高數(shù)第十二章(3)冪級數(shù)

1、第三節(jié)一、函數(shù)項級數(shù)的概念一、函數(shù)項級數(shù)的概念 二、冪級數(shù)及其收斂性二、冪級數(shù)及其收斂性 三、冪級數(shù)的運算三、冪級數(shù)的運算 冪級數(shù) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第十二章 一、一、 函數(shù)項級數(shù)的概念函數(shù)項級數(shù)的概念設(shè)121)()()()(nnnxuxuxuxu為定義在區(qū)間 I 上的函數(shù)項級數(shù)函數(shù)項級數(shù) .對, I0 x若常數(shù)項級數(shù)10)(nnxu斂點斂點, 所有收斂點的全體稱為其收斂域收斂域 ;若常數(shù)項級數(shù)10)(nnxu為定義在區(qū)間 I 上的函數(shù), 稱收斂,發(fā)散 ,所有0 x稱為其收收 0 x稱為其發(fā)散點發(fā)散點, ),2, 1()(nxun發(fā)散點的全體稱為其發(fā)散域發(fā)散域 .機動 目錄

2、上頁 下頁 返回 結(jié)束 , )(xS為級數(shù)的和函數(shù)和函數(shù) , 并寫成)()(1xuxSnn若用)(xSn)()(1xuxSnkkn令余項)()()(xSxSxrnn則在收斂域上有, )()(limxSxSnn0)(limxrnn表示函數(shù)項級數(shù)前 n 項的和, 即在收斂域上, 函數(shù)項級數(shù)的和是 x 的函數(shù) 稱它機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例如例如, 等比級數(shù)它的收斂域是, )1,1(,11,(），及nnnxxxx201xxnn110它的發(fā)散域是或?qū)懽?1x又如又如, 級數(shù), )0(02xnxxnnn,)(limxunn級數(shù)發(fā)散 ;所以級數(shù)的收斂域僅為. 1x,)1,1(時當(dāng)x有和函數(shù) ,

3、1時收斂當(dāng)x,10時但當(dāng) x機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、冪級數(shù)及其收斂性二、冪級數(shù)及其收斂性 形如00)(nnnxxa202010)()(xxaxxaa的函數(shù)項級數(shù)稱為冪級數(shù)冪級數(shù), 其中數(shù)列), 1 , 0(nan下面著重討論00 x0nnnxannxaxaxaa2210例如, 冪級數(shù)1,110 xxxnn為冪級數(shù)的系數(shù)系數(shù) .即是此種情形.的情形, 即nnxxa)(0稱 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ox發(fā) 散發(fā) 散收 斂收斂 發(fā)散定理定理 1. ( Abel定理定理 ) 若冪級數(shù)0nnnxa,0點收斂在xx 則對滿足不等式0 xx 的一切 x 冪級數(shù)都絕對收斂.反之,

4、若當(dāng)0 xx 0 xx 的一切 x , 該冪級數(shù)也發(fā)散 . 時該冪級數(shù)發(fā)散 , 則對滿足不等式證證: 設(shè)00nnnxa, 0lim0nnnxa收斂, 則必有),2, 1(0nMxann于是存在常數(shù) M 0, 使阿貝爾 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 當(dāng) 時, 0 xx 00nnxxM收斂,0nnnxa故原冪級數(shù)絕對收斂 .也收斂,反之, 若當(dāng)0 xx 時該冪級數(shù)發(fā)散 ,下面用反證法證之.假設(shè)有一點1x01xx0 x滿足不等式0 xx 所以若當(dāng)0 xx 滿足且使級數(shù)收斂 ,面的證明可知, 級數(shù)在點故假設(shè)不真. 的 x , 原冪級數(shù)也發(fā)散 . 時冪級數(shù)發(fā)散 , 則對一切則由前也應(yīng)收斂, 與所設(shè)矛盾,

