高等數(shù)學(xué)第十二章無窮級(jí)數(shù)

1、無無 窮窮 級(jí)級(jí) 數(shù)數(shù) 從從18世紀(jì)以來，無窮級(jí)數(shù)就被認(rèn)為是微積分的世紀(jì)以來，無窮級(jí)數(shù)就被認(rèn)為是微積分的一個(gè)不可缺少的部分，是高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，同一個(gè)不可缺少的部分，是高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，同時(shí)也是有力的數(shù)學(xué)工具，在表示函數(shù)、研究函數(shù)性時(shí)也是有力的數(shù)學(xué)工具，在表示函數(shù)、研究函數(shù)性質(zhì)等方面有巨大作用，在自然科學(xué)和工程技術(shù)領(lǐng)域質(zhì)等方面有巨大作用，在自然科學(xué)和工程技術(shù)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用有著廣泛的應(yīng)用 本章主要內(nèi)容包括常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和兩類重要的函本章主要內(nèi)容包括常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和兩類重要的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)和三角級(jí)數(shù)，主要圍繞三個(gè)問冪級(jí)數(shù)和三角級(jí)數(shù)，主要圍繞三個(gè)問題展開討論：題展開討論：級(jí)數(shù)的收斂性判定問

2、題，級(jí)數(shù)的收斂性判定問題，把已知把已知函數(shù)表示成級(jí)數(shù)問題，函數(shù)表示成級(jí)數(shù)問題，級(jí)數(shù)求和問題。級(jí)數(shù)求和問題。重點(diǎn)重點(diǎn)級(jí)數(shù)的斂散性，常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法，冪級(jí)數(shù)的收斂級(jí)數(shù)的斂散性，常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法，冪級(jí)數(shù)的收斂域，函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式，函數(shù)的域，函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式，函數(shù)的Fourier 展開式；展開式；難點(diǎn)難點(diǎn)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法，函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)的直接法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法，函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)的直接法和間接法，和間接法， Fourier 展開，級(jí)數(shù)求和；展開，級(jí)數(shù)求和；基本要求基本要求掌握級(jí)數(shù)斂散性概念和性質(zhì)掌握級(jí)數(shù)斂散性概念和性質(zhì)掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法、檢比法、檢根法掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法、檢比法、檢根法

3、掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的Leibniz審斂法審斂法掌握絕對(duì)收斂和條件收斂概念掌握絕對(duì)收斂和條件收斂概念掌握冪級(jí)數(shù)及主要性質(zhì)，會(huì)求收斂半徑和收斂掌握冪級(jí)數(shù)及主要性質(zhì)，會(huì)求收斂半徑和收斂區(qū)間，會(huì)求簡單的冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)區(qū)間，會(huì)求簡單的冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)熟記五個(gè)基本初等函數(shù)的熟記五個(gè)基本初等函數(shù)的 Taylor 級(jí)數(shù)展開式及級(jí)數(shù)展開式及其收斂半徑其收斂半徑掌握掌握 Fourier 級(jí)數(shù)概念，會(huì)熟練地求出各種形級(jí)數(shù)概念，會(huì)熟練地求出各種形式的式的Fourier 系數(shù)系數(shù)掌握奇、偶函數(shù)的掌握奇、偶函數(shù)的 Fourier 級(jí)數(shù)的特點(diǎn)及如何級(jí)數(shù)的特點(diǎn)及如何將函數(shù)展開成正弦級(jí)數(shù)或余弦級(jí)數(shù)將函數(shù)展開成正弦級(jí)數(shù)或余

4、弦級(jí)數(shù)一、問題的提出一、問題的提出1. 1. 計(jì)算圓的面積計(jì)算圓的面積正六邊形的面積正六邊形的面積正十二邊形的面積正十二邊形的面積正正 形的面積形的面積n23 naaaA 21即即 n10310003100310331. 21a21aa naaa 21R二、級(jí)數(shù)的概念二、級(jí)數(shù)的概念1. 1. 級(jí)數(shù)的定義級(jí)數(shù)的定義: : nnnuuuuu3211一般項(xiàng)一般項(xiàng)(常數(shù)項(xiàng)常數(shù)項(xiàng))無窮級(jí)數(shù)無窮級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)的部分和級(jí)數(shù)的部分和 niinnuuuus121部分和數(shù)列部分和數(shù)列,11us ,212uus ,3213uuus ,21nnuuus 2. 2. 級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散: : 當(dāng)當(dāng)n無無限限增增

5、大大時(shí)時(shí), ,如如果果級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1nnu的的部部分分和和數(shù)數(shù)列列ns有有極極限限s, , 即即 ssnn lim 則則稱稱無無窮窮級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1nnu收收斂斂, ,這這時(shí)時(shí)極極限限s叫叫做做級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1nnu的的和和. .并并寫寫成成 321uuus 如如果果ns沒沒有有極極限限, ,則則稱稱無無窮窮級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1nnu發(fā)發(fā)散散. . 即即 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂( (發(fā)散發(fā)散) )nns lim存在存在( (不存在不存在) )余項(xiàng)余項(xiàng)nnssr 21nnuu 1iinu即即 ssn 誤誤差差為為nr )0lim( nnr無窮級(jí)數(shù)收斂性舉例：無窮級(jí)數(shù)收斂性舉例：KochKoch雪花雪花. .

6、做法：先給定一個(gè)正三角形，然后在每條邊上對(duì)做法：先給定一個(gè)正三角形，然后在每條邊上對(duì)稱的產(chǎn)生邊長為原邊長的稱的產(chǎn)生邊長為原邊長的1/31/3的小正三角形如此的小正三角形如此類推在每條凸邊上都做類似的操作，我們就得到類推在每條凸邊上都做類似的操作，我們就得到了面積有限而周長無限的圖形了面積有限而周長無限的圖形“Koch“Koch雪花雪花”觀察雪花分形過程觀察雪花分形過程;43, 311 AP面積為面積為周長為周長為設(shè)三角形設(shè)三角形第一次分叉：第一次分叉：;913,3411212AAAPP 面面積積為為周周長長為為依次類推依次類推第第 次分叉：次分叉：n周長為周長為, 2 , 1)34(11 nP

7、Pnn面積為面積為)91(431121AAAnnnn 1121211)91(43)91(43913AAAAnn )94(31)94(31)94(31311221 nA, 3 , 2 n于是有于是有 nnPlim)941311(lim1 AAnn.532)531(1 A雪花的面積存在極限（收斂）雪花的面積存在極限（收斂）結(jié)論：雪花的周長是無界的，而面積有界結(jié)論：雪花的周長是無界的，而面積有界例例 1 1 討論等比級(jí)數(shù)討論等比級(jí)數(shù)( (幾何級(jí)數(shù)幾何級(jí)數(shù)) ) nnnaqaqaqaaq20 )0( a的收斂性的收斂性. .解解時(shí)時(shí)如如果果1 q12 nnaqaqaqasqaqan 1,11qaqqa

