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矩陣在線性方程組求解的應(yīng)用一、利用克拉默法則1.克拉默法則 若含有n個變量和n個方程的線性方程組的系數(shù)行列式D不為零,則該方程組有且僅有惟一解xj=Dj/D,j=1,2,.,n.局限性: (1)Crammer法則只能用于求解方程個數(shù)與未知數(shù)個數(shù)相等的線性方程組;(2)Crammer法則只能求得系數(shù)行列式不為零時的線性方程組的唯一解; 即如果方程個數(shù)與未知數(shù)個數(shù)不相等,或系數(shù)行列式等于零,則Crammer法則失效。(3) 計算量大,要計算 n+1 個 n 階行列式的值。2. 改進(jìn):當(dāng)系數(shù)矩陣A行列式不為零時,逆矩陣存在,此時X=A-1.b2、 Gauss消元法一般的n元線性方程組 (或?qū)懗删仃囆问紸X=B)解法是首先將其增廣矩陣通過初等行變換化為階梯形矩陣,這樣方程組就等價于一個階梯形的方程組,然后再把不處于每行中第一個非零系數(shù)的變元xj挪到方程的右邊,令它們?yōu)槿我鈪?shù),則方程組就可以解出了定理.設(shè)A與分別是n元線性方程組系數(shù)矩陣與增廣矩陣若秩,則方程組無解;若秩,則方程組有解當(dāng)時,方程組有惟一解;當(dāng)時,有無窮多個解,且通解一定含nr個任意常數(shù)1 / 3在Mathcad中求解,我們首先利用上述定理判斷是否有解,有解時調(diào)用rref函數(shù),計算出rref(),所得結(jié)果最右面的列就是該方程組的解說明: rref(M) 返回對矩陣M的行施行初等變換后化簡的矩陣
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