5、nnnnnnxxxaxa00nnnxxxa00nxxM0證畢機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 冪級數(shù)在 (, +) 收斂 ;由Abel 定理可以看出, 0nnnxa中心的區(qū)間. 用R 表示冪級數(shù)收斂與發(fā)散的分界點,的收斂域是以原點為則R = 0 時, 冪級數(shù)僅在 x = 0 收斂 ;R = 時,0 R冪級數(shù)在 (R , R ) 收斂 ;(R , R ) 加上收斂的端點稱為收斂域收斂域.R 稱為收斂半徑收斂半徑 ， 在R , R 可能收斂也可能發(fā)散 .Rx外發(fā)散; 在(R , R ) 稱為收斂區(qū)間收斂區(qū)間.ox發(fā) 散發(fā) 散收 斂收斂 發(fā)散機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xaaxaxannn

6、nnnnn111limlim定理定理2. 若0nnnxa的系數(shù)滿足,lim1nnnaa;1R;R.0R證證:1) 若 0,則根據(jù)比值審斂法可知:當(dāng),1x原級數(shù)收斂;當(dāng),1x原級數(shù)發(fā)散.x即1x時,1) 當(dāng) 0 時,2) 當(dāng) 0 時,3) 當(dāng) 時,即時,則 1x機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (或或 nnnalim)2) 若, 0則根據(jù)比值審斂法可知,;R絕對收斂 ,3) 若,則對除 x = 0 以外的一切 x 原級發(fā)散 ,.0R對任意 x 原級數(shù)因此因此 0nnnxa的收斂半徑為說明說明: :據(jù)此定理1limnnnaaR因此級數(shù)的收斂半徑.1R機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對端點 x

7、 =1, 1limnnnaaRnxxxxnn 132) 1(32的收斂半徑及收斂域.解解:11nn11對端點 x = 1, 級數(shù)為交錯級數(shù),1) 1(11nnn收斂; 級數(shù)為,11nn發(fā)散 . . 1, 1(故收斂域為例例1 1.求冪級數(shù) limn 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 求下列冪級數(shù)的收斂域 :.!)2(;!1) 1 (00nnnnxnxn解解: (1) limlim1nnnnaaR!1n) 1(limnn所以收斂域為. ),(2) limlim1nnnnaaR!n!) 1( n11limnn0所以級數(shù)僅在 x = 0 處收斂 .規(guī)定: 0 ! = 1! ) 1(1n機

8、動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3.nnxnn202) !(! )2(求冪級數(shù)的收斂半徑 .解解: 級數(shù)缺少奇次冪項,不能直接應(yīng)用定理2,比值審斂法求收斂半徑. lim)()(lim1nnnnxuxu2!) 1( ! ) 1(2nn2!2nn22)1()22( )12(limxnnnn24x142x當(dāng)時級數(shù)收斂時級數(shù)發(fā)散 故收斂半徑為 .21R21x即142x當(dāng)21x即) 1(2nxnx2故直接由機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4.12) 1(nnnnx求冪級數(shù)的收斂域.解解: 令 ,1 xt級數(shù)變?yōu)閚nntn121nnnnaaRlimlim1nn21) 1(211nnnnnnn

9、2) 1(2lim12當(dāng) t = 2 時, 級數(shù)為,11nn此級數(shù)發(fā)散;當(dāng) t = 2 時, 級數(shù)為,) 1(1nnn此級數(shù)條件收斂;因此級數(shù)的收斂域為,22t故原級數(shù)的收斂域為,212x即.31x機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5. 求冪級數(shù)nnnnx02) 1(2解解:定理 2的條件不滿足,故不能直接應(yīng)用定理2?？紤]用根值求法：的收斂半徑.|1limnnnaR從而nnnnR2) 1(21lim2說明說明: 可以證明比值判別法成立根值判別法成立例例2 2 求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間:解解)1(nnnaa1lim 1lim nnn1