8、n ,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) q0lim nnqqasnn 1lim 收斂收斂,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) q nnqlim nnslim 發(fā)散發(fā)散時(shí)時(shí)如如果果1 q,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) q nasn 發(fā)散發(fā)散,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) q aaaa級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)變變?yōu)闉椴徊淮娲嬖谠趎ns lim 發(fā)散發(fā)散 綜上綜上 發(fā)發(fā)散散時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)收收斂斂時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),1,10qqaqnn例例 2 2 判別無窮級(jí)數(shù)判別無窮級(jí)數(shù) )12()12(1531311nn 的收斂性的收斂性. . 解解)12)(12(1 nnun),121121(21 nn)12()12(1531311 nnsn)121121(21)5131(21)311(21 nn),1211(21 n)1

9、211(21limlim nsnnn,21 .21, 和和為為級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂三、基本性質(zhì)三、基本性質(zhì)性性質(zhì)質(zhì)1 1 如如果果級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1nnu收收斂斂, ,則則 1nnku亦亦收收斂斂. . 結(jié)論結(jié)論: : 級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零的常數(shù)級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零的常數(shù), ,斂散性不變斂散性不變. .性性質(zhì)質(zhì)2 2 設(shè)設(shè)兩兩收收斂斂級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1nnus, , 1nnv, , 則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1)(nnnvu收收斂斂, ,其其和和為為 s. . 結(jié)論結(jié)論: : 收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減. .性性質(zhì)質(zhì) 3 3 若若級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1nnu收收斂斂, ,則則 1knn

10、u也也收收斂斂)1( k. .且且其其逆逆亦亦真真. .證明證明 nkkkuuu21nkkknuuu 21,kknss knknnnnss limlimlim 則則 類似地可以證明在級(jí)數(shù)前面加上有限項(xiàng)不類似地可以證明在級(jí)數(shù)前面加上有限項(xiàng)不影響級(jí)數(shù)的斂散性影響級(jí)數(shù)的斂散性.性性質(zhì)質(zhì) 4 4 收收斂斂級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)加加括括弧弧后后所所成成的的級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)仍仍然然收收斂斂于于原原來來的的和和. .證明證明 )()(54321uuuuu,21s ,52s ,93s ,nms .limlimssnnmm 則則注意注意收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂. ) 11 () 11

11、(例例如如 收斂收斂 1111 發(fā)散發(fā)散事實(shí)上，對(duì)級(jí)數(shù)事實(shí)上，對(duì)級(jí)數(shù) 1nnu任意加括號(hào)任意加括號(hào) )()()(1111211kkpppppuuuuuu若記若記kkppkuub 11則加括號(hào)后級(jí)數(shù)成為則加括號(hào)后級(jí)數(shù)成為 1kkb記記 1nnu的部分和為的部分和為ns 1kkb的部分和記為的部分和記為k 則則kpks 由數(shù)列和子數(shù)列的關(guān)系知由數(shù)列和子數(shù)列的關(guān)系知存在，存在，nns limkk lim必定存在必定存在kk lim存在存在nns lim未必存在未必存在推推論論 如如果果加加括括弧弧后后所所成成的的級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散, ,則則原原來來級(jí)級(jí) 數(shù)數(shù)也也發(fā)發(fā)散散. . 四、收斂的必要條件四、收

12、斂的必要條件級(jí)數(shù)收斂的必要條件級(jí)數(shù)收斂的必要條件: :即即趨趨于于零零它它的的一一般般項(xiàng)項(xiàng)無無限限增增大大時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),nun級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂. 0lim nnu 1nnus證明證明,1 nnnssu則則1limlimlim nnnnnnssuss . 0 注意注意1.1.如果級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于零如果級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于零, ,則級(jí)數(shù)發(fā)散則級(jí)數(shù)發(fā)散; ; 1)1(4332211nnn例例如如 發(fā)散發(fā)散2.2.必要條件不充分必要條件不充分. . n131211例例如如調(diào)調(diào)和和級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)?,0lim但但級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)是是否否收收斂斂有有 nnu討論討論nnnssnn2121112 ,212 nn.,s其和為其和

13、為假設(shè)調(diào)和級(jí)數(shù)收斂假設(shè)調(diào)和級(jí)數(shù)收斂)lim(2nnnss 于于是是ss , 0 )(210 n便便有有.這這是是不不可可能能的的.級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散2項(xiàng)項(xiàng) )21221121()16110191()81716151()4131()211(1mmm2項(xiàng)項(xiàng)4項(xiàng)項(xiàng)8項(xiàng)項(xiàng) 項(xiàng)項(xiàng)m221每每項(xiàng)項(xiàng)均均大大于于21)1(1 mm項(xiàng)項(xiàng)大大于于即即前前.級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散由性質(zhì)由性質(zhì)4 4推論推論, ,調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散. .由定積分的幾何意義由定積分的幾何意義這塊面積顯然大于定積分這塊面積顯然大于定積分nsn1211 以以 1 為底的的矩形面積為底的的矩形面積把每一項(xiàng)看成是以把每一項(xiàng)看成是以 為高為高n1就

14、是圖中就是圖中 n 個(gè)矩形的面積之和個(gè)矩形的面積之和nsdxxn 111即即nSn1211 ,)1ln(111 ndxxn)( n故調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散故調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散調(diào)和級(jí)數(shù)的部分和調(diào)和級(jí)數(shù)的部分和五、小結(jié)五、小結(jié)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本概念常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本概念基本審斂法基本審斂法1 1. .由由定定義義, ,若若ssn, ,則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂; ; 2 2. .當(dāng)當(dāng)0lim nnu, ,則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散; ; 3 3. .按按基基本本性性質(zhì)質(zhì). . 思考題思考題 設(shè)設(shè) 1nnb與與 1nnc都都收收斂斂，且且nnncab ), 2 , 1( n，能能否否推推出出 1nna收收斂斂？ 思考題解答思考題解

15、答能能由柯西審斂原理即知由柯西審斂原理即知觀察雪花分形過程觀察雪花分形過程;43, 311 AP面積為面積為周長為周長為設(shè)三角形設(shè)三角形第一次分叉：第一次分叉：;913,3411212AAAPP 面面積積為為周周長長為為依次類推依次類推12345練習(xí)題練習(xí)題一一、填填空空題題: : 1 1、 若若nnan242)12(31 , ,則則 51nna= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _； 2 2、 若若nnnna! , ,則則 51nna= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _； 3 3、 若若級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)為為 642422x

