偏東45方向問客輪不改變方向繼續(xù)前進(jìn)有無觸礁的危險?中考.解直角三角形3.數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的滲透例3 如圖7-5-1是工人將貨物搬運(yùn)上貨車常用的方法,把一塊木板斜靠在貨車車廂的尾部,形成一個斜坡,貨物通過斜坡進(jìn)行搬運(yùn)根據(jù)經(jīng)驗(yàn),木板與地面的夾角為20(即圖10-5-2中ACB=20)時最為合適,已知貨車車廂底部到地面的距離AB=1.5m,木板超出車廂部分AD=0.5m,請求出木板CD的長度(參考數(shù)據(jù)：sin 200.342

13、0,cos 200.9397,精確到0.1m)ABCD圖7-5-1 圖7-5-2【分析】在RtABC中,利用ACB的正弦即可求得AC的長,進(jìn)而可得CD【說明】本題考查學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析、解決簡單實(shí)際問題的能力本題取材于學(xué)生熟悉的生活實(shí)際,解決這類題目的難度雖不大,但有利于引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注生活中的數(shù)學(xué),關(guān)注身邊的數(shù)學(xué),培養(yǎng)他們從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型的能力,促進(jìn)學(xué)生形成學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)、做數(shù)學(xué)的良好意識變式：1.如圖所示，某風(fēng)景區(qū)內(nèi)有一古塔AB，在塔的北面有一建筑物，冬至日的正午光線與水平面的夾角是30，此時塔在建筑物的墻上留下了高3米的影子CD；而在春分日正午光線與地面的夾角是45，此時塔尖A在

14、地面上的影子E與墻角C有15米的距離（B、E、C在一條直線上），求塔AB的高度（結(jié)果保留根號）中考.解直角三角形2如圖，在觀測點(diǎn)E測得小山上鐵塔頂A的仰角為60，鐵塔底部B的仰角為45已知塔高AB=20m，觀察點(diǎn)E到地面的距離EF=35m，求小山BD的高（精確到0.1m，1.732）3如圖所示，小山的頂部是一塊平地，在這塊平地上有一高壓輸電的鐵架，小山的斜坡的坡度i=1：，斜坡BD的長是50米，在山坡的坡底處測得鐵架頂端A的仰角為45，在山坡的坡項(xiàng)D處測得鐵架頂端A的仰角為60 （1）求小山的高度；（2）求鐵架的高度（1.73，精確到0.1米）四綜合演練填空題1如洪大堤的橫斷面是梯形，壩高AC

15、等于6米，背水坡AB的坡度i=1：2，則斜坡AB的長為_米2如圖2所示，AB是O的直徑，弦AC、BD相交于E，則等于（ ）AtanAED BcotAED CsinAED DcosAED3如圖3，在矩形ABCD中DEAC于E，設(shè)ADE=a，且cos=，AB=4，則AD的中考.解直角三角形長為（ ）A3 B4如圖兩條寬度為l的帶子以角交叉重疊，則重疊部分(陰影部分)的面積是 A、sin B C D 5有一攔水壩的橫斷面是等腰梯形，它的上底長為6 m，下底長為10 m，高為2m，那么此攔水壩斜坡的坡度和坡角分別是 ( )A，60 B，30 C，60 D，30解答題：1某地某時刻太陽光與水平線的夾角為

16、31，此時在該地測得一幢樓房在水平地面上的影長為30m，求這幢樓房的高AB（結(jié)果精確到1m）（參考數(shù)據(jù)：sin310.52，cos310.86，tan310.60）2為測量某塔AB的高度，在離該塔底部20m處目測塔頂，仰角為60，目高為1.5m，試求該塔的高度（精確到0.1m，1.7）3如圖，某超市在一樓至二樓之間安裝有電梯，天花板與地面平行，請你根據(jù)圖中數(shù)據(jù)計算回答：小敏身高1.78米，她乘電梯會有碰頭危險嗎？姚明身高2.29米，他乘電梯會有碰頭危險嗎？（可能用到的參考數(shù)值：sin27=0.45，cos27=0.89，tan27=0.51）中考.解直角三角形（圖6）4某商場為緩解我市“停車難

17、”問題，擬建造地下停車庫，圖6是該地下停車庫坡道入口的設(shè)計示意圖，其中， ABBD，BAD18o，C在BD上，BC0.5m根據(jù)規(guī)定，地下停車庫坡道入口上方要張貼限高標(biāo)志，以便告知駕駛員所駕車輛能否安全駛?cè)胄∶髡J(rèn)為CD的長就是所限制的高度，而小亮認(rèn)為應(yīng)該以CE的長作為限制的高度小明和小亮誰說的對？請你判斷并計算出正確的結(jié)果（結(jié)果精確到0.1m）參考數(shù)據(jù)：Sin180=0.31,Cos180=0.95,tan180=0.3255RtABC中，C=90，AC=12，A的平分線AD=8，求BC，AB6兩建筑物AB和CD的水平距離為45m，從A點(diǎn)測得C點(diǎn)的俯角為30，測得D點(diǎn)的俯角為60，求建筑物CD的高度 7如圖，甲、乙兩幢高樓的水平距離BD為90米，從甲樓頂部C點(diǎn)測得乙樓頂部A點(diǎn)的仰角為30，測得乙樓底部B點(diǎn)的仰角為60，求甲，乙兩幢高樓各有多高？（計算過程和結(jié)果不取近似值）中考.解直角三角形8震澤中學(xué)九年級高度如圖所示，當(dāng)陽光從正西方向照射過來時，旗桿AB的頂端A的影子落在教學(xué)樓前的坪地C處，測得影長CE=2m，DE=4m，BD=20m，DE與地面的夾角為=30在同一時刻，測得一根長為1m的直立竹竿的影長恰為4m根據(jù)這些數(shù)據(jù)求旗桿AB的高度（可能用到的數(shù)據(jù)：1.4