數(shù)學(xué)建模-模糊數(shù)學(xué)理論

1、1 模糊數(shù)學(xué)的基本概念2 模糊關(guān)系與模糊矩陣 3 模糊聚類分析 模糊模式識(shí)別4 模糊綜合評(píng)判 模糊數(shù)學(xué)模糊數(shù)學(xué)1 模糊數(shù)學(xué)的基本概念模糊數(shù)學(xué)的基本概念 1.1 模糊數(shù)學(xué)概述模糊數(shù)學(xué)概述 模糊數(shù)學(xué)是研究和處理模糊性現(xiàn)象（或概念）的數(shù)學(xué)方法，而不是把數(shù)學(xué)變成模模糊糊的東西，它所要處理事物的概念本身是模糊的，即一個(gè)對(duì)象是否符合這個(gè)概念難以確定，我們稱這種不確定性為模糊性。 它與普遍性不同，普遍性是是指一種可用來(lái)表達(dá)整個(gè)明確定義的現(xiàn)象和活動(dòng)的特性。 它與隨機(jī)不確定性不同，隨機(jī)的不確定性也是概率的不確定性，其研究的事件本身有著明確的含義，只是由于發(fā)生的條件不充分，而使得在條件與事件之間不能出現(xiàn)決定的因果

2、關(guān)系，從而事件的出現(xiàn)與否表現(xiàn)出不確定性，這種不確定性稱為隨機(jī)性。例如“擲一個(gè)骰子時(shí)出現(xiàn)4點(diǎn)”是一個(gè)明確的事件，但擲骰子時(shí)并非只出現(xiàn)4點(diǎn)，我們說(shuō)出現(xiàn)4點(diǎn)的概率是1/6?；乜偰夸浕乇菊履夸?模糊數(shù)學(xué)所研究的不確定性是：它所處理事物的概念本身是模糊的，即一個(gè)對(duì)象是否符合這個(gè)概念難以確定，稱這種不確定性為模糊性。 如“青年人”、“老年人”、“漂亮的女生”、“黎明時(shí)刻”、“班上高個(gè)子學(xué)生”等。我們無(wú)法明確地指出，從幾點(diǎn)鐘開始就算黎明，或身高多少就是高個(gè)子。這種概念具有模糊性，無(wú)法用普通集合來(lái)描述。為了定量地表示這類模糊概念，并研究它們的客觀規(guī)律性，就必須把普通集合的概念加以拓廣，借助于模糊集合來(lái)研究。

3、論域：如果將所討論的對(duì)象限制在一定范圍內(nèi)，并記所討論的對(duì)象全體構(gòu)成的集合為U，稱之為論域。普通集合特征函數(shù)設(shè)U是論域，A是U的子集,定義如下映射為集合A的特征函數(shù) :（集合A可由特征函數(shù)唯一確定） 1.2 模糊集與隸屬函數(shù) 模糊集合隸屬函數(shù)1.2.1模糊集與隸屬函數(shù)的概念模糊集與隸屬函數(shù)的概念1）論域）論域U上的模糊集合上的模糊集合A指指：對(duì)于任意的uU,總是以某個(gè)程度 屬于A；即對(duì)于所研究的某個(gè)對(duì)象，我們不能確定它有或者沒(méi)有一個(gè)模糊概念所描述的性質(zhì)。而只能討論它具有這種性質(zhì)的程度是多少。用集合論的觀點(diǎn)說(shuō)，定義一個(gè)模糊集合，我們無(wú)法確定一個(gè)元素是否屬于這個(gè)模糊集合，而只能說(shuō)它有多大程度屬于這個(gè)