16、xxx則則 na_ _ _ _ _ _ _ _； 4 4、 若若級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)為為 97535432aaaa則則 na_ _ _ _ _ _ _ _ _； 5 5、 若若級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)為為 615413211 則則當(dāng)當(dāng) n_ _ _ _ _ _時(shí)時(shí) na_ _ _ _ _ _；當(dāng)當(dāng) n_ _ _ _ _ _ _時(shí)時(shí) na_ _ _ _ _ _ _ _ _； 6 6、 等等比比級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 0nnaq, ,當(dāng)當(dāng)_ _ _ _ _ _時(shí)時(shí)收收斂斂；當(dāng)當(dāng)_ _ _ _ _時(shí)時(shí)發(fā)發(fā)散散 . . 三三、由由定定義義判判別別級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) ) 12)(12(1751531311nn的的收收斂斂性性. . 四四、判判別別下下列列

17、級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的收收斂斂性性: : 1 1、 n31916131； 2 2、 )3121()3121()3121()3121(3322nn； 3 3、 nn101212014110121 . . 五五、利利用用柯柯西西收收斂斂原原理理判判別別級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 61514131211的的斂斂散散性性 . . 練習(xí)題答案練習(xí)題答案一、一、1 1、1086429753186427531642531422121 ； 2 2、543215! 54! 43! 32! 21! 1 ； 3 3、)2(6422nxn ； 4 4、12)1(11 nann； 5 5、kkkk21,2 , 12 . 12 ； 6 6、1, 1

18、 qq. . 三、收斂三、收斂. . 四、四、1 1、發(fā)散；、發(fā)散； 2 2、收斂；、收斂； 3 3、發(fā)散、發(fā)散、 nkknks12)10121( . . 五、發(fā)散五、發(fā)散. . 取取np2 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法 在研究級(jí)數(shù)時(shí)，中心問題是判定級(jí)數(shù)的斂散在研究級(jí)數(shù)時(shí)，中心問題是判定級(jí)數(shù)的斂散性，如果級(jí)數(shù)是收斂的，就可以對(duì)它進(jìn)行某些性，如果級(jí)數(shù)是收斂的，就可以對(duì)它進(jìn)行某些運(yùn)算，并設(shè)法求出它的和或和的近似值但是除運(yùn)算，并設(shè)法求出它的和或和的近似值但是除了少數(shù)幾個(gè)特殊的級(jí)數(shù)，在一般情況下，直接了少數(shù)幾個(gè)特殊的級(jí)數(shù)，在一般情況下，直接考察級(jí)數(shù)的部分和是否有極限是很困難的，因考察級(jí)數(shù)的部分和是

19、否有極限是很困難的，因而直接由定義來判定級(jí)數(shù)的斂散性往往不可行而直接由定義來判定級(jí)數(shù)的斂散性往往不可行，這就要借助一些間接的方法來判定級(jí)數(shù)的斂，這就要借助一些間接的方法來判定級(jí)數(shù)的斂散性，這些方法稱為審斂法散性，這些方法稱為審斂法 對(duì)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)將分為正項(xiàng)級(jí)數(shù)和任意項(xiàng)級(jí)數(shù)對(duì)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)將分為正項(xiàng)級(jí)數(shù)和任意項(xiàng)級(jí)數(shù)來討論來討論一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法1.1.定義定義: :，中中各各項(xiàng)項(xiàng)均均有有如如果果級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)01 nnnuu這種級(jí)數(shù)稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù)這種級(jí)數(shù)稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù). .這種級(jí)數(shù)非常重要，這種級(jí)數(shù)非常重要，以后我們將會(huì)看到許多級(jí)數(shù)的斂散性判定問題以后我們將會(huì)看到許多級(jí)數(shù)的斂散性判定問

20、題都可歸結(jié)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性問題都可歸結(jié)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性問題2.2.正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件: : nsss21部分和數(shù)列部分和數(shù)列 為單調(diào)增加數(shù)列為單調(diào)增加數(shù)列. .ns定理定理.有界有界部分和所成的數(shù)列部分和所成的數(shù)列正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂ns3.比較審斂法比較審斂法均均為為正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)，和和設(shè)設(shè) 11nnnnvu且且), 2, 1( nvunn, ,若若 1nnv收收斂斂, ,則則 1nnu收收斂斂； 反反之之，若若 1nnu發(fā)發(fā)散散，則則 1nnv發(fā)發(fā)散散. . 證明證明 1)1(nnv設(shè)設(shè),nnvu nnuuus 21且且nvvv 21即部分和數(shù)列有界即部

21、分和數(shù)列有界.1收斂收斂 nnu)()2( nsn設(shè)設(shè),nnvu 且且nns 則則 不是有界數(shù)列不是有界數(shù)列.1發(fā)散發(fā)散 nnv定理證畢定理證畢.推推論論: : 若若 1nnu收收斂斂( (發(fā)發(fā)散散) ) 且且)(nnnnvkuNnkuv , , 比較審斂法的不便比較審斂法的不便:須有參考級(jí)數(shù)須有參考級(jí)數(shù).則則 1nnv收收斂斂( (發(fā)發(fā)散散) ). .例例 1 1 討討論論 P P- -級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) ppppn14131211的的收收斂斂性性. .)0( p解解, 1 p設(shè)設(shè),11nnp .級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散則則 P, 1 p設(shè)設(shè)由圖可知由圖可知 nnppxdxn11pppnns131211 nn

22、ppxdxxdx1211oyx)1(1 pxyp1234 npxdx11)11(1111 pnp111 p,有有界界即即ns.級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)收斂則則 P 發(fā)發(fā)散散時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)收收斂斂時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù),1,1ppP重要參考級(jí)數(shù)重要參考級(jí)數(shù): : 幾何級(jí)數(shù)幾何級(jí)數(shù), P-, P-級(jí)數(shù)級(jí)數(shù), , 調(diào)和級(jí)數(shù)調(diào)和級(jí)數(shù). . 比較審斂法是一基本方法，雖然有比較審斂法是一基本方法，雖然有用，但應(yīng)用起來卻有許多不便，因?yàn)樗茫珣?yīng)用起來卻有許多不便，因?yàn)樗枰⒍ɡ硭蟮牟坏仁?，而這種需要建立定理所要求的不等式，而這種不等式常常不易建立，為此介紹在應(yīng)用不等式常常不易建立，為此介紹在應(yīng)用上更為方便的極限形式的比較

23、審斂法上更為方便的極限形式的比較審斂法例例 2 2 證證明明級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1)1(1nnn是是發(fā)發(fā)散散的的. 證明證明,11)1(1 nnn,111 nn發(fā)發(fā)散散而而級(jí)級(jí)數(shù)數(shù).)1(11 nnn發(fā)發(fā)散散級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)4.4.比較審斂法的極限形式比較審斂法的極限形式: :設(shè)設(shè) 1nnu與與 1nnv都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)都是正項(xiàng)級(jí)數(shù), , 如果如果則則(1) (1) 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), , 二級(jí)數(shù)有相同的斂散性二級(jí)數(shù)有相同的斂散性; ; (2) (2) 當(dāng)當(dāng)時(shí)，若時(shí)，若收斂收斂, , 則則收斂收斂; ; (3) (3) 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), , 若若 1nnv發(fā)散發(fā)散, , 則則 1nnu發(fā)散發(fā)散; ;,limlvunnn l00

