測度與可測函數(shù)-文檔資料

1、機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第1頁 第一章第一章 實變函數(shù)初步實變函數(shù)初步機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第2頁 第一節(jié)第一節(jié) 直線上點集的勒貝格測度與可測函數(shù)直線上點集的勒貝格測度與可測函數(shù)勒貝格測度與勒貝格可測集勒貝格測度與勒貝格可測集可測函數(shù)可測函數(shù)測度：歐氏空間中長度、面積和體積概念的推廣測度：歐氏空間中長度、面積和體積概念的推廣可測函數(shù)列的極限問題可測函數(shù)列的極限問題機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第3頁 一、點集的勒貝格測度與可測集一、點集的勒貝格測度與可測集1. 幾個特殊點集的測度幾個特殊點集的測度設設E為直線為直線R上的有限區(qū)間上的有限區(qū)間a,b(或或(a,b)

2、或或a,b)或或(a,b), 則其測度定義為：則其測度定義為：m(E)=m(a,b)=b-a.(2) 設設E為平面上有界閉區(qū)域為平面上有界閉區(qū)域D, 則其測度定義為則其測度定義為: m(E)=SD(4) 若若E = ，則定義，則定義m(E)=m( )= 0(3) 設設E為空間上有界閉區(qū)域為空間上有界閉區(qū)域 , 則其測度定義為則其測度定義為:m(E)=V (6) 若若E為一隨機事件，則為一隨機事件，則定義定義m(E)=P(E) (古典概率）古典概率）(5) 若若E=x是單點集是單點集，則定義，則定義m(E)=0機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第4頁2. .直線上非空直線上非空有界開集有界開集

3、與與有界閉集有界閉集的測度的測度定義定義1 設設E R非空點集，非空點集，a R.(1) 設設 0, 稱開區(qū)間稱開區(qū)間(a , a + )=O(a, )為為a 的的 鄰域鄰域。直線上包含直線上包含a的任一開區(qū)間的任一開區(qū)間( , )均可稱為點均可稱為點a的的鄰域鄰域(2) 設設a E, 若存在若存在a的一個鄰域的一個鄰域(, ),使得使得( , ) E，則稱，則稱a是是E的的內(nèi)點內(nèi)點；定義定義2 設設E R非空點集非空點集. 如果如果E中的所有點都是內(nèi)點，則稱中的所有點都是內(nèi)點，則稱E是是開集開集；定義定義3 設設G是直線是直線R上的一個有界開集。如果開區(qū)間上的一個有界開集。如果開區(qū)間( ,

4、) 滿足條件滿足條件: 1) ( , ) G 2) G, G則稱則稱( , )為開集為開集G 的一個的一個構(gòu)成區(qū)間構(gòu)成區(qū)間機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第5頁定義定義4 設設G為直線為直線R上的有界開集上的有界開集(即即 (a,b) G), (ai,bi)(i I)為為G的構(gòu)成區(qū)間，的構(gòu)成區(qū)間，則定義則定義 m(G)= (biai) (0m(G)0, x0 則稱則稱 為為A的的上確界上確界, 記作：記作：Asup（2）如果存在一個實數(shù)）如果存在一個實數(shù) ，滿足：，滿足： 1） x A ，有，有x ； （2） 0, x0 + ,則稱則稱 為為A的的下確界下確界, 記作：記作：Ainf如果如

5、果a為數(shù)集為數(shù)集A的上（下）確界，則存在數(shù)列的上（下）確界，則存在數(shù)列xn A, 使得使得 axnn lim定理定理2（確界存在公理）任何有上（下）界的數(shù)集必有上（下）確界確界存在公理）任何有上（下）界的數(shù)集必有上（下）確界。 3.直線上直線上一般有界點集一般有界點集的勒貝格（的勒貝格（Lebesgue)測度測度機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第7頁3.直線上直線上一般有界點集一般有界點集的勒貝格（的勒貝格（Lebesgue)測度測度定義定義7 設設E R為任一有界集為任一有界集.稱一切包含稱一切包含E的有界開集的測度的下確界為的有界開集的測度的下確界為E的的L外測度外測度，記為，記為m*

6、(E), 即即m*(E)=inf m(G)| G為有界開集為有界開集, E G (2) 稱一切包含于稱一切包含于E的有界集的測度的上確界為的有界集的測度的上確界為E的的L內(nèi)測度內(nèi)測度，記為，記為m (E), 即即m (E)= supm(F)| F為有界閉集為有界閉集, F E(3) 如果如果m (E)=m (E), 則稱則稱E的內(nèi)測度與外測度的共同值為的內(nèi)測度與外測度的共同值為E的的L測度測度，記為，記為m(E), 即即這時這時, 也稱也稱E是是勒貝格可測集勒貝格可測集(簡稱簡稱L可測集可測集) m(E)=m*(E)=m (E)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第8頁注注:1)對于有界開集對