4、模糊集合。這種從屬程度我們用0，1之間的一個(gè)數(shù)來(lái)表示。這就是Zadeh的隸屬函數(shù)的想法。 2）隸屬函數(shù)）隸屬函數(shù)設(shè)在論域設(shè)在論域U上給定了一個(gè)映射，上給定了一個(gè)映射，則定義了則定義了U上的一個(gè)模糊子集上的一個(gè)模糊子集A，映射，映射 稱為模糊稱為模糊集集A的隸屬函數(shù)，的隸屬函數(shù)， 稱為稱為x對(duì)模糊集對(duì)模糊集A的隸屬的隸屬程度，也可表示為程度，也可表示為A(x)。3）模糊集的表示4）模糊集的運(yùn)算）模糊集的運(yùn)算 模糊集與普通集一樣，有相同的運(yùn)算和相應(yīng)的運(yùn)模糊集與普通集一樣，有相同的運(yùn)算和相應(yīng)的運(yùn)算規(guī)律。算規(guī)律。A與與B的并集、交集及的并集、交集及A的補(bǔ)集定義如下：的補(bǔ)集定義如下：1.2.2 隸屬函數(shù)

5、的確定方法隸屬函數(shù)的確定方法 模糊數(shù)學(xué)的基本思想是隸屬程度的思想，應(yīng)用模模糊數(shù)學(xué)的基本思想是隸屬程度的思想，應(yīng)用模糊數(shù)學(xué)方法建立數(shù)學(xué)模型的關(guān)鍵是建立符合實(shí)際糊數(shù)學(xué)方法建立數(shù)學(xué)模型的關(guān)鍵是建立符合實(shí)際的隸屬函數(shù)，下面介紹幾種常用的確定隸屬函數(shù)的隸屬函數(shù)，下面介紹幾種常用的確定隸屬函數(shù)的方法：的方法： 1）模糊統(tǒng)計(jì)方法）模糊統(tǒng)計(jì)方法 它可以算是一種比較客觀的方法，主要是基于它可以算是一種比較客觀的方法，主要是基于模糊統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，根據(jù)隸屬度的客觀存在模糊統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，根據(jù)隸屬度的客觀存在性來(lái)確定的。性來(lái)確定的。模糊統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)的四要素為：模糊統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)的四要素為：假設(shè)我們做假設(shè)我們做n次模糊統(tǒng)計(jì)

6、試驗(yàn)，則可算出次模糊統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)，則可算出當(dāng)當(dāng)n不斷增大時(shí)，其頻率的穩(wěn)定值稱為不斷增大時(shí)，其頻率的穩(wěn)定值稱為x0對(duì)對(duì)A的隸屬的隸屬度，即度，即2）指派方法）指派方法 指派方法是一種主觀的方法，它主要依據(jù)人們的實(shí)指派方法是一種主觀的方法，它主要依據(jù)人們的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)來(lái)確定某些模糊集隸屬函數(shù)的的一種方法。踐經(jīng)驗(yàn)來(lái)確定某些模糊集隸屬函數(shù)的的一種方法。 若模糊集定義在實(shí)數(shù)域若模糊集定義在實(shí)數(shù)域R上，則模糊集的隸屬函數(shù)上，則模糊集的隸屬函數(shù)稱為模糊分布；指派方法就是根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)主稱為模糊分布；指派方法就是根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)主觀地選用某些模糊分布，再根據(jù)實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)確觀地選用某些模糊分布，再根據(jù)實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)確定其中

7、的參數(shù)，常用的模糊分布見下表：定其中的參數(shù)，常用的模糊分布見下表： 偏小型：適合描述偏小型：適合描述“小小”“”“少少”“”“冷冷”“”“淺淺”“”“疏疏”“”“青年青年”等等 偏大型：適合描述偏大型：適合描述“大大”“”“多多”“”“熱熱”“”“深深”“”“密密”“”“老年老年”等等 中間型：適合描述中間型：適合描述“中中”“”“不太多不太多”“”“不太不太深深”“”“不太濃不太濃” “暖和暖和”“”“中年中年”等處于中間等處于中間狀態(tài)的模糊現(xiàn)象。狀態(tài)的模糊現(xiàn)象。常用的模糊分布常用的模糊分布3）借用已有的）借用已有的“客觀客觀”尺度尺度在經(jīng)濟(jì)管理、社會(huì)科學(xué)中可以直接借用已有的尺度在經(jīng)濟(jì)管理、