24、l l 1nnv 1nnu證明證明lvunnn lim)1(由由, 02 l 對(duì)對(duì)于于,N ,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Nn 22llvullnn )(232Nnvluvlnnn 即即由比較審斂法的推論由比較審斂法的推論, 得證得證.5 5. .極極限限審審斂斂法法：設(shè)設(shè) 1nnu為為正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù), , 如如果果0lim lnunn ( (或或 nnnulim) ), , 則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1nnu發(fā)發(fā)散散; ; 如如果果有有1 p, , 使使得得npnun lim存存在在, , 則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1nnu收收斂斂. . 例例 3 3 判判定定下下列列級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的斂斂散散性性: : (1) 11sinnn ; (2

25、) 131nnn ; 解解nnn1sinlim nnn11sinlim , 1 原級(jí)數(shù)發(fā)散原級(jí)數(shù)發(fā)散.)2(nnnn3131lim nnn311lim , 1 ,311收斂收斂 nn故原級(jí)數(shù)收斂故原級(jí)數(shù)收斂.)1(6 6. .比比值值審審斂斂法法( (達(dá)達(dá)朗朗貝貝爾爾 D DA Al le em mb be er rt t 判判別別法法) )：設(shè)設(shè) 1nnu是是正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù), ,如如果果)(lim1 數(shù)數(shù)或或nnnuu 則則1 時(shí)時(shí)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂; ;1 時(shí)時(shí)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散; ; 1 時(shí)時(shí)失失效效. . 證明證明,為為有有限限數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) , 0 對(duì)對(duì),N ,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Nn ,1 nnu

26、u有)(1Nnuunn 即即,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) ,1 取取, 1 r使使,12 NNruu,1223 NNNurruu,11 NmmNuru,111 mNmur收收斂斂而而級(jí)級(jí)數(shù)數(shù),11收斂收斂 NnummNuu收斂收斂,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) , 1 取取, 1 r使使,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Nn ,1nnnuruu . 0lim nnu發(fā)散發(fā)散比值審斂法的優(yōu)點(diǎn)比值審斂法的優(yōu)點(diǎn): 不必找參考級(jí)數(shù)不必找參考級(jí)數(shù). .直接從級(jí)數(shù)本直接從級(jí)數(shù)本身的構(gòu)成身的構(gòu)成即通項(xiàng)來判定其即通項(xiàng)來判定其斂散性斂散性 兩點(diǎn)注意兩點(diǎn)注意:1 1. .當(dāng)當(dāng)1 時(shí)時(shí)比比值值審審斂斂法法失失效效; ;,11發(fā)發(fā)散散級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)例例 nn,112收收斂斂級(jí)級(jí)數(shù)

27、數(shù) nn)1( 2 2. .條條件件是是充充分分的的, ,而而非非必必要要. . ,232)1(2nnnnnvu 例例,2)1(211收斂收斂級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) nnnnnu,)1(2(2)1(211nnnnnauu 但但,61lim2 nna,23lim12 nna.limlim1不不存存在在nnnnnauu 例例 4 4 判判別別下下列列級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的收收斂斂性性:(1) 1!1nn; (2) 110!nnn; (3) 12)12(1nnn.解解)1(11 n),(0 n.!11收斂收斂故級(jí)數(shù)故級(jí)數(shù) nn!1)!1(11nnuunn )2(!1010)!1(11nnuunnnn 101 n),( n.

28、10!1發(fā)發(fā)散散故故級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) nnn)3()22()12(2)12(limlim1 nnnnuunnnn, 1 比值審斂法失效比值審斂法失效, 改用比較審斂法改用比較審斂法,12)12(12nnn ,112收收斂斂級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) nn.)12(211收收斂斂故故級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) nnn例例5 126sin3nnnn 解解由于由于nnnuu1lim 不存在，檢比法失效不存在，檢比法失效 而而nnnnn36sin32 對(duì)對(duì) 13nnn由檢比法得由檢比法得 13nnn收斂收斂故由比較審斂法知故由比較審斂法知 126sin3nnnn 收斂收斂例例6nnnxn)( !1 )0( x解解nnnnnnnxnnxnuu)(

29、 !)1()!1(limlim11 exnxnn )11(lim由檢比法得由檢比法得 ex 級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)收斂ex 級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散ex 檢比法失效檢比法失效，但，但nne)11( 即后項(xiàng)大于前項(xiàng)即后項(xiàng)大于前項(xiàng)nnuu 1故級(jí)數(shù)發(fā)散故級(jí)數(shù)發(fā)散7 7. .根根值值審審斂斂法法 ( (柯柯西西判判別別法法) )： 設(shè)設(shè) 1nnu是是正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù), ,如如果果 nnnulim )( 為為數(shù)數(shù)或或 , , 則則1 時(shí)時(shí)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂; ; 1 時(shí)時(shí)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散; ; 1 時(shí)時(shí)失失效效. . 證明證明1)1( 取取 100則則10 r由由 nnnulim知知時(shí)時(shí)，使使當(dāng)當(dāng)NnN runn 0 )

30、(Nnrunn 由由 1Nnnr收斂及比較審斂法得收斂及比較審斂法得 1Nnnu收斂收斂 1nnu收斂收斂1)2( 由由 nnnulim知知時(shí)時(shí)，使使當(dāng)當(dāng)NnN 1 nnu1 nu故故nu不趨于不趨于 0 1nnu發(fā)散發(fā)散1)3( 不能判定不能判定如如 12111nnnn與與都有都有1lim nnnu但但 121nn收斂收斂 11nn發(fā)散發(fā)散,1 ,1 nnn設(shè)設(shè)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)例例如如nnnnnu1 n1 )(0 n級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)收斂.二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法定義定義: : 正、負(fù)項(xiàng)相間的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù)正、負(fù)項(xiàng)相間的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù). . nnnnnnuu 111)1()1(或或

31、)0( nu其中其中萊萊布布尼尼茨茨定定理理 如如果果交交錯(cuò)錯(cuò)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)滿滿足足條條件件: :( () ), 3 , 2 , 1(1 nuunn; ;( () )0lim nnu, ,則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂, ,且且其其和和1us , ,其其余余項(xiàng)項(xiàng)nr的的絕絕對(duì)對(duì)值值1 nnur. .證明證明, 01 nnuu)()()(21243212nnnuuuuuus ,2是單調(diào)增加的是單調(diào)增加的數(shù)列數(shù)列nsnnnnuuuuuus212223212)()( 又1u ,2是是有有界界的的數(shù)數(shù)列列ns.lim12ussnn , 0lim12 nnu)(limlim12212 nnnnnuss, s .,1us

