數學建模-模糊數學理論

1、1 模糊數學的基本概念2 模糊關系與模糊矩陣 3 模糊聚類分析 模糊模式識別4 模糊綜合評判 模糊數學模糊數學1 模糊數學的基本概念模糊數學的基本概念 1.1 模糊數學概述模糊數學概述 模糊數學是研究和處理模糊性現(xiàn)象（或概念）的數學方法，而不是把數學變成模模糊糊的東西，它所要處理事物的概念本身是模糊的，即一個對象是否符合這個概念難以確定，我們稱這種不確定性為模糊性。 它與普遍性不同，普遍性是是指一種可用來表達整個明確定義的現(xiàn)象和活動的特性。 它與隨機不確定性不同，隨機的不確定性也是概率的不確定性，其研究的事件本身有著明確的含義，只是由于發(fā)生的條件不充分，而使得在條件與事件之間不能出現(xiàn)決定的因果

2、關系，從而事件的出現(xiàn)與否表現(xiàn)出不確定性，這種不確定性稱為隨機性。例如“擲一個骰子時出現(xiàn)4點”是一個明確的事件，但擲骰子時并非只出現(xiàn)4點，我們說出現(xiàn)4點的概率是1/6。回總目錄回本章目錄 模糊數學所研究的不確定性是：它所處理事物的概念本身是模糊的，即一個對象是否符合這個概念難以確定，稱這種不確定性為模糊性。 如“青年人”、“老年人”、“漂亮的女生”、“黎明時刻”、“班上高個子學生”等。我們無法明確地指出，從幾點鐘開始就算黎明，或身高多少就是高個子。這種概念具有模糊性，無法用普通集合來描述。為了定量地表示這類模糊概念，并研究它們的客觀規(guī)律性，就必須把普通集合的概念加以拓廣，借助于模糊集合來研究。

3、論域：如果將所討論的對象限制在一定范圍內，并記所討論的對象全體構成的集合為U，稱之為論域。普通集合特征函數設U是論域，A是U的子集,定義如下映射為集合A的特征函數 :（集合A可由特征函數唯一確定） 1.2 模糊集與隸屬函數 模糊集合隸屬函數1.2.1模糊集與隸屬函數的概念模糊集與隸屬函數的概念1）論域）論域U上的模糊集合上的模糊集合A指指：對于任意的uU,總是以某個程度 屬于A；即對于所研究的某個對象，我們不能確定它有或者沒有一個模糊概念所描述的性質。而只能討論它具有這種性質的程度是多少。用集合論的觀點說，定義一個模糊集合，我們無法確定一個元素是否屬于這個模糊集合，而只能說它有多大程度屬于這個

4、模糊集合。這種從屬程度我們用0，1之間的一個數來表示。這就是Zadeh的隸屬函數的想法。 2）隸屬函數）隸屬函數設在論域設在論域U上給定了一個映射，上給定了一個映射，則定義了則定義了U上的一個模糊子集上的一個模糊子集A，映射，映射 稱為模糊稱為模糊集集A的隸屬函數，的隸屬函數， 稱為稱為x對模糊集對模糊集A的隸屬的隸屬程度，也可表示為程度，也可表示為A(x)。3）模糊集的表示4）模糊集的運算）模糊集的運算 模糊集與普通集一樣，有相同的運算和相應的運模糊集與普通集一樣，有相同的運算和相應的運算規(guī)律。算規(guī)律。A與與B的并集、交集及的并集、交集及A的補集定義如下：的補集定義如下：1.2.2 隸屬函數

5、的確定方法隸屬函數的確定方法 模糊數學的基本思想是隸屬程度的思想，應用模模糊數學的基本思想是隸屬程度的思想，應用模糊數學方法建立數學模型的關鍵是建立符合實際糊數學方法建立數學模型的關鍵是建立符合實際的隸屬函數，下面介紹幾種常用的確定隸屬函數的隸屬函數，下面介紹幾種常用的確定隸屬函數的方法：的方法： 1）模糊統(tǒng)計方法）模糊統(tǒng)計方法 它可以算是一種比較客觀的方法，主要是基于它可以算是一種比較客觀的方法，主要是基于模糊統(tǒng)計實驗的基礎上，根據隸屬度的客觀存在模糊統(tǒng)計實驗的基礎上，根據隸屬度的客觀存在性來確定的。性來確定的。模糊統(tǒng)計試驗的四要素為：模糊統(tǒng)計試驗的四要素為：假設我們做假設我們做n次模糊統(tǒng)計