8、社會(huì)科學(xué)中可以直接借用已有的尺度作為模糊集的隸屬度，如在論域作為模糊集的隸屬度，如在論域U U上定義模糊集上定義模糊集A=“A=“設(shè)備完好設(shè)備完好”，可以，可以“設(shè)備完好率設(shè)備完好率”作為隸屬度作為隸屬度來(lái)表示來(lái)表示“設(shè)備完好設(shè)備完好”這個(gè)模糊集。在論域這個(gè)模糊集。在論域U(U(家庭家庭) )上定義模糊集上定義模糊集C=“C=“貧困家庭貧困家庭”可用恩格爾系數(shù)可用恩格爾系數(shù)=“=“食品消費(fèi)支出食品消費(fèi)支出”/“/“總消費(fèi)總消費(fèi)”作為隸屬度來(lái)表示作為隸屬度來(lái)表示家庭貧困程度。家庭貧困程度。 4 4）二元對(duì)比排序法）二元對(duì)比排序法 對(duì)于有些模糊集，很難直接給出隸屬度，但通過(guò)對(duì)于有些模糊集，很難直接

9、給出隸屬度，但通過(guò) 兩兩比較確定兩個(gè)元素相應(yīng)隸屬度的大小排出順序，兩兩比較確定兩個(gè)元素相應(yīng)隸屬度的大小排出順序， 再用數(shù)學(xué)方法加工得到隸屬函數(shù)，其實(shí)是隸屬函數(shù)的再用數(shù)學(xué)方法加工得到隸屬函數(shù)，其實(shí)是隸屬函數(shù)的一種離散表示法一種離散表示法 1）模糊關(guān)系2模糊關(guān)系與模糊矩陣模糊關(guān)系與模糊矩陣2.1 模糊關(guān)系與模糊矩陣的概念模糊關(guān)系與模糊矩陣的概念 2) 模糊矩陣模糊矩陣 2.2模糊等價(jià)關(guān)系與模糊相似關(guān)系模糊等價(jià)關(guān)系與模糊相似關(guān)系 1）模糊等價(jià)關(guān)系）模糊等價(jià)關(guān)系 2）模糊等價(jià)矩陣）模糊等價(jià)矩陣3）模糊相似關(guān)系與模糊相似矩陣）模糊相似關(guān)系與模糊相似矩陣2.3 截矩陣與傳遞矩陣截矩陣與傳遞矩陣1）截矩陣）

10、截矩陣2）模糊傳遞矩陣）模糊傳遞矩陣 所謂聚類分析，就是用數(shù)學(xué)的方法把事物按一定要求和規(guī)律進(jìn)行分類，它有廣泛的實(shí)際應(yīng)用。在模糊數(shù)學(xué)產(chǎn)生之前，聚類分析已是是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中研究“物以類聚”的一種多元分析方法，它通過(guò)數(shù)學(xué)工具定量地確定、劃分樣品的親疏關(guān)系，從而客觀地、合理地分型劃類。由于客觀事物之間在很多情況下并沒(méi)有一個(gè)截然區(qū)別的界限，又由于分類時(shí)所依據(jù)的數(shù)據(jù)指標(biāo)的變化也大都是連續(xù)的，同時(shí)許多客觀事物之間的界限往往不一定很清晰，使傳統(tǒng)的基于數(shù)理統(tǒng)計(jì)原理的聚類分析方法遇到了困難。因此用模糊數(shù)學(xué)觀點(diǎn)解決聚類分析問(wèn)題，必然會(huì)更符合于實(shí)際情況。這種基于建立模糊相似關(guān)系對(duì)客觀事物進(jìn)行分類的方法，稱為模糊聚類分析。

