點(diǎn)到平面的距離的計(jì)算

1、預(yù)備知識(shí)(1)正射影的定義：(如圖1所示)從平面外一點(diǎn)P向平面引垂線，垂足為P,則點(diǎn)P叫做點(diǎn)P在平面上的正射影，簡(jiǎn)稱為射影。同時(shí)把線段PP叫作點(diǎn)P與平面的垂線段。圖1點(diǎn)到平面距離定義：一點(diǎn)到它在一個(gè)平面上的正射影的距離叫作這點(diǎn)到這個(gè)平面的距離，也即點(diǎn)與平面間垂線段的長(zhǎng)度。(3)四面體的體積公式1V-Sh3其中V表示四面體體積，S、h分別表示四面體的一個(gè)底面的面積及該底面所對(duì)應(yīng)的高。(4)直線與平面垂直的判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則該直線與此平面垂直。(5)三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它和這條斜線也垂直。(6)二面角及二面角大

2、?。浩矫鎯?nèi)的一條直線l把平面分為兩部分，其中的每一部分都叫做半平面，從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形，叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個(gè)半平面叫做二面角的面。圖2所示為平面與平面所成的二面角，記作二面角l，其中l(wèi)為二面角的棱。如圖在棱l上任取一點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)。分別在平面及平面上作l的垂線OA、OB,則把平面角AOB叫作二面簡(jiǎn)便敘述，也把AOB稱作與平面所成的二面角1、定義法求點(diǎn)到平面距離(直接法)定義法求點(diǎn)到平面距離是根據(jù)點(diǎn)到平面的定義直接作出或者尋找出點(diǎn)與平面問(wèn)的垂線段，進(jìn)而根據(jù)平面幾何的知識(shí)計(jì)算垂線段長(zhǎng)度而求得點(diǎn)與平面距離的一種常用方法。定義法求點(diǎn)到平面距離的關(guān)鍵在于找出或作出垂線

3、段，而垂線段是由所給點(diǎn)及其在平面射影間線段，應(yīng)而這種方法往往在很多時(shí)候需要找出或作出點(diǎn)在平面的射影。以下幾條結(jié)論常常作為尋找射影點(diǎn)的依據(jù)：(1)兩平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于他們交線的直線垂直于另一個(gè)平面。(2)如果一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，那么這個(gè)點(diǎn)在該平面內(nèi)的射影在這個(gè)角的角平分線所在的直線上。(3)經(jīng)過(guò)一個(gè)角的頂點(diǎn)引這個(gè)角所在平面的斜線。設(shè)斜線和已知兩邊的夾角為銳角且相等，則這條斜線在這個(gè)平面的射影是這個(gè)角的角平分線。(4)若三棱錐的三條棱長(zhǎng)相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影是底面三角形的外心。例如圖4所示，所示的正方體ABCDABCD棱長(zhǎng)為a

4、,求點(diǎn)A到平面ABD的距離。2、轉(zhuǎn)化法求點(diǎn)到平面距離有時(shí)候限于幾何體的形狀，不易直接尋找出點(diǎn)在平面的射影，或者由直接法作出的射影線段在所給幾何體中不易計(jì)算其長(zhǎng)度，此時(shí)轉(zhuǎn)化法不失為一種有效的方法。轉(zhuǎn)化法即是將點(diǎn)到平面的距離轉(zhuǎn)化為另一點(diǎn)到平面間的距離的方法。轉(zhuǎn)化法依據(jù)主要有以下兩點(diǎn)：(1)若直線l/平面，則直線l上所有點(diǎn)到平面的距離均相等。若直線AB與平面交于點(diǎn)M,則點(diǎn)A、B到平面的距離之比為AM:BM。特別地，當(dāng)M為AB中點(diǎn)時(shí)，A、B到平面的距離相等。3、等體積法求點(diǎn)到平面距離用等體積法求點(diǎn)到平面的距離主要是一個(gè)轉(zhuǎn)換的思想，即要將所要求的垂線段置于一個(gè)四面體中，其中四面體的一個(gè)頂點(diǎn)為所給點(diǎn)，另外

5、三點(diǎn)位于所給點(diǎn)射影平面上，這里不妨將射影平面上的三點(diǎn)構(gòu)成的三角形稱為底面三角形。先用簡(jiǎn)單的方法求出四面體的體積，然后計(jì)算出底面三角形的面積，再根據(jù)四面體體積公式1V1Sh求出點(diǎn)到平面的距離ho在常規(guī)萬(wàn)法不能輕松獲得結(jié)果的情況下，如果能用到等體積法，則可以很大程度上提高解題效率，達(dá)到事半功倍的效果。特別是遇到四面體的有一條棱垂直于其所相對(duì)的底面時(shí)，首選此方法。下面用等體積法求解上面?zhèn)鸍子.4、利用二面角求點(diǎn)到平面距離角。下面考慮點(diǎn)B到平面的距離。作BHOA,垂足為H,下面證明BH平面QAOB為二面角l的一個(gè)平面角OAl、OBl又QOAIOBOl平面AOB又QBH平面AOBBHl又QBHOA,OAIl=O,OA平面，l平面BH平面在RtOBH中，有BHOBsin