6、試驗，則可算出次模糊統(tǒng)計試驗，則可算出當當n不斷增大時，其頻率的穩(wěn)定值稱為不斷增大時，其頻率的穩(wěn)定值稱為x0對對A的隸屬的隸屬度，即度，即2）指派方法）指派方法 指派方法是一種主觀的方法，它主要依據人們的實指派方法是一種主觀的方法，它主要依據人們的實踐經驗來確定某些模糊集隸屬函數的的一種方法。踐經驗來確定某些模糊集隸屬函數的的一種方法。 若模糊集定義在實數域若模糊集定義在實數域R上，則模糊集的隸屬函數上，則模糊集的隸屬函數稱為模糊分布；指派方法就是根據問題的性質主稱為模糊分布；指派方法就是根據問題的性質主觀地選用某些模糊分布，再根據實際測量數據確觀地選用某些模糊分布，再根據實際測量數據確定其中

7、的參數，常用的模糊分布見下表：定其中的參數，常用的模糊分布見下表： 偏小型：適合描述偏小型：適合描述“小小”“”“少少”“”“冷冷”“”“淺淺”“”“疏疏”“”“青年青年”等等 偏大型：適合描述偏大型：適合描述“大大”“”“多多”“”“熱熱”“”“深深”“”“密密”“”“老年老年”等等 中間型：適合描述中間型：適合描述“中中”“”“不太多不太多”“”“不太不太深深”“”“不太濃不太濃” “暖和暖和”“”“中年中年”等處于中間等處于中間狀態(tài)的模糊現(xiàn)象。狀態(tài)的模糊現(xiàn)象。常用的模糊分布常用的模糊分布3）借用已有的）借用已有的“客觀客觀”尺度尺度在經濟管理、社會科學中可以直接借用已有的尺度在經濟管理、

8、社會科學中可以直接借用已有的尺度作為模糊集的隸屬度，如在論域作為模糊集的隸屬度，如在論域U U上定義模糊集上定義模糊集A=“A=“設備完好設備完好”，可以，可以“設備完好率設備完好率”作為隸屬度作為隸屬度來表示來表示“設備完好設備完好”這個模糊集。在論域這個模糊集。在論域U(U(家庭家庭) )上定義模糊集上定義模糊集C=“C=“貧困家庭貧困家庭”可用恩格爾系數可用恩格爾系數=“=“食品消費支出食品消費支出”/“/“總消費總消費”作為隸屬度來表示作為隸屬度來表示家庭貧困程度。家庭貧困程度。 4 4）二元對比排序法）二元對比排序法 對于有些模糊集，很難直接給出隸屬度，但通過對于有些模糊集，很難直接

9、給出隸屬度，但通過 兩兩比較確定兩個元素相應隸屬度的大小排出順序，兩兩比較確定兩個元素相應隸屬度的大小排出順序， 再用數學方法加工得到隸屬函數，其實是隸屬函數的再用數學方法加工得到隸屬函數，其實是隸屬函數的一種離散表示法一種離散表示法 1）模糊關系2模糊關系與模糊矩陣模糊關系與模糊矩陣2.1 模糊關系與模糊矩陣的概念模糊關系與模糊矩陣的概念 2) 模糊矩陣模糊矩陣 2.2模糊等價關系與模糊相似關系模糊等價關系與模糊相似關系 1）模糊等價關系）模糊等價關系 2）模糊等價矩陣）模糊等價矩陣3）模糊相似關系與模糊相似矩陣）模糊相似關系與模糊相似矩陣2.3 截矩陣與傳遞矩陣截矩陣與傳遞矩陣1）截矩陣）

