異面直線所成的角求法-答案

1、異面直線所成的角的兩種求法時(shí)間：2021.02. 07命題人：歐陽物初學(xué)立幾的同學(xué)，遇到的第一個(gè)難點(diǎn)往往便是求異面直線所成 的角。難在何處?不會(huì)作！下面介紹兩種求法傳統(tǒng)求法找、作、證、求解。求異面直線所成的角，尖鍵是平移點(diǎn)的選擇及平移面的確 定。平移點(diǎn)的選擇：一般在其中一條直線上的特殊位置，但有時(shí) 選在空間適當(dāng)位置會(huì)更簡便。平移面的確定：一般是過兩異面直線中某一條直線的一個(gè)平 面，有時(shí)還要根據(jù)平面基本性質(zhì)將直觀圖中的部分平面進(jìn)行必要 的伸展，有時(shí)還用補(bǔ)形的辦法尋找平移面。例1設(shè)空間四邊形ABCD，E、F、G、H分別是AC、BC、DB、DA 的中點(diǎn)，若 AB = 12血，CD = 4 近，且四邊

2、形EFGH的面積為12，求AB和CD所成的角.解由三角形中位線的性質(zhì)知，HGllAB，HEIICD，/. zEHG 就是異面直線歐陽物創(chuàng)編AB和CD所成的角.£ EFGH是平行四邊形，HG二亍AB二6血，£HE= 2 . CD = 2,Sefgh = HG-HE-sinzEHG = 12 sinzEHG/. 12 sinzEHG = 12.V2 sinzEHG= 2 zS$zEHG = 45°.AB和CD所成的角為45。注：本例兩異面直線所成角在圖中已給，只需指出即可。例2點(diǎn)A是BCD所在平面外一點(diǎn)，AD=BC，E、F分別是AB、V2CD的中點(diǎn)，且EF= 2 AD

3、，求異面直線aEDBAD和BC所成的角。（如圖） 解：設(shè)G是AC中點(diǎn)，連接DG、FG 因D、F分別是AB、CD中點(diǎn)，故£EGIIBC 且 EG=2BC，F(xiàn)GllAD，且FG=2AD -由異面直線所成角定義可知EG與FG所成銳角或直 角為異面直線AD、BC所成角，即zEGF為所求。由BC=AD知£EG=GF=2AD，又EF=AD .由余弦定理可得coszEGF=0，即 zEGF=90°。歐陽物創(chuàng)編2021.02.07注：本題的平移點(diǎn)是AC中點(diǎn)G，按定義過G分別作出了兩 條異面直線的平行線，然后在AEFG中求角。通常在出現(xiàn)線段中 點(diǎn)時(shí)，常取另一線段中點(diǎn)，以構(gòu)成中位線，

4、既可用平行尖系，又 可用線段的倍半尖系。A例3已知空間四邊形ABCD中， AB=BC=CD=DA=DB=ACZM、N 分另I為BC、AD的中點(diǎn)。求：AM與CN所成的角 的余弦值；解：（1）連接DM,過N作NEllA M交DM于E，貝IJzCNE 為AM與CN所成的角。vN 為AD的中點(diǎn)，NEllAM省 .-.NE=2AM且E為MD的中點(diǎn)。丄 逅 逅 設(shè)正四面體的棱長為1 貝INC=亍T = T且J_V32_7_ME 二亍 MD=Z在 RfMEC 中，CE2=ME2+CM2=i6= 16X'/zCNEc£ 2 （0,）.異面直線AM與CN所成角的余弦值為亍.注：1、本題的平移點(diǎn)

5、是N，按定義作出了異面直線中一條的平行線，然后先在CEN外計(jì)算CE、CN、EN長，再回到CEN中求角。2、作出的角可能是異面直線所成的角，也可能是它的 鄰補(bǔ)角，在直觀圖中無法判定，只有通過解三角形后，根據(jù)這個(gè) 角的余弦的正、負(fù)值來判定這個(gè)角是銳角（也就是異面直線所成 的角）或鈍角（異面直線所成的角的鄰補(bǔ)角）。最后作答時(shí)，這 個(gè)角的余弦值必須為正。例4如圖所示在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AF BEBC、AD 上的點(diǎn)，已知 AB二4，CD=20，EF=7，fd = ec=。求異面直線AB與CD所成的角。DBG _ 1 解：在BD上取一點(diǎn)G，使得而二，連結(jié)EG、FGBE _ BG在ABCD

6、中， ECGD，EG BE _EG/CD 并且 CD=C=4 ,FG _DF _3 所以，EG = 5 ;類似地，可證FG/AB，且喬=而蔦故FG = 3，在4EFG中，利用余弦定理可得EG2 +GF2-EF2 _ 32 +52 -72 _1coszFGE= 2-eg gf = 2 3.5 =_2 ,故zFGE=120°。另一方面，由前所得EG/CD FG/AB，所以EG與FG所 成的銳角等于AB與CD所成的角，于是AB與CD所成的角等 于 60°。2021.02.07歐陽物創(chuàng)編例5在長方體ABCDAiBiCiDi 中 AAi=c AB=a，AD=b，且 a > b

