培養(yǎng)學(xué)生用整體思想解題

1、培養(yǎng)學(xué)生用整體思想方法解題陳和平關(guān)鍵詞 整體思想 培養(yǎng) 途徑 方法 作用 內(nèi) 容 提 要 一、整體思想的培養(yǎng)利于發(fā)散思維的養(yǎng)成二、教師在知識(shí)傳授中有意識(shí)的整體思想的滲透三、觀察能力的培養(yǎng)是整體思想養(yǎng)成的有效途徑 四、舉辦專題講座 ， 強(qiáng)化用整體思想解題的意識(shí)培養(yǎng)學(xué)生用整體思想方法解題整體思想是最基本、最常用的數(shù)學(xué)思想。整體思想是一種著眼于問題的整體結(jié)構(gòu)，去觀察、認(rèn)識(shí)問題、去解決問題的一種思維方法。既善于用整體的眼光，把某些式子或圖形看成一個(gè)整體，把握它們之間的聯(lián)系，進(jìn)行有目的、有意識(shí)的整體處理。在加強(qiáng)對(duì)局部的研究與分析的基礎(chǔ)上，從整體上把握問題。運(yùn)用整體思想可以深刻理解數(shù)學(xué)知識(shí)之間聯(lián)系,使得較

2、繁難的問題簡(jiǎn)單明了化。從整體上考慮問題的數(shù)量關(guān)系，可以擺脫局部細(xì)節(jié)的糾纏，有利于看清問題的本質(zhì)，找出問題的內(nèi)在規(guī)律，達(dá)到化解疑難，簡(jiǎn)化計(jì)算之目的。縱觀近幾年全國中招、高招試題，比較多的可用整體思維巧妙解決問題。它是一種重要的解題策略，所以學(xué)生整體意識(shí)的形成與運(yùn)用取決于教師對(duì)這類問題的長期訓(xùn)練,要對(duì)學(xué)生的思維不斷地、循序漸進(jìn)地、有計(jì)劃地進(jìn)行引導(dǎo)和訓(xùn)練,使其能夠縱觀全局,從整體的角度去把握問題。 一、整體思想的培養(yǎng)利于發(fā)散思維的養(yǎng)成發(fā)散性思維是指同一來源材料探求不同答案的思維過程，思維方向發(fā)散于不同的方面。發(fā)散性思維需要從不同方向考慮解決問題的多種可能性，因而發(fā)散思維富于聯(lián)想，思路開闊，善于采用各

3、種變通方法。所以加強(qiáng)發(fā)散思維能力的訓(xùn)練，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維的重要環(huán)節(jié)。整體思想培養(yǎng)是對(duì)學(xué)生發(fā)散思維發(fā)展起促進(jìn)作用。學(xué)生習(xí)慣于每學(xué)完一個(gè)知識(shí)點(diǎn),就用本課的知識(shí)解決課后的習(xí)題,形成一種定勢(shì)思維，這樣不利于發(fā)散思維的發(fā)展,教師要有意識(shí)的幫助、引導(dǎo)學(xué)生打破這種思維定勢(shì),讓學(xué)生在思維障礙沖突中接受訓(xùn)練,多角度去觀察思考問題,引導(dǎo)學(xué)生用整體思想方法來解決問題的意識(shí)。經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生這方面訓(xùn)練，利于學(xué)生的解題思路向多元化方向發(fā)展。 例1 解方程組 分析:本題按常規(guī)解法,就是直接代入消元或加減消元，求方程組的解，無可厚非。若將方程組中的一個(gè)方程（或經(jīng)整理變形后的方程）整體代入另一個(gè)方程中，從而達(dá)到消元的目的。其

4、解法比較簡(jiǎn)練。 簡(jiǎn)解： 將原方程組化為 由（2）代入（1），直接可得 再將 代入（2） ，得 例2: 解不等式 分析:如果直接去括號(hào)化簡(jiǎn),顯的繁雜，通過觀察而題目中兩次出現(xiàn)，又 ，故把 （）作為整體進(jìn)行合并。 解: 原不等式化為 合并，得 兩邊除以，得故不等式的解集是 例3 ：如圖1 若O為，的平分線的交點(diǎn)，求的值。分析：找到與、都有聯(lián)系的角，用它們分別表示、。從整體著眼，利用建立與及關(guān)系。簡(jiǎn)解：因?yàn)?， 則所以 學(xué)生通過練習(xí)后對(duì)練習(xí)題解法進(jìn)行反思，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、歸納，用整體思想來處理問題，學(xué)生會(huì)有所悟的、有所得的。解題思路會(huì)逐步開闊起來的。 二、教師在知識(shí)傳授中有意識(shí)的整體思想的

5、滲透 在學(xué)習(xí)用字母表示數(shù)時(shí),讓學(xué)生知道字母也可以表示任意一個(gè)代數(shù)式,一個(gè)代數(shù)式可以看作一個(gè)整體,也可以用一個(gè)字母表示。在學(xué)習(xí)乘法公式和因式分解時(shí),應(yīng)通過練習(xí)讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)公式中的字母可以表示任意代數(shù)式。反之,將某一個(gè)代數(shù)式看作一個(gè)整體,可相當(dāng)于公式中的某一個(gè)字母。 整體方法在代數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值、解方程（組）、幾何證題等方面有廣泛的應(yīng)用。教師在教學(xué)中有意識(shí)的滲透整體代入、整體運(yùn)算、整體設(shè)元、整體處理、整體轉(zhuǎn)化、設(shè)而不求、及幾何中的補(bǔ)形等整體思想方法去解決具體的數(shù)學(xué)問題。把陌生的或復(fù)雜的式子進(jìn)行整體換元，這是一種化生為熟，以簡(jiǎn)馭繁的策略。例 一個(gè)六位數(shù)記為，其中a、b、c、d、e都表示數(shù)字，將此