10、截矩陣2）模糊傳遞矩陣）模糊傳遞矩陣 所謂聚類分析，就是用數學的方法把事物按一定要求和規(guī)律進行分類，它有廣泛的實際應用。在模糊數學產生之前，聚類分析已是是數理統(tǒng)計中研究“物以類聚”的一種多元分析方法，它通過數學工具定量地確定、劃分樣品的親疏關系，從而客觀地、合理地分型劃類。由于客觀事物之間在很多情況下并沒有一個截然區(qū)別的界限，又由于分類時所依據的數據指標的變化也大都是連續(xù)的，同時許多客觀事物之間的界限往往不一定很清晰，使傳統(tǒng)的基于數理統(tǒng)計原理的聚類分析方法遇到了困難。因此用模糊數學觀點解決聚類分析問題，必然會更符合于實際情況。這種基于建立模糊相似關系對客觀事物進行分類的方法，稱為模糊聚類分析。

11、 3 模糊聚類分析模糊聚類分析 3.1 模糊聚類分析理論模糊聚類分析理論：1) 2)3) 4)3.2 基于模糊等價關系的動態(tài)聚類分析基于模糊等價關系的動態(tài)聚類分析例題例題 此例題可以用截矩陣的方法來實現(xiàn)此例題可以用截矩陣的方法來實現(xiàn)3.3 基于模糊相似關系的聚類分析基于模糊相似關系的聚類分析 1）建立模糊相似矩陣）建立模糊相似矩陣2）傳遞閉包法）傳遞閉包法此外，還有直接聚類法、最大樹法、編網法等。此外，還有直接聚類法、最大樹法、編網法等。4 模糊模式識別模糊模式識別 模式識別的問題就是已知事物的各種類別，然后來判斷給定的對象是屬于哪一個類別的問題。這里的“模式”是指標準的樣本、式樣、樣品、圖形

12、等。在實際問題中，有些事物的類別，即模式是明確、清晰和肯定的。如識別英文字母時，其模式是印刷體英文字母這是清楚的，但也有很多事物的模式帶有不同程度的模糊性。例如，疾病的類型圖象等。對于被識別的對象則往往特征具有更大的模糊性。例如，手寫的英文字母，患者等我們很難說它們屬于那種標準類型。因此，應用模糊數學的方法進行模式識別顯得十分必要。 這里只介紹模糊模式識別中最主要的兩種方法，即直接方法和間接方法。 1）最大隸屬原則）最大隸屬原則 4.1 最大隸屬原則最大隸屬原則 2）最大隸屬原則）最大隸屬原則 4.2 擇近原則擇近原則5 模糊綜合評判模糊綜合評判5.1 模糊綜合評判的一般方法步驟模糊綜合評判的

13、一般方法步驟5.2 模糊綜合評判模型的改進模糊綜合評判模型的改進5.3 多級模糊綜合評判多級模糊綜合評判 在實際問題中，由于問題的復雜性，用上述的一級模糊在實際問題中，由于問題的復雜性，用上述的一級模糊綜合評判的方法得到評判結果可能還不夠準確。對于復雜的綜合評判的方法得到評判結果可能還不夠準確。對于復雜的問題，由于要考慮的因素較多，且各因素往往層次不同并具問題，由于要考慮的因素較多，且各因素往往層次不同并具有模糊性，采用一級模糊綜合評判，不能解決因素多層次的有模糊性，采用一級模糊綜合評判，不能解決因素多層次的綜合評判問題，此時要采用多級模糊綜合評判法。多級模糊綜合評判問題，此時要采用多級模糊綜合評判法。多級模糊綜合評判法的基本思想是：先把每一因素按程度分為若干等綜合評判法的基本思想是：先把每一因素按程度分為若干等級，每一因素及其各個等級都是等級論域上的模糊子集；然級，每一因素及其各個等級都是等級論域上的模糊子集；然后通過對一個因素的各個等級的綜合評判來實現(xiàn)一個因素的后通過對一個因素的各個等級的綜合評判來實現(xiàn)一個因素的單因素評判，從而處理了因素的模糊性；最后再按所有因素單因素評判，從而處理了因素的模糊性；最后再按所有因素進行綜合