貝塞爾函數3-文檔資料

1、1貝塞爾函數貝塞爾函數32貝塞爾函數第二次課內容總結貝塞爾函數第二次課內容總結貝塞爾函數的遞推公式函數展成貝塞爾函數的級數貝塞爾函數應用舉例貝塞爾函數應用舉例3 1(1)nnnndx Jxx Jxdx 1(2)nnnndxJxxJxdx 上面兩式左邊的導數求出來上面兩式左邊的導數求出來, , 并經過化簡并經過化簡 1(3)nnnxJxnJxxJx 1(4)nnnxJxnJxxJx 4兩式相加減分別消去兩式相加減分別消去 和和 nJx nJx 11(25)nnnnJxJxJxx 112 (6)nnnJxJxJx5 1221221sin1mmmmdxJxxx dxx 1221221cosmmmdx

2、Jxxx dxx 這里微分算子這里微分算子 表示算子表示算子 連續(xù)連續(xù)作用作用 m 次的縮寫次的縮寫. . 1mdx dx1 dx dx半奇數級貝塞爾函數的表達式半奇數級貝塞爾函數的表達式可見，半奇數階的貝塞爾函數都是初等函數。6方程的通解為方程的通解為 nnP rCJrDYr 令令 ,xxry xP 方程轉化為方程轉化為 222220d ydyxxxny xdxdx ,nP rCJr 從而從而由于由于 , , 由條件由條件 知知 , |(0)|,P 0D (0)nY 7由由 可得可得: : 0P R 0.nJR 求特征問題求特征問題 2220r Prr PrrnP r 0,0.P RP 因此

3、，必須判明因此，必須判明 的零點的零點是否存在；如果存是否存在；如果存在，則需要研究其分布情形。在，則需要研究其分布情形。 nJx0rR貝塞爾函數的零點貝塞爾函數的零點8關于貝塞爾函數零點的結論：關于貝塞爾函數零點的結論：l 有無窮多個單重實零點有無窮多個單重實零點, , 這些零點在這些零點在 x軸上關于原點對稱分布軸上關于原點對稱分布, , 因而因而 有無窮多個有無窮多個正的零點；正的零點； ( )nJx( )nJx24681012o1.00.5-0.50( )Jx1( )Jx9l 的零點和的零點和 的零點是彼此相間分的零點是彼此相間分布，布，即即 的任意兩個相鄰零點之間有且僅有的任意兩個相

4、鄰零點之間有且僅有一個一個 的零點，反之亦然；的零點，反之亦然； 1( )nJx 24681012o1.00.5-0.5( )nJx( )nJx1( )nJx 0( )Jx1( )Jx1024681012o1.00.5-0.5l以以 表示表示 的非負零點的非負零點, , 則則 ( ) (1,2,)nmm( )( )1lim.nnmmm0( )Jx1( )Jx( )nJx函數以函數以 為周期振蕩為周期振蕩11與這些特征值相應的與這些特征值相應的特征函數特征函數為為 1,2,nmmnPrJrRm 方程方程 的解為：的解為： 0nJR ,1,2,nmRm 即貝塞爾方程相應定解問題的即貝塞爾方程相應定

5、解問題的特征值特征值為為 )2(,1,2,nnmmmR 12貝塞爾函數的正交性貝塞爾函數的正交性結論：結論：n 階貝塞爾特征函數系階貝塞爾特征函數系 ,1,2,nmmnPrJrmR 在區(qū)間在區(qū)間 (0, R) 上上帶權帶權 r 正交正交， 2nmnJrR 模值模值的平方的平方 0dnnRmknnJrr JrrRR 2222110,22，nnnmnmmkRRJJmk 即即13結論結論2：在區(qū)間在區(qū)間0, R上具有一階連續(xù)導數以及上具有一階連續(xù)導數以及分段連續(xù)的二階導數的函數分段連續(xù)的二階導數的函數 f (r) 如果在如果在 r=0 處處有界有界, , 在在 r =R 處等于零處等于零, , 則它

6、必可以展開為如則它必可以展開為如下形式的絕對且一致收斂的級數：下形式的絕對且一致收斂的級數： 1nmmnmf rA JrR 其中其中 22112mnnmARJ 0dRnmnrf r JrrR 模的平方模的平方權權函數函數貝塞爾函數貝塞爾函數14例例 設有半徑為設有半徑為 1 的薄均勻圓盤，其側面絕緣，的薄均勻圓盤，其側面絕緣，邊界上的溫度始終保持為零度，初始圓盤內溫度邊界上的溫度始終保持為零度，初始圓盤內溫度分布為分布為 其中其中 r 為圓盤內任一點的極半徑，為圓盤內任一點的極半徑，求圓盤的溫度分布規(guī)律。求圓盤的溫度分布規(guī)律。21,r 分析分析: : 由于是在圓域內求解問題由于是在圓域內求解問