32、s 且且級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂于于和和),(21 nnnuur余余項(xiàng)項(xiàng),21 nnnuur滿足收斂的兩個(gè)條件滿足收斂的兩個(gè)條件,.1 nnur定理證畢定理證畢.例例 7 7 判判別別級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 21)1(nnnn的的收收斂斂性性. . 解解2)1(2)1()1( xxxxx)2(0 x,1單單調(diào)調(diào)遞遞減減故故函函數(shù)數(shù) xx,1 nnuu1limlim nnunnn又又. 0 原級(jí)數(shù)收斂原級(jí)數(shù)收斂.證明證明 un 單調(diào)減的方法單調(diào)減的方法01 nnuu11 nnuu？0)()( xfnfun考察考察？三、絕對(duì)收斂與條件收斂三、絕對(duì)收斂與條件收斂定義定義: : 正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級(jí)數(shù)稱為任意項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)和

33、負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級(jí)數(shù)稱為任意項(xiàng)級(jí)數(shù). .定理定理 若若 1nnu收斂收斂, ,則則 1nnu收斂收斂. .證明證明), 2 , 1()(21 nuuvnnn令令, 0 nv顯顯然然,nnuv 且且,1收收斂斂 nnv),2(11 nnnnnuvu又又 1nnu收收斂斂. 上定理的作用：上定理的作用：任意項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)定定義義: :若若 1nnu收收斂斂, , 則則稱稱 1nnu為為絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂; ; 若若 1nnu發(fā)發(fā)散散, ,而而 1nnu收收斂斂, , 則則稱稱 1nnu為為條條件件收收斂斂. . 例例 8 8 判判別別級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 12sinnnn的的收收斂斂性性. .

34、解解,1sin22nnn ,112收斂收斂而而 nn,sin12 nnn收斂收斂故由定理知原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂故由定理知原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.將正項(xiàng)級(jí)數(shù)的檢比法和檢根法應(yīng)用于判定任意項(xiàng)將正項(xiàng)級(jí)數(shù)的檢比法和檢根法應(yīng)用于判定任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性可得到如下定理級(jí)數(shù)的斂散性可得到如下定理定理定理設(shè)有級(jí)數(shù)設(shè)有級(jí)數(shù) 1nnu nnnuu1lim)|lim( nnnu 則則1 1nnu絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂1 1nnu發(fā)散發(fā)散1 可能絕對(duì)收斂，可能條件收可能絕對(duì)收斂，可能條件收斂，也可能發(fā)散斂，也可能發(fā)散如如 121)1(nnn 11)1(nnn 11)1(nn注意注意一般而言，由一般而言，由 發(fā)散，并不能推出發(fā)散，并不能推出

35、 1|inu 1inu發(fā)散發(fā)散如如 11)1(nnn 11in發(fā)散發(fā)散但但 收斂收斂 11)1(nnn如果如果 發(fā)散是由檢比法和檢根法而審定發(fā)散是由檢比法和檢根法而審定 1|inu則則 必定發(fā)散必定發(fā)散 1inu這是因?yàn)闄z比法與檢根法這是因?yàn)闄z比法與檢根法審定級(jí)數(shù)發(fā)散的原因是通項(xiàng)不趨向于審定級(jí)數(shù)發(fā)散的原因是通項(xiàng)不趨向于0由由00|nnuu四、小結(jié)四、小結(jié)正正 項(xiàng)項(xiàng) 級(jí)級(jí) 數(shù)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審審斂斂法法1.2.4.充要條件充要條件5.比較法比較法6.比值法比值法7.根值法根值法4.絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂5.交錯(cuò)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù)(萊布尼茨定理萊布尼茨定理)3.按基本性質(zhì)按基本性質(zhì);,則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂

36、斂若若SSn;, 0,則級(jí)數(shù)發(fā)散則級(jí)數(shù)發(fā)散當(dāng)當(dāng) nun思考題思考題 設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù) 1nnu收斂收斂, , 能否推得能否推得 12nnu收斂收斂? ?反之是否成立反之是否成立? ? 思考題解答思考題解答由由正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1nnu收收斂斂，可可以以推推得得 12nnu收收斂斂, nnnuu2lim nnu lim0 由比較審斂法知由比較審斂法知 收斂收斂. 12nnu反之不成立反之不成立.例如：例如： 121nn收斂收斂, 11nn發(fā)散發(fā)散.練練 習(xí)習(xí) 題題一一、填填空空題題: : 1 1、 p級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng)_ _ _ _ _ _ _ _時(shí)時(shí)收收斂斂, ,當(dāng)當(dāng)_ _ _ _ _ _ _

37、_時(shí)時(shí)發(fā)發(fā)散散； 2 2、若若正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1nnu的的后后項(xiàng)項(xiàng)與與前前項(xiàng)項(xiàng)之之比比值值的的根根 等等于于, , 則則當(dāng)當(dāng)_ _ _ _ _ _ _ _ _時(shí)時(shí)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂；_ _ _ _ _ _ _ _ _時(shí)時(shí)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散； _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _時(shí)時(shí)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)可可能能收收斂斂也也可可能能發(fā)發(fā)散散 . . 二二、用用比比較較審審斂斂法法或或極極限限審審斂斂法法判判別別下下列列級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的收收斂斂 性性: : 1 1、 22211313121211nn； 2 2、)0(111 aann . . 三、三、 用比值審斂法判別下列級(jí)數(shù)的收斂性用比值審斂法判別下列

38、級(jí)數(shù)的收斂性: : 1 1、 nnn 232332232133322；2 2、 1!2nnnnn. .四、四、 用根值審斂法判別下列級(jí)數(shù)的收斂性用根值審斂法判別下列級(jí)數(shù)的收斂性: :1 1、 1)1ln(1nnn； 2 2、121)13( nnnn. .五、五、 判別下列級(jí)數(shù)的收斂性判別下列級(jí)數(shù)的收斂性: :1 1、 nn1232；2 2、 13sin2nnn ； 3 3、)0()1()2ln(1 anannn. .六六、 判判別別下下列列級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)是是否否收收斂斂? ?如如果果是是收收斂斂的的, ,是是絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂還還是是條條件件收收斂斂? ? 1 1、 1113) 1(nnnn； 2 2