7、于有界開集G, 有有m(G)=m*(G)2)對于有界閉集對于有界閉集F, 有有m(F)=m (F)3)對于任一非空有界集對于任一非空有界集E, 有有m (E) m*(E) (根據(jù)定義根據(jù)定義)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第9頁定理定理3 設設X=(a,b)是基本集是基本集(有界有界), E, Ei X (i=1,2,)均為有界可測集均為有界可測集, 則有則有EC=X-E、E1 E2、E1 E2、E1-E2、 Ei、 Ei均可測，且均可測，且1) m(E) 0, 且且E= 時時, m(E)=0 (非負性非負性) 3) m(E1 E2) m(E1)+m(E2) (次可加性次可加性) 若若E

8、1 E2, 則則 m(E1) m(E2) (單調(diào)性單調(diào)性) m(E2E1)=m(E2)-m(E1) 4.測集的性質(zhì)測集的性質(zhì)4) 若若E1 E2= , 則則m(E1 E2)=m(E1)+m(E2) (有限可加性有限可加性) 5) 若若Ei Ej= (i j, i,j=1,2,), 則則m( Ei)= m(Ei)(可列可加性可列可加性)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第10頁1) 若若E1 E2 Ek , 則則E= Ek可測可測, m(E)=lim m(Ek)定理定理4 設設X=(a,b)是基本集是基本集, Ek是是X上的可測集列。上的可測集列。2) 若若E1 E2 Ek , 則則E= Ek

9、可測可測, m(E)=lim m(Ek)定理定理5 設設E R有界有界, 則則E 可測可測存在開集存在開集G和閉集和閉集F,使使 F E G, 且且m(G-F)0, 開集開集G和閉集和閉集F,使使F E G, 且且m(G-F)0, 開集開集G E 和閉集和閉集F E,使使)()()(FmGmFGm)()()(FGmFmGmm(F) m (E) m (E) m(G) m (E)-m (E)m(G)-m(F)0, 有界集有界集(-x, x) E可測可測, 則稱則稱E是可測的是可測的. 并記并記),(lim)(ExxmEmx注注:1)無界點集的測度可能是有限值無界點集的測度可能是有限值, 也可能是無

10、窮大也可能是無窮大. 例如例如, 有理數(shù)集有理數(shù)集Q是無界的零測集是無界的零測集, E=(0,+ )是測度為是測度為+ 的可測集的可測集.2)對于無界集對于無界集, 上述定理上述定理3的結(jié)論也成立的結(jié)論也成立.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第13頁2）L可測集類與波賴爾可測集類與波賴爾(Borel)集集定義定義5 (1) R中所有中所有L可測集構(gòu)成的集合稱為可測集構(gòu)成的集合稱為L可測集類可測集類.(2) 對對R中的開集和并集進行至多可列次的交、并、差運算所得到的中的開集和并集進行至多可列次的交、并、差運算所得到的集合稱為集合稱為波賴爾波賴爾(Borel)集集. 所有所有波賴爾波賴爾(Bo

11、rel)集都是集都是L可測集可測集.注：注：大多數(shù)集合都是大多數(shù)集合都是L可測集，但可測集，但L不可測集確實存在不可測集確實存在.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第14頁 二、點集上的勒貝格可測函數(shù)二、點集上的勒貝格可測函數(shù)1.可測函數(shù)的定義可測函數(shù)的定義定義定義6 設設E R為任一可測集（有界或無為任一可測集（有界或無界）界）, f(x)為定義在為定義在E上的實值函數(shù)上的實值函數(shù).若若 R, E的子集的子集 E(f )=x|f(x) , x E都是都是L有限可測集有限可測集, 則稱則稱f (x)是是E上的上的L可測函數(shù)可測函數(shù) E(f )=x1,x2 x3,bE(f )=x4,x5xof

12、 (x)abx1x2x3x4x5機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第15頁2. 函數(shù)可測的充分必要條件函數(shù)可測的充分必要條件定理定理4 f(x)在可測集在可測集E上的可測函數(shù)，即上的可測函數(shù)，即E(f )可測可測, R, E(f )=x|f(x) , x E可測可測 R, E(f= )=x|f(x)= , x E可測可測R, E(f )=x|f(x) )=x|f(x) , x E可測可測 證證:(1) E(f )=E(f)-E(f)可測可測 E(f)= E(f )(4) E(f )= f )= E(f+1/n), E(f)= E(f 1/n)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第16頁例例5

