數(shù)學建模——生產(chǎn)計劃問題

1、數(shù)學建模作業(yè)生產(chǎn)計劃問題班級班級數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學一班數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學一班姓名姓名高尚高尚學號學號13071040106130710401061生產(chǎn)計劃問題摘要本文通過對每個季度各種產(chǎn)品產(chǎn)量、需求量和存儲量之間關(guān)系的分析，建立了基于Lingo的生產(chǎn)決策模型，解決了生產(chǎn)計劃問題，并提出合理的生產(chǎn)方案得到了總賠償和存儲費用的最優(yōu)解。針對該問題， 采用線性規(guī)劃的方法， 首先確定ijx為第j季度產(chǎn)品i的產(chǎn)量，ijd為第j季度產(chǎn)品i的需求量，ijs為第j季度末產(chǎn)品i的庫存量，用 0-1 規(guī)劃來限制上述變量， 然后確定這些變量所具有的約束條件， 最后列出目標函數(shù)與約束條件，利用Lingo軟件（見附錄）求解出總的

2、賠償和庫存費用的最小值為 5900.70 元。模型思路清晰，考慮周全，可以針對同類問題進行建模，具有一定的應(yīng)用性和推廣性。關(guān)鍵詞：Lingo、0-1 規(guī)劃、生產(chǎn)決策、線性規(guī)劃2一、問題重述對某廠 I、II、III 三種產(chǎn)品下一年各季度的合同預(yù)訂數(shù)如表 1 所示。表 1產(chǎn)品季度1234I1500100020001200II1500150012001500III1000200015002500該三種產(chǎn)品 1 季度初無庫存，要求在 4 季度末各庫存 150 件。已知該廠每季度生產(chǎn)工時為 15000.8 小時，生產(chǎn) I、II、III 產(chǎn)品每件分別需要 2.1、4.3、2.7小時。 因更換工藝裝備， 產(chǎn)

3、品 I 在 2 季度無法生產(chǎn)。 規(guī)定當產(chǎn)品不能按期交貨時，產(chǎn)品 I、II 每件每遲交一個季度賠償 20.5 元，產(chǎn)品 III 賠 10.8 元；又生產(chǎn)出來產(chǎn)品不在本季度交貨的，每件每季度的庫存費用為 5.1 元。問該廠應(yīng)如何安排生產(chǎn)，使總的賠償加庫存的費用為最小。二、問題分析該問題的目標是使一年內(nèi)總的賠償加庫存費用最小，需要重新建立生產(chǎn)計劃，每種產(chǎn)品在每個季度的產(chǎn)量、貯存量、需求量都對最終決策起到了限制,因此需要對變量進行 0-1 規(guī)劃，建立目標函數(shù)與約束條件，在此基礎(chǔ)上實現(xiàn)總的賠償加庫存的費用最小的目的。三、模型假設(shè)1.產(chǎn)量、貯存量、需求量不受外界因素影響；2.產(chǎn)品的生產(chǎn)時間互不影響；3.變

4、量間沒有相互影響。四、變量說明變量含義z總賠償和庫存費用4 , 3 , 2 , 1, 3 , 2 , 1,jixij第j季度產(chǎn)品i的產(chǎn)量,34, 2 , 1, 3 , 2 , 1,jidij第j季度產(chǎn)品i的需求量4 , 3 , 2 , 1, 3 , 2 , 1,jisij第j季度末產(chǎn)品i的庫存量3五、模型的建立與求解根據(jù)題中所給條件分析可得：決策目標:總的賠償費用為每個季度各產(chǎn)品費用的總和，總的庫存費用為每個季度各產(chǎn)品的總庫存量與費用之積，總的賠償加庫存的費用最小為目標，即：3131313211 . 58 .105 .205 .20minjijijjjjsdddz約束條件一：每個季度總工時是有

5、限的，第j季度生產(chǎn)所有產(chǎn)品所耗總工時不能超過每季度生產(chǎn)工時，即：8 .150007 . 33 . 41 . 2321jjjxxx約束條件二：產(chǎn)品 I 在第二季度無法生產(chǎn)，產(chǎn)量為 0，即：012x約束條件三：每種產(chǎn)品在第四季度給庫存 150 件，四個季度的總產(chǎn)量與第四季度庫存量總和為該種產(chǎn)品一年的總需求量，即：1504141jjijijdx約束條件四：第i季度的庫存量就是本季度生產(chǎn)量與上個季度庫存量之和在除去需求量，即：11jjikijijikkkxdsd約束條件五： 每個季度每種產(chǎn)品的產(chǎn)品量不可能為負數(shù)， 并且也只能為整數(shù)，即：4 , 3 , 2 , 1, 3 , 2 , 1, 0jixij且