39、、 5ln14ln13ln12ln1； 3 3、 2ln) 1(nnnn. . 七七、若若nnun2lim 存存在在, ,證證明明: :級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1nnu收收斂斂 . . 八八、證證明明: :0!lim3 nnnanb. . 練習(xí)題答案練習(xí)題答案一、一、1 1、1, 1 pp； 2 2、1),lim( 1, 11 nnnuu或或. .二、二、1 1、發(fā)散；、發(fā)散； 2 2、發(fā)散、發(fā)散. .三、三、1 1、發(fā)散；、發(fā)散； 2 2、收斂、收斂. .四、四、1 1、收斂；、收斂； 2 2、收斂、收斂. .五、五、1 1、發(fā)散；、發(fā)散； 2 2、收斂；、收斂； 3 3、 ., 1;, 10;, 1發(fā)散

40、發(fā)散發(fā)散發(fā)散收斂收斂aaa六、六、1 1、絕對(duì)收斂；、絕對(duì)收斂； 2 2、條件收斂；、條件收斂； 3 3、條件收斂、條件收斂. .1 1、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 常常數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂( (發(fā)發(fā)散散) )nns lim存存在在( (不不存存在在) ). .收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)級(jí)數(shù)收斂的必要條件級(jí)數(shù)收斂的必要條件:習(xí)題課習(xí)題課 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法正正 項(xiàng)項(xiàng) 級(jí)級(jí) 數(shù)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)1.2.4.充要條件充要條件5.比較法比較法6.比值法比值法7.根值法根值法4.絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂5.交錯(cuò)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù)(萊布尼

41、茨定理萊布尼茨定理)3.按基本性質(zhì)按基本性質(zhì);,則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂若若SSn;, 0,則級(jí)數(shù)發(fā)散則級(jí)數(shù)發(fā)散當(dāng)當(dāng) nun一般項(xiàng)級(jí)數(shù)一般項(xiàng)級(jí)數(shù)4.絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂2 2、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法.有有界界部部分分和和所所成成的的數(shù)數(shù)列列正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂ns(1) (1) 比較審斂法比較審斂法(2) (2) 比較審斂法的極限形式比較審斂法的極限形式( (3 3) ) 極極限限審審斂斂法法0, 0nnvu設(shè)設(shè)nnvu 與與若若是同階無窮小是同階無窮小同斂散同斂散與與則則 nnvu特別特別 nnvu 若若（等價(jià)無窮?。ǖ葍r(jià)無窮?。┩瑪可⑼瑪可⑴c與則則 nnvu( (4 4) )

42、 比比值值審審斂斂法法( (達(dá)達(dá)朗朗貝貝爾爾 D DA Al le em mb be er rt t 判判別別法法) )(5) (5) 根值審斂法根值審斂法 ( (柯西判別法柯西判別法) )3 3、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法4 4、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法Leibniz定理定理絕對(duì)收斂，條件收斂絕對(duì)收斂，條件收斂附：附：正項(xiàng)級(jí)數(shù)與任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂程序正項(xiàng)級(jí)數(shù)與任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂程序 nu0nu nu發(fā)散發(fā)散NYnnuu1lim 1 Ynnvu 0nnulim N1 N改改用用它它法法Y nu收斂收斂 nv收斂收斂 nu發(fā)散發(fā)散 nu收斂收斂 nv發(fā)散發(fā)散 nu0nuN

43、發(fā)散發(fā)散 nuY斂斂 |nuY絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂 nu 收斂收斂 nuN用檢比用檢比 法法用比較法用比較法用用L準(zhǔn)則或考察部分和準(zhǔn)則或考察部分和N收斂 nuNY條件收斂條件收斂例例1求極限求極限nnnn 2!3lim 解解考察正項(xiàng)級(jí)數(shù)考察正項(xiàng)級(jí)數(shù) nnnnu2!3nnnnnnnnnnuu32!2)!1(3limlim111 10)1(23lim nn由檢比法由檢比法 nnn 2!3收斂收斂由級(jí)數(shù)收斂的必要條件得由級(jí)數(shù)收斂的必要條件得02!3lim nnnn二、典型例題二、典型例題例例2 設(shè)設(shè) 0lim anann試證試證 na發(fā)散發(fā)散證證不妨設(shè)不妨設(shè) a 0 由極限保號(hào)性知由極限保號(hào)性知N 時(shí)當(dāng)

44、Nn 0 na由于由于01limlim ananannnn故由比較法的極限形式得故由比較法的極限形式得 na發(fā)散發(fā)散例例3 若若 nu nv都發(fā)散都發(fā)散 則則A )(nnvu必發(fā)散必發(fā)散B nnvu必發(fā)散必發(fā)散C |nnvu必發(fā)散必發(fā)散D以上說法都不對(duì)以上說法都不對(duì)例例3 3;)1()1(:11 nnnnnnn判斷級(jí)數(shù)斂散性判斷級(jí)數(shù)斂散性解解nnnnnnnnu)1(1 ,)11(21nnnn nnnnnnn122)11(lim)11(lim2 ; 10 exxnnxn11limlim ln1limexpxxx 1limexpxx ; 10 e, 01lim nnu根據(jù)級(jí)數(shù)收斂的必要條件，根據(jù)級(jí)

45、數(shù)收斂的必要條件，原級(jí)數(shù)發(fā)散原級(jí)數(shù)發(fā)散 1).0()1()2ln()2(nnanan解解nanunnnnn1)2ln(limlim , )2ln(lim1nnna ,2,2nenn 時(shí)時(shí)從而有從而有,)2ln(1nnnn , 1lim nnn由由于于, 1)2ln(lim nnn.1limaunnn ,1101時(shí)時(shí)即即當(dāng)當(dāng) aa原級(jí)數(shù)收斂；原級(jí)數(shù)收斂；,1110時(shí)時(shí)即即當(dāng)當(dāng) aa原級(jí)數(shù)發(fā)散；原級(jí)數(shù)發(fā)散；,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) a,)11()2ln(1 nnnn原原級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)為為,)11()2ln(lim nnnn原級(jí)數(shù)也發(fā)散原級(jí)數(shù)也發(fā)散斂斂？是是條條件件收收斂斂還還是是絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂？如如果果收收斂斂，

46、是是否否收收判判斷斷級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1ln)1(nnnn例例4 4解解,1ln1nnn ,11發(fā)散發(fā)散而而 nn,ln1ln)1(11發(fā)發(fā)散散 nnnnnnn即原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂即原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂,ln)1(1級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)是是交交錯(cuò)錯(cuò) nnnn由萊布尼茨定理：由萊布尼茨定理：xxnnxnlnlimlnlim , 01lim xx, 0ln11limln1lim nnnnnnn),0(ln)( xxxxf),1(011)( xxxf,), 1(上上單單增增在在 ,ln1單減單減即即xx ,1ln1時(shí)時(shí)單單減減當(dāng)當(dāng)故故 nnn),1()1ln()1(1ln11 nunnnnunn所以此交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，所以此交錯(cuò)