11、 3 模糊聚類分析模糊聚類分析 3.1 模糊聚類分析理論模糊聚類分析理論：1) 2)3) 4)3.2 基于模糊等價(jià)關(guān)系的動(dòng)態(tài)聚類分析基于模糊等價(jià)關(guān)系的動(dòng)態(tài)聚類分析例題例題 此例題可以用截矩陣的方法來(lái)實(shí)現(xiàn)此例題可以用截矩陣的方法來(lái)實(shí)現(xiàn)3.3 基于模糊相似關(guān)系的聚類分析基于模糊相似關(guān)系的聚類分析 1）建立模糊相似矩陣）建立模糊相似矩陣2）傳遞閉包法）傳遞閉包法此外，還有直接聚類法、最大樹法、編網(wǎng)法等。此外，還有直接聚類法、最大樹法、編網(wǎng)法等。4 模糊模式識(shí)別模糊模式識(shí)別 模式識(shí)別的問(wèn)題就是已知事物的各種類別，然后來(lái)判斷給定的對(duì)象是屬于哪一個(gè)類別的問(wèn)題。這里的“模式”是指標(biāo)準(zhǔn)的樣本、式樣、樣品、圖形

12、等。在實(shí)際問(wèn)題中，有些事物的類別，即模式是明確、清晰和肯定的。如識(shí)別英文字母時(shí)，其模式是印刷體英文字母這是清楚的，但也有很多事物的模式帶有不同程度的模糊性。例如，疾病的類型圖象等。對(duì)于被識(shí)別的對(duì)象則往往特征具有更大的模糊性。例如，手寫的英文字母，患者等我們很難說(shuō)它們屬于那種標(biāo)準(zhǔn)類型。因此，應(yīng)用模糊數(shù)學(xué)的方法進(jìn)行模式識(shí)別顯得十分必要。 這里只介紹模糊模式識(shí)別中最主要的兩種方法，即直接方法和間接方法。 1）最大隸屬原則）最大隸屬原則 4.1 最大隸屬原則最大隸屬原則 2）最大隸屬原則）最大隸屬原則 4.2 擇近原則擇近原則5 模糊綜合評(píng)判模糊綜合評(píng)判5.1 模糊綜合評(píng)判的一般方法步驟模糊綜合評(píng)判的

13、一般方法步驟5.2 模糊綜合評(píng)判模型的改進(jìn)模糊綜合評(píng)判模型的改進(jìn)5.3 多級(jí)模糊綜合評(píng)判多級(jí)模糊綜合評(píng)判 在實(shí)際問(wèn)題中，由于問(wèn)題的復(fù)雜性，用上述的一級(jí)模糊在實(shí)際問(wèn)題中，由于問(wèn)題的復(fù)雜性，用上述的一級(jí)模糊綜合評(píng)判的方法得到評(píng)判結(jié)果可能還不夠準(zhǔn)確。對(duì)于復(fù)雜的綜合評(píng)判的方法得到評(píng)判結(jié)果可能還不夠準(zhǔn)確。對(duì)于復(fù)雜的問(wèn)題，由于要考慮的因素較多，且各因素往往層次不同并具問(wèn)題，由于要考慮的因素較多，且各因素往往層次不同并具有模糊性，采用一級(jí)模糊綜合評(píng)判，不能解決因素多層次的有模糊性，采用一級(jí)模糊綜合評(píng)判，不能解決因素多層次的綜合評(píng)判問(wèn)題，此時(shí)要采用多級(jí)模糊綜合評(píng)判法。多級(jí)模糊綜合評(píng)判問(wèn)題，此時(shí)要采用多級(jí)模糊綜合評(píng)判法。多級(jí)模糊綜合評(píng)判法的基本思想是：先把每一因素按程度分為若干等綜合評(píng)判法的基本思想是：先把每一因素按程度分為若干等級(jí)，每一因素及其各個(gè)等級(jí)都是等級(jí)論域上的模糊子集；然級(jí)，每一因素及其各個(gè)等級(jí)都是等級(jí)論域上的模糊子集；然后通過(guò)對(duì)一個(gè)因素的各個(gè)等級(jí)的綜合評(píng)判來(lái)實(shí)現(xiàn)一個(gè)因素的后通過(guò)對(duì)一個(gè)因素的各個(gè)等級(jí)的綜合評(píng)判來(lái)實(shí)現(xiàn)一個(gè)因素的單因素評(píng)判，從而處理了因素的模糊性；最后再按所有因素單因素評(píng)判，從而處理了因素的模糊性；最后再按所有因素進(jìn)行綜合