13、 定義在定義在R上連續(xù)函數(shù)都是上連續(xù)函數(shù)都是L可測函數(shù)可測函數(shù). f(x)連續(xù)連續(xù)x0 E(f ) R, f(x)f(x0) (xx0)O(x0, ), 使使 x O(x0, ), 有有f(x) ，即，即x E(f ) (極限保號性）極限保號性）證：證： x0 E(f )f(x0) (只要證明只要證明R, 集集E(f )是開集是開集, 則它一定是可測集則它一定是可測集)f(x)是可測函數(shù)是可測函數(shù)O(x0, ) E(f )x0 是是E(f )的內(nèi)點，的內(nèi)點， E(f )是開集是開集E(f )是可測集是可測集機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第17頁例例6 區(qū)間區(qū)間0,1上的狄里克來函數(shù)上的狄

14、里克來函數(shù)D(x)是是L可測函數(shù)可測函數(shù).證證:D(x)=1, x為為0,1中的有理數(shù)中的有理數(shù)0, x為為0,1中的無理數(shù)中的無理數(shù)當當 1時時, E(D )= 是可測集是可測集, 當當0時時, E(D )=0,1是可測集是可測集. 因此因此, D(x)是是L可測函數(shù)可測函數(shù)當當0 )=x| x為為0,1中的有理數(shù)中的有理數(shù)是可測集是可測集, 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第18頁例例7 定義在零測集定義在零測集E上的任何函數(shù)上的任何函數(shù)f(x)都是都是L可測函數(shù)可測函數(shù).證證: R, E(f )=x|f(x) , x E E f(x)是可測函數(shù)是可測函數(shù)m(E(f )=0m(E(f

15、) m(E)=0E(f )也是零測集也是零測集機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第19頁例例8 集集E的特征的特征函數(shù)函數(shù) E(x)是是R上的可測函數(shù)上的可測函數(shù).證證: E(x)=1, x E0, x E定理定理6 f(x)、g(x)是是E上的上的可測函數(shù)可測函數(shù) kf(x)、f(x)g(x)、f(x)g(x)、f(x)/g(x)(g(x) 0)、及及f(x)都都E上的可測函數(shù)上的可測函數(shù)當當 1時時, E( E)= 是可測集是可測集, 當當0時時, E( E)=R是可測集是可測集當當00, x E, N=N( ), 當當nN時時, 有有 fn(x)-f(x) 0, x E, N=N(x,

16、 ),當當nN時時, 有有 fn(x)-f(x) N時時, 曲曲線列線列fn(x)的圖形都在曲線的圖形都在曲線 f(x)的的 帶形鄰域內(nèi)帶形鄰域內(nèi).f(x)fn(x)oxyab fn(x) f(x) (n)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第22頁fn(x)=xnoxyx11x2n=1n=2n=10n=20 x (0,1)時時, fn(x)=xn0 (n)fn(x)=xn 0 (n)xNnxnlnln0N既與既與 有關有關,又與又與x有關有關,要使曲線要使曲線fn(x)=xn上的對應點落到極限函數(shù)上的對應點落到極限函數(shù)f(x)=0的的 帶形鄰域內(nèi)帶形鄰域內(nèi),在在x1處處,只要只要 n 2即可

17、即可,而在而在x2處處,則要則要n 10才行才行3) fn(x)一致收斂于一致收斂于f(x)fn(x)一處處斂于一處處斂于f(x), 反之不然。例如反之不然。例如機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第23頁在點集在點集E上上, 函數(shù)列函數(shù)列fn(x)一致收斂于一致收斂于f(x)例例 證明函數(shù)列證明函數(shù)列在在E=0.1上一致收斂于上一致收斂于0.,.2 , 1,1)(22 nxnxxfn證證: 2121210)(022Nnnnxxxnxxfn定理定理6 (柯西定理柯西定理) x E, fn(x)是基本列是基本列 。0, x E, N=N( ), 當當m, nN時時, 有有 fm(x)-fn(x)

18、 0, lim m(Ex fn(x)-f(x)=0fn(x)在集在集E上上依測度收斂依測度收斂于于f(x)0, 0, N, 當當nN時時, 有有m(E( fn(x)-f(x)0, 可測可測子集子集E E, 使使m(E-E ) , 且且fn(x)在在E 上一致收斂于上一致收斂于f(x), 則稱則稱fn(x)在在E上上近一致近一致收斂收斂于于f(x) .m記作記作 fn(x)f(x) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第28頁定理定理10 設設fn(x)是可測集是可測集E上的幾乎處處有限的可測函數(shù)列上的幾乎處處有限的可測函數(shù)列, f(x)是定義在是定義在E上的上的幾乎處處有限的可測函數(shù)幾乎處處有限的可測函數(shù), 且且lim fn(x)=f(x) (a.e.), 則則定理定理11 (Riesz定理定理) 設設m(E) , 則則 fn(x)在在E上依測度收斂于上依測度收斂于f(x) 子列子列fnk(x) fn(x), 使使fnk(x)f(x) (a