47、級(jí)數(shù)收斂，故原級(jí)數(shù)是條件收斂故原級(jí)數(shù)是條件收斂 na nc都收斂都收斂 且且nnncba 例例5 設(shè)設(shè) 試證試證 nb收斂收斂證證由由 nnncba 知知nnnnacab 0因因 na nc都收斂都收斂 故正項(xiàng)級(jí)數(shù)故正項(xiàng)級(jí)數(shù) )(nnac收斂收斂再由比較審斂法知再由比較審斂法知 正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù) )(nnab收斂收斂而而nnnnaabb )(即即 nb可表為兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)可表為兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)之和之和 )(nnab na故故 nb收斂收斂例例6 設(shè)設(shè) 0, 0 nnba且且nnnnbbaa11 若若 nb收斂收斂 則則 na也收斂也收斂證證由題設(shè)知由題設(shè)知1111bababannnn nnbbaa1

48、1 而而 nb收斂收斂由比較法得由比較法得 na收斂收斂Cauchy積分審斂法積分審斂法設(shè)設(shè) 0)( xfy單調(diào)減少單調(diào)減少)(nfun 則則 1nnu與與 1)(dxxf同斂散同斂散例例7 證證由由 f(x) 單調(diào)減少知單調(diào)減少知 11)()()1(kkkkukfdxxfkfu即即 nknnkkkudxxfu11111)(nnnSdxxfSS 1111)(故故 1nnu與與 1)(dxxf同斂散同斂散例例8 設(shè)設(shè) nu是單調(diào)增加且有界的正數(shù)數(shù)列是單調(diào)增加且有界的正數(shù)數(shù)列試證明試證明 )1(11 nnnuu收斂收斂證證記記11 nnnuuv則則011 nnnnuuuv且且11uuuvnnn 而

49、正項(xiàng)級(jí)數(shù)而正項(xiàng)級(jí)數(shù) 11)(nnnuu的部分和的部分和 nknkknuuuuS1111)(又又 nu單調(diào)增加且有界單調(diào)增加且有界故由單調(diào)有界原理知故由單調(diào)有界原理知 Aunn lim存在存在1limuASnn 即即 11)(nnnuu收斂收斂進(jìn)而進(jìn)而 111)(1nnnuuu收斂收斂由比較法得由比較法得 1nnv收斂收斂設(shè)正數(shù)數(shù)列設(shè)正數(shù)數(shù)列 na單調(diào)減少，級(jí)數(shù)單調(diào)減少，級(jí)數(shù) 11)1(nnna發(fā)散發(fā)散考察考察nnna)11(1 的斂散性的斂散性證證 記記nnnau)11( 由由 na單調(diào)減少單調(diào)減少0 na故由單調(diào)有界原理知故由單調(diào)有界原理知 Aann lim存在存在且且0 A若若0 A由由L

50、eibniz審斂法得審斂法得 交錯(cuò)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù) 11)1(nnna收斂收斂 與題設(shè)矛盾與題設(shè)矛盾0 Annnnnau 11limlim111 A由檢根法知由檢根法知 nnna)11(1 收斂收斂 例例9 已知已知 nunnln1lnlim0 nu證明證明收斂收斂 nu1 發(fā)發(fā)散散nu1 的斂散性不定的斂散性不定nu1 由由1ln1lnlim nunn知知對(duì)對(duì)1 NnN ,有有1ln1ln qnun nqunln1ln nqunlnln 證證例例10qnnu1 而而 qn1收斂收斂故由比較法知故由比較法知 nu收斂收斂 由由1ln1lnlim nunn知知NnN 當(dāng),有有1ln1ln rnun

51、nrunln1ln nrunlnln rnnu1 而而 rn1發(fā)散發(fā)散故由比較法知故由比較法知 nu發(fā)散發(fā)散如如pnnnu)(ln1 1ln)ln(lnlnlimln1lnlim nnpnnunnn但但收收斂斂時(shí)時(shí) nup1發(fā)發(fā)散散時(shí)時(shí) nup1 討論討論 1npnna的斂散性的斂散性), 0(常數(shù)常數(shù)ap 解解對(duì)級(jí)數(shù)對(duì)級(jí)數(shù) 1npnna|)1(limlim1aannuupnnnn 1| a 1npnna收斂收斂 1npnna絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂1| a 1npnna發(fā)散發(fā)散 1npnna發(fā)散發(fā)散1| a分情況說明分情況說明例例11 1 a級(jí)數(shù)成為級(jí)數(shù)成為 11npn1 p收斂收斂1 p發(fā)散發(fā)散1

52、 a級(jí)數(shù)成為級(jí)數(shù)成為 1)1(npnn1 p絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂1 p條件收斂條件收斂例例12 對(duì)對(duì) ,的值，研究一般項(xiàng)為的值，研究一般項(xiàng)為 nnnVn 2sin的級(jí)數(shù)的斂散性的級(jí)數(shù)的斂散性解解)(sin nnVn )sin()1(nn 由于當(dāng)由于當(dāng) n 充分大時(shí)，充分大時(shí)， )sin(n 定號(hào)定號(hào)故級(jí)數(shù)從某一項(xiàng)以后可視為交錯(cuò)級(jí)數(shù)故級(jí)數(shù)從某一項(xiàng)以后可視為交錯(cuò)級(jí)數(shù)整整數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng) 為何值為何值無論無論 總有總有|)sin(|lim|lim nVnnn 0|sin| 0lim nnV級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散整整數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng) nVnnsin)1( 時(shí)當(dāng) n nsin非增地趨于非增地趨于 0 由由Leibniz審斂法知審

53、斂法知 1nnV收斂收斂但但 |sin|lim1|lim nnnVnnn而而 11nn發(fā)散發(fā)散故由比較法的極限形式故由比較法的極限形式時(shí)當(dāng)0 1sinnn 發(fā)散發(fā)散 1nnV條件收斂條件收斂0 0 nV級(jí)數(shù)顯然收斂級(jí)數(shù)顯然收斂 正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù) 由級(jí)數(shù)收斂的必要條件要使由級(jí)數(shù)收斂的必要條件要使 收斂必須收斂必須 nu0nu但在一般項(xiàng)趨于但在一般項(xiàng)趨于 0 的級(jí)數(shù)中為什么有的收斂有的級(jí)數(shù)中為什么有的收斂有的卻發(fā)散，的卻發(fā)散，0nu因此從原則上講，比較法是基礎(chǔ)，更重要更因此從原則上講，比較法是基礎(chǔ)，更重要更基本，但其極限形式（包括極限審斂法）則基本，但其極限形式（包括極限審斂法）則更能說明問題的實(shí)