6、數(shù)乘以3后得，試求此數(shù)。分析 此題不能分別求 a、b、c、d、e，而應(yīng)整體地設(shè)x = ,則原數(shù)為100000+x ,新數(shù)為10x+1,依題意有：3（100000+x）= 10x+1,解得x = 42857,故原數(shù)為142857。在幾何問題中,常用整體思想解題和證題. 例 已知正三角形的邊長為a,求它的內(nèi)切圓與外接圓組成的圓環(huán)的面積 分析：欲求環(huán)形的面積,常規(guī)方法分別求出外接圓,內(nèi)切圓的半徑,再求圓環(huán)面積,這就比較復(fù)雜。通過從整體考慮問題的角度去觀察分析,不難發(fā)現(xiàn) 解:設(shè)正三角形外接圓.內(nèi)切圓的半徑分別為R、r,面積分別為、。圓環(huán)面積為 三、觀察能力的培養(yǎng)是整體思想養(yǎng)成的有效途徑 整體思想的運(yùn)用

7、取決于整體意識(shí)的形成。從整體觀察問題可以除去一些細(xì)節(jié),使思維簡(jiǎn)縮,難度降低,從而使問題得以有效的解決。而觀察是解決的前提和基礎(chǔ),數(shù)學(xué)教學(xué)離不開觀察,細(xì)致而敏銳的觀察常能幫助我們篩選出解題的重要信息,尋求到解題的突破。數(shù)學(xué)解題中的觀察活動(dòng)可圍繞數(shù)與式的特征觀察,或幾何圖形結(jié)構(gòu)的觀察。也就是既可從數(shù)量關(guān)系的角度去觀察,又可從圖形特征的角度去觀察;既可從整體規(guī)律的角度去觀察,又可以從局部特點(diǎn)的角度去觀察;既可以從于這部分知識(shí)相關(guān)的角度去觀察,又可從于那部分知識(shí)相關(guān)的角度去觀察。在各種不同的觀察角度的對(duì)比中,不難發(fā)現(xiàn)最有利于抓住問題本質(zhì)特征的最佳角度,醞釀出簡(jiǎn)捷,明快的好解法來。在數(shù)學(xué)解題活動(dòng)中,注意

8、引導(dǎo)對(duì)題目和圖形進(jìn)行認(rèn)真分析,抓住于解題有關(guān)的種種信息,讓學(xué)生把觀察到的解題信息說一說,議一議,進(jìn)行觀察交流,然后進(jìn)行思考,從而引導(dǎo)能用整體思想解題的方法。 四、舉辦專題講座 ， 強(qiáng)化用整體思想解題的意識(shí)整體思想它滲透在數(shù)學(xué)知識(shí)的每一個(gè)角落,運(yùn)用整體思想方法思考和解決問題,有利于理解基礎(chǔ)知識(shí),有利于發(fā)展創(chuàng)造思維能力,形成良好的數(shù)學(xué)素質(zhì).整體思想它是一種重要的解題策略。在解題過程中，充分協(xié)調(diào)題目中部分與整體的關(guān)系，使部分的功能服從解題這一整體的要求，從而達(dá)到解題的目的。對(duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)問題，有時(shí)用常規(guī)的解法來解，不僅使解題過程繁瑣，影響解題速度。有時(shí)甚至無法解決問題；相反，若先從問題的整體入手。抓住

9、其特點(diǎn)利用整體效應(yīng)，把考慮問題的著眼點(diǎn)放在問題的整體結(jié)構(gòu)上，即從大處著眼、從整體入手，通過宏觀的處理、解決問題，不僅可以化繁為簡(jiǎn)，變難為易，使問題清晰明了，而且能夠培養(yǎng)思維的靈活性、敏捷性。這樣既簡(jiǎn)化了解題過程使問題得以解決，又能使有些看似無法解決的問題“起死回生”。在利用用整體思想解題時(shí)，應(yīng)先考慮問題的性質(zhì)和條件，利用整體思想對(duì)已有的結(jié)構(gòu)進(jìn)行有目的的改組，再深入認(rèn)識(shí)新結(jié)構(gòu)中各元素的地位、作用，從而找到解決問題的途徑。這種思想在代數(shù)式求值、根與系數(shù)關(guān)系、直線與拋物線等問題中運(yùn)用較多，常能使計(jì)算簡(jiǎn)便。培養(yǎng)學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，善于從大處著手，小處著眼，關(guān)鍵處著力，既可避免“只見樹木，不見森林”的片面性，有可防止“會(huì)而不對(duì)，對(duì)而不美”現(xiàn)象的蔓延。例 已知，是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，試比較與的大小分析 若僅著眼于這一局部，采用作商或指數(shù)上作差，并三次利用前n項(xiàng)和公式，固然可使問題獲解，卻暴露了思維的孤立性。若能用聯(lián)系的觀點(diǎn)看待數(shù)學(xué)對(duì)象，則可以從整體上獲得賞心悅目的簡(jiǎn)解： 即為公差，接下不難給出分類的結(jié)論。用整體思想舉辦專題講座,既是對(duì)階段性知識(shí)的總結(jié)或某一方面的知識(shí)的深入理解,同時(shí)也培養(yǎng)學(xué)生多方面用整體思想解決問題的意識(shí),使其今后解題中用整體思想思考問題的習(xí)慣。