7、求ACi與BD所成的角的余弦解一：連 AC，設(shè) ACQBD=O，則O為AC中點(diǎn)，取C1C的中點(diǎn)F，連OF，則OFIIAC1且OF=2AC1，所以zFOB即為AC1與DB所成的角。在FOBI-yla2 +b2-ylu2 +b2 +c2- (Z?2 +-C2中，0B=2« OF=2，BE=2Y 4 ，由余弦定理得-(«2 +b2) + -(a2 +Z?2 +c2)-(/?2 +-c2)4442 _bicoszFOB=2 冷麗m*=血+；)(/+卄嚴(yán)解二：取ACi中點(diǎn)Oi，BiB中點(diǎn)G在CiOiG中，z C1O1G即AC1與DB所成的角。解三：延長CD到E，使ED=DC則ABDE

8、為平行四邊 形AEIIBD 所以zEACi即為AC】與BD所成的角連ECi， 在 aAECI中，AEH , AC1二毎+宀疋,C1E二如+疋由余弦定理， 得(a2 +b2) + (a2 +/?2 +c2)-(4«2 +c2) 慶 COSZEACi=2, J/ +b' y/a +b2 +c2= J(" +/”)(/ + A +c< Q所以zEACi為鈍角歐陽物創(chuàng)編2021.02.07歐陽物創(chuàng)編2021.02.07根據(jù)異面直線所成角的定義，AC1與BD所成的角的余弦為yl(a2 +b2)(a2 +h2 +c2)ahf f 7 a-b cos<a,b >

9、=)，可以求空間兩二利用兩個(gè)向量的夾角公式( 條直線所成的角。例6如圖，在正方體ABCDA1B1C1D中，E、F 分別是BBi、CD的中點(diǎn)求AE與DiF所成的)角 解:取AB中點(diǎn)G連結(jié)AGFG.因?yàn)镕是CD的中點(diǎn)，所以GF、A彷 平行且相等， 又AiDi、AD平行且相等，所以GF、 AiDi平行且相等， 故GFDiAi是平行四邊形AGllDiF. A 設(shè)AiG與AE相交于點(diǎn)H, 貝IJzAHAi是AE與DiF所成的角，因?yàn)镋是BBi的中點(diǎn),所 以 RfAiAG雲(yún)RfABE, zGAiA=zGAH ，從 而zAHAi=90°z即直線AE與DiF所成角為直角.下邊看利用向量的有尖知識解答

10、該題：i(2O2) f 1，0 )、ECiB.EcB證明：如右圖建立空間直角坐標(biāo)系：Dxyz ° 設(shè)正方體的棱長為2，則有A(2，0，0 )、a D(0,0,0)、Di(0,0,2)、F(0，z (22 1) _ (I ) 5= ( 0，2，1 M = ( 01 -2 ).平 M 二(0,2，l)(0，l，.-.AEiDiFAE與DiF所成的角為90° 即直線AE與DiF所成角為直角.由上述的解答，可以看到傳統(tǒng)方法解決立體幾何問題，過 程、圖形都比較復(fù)雜，而用向量解答目標(biāo)明確，在未計(jì)算之前， 就已經(jīng)知道結(jié)果了，證明的過程只是計(jì)算驗(yàn)證，通過空間直角坐 標(biāo)系，把復(fù)雜的幾何證明轉(zhuǎn)

11、化為簡單的代數(shù)計(jì)算，學(xué)生對于代數(shù) 運(yùn)算較熟悉，避免了傳統(tǒng)方法造成邏輯推理上的不便和由于輔助 線的添加造成圖形的復(fù)雜化等問題，相比傳統(tǒng)方法更容易接受和 掌握。因此，空間向量是處理立體幾何問題的強(qiáng)有力工具。例7已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，ABllDC，ZDAB = 90。,PA丄底面ABCD，且 PA=AD=DC=2AB = 1，M 是PB的中點(diǎn)。求AC與PB所成的角；解：因?yàn)镻A丄PD，PA丄AB，AD丄AB，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)AD 長為單位長度，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為 A(0,0,0)B(0,2,0) ，C(l，l，0) ，D(l，0,1)0) P(O'O'l)，M(0l，2l因 AC = (1,1,0),= (0,2-1),用傳統(tǒng)方法解決兩異面直線所成的角問題，通常都必須 添加輔助線，并且要經(jīng)過各種手段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，它具有較大的靈活 性，學(xué)生掌握起來比較困難?？臻g向量的引入，給傳統(tǒng)的立體幾 何內(nèi)容注入了新的活力，向量是既有大小又有方向的量，既具有 圖形的直觀性，又有代數(shù)推理的嚴(yán)密性，是數(shù)形結(jié)合的一個(gè)很