10、 1 R,1時時當(dāng)當(dāng) x,1時時當(dāng)當(dāng) x,)1(1 nnn級級數(shù)數(shù)為為,11 nn級級數(shù)數(shù)為為該級數(shù)收斂該級數(shù)收斂該級數(shù)發(fā)散該級數(shù)發(fā)散;)1()1(1nxnnn ;)()2(1 nnnx;!)3(1 nnnx.)21(2)1()4(1nnnnxn 故故收收斂斂區(qū)區(qū)間間是是1 , 1( .nnna limnn lim, , R級級數(shù)數(shù)只只在在0 x處處收收斂斂,nnnaa1lim 11lim nn, 0 , 0 R收斂區(qū)間收斂區(qū)間),(.;)()2(1 nnnx;!)3(1 nnnxnnnaa1lim 12lim nnn2 ,21 R,2121收斂收斂即即 x,)1 , 0(收斂收斂 x.)21

11、(2)1()4(1nnnnxn ,0時時當(dāng)當(dāng) x,11 nn級級數(shù)數(shù)為為,1時時當(dāng)當(dāng) x,)1(1 nnn級數(shù)為級數(shù)為發(fā)散發(fā)散收斂收斂故收斂區(qū)間為故收斂區(qū)間為(0,1.三、冪級數(shù)的運算三、冪級數(shù)的運算定理定理3. 設(shè)冪級數(shù)nnnxa0nnnxb0及的收斂半徑分別為,21RR令nnnxa0)(0為常數(shù)nnnxa1Rx ,min21RRR nnnnnnxbxa00,)(0nnnnxbaRx 則有 :乘法乘法)()(00 nnnnnnxbxa.0 nnnxc RRx, (其中其中)0110bababacnnnn 00ba10ba20ba30ba01ba11ba21ba31ba02ba12ba22ba

12、32ba03ba13ba23ba33ba柯柯西西乘乘積積321xxx(3) 除法除法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc)0(0 nnnxb收收斂斂域域內(nèi)內(nèi)(相除后的收斂區(qū)間比原來相除后的收斂區(qū)間比原來兩級數(shù)的收斂區(qū)間小得多兩級數(shù)的收斂區(qū)間小得多)說明說明: 兩個冪級數(shù)相除所得冪級數(shù)的收斂半徑可能比原來兩個冪級數(shù)的收斂半徑小得多. 例如, 設(shè) nnnxa0nnnxb0),2, 1,0, 1(0naan,3,2,0, 1, 110nbbbn它們的收斂半徑均為,R但是nnnxa0nxxx21其收斂半徑只是 .1R1x1nnnxb0 x11機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理4 若冪級

13、數(shù)nnnxa0的收斂半徑,0R)(xS數(shù)(證明見第六節(jié))nnnxaxS0)(,11nnnxan),(RRxxxaxxSnxnnxdd)(000,110nnnxna),(RRx則其和函在收斂域上連續(xù), 且在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項求導(dǎo)與逐項求積分, 運算前后收斂半徑相同: 注注: 逐項積分時, 運算前后端點處的斂散性不變.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明：說明： 利用定理4, 我們可以求得一些冪級數(shù)的和機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 和函數(shù), 具體的步驟如下:(1) 先求冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域；(2) 在收斂區(qū)間內(nèi), 利用逐項積分或逐項求導(dǎo)得到關(guān)于和函數(shù)的積分方程式或微分方程式, 解方程求

14、和函數(shù)；(3) 討論端點的情況,給出收斂域的和函數(shù).例例 4 4 求求級級數(shù)數(shù) 11)1(nnnnx的的和和函函數(shù)數(shù).解解,)1()(11 nnnnxxs, 0)0( s顯顯然然兩邊積分得兩邊積分得)1ln()(0 xdttsx 21)(xxxs,11x )11( x,1時時又又 x.1)1(11收斂收斂 nnn).1ln()1(11xnxnnn )11( x),1ln()(xxs )1ln()0()(xsxs 即即解解: 由例2可知級數(shù)的收斂半徑 R+.例例5.0!nnnx求冪級數(shù)0!)(nnnxxS)(x則11! ) 1()(nnnxxS0!kkkx)(xS)(x故有0)(xSexxeCx