6、為整數(shù)，線性規(guī)劃的目標函數(shù)與約束條件方程為：33312311112312441111min (20.520.510.8)5.12.14.33.715000.80.15001,2,3,1,2,3,4jjjijjijjjjijijjjjjikijijikkkijzdddsxxxxstxdxdsdxij且為整數(shù)，4利用Lingo得出總的賠償加庫存的費用最小為 5900.70 元。六、模型結(jié)果的分析與檢驗6.1 結(jié)果分析根據(jù)模型的計算式子，利用軟件求解得出了總的賠償和庫存費用，在不考慮其它風險的情況下，限定的工時內(nèi)，通過對每種產(chǎn)品安排不同的工時，求得了最少的賠償以及庫存費用，但是利潤不一定是最高的。6

7、.2 結(jié)果檢驗當改變不同產(chǎn)品的總工時時，賠償和庫存費用便會增高。七、模型的推廣與改進方向7.1 模型的推廣本模型適用于以 0-1 規(guī)劃為基礎(chǔ)的線性規(guī)劃的問題， 考慮不同變量間的相互影響，為工廠或企業(yè)提供生產(chǎn)計劃的最優(yōu)解。7.2 模型的改進當約束條件增加時，模型求得的結(jié)果會更精確、八、模型的優(yōu)缺點8.1 優(yōu)點模型思路清晰，求解相對簡單，可以針對同類問題進行建模，具有比較大的應(yīng)用性和實際性。8.2 缺點當變量之間有相互影響時，該模型就不適用。九、參考文獻1 姜啟源. 數(shù)學模型（第四版）M. 北京：高等教育出版社，1999.:85-100.2 韓中庚. 數(shù)學建模方法及其應(yīng)用（第二版）M. 北京：高等

8、教育出版社，2009.3 陳國華. 數(shù)學模型與數(shù)學建模方法M.天津：南開大學出版社，2012.:53-62.5十、附錄附錄一：Lingo 代碼model:sets:season/1.4/:;product/1.3/:r,a;!a是生產(chǎn)用時,r賠償;link(season,product):x,p,s;!p銷量,s是余量;endsetsmin=sum(season(i):sum(product(j):if(s(i,j) #ge# 0, 5.1*s(i,j), -r(j)*s(i,j);for(season(i):sum(product(j):a(j)*x(i,j)=15000.8);x21=0;

9、for(product(j):s(4,j)=150);for(link(i,j):s(i,j)=if(i #eq# 1,x(i,j)-p(i,j),x(i,j)-p(i,j)+s(i-1,j);for(link(i,j):free(s);gin(x);data:p=1500 1500 10001000 1500 20002000 1200 15001200 1500 2500;r=20.5 20.5 10.8;a=2.1 4.3 2.7;enddataend附錄二：運行結(jié)果Local optimal solution found.Objective value:5900.700Objectiv

10、e bound:5900.700Infeasibilities:0.000000Extended solver steps:0Total solver iterations:203VariableValueX210.000000R( 1)20.50000R( 2)20.50000R( 3)10.80000A( 1)2.100000A( 2)4.3000006A( 3)2.700000X( 1, 1)1606.000X( 1, 2)1500.000X( 1, 3)1000.000X( 2, 1)894.0000X( 2, 2)1615.000X( 2, 3)2001.000X( 3, 1)200

11、0.000X( 3, 2)1570.000X( 3, 3)1499.000X( 4, 1)1350.000X( 4, 2)1165.000X( 4, 3)2650.000P( 1, 1)1500.000P( 1, 2)1500.000P( 1, 3)1000.000P( 2, 1)1000.000P( 2, 2)1500.000P( 2, 3)2000.000P( 3, 1)2000.000P( 3, 2)1200.000P( 3, 3)1500.000P( 4, 1)1200.000P( 4, 2)1500.000P( 4, 3)2500.000S( 1, 1)106.0000S( 1, 2)0.000000S( 1, 3)0.000000S( 2, 1)0.000000S( 2, 2)115.0000S( 2, 3)1.000000S( 3, 1)0.000000S( 3, 2)485.0000S( 3, 3)0.000000S( 4, 1)150.0000S( 4, 2)150.0000S( 4, 3)150.0000RowSlack or Surplus15900.70022478.200