54、質(zhì)，使用起來也更有效更能說明問題的實(shí)質(zhì)，使用起來也更有效的的階階問題的實(shí)質(zhì)是級(jí)數(shù)收斂與否取決于問題的實(shí)質(zhì)是級(jí)數(shù)收斂與否取決于關(guān)于常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂關(guān)于常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂nnnuu1lim 和和nnnu lim作為作為nu變化快慢變化快慢得到檢比法和檢根法，檢比法得到檢比法和檢根法，檢比法和檢根法的實(shí)質(zhì)是把所論級(jí)數(shù)與某一幾何級(jí)數(shù)和檢根法的實(shí)質(zhì)是把所論級(jí)數(shù)與某一幾何級(jí)數(shù)作比較，雖然使用起來較方便但都會(huì)遇到作比較，雖然使用起來較方便但都會(huì)遇到“失失效效”的情況。的情況。 收收斂斂收收斂斂nnuu |這一結(jié)論將許多級(jí)數(shù)的斂散性判定問題歸結(jié)為正項(xiàng)這一結(jié)論將許多級(jí)數(shù)的斂散性判定問題歸結(jié)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判定級(jí)數(shù)的

55、斂散性判定注注比較法、比較法的極限形式、檢比法、比較法、比較法的極限形式、檢比法、檢根法、積分審斂法，只能對(duì)檢根法、積分審斂法，只能對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)方方可使用可使用的一種估計(jì)的一種估計(jì)檢比法、檢根法只是檢比法、檢根法只是充分條件充分條件而非必要條件而非必要條件L準(zhǔn)則也是準(zhǔn)則也是充分條件充分條件而非必要條件而非必要條件通項(xiàng)中含通項(xiàng)中含 !,nnann等常用等常用檢比檢比法法通項(xiàng)中含通項(xiàng)中含 有以有以 n 為指數(shù)冪的因子時(shí)為指數(shù)冪的因子時(shí) 常用常用檢根檢根法法使用比較法的極限形式時(shí)，關(guān)鍵在于找出與使用比較法的極限形式時(shí)，關(guān)鍵在于找出與nu同階或同階或 等價(jià)的無窮小等價(jià)的無窮小如如)sin(nn

56、61sinlim3 xxxn記記nnun sin 31nvn 則則 同同斂斂散散與與nnvu當(dāng)所討論的級(jí)數(shù)中含有當(dāng)所討論的級(jí)數(shù)中含有參數(shù)參數(shù)時(shí)，一般都要時(shí)，一般都要對(duì)參數(shù)的取值加以討論對(duì)參數(shù)的取值加以討論1.1.定義定義: :設(shè)設(shè)),(,),(),(21xuxuxun是定義在是定義在RI 上的函上的函數(shù)數(shù), ,則則 )()()()(211xuxuxuxunnn 稱為定義在區(qū)間稱為定義在區(qū)間I上的上的( (函數(shù)項(xiàng)函數(shù)項(xiàng)) )無窮級(jí)數(shù)無窮級(jí)數(shù). . ,120 xxxnn例例如如級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)冪冪 級(jí)級(jí) 數(shù)數(shù)一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一般概念一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一般概念2.2.收斂點(diǎn)與收斂域收斂點(diǎn)與收斂域: :如如果果

57、Ix 0, ,數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 10)(nnxu收收斂斂, , 則則稱稱0 x為為級(jí)級(jí)數(shù)數(shù))(1xunn 的的收收斂斂點(diǎn)點(diǎn), , 函函數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù))(1xunn 的的所所有有收收斂斂點(diǎn)點(diǎn)的的全全體體稱稱為為收收斂斂域域, , 所有發(fā)散點(diǎn)的全體稱為所有發(fā)散點(diǎn)的全體稱為發(fā)散域發(fā)散域. . 3.3.和函數(shù)和函數(shù): :在在收收斂斂域域上上, ,函函數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的和和是是x的的函函數(shù)數(shù))(xs, , 稱稱)(xs為為函函數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的和和函函數(shù)數(shù). . )()()()(21xuxuxuxsn(定義域是定義域是?)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和),(xsn余項(xiàng)余項(xiàng))()(limxsx

58、snn )()()(xsxsxrnn 0)(lim xrnn注意注意(x在收斂域上在收斂域上)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在某點(diǎn)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在某點(diǎn)x的收斂問題的收斂問題,實(shí)質(zhì)上實(shí)質(zhì)上是數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問題是數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問題.例例 1 1 求級(jí)數(shù)求級(jí)數(shù)nnnxn)11()1(1 的收斂域的收斂域. 解解由達(dá)朗貝爾判別法由達(dá)朗貝爾判別法)()(1xuxunn xnn 111)(11 nx,20時(shí)時(shí)或或即即 xx原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂., 111)1( x當(dāng)當(dāng), 11 x, 111)2( x當(dāng)當(dāng), 11 x,02時(shí)時(shí)即即 x原級(jí)數(shù)發(fā)散原級(jí)數(shù)發(fā)散., 1|1|)3( x當(dāng)當(dāng), 20 xx或或,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x 1)1

59、(nnn級(jí)級(jí)數(shù)數(shù),2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x 11nn級(jí)數(shù)級(jí)數(shù))., 0)2,( 故級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)楣始?jí)數(shù)的收斂域?yàn)槭諗渴諗?發(fā)散發(fā)散;二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性1.1.定義定義: :形形如如nnnxxa)(00 的的級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)稱稱為為冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù). .,000nnnxax 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)其中其中na為為冪級(jí)數(shù)系數(shù)冪級(jí)數(shù)系數(shù). 2.2.收斂性收斂性: :,120 xxxnn例例如如級(jí)級(jí)數(shù)數(shù);,1收收斂斂時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x;,1發(fā)發(fā)散散時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x);1 , 1( 收斂域收斂域);, 11,( 發(fā)發(fā)散散域域定定理理1 1 ( (A Ab be el l 定定理理) )如果級(jí)數(shù)如果級(jí)數(shù) 0nnnxa在在)0(0

60、0 xxx處收斂處收斂, ,則則它在滿足不等式它在滿足不等式0 xx 的一切的一切x處絕對(duì)收斂處絕對(duì)收斂; ;如如果果級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 0nnnxa在在0 xx 處處發(fā)發(fā)散散, ,則則它它在在滿滿足足不不等等式式0 xx 的的一一切切x處處發(fā)發(fā)散散. .證明證明,)1(00收斂收斂 nnnxa, 0lim0 nnnxa,M ), 2 , 1 , 0(0 nMxann使使得得nnnnnnxxxaxa00 nnnxxxa00 nxxM0 ,00收收斂斂等等比比級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)nnxxM ,10時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx,0收收斂斂 nnnxa;0收收斂斂即即級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) nnnxa,)2(0時(shí)時(shí)發(fā)發(fā)散散假假設(shè)設(shè)當(dāng)當(dāng)xx 而而有有