15、S)(,)(1)0(xexSS 得由故得.!0 xnnenx的和函數(shù) .因此得設(shè)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6. 1nnxn求冪級數(shù)的和函數(shù)解解: 易求出冪級數(shù)的收斂半徑為 1 , x1 時級數(shù)發(fā),)1,1(時故當(dāng)x1)(nnxnxS1)(nnxxxxx12)1 (xx. )(xS11nnxnx1nnxx散,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例7. 求級數(shù)01nnnx的和函數(shù). )(xS解解: 易求出冪級數(shù)的收斂半徑為 1 , 時級數(shù)且1x01)(nnnxxS xnnxxx00d1xxxx0d111)1ln(1xx) 10( x1x及收斂 , 有時則當(dāng),0 x0111nnnxx

16、xnnxxx00d1機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ) 1 ,0()0, 1x)(xS, )1ln(1xx因此由和函數(shù)的連續(xù)性得:)(xS而)0(S,1)1 (lnlim0 xxx, )1ln(1xx,10 x,1) 10( x1x及機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例 5 5 求求冪冪級級數(shù)數(shù) 0)12(nnxn的的和和函函數(shù)數(shù). 解解 0)12()(nnxnxs設(shè)設(shè) 002nnnnxnx,22110 nnnnnxxnx,)(11 nnnxxA設(shè)設(shè)dxxndxxAnxnx 1010)( 1nnx,1xx 1| x xxxA1)(,)1(12x ,)1(2220 xxnxnn 1|,1

17、10 xxxnn 0)12()(nnxnxs 2)1(2xxx 111|.)1(12 xxx例例 6 6 求求 12)1(nnnn的的和和. 解解,)1(1nnxnn 考慮級數(shù)考慮級數(shù)收斂區(qū)間收斂區(qū)間(-1,1), 1)1()(nnxnnxs則則)(11 nnxx)1(2 xxx,)1(23xx 12)1(nnnn故故)21( s . 8 例例8.2) 1(122的和求數(shù)項級數(shù)nnn解解: 設(shè),1)(22nnnxxS則, )1, 1(x2112nnnxx21121nnnxx)0( x12nnnxx321nnnxxnnxnnxS111121)(2機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1nnnx 1

18、01dnxnxx而xxxnnd011 xxx01d)1ln(x42)1ln(21)(2xxxxxS故222) 1(1nnn)0( x1212)(nnnxxxxS)2(212xxx21S2ln4385)0( x機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 常用已知和函數(shù)的冪級數(shù);11)1(0 xxnn ;11)1()2(202xxnnn ;1)3(202xaaxnn ;!)4(0 xnnenx );1ln(1)1()6(01xnxnnn ;sin)!12()1()5(1121xnxnnn 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 求冪級數(shù)收斂域的方法1) 對標(biāo)準(zhǔn)型冪級數(shù)先求收斂半徑 , 再討論端點的收斂性 .2) 對非標(biāo)準(zhǔn)型冪級數(shù)(缺項或通項為復(fù)合式)求收斂半徑時直接用比值法或根值法,2. 冪級數(shù)的性質(zhì)兩個冪級數(shù)在公共收斂區(qū)間內(nèi)可進(jìn)行加、減與)0(0nnnnaxa也可通過換元化為標(biāo)準(zhǔn)型再求 .乘法運算. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2) 在收斂區(qū)間內(nèi)冪級數(shù)的和函數(shù)連續(xù);3) 冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項求導(dǎo)和求積分.思考與練習(xí)思考與練習(xí) 1. 已知nnnxa00 xx 在處條件收斂 , 問該級數(shù)收斂半徑是多少 ?答答: 根據(jù)Abel 定理可知, 級數(shù)在0 xx 收斂 ,0 x