7、題, , 故采用極坐故采用極坐標標. . 考慮到定解條件和考慮到定解條件和 無關無關, , 所以溫度所以溫度 u 只只能是能是 t 和和 r 的函數的函數. . 15解解 根據問題的要求根據問題的要求, , 即可歸結為求下列方程即可歸結為求下列方程的定解問題：的定解問題：22222211,01uuuuartrrrr 由于由于 u 和和 無關無關, , 可以化簡為問題可以化簡為問題 0,u 2221, 01,0,uuuarttrrr 201,01,turr 10,0.rut 16此外此外, , 由問題的物理意義由問題的物理意義, , 還有條件還有條件 ,u 且且 時，時， t 0.u 令令 ,u

8、 r tF r T t 代入到上述方程代入到上述方程, , 有有21,FFTrFa T 由此得由此得20,(1)TaT 220,(2)r FrFr F 解解(1)(1)得：得： 2,atT tCe 時，時，t 0,u 0 17(2) 為零階非標準的貝塞爾方程為零階非標準的貝塞爾方程, ,由由 u(r, t) 的有界性的有界性, 可以知道可以知道20.C 再由條件再由條件10,ru 知：知： 00,J 即即 是是 的零點的零點. . 0( )Jx用用 ( (n =1,2) 表示表示 的正零點的正零點, , 綜合綜合以上結果可得以上結果可得: :n 0( )Jx方程方程 (1) 的解為的解為 22

9、.atT tCe 2, 令令 則則 102 0F rC JrC Yr它的通解為：它的通解為：18220r FrFr F 方程方程 的特征值為：的特征值為： 2:1,2,nn 相應的特征函數為：相應的特征函數為： 0,nnFrJr 這時方程這時方程 的解為：的解為：20TaT 22natnnTtC e 從而從而 220,natnnnur tC eJr 19由疊加原理由疊加原理, , 可得原問題的解為可得原問題的解為 2201,natnnnu r tC eJr 由初始條件得由初始條件得 2011nnnrC Jr 其中其中 12200112nnnrrJrCdrJ 20 1130022001122nn

10、nnnCrJr drr Jr drJJ 因為因為 1nnnnd x Jt xtx Jt x dx 令令 1,n 10nnnrJrdrJr dr 所以所以 1111000d.nnnnnrJrJrJrr 21 11132000nnnrJrr Jr drr d 131121002nnnnr Jrr Jr dr 1212202()nnnnJr Jr 1222()nnnnJJ 1nnnnd x Jt xtx Jt x dx 22從而從而 22214nnnnJCJ 所求定解問題的解為：所求定解問題的解為： 222022114( , )natnnnnnJu r tJr eJ 其中其中 是是 的正零點。的正零

11、點。 n 0( )Jr23例例hbU（圓柱形域內的電勢分布）由導體壁構成的空圓柱，其高為，半徑為，設上底的電勢為，側面和下底的電勢為零，試求圓柱體內部的電勢分布。 oxyz xo 24解解由于區(qū)域為圓柱形，所以采用柱坐標系。2222211()0, 02, 0uuuRzz 一、建立方程一、建立方程2222222110uuuuz252222010 (0, 02 , 0) (3)0 ,(4)0(5)zz hbuuubzhzuuUu “翻譯翻譯”邊界邊界條件條件一、建立方程一、建立方程uz由于邊界條件與角度無關，因此所求的電勢只是、兩個自變量的函數，于是歸結為求下列定解問題：U為常數，為上底的電勢。2

12、6( , )( ) ( )uzRZ z應用分離變量法，令，代入方程得1RRzRz 由此得0 (6)zz220 (7)RRR222( )( )() ( )0 0r P rrP rrnP rrR( )()()nnP rAJrBYr的通解為一、建立方程一、建立方程我們知道我們知道277方程（ ）為零階貝塞爾方程，其通解為00( )()()RCJDYu 由問題的物理意義知，由此推出(0)(8)R 一、建立方程一、建立方程5再由邊界條件（ ）得( )0 (9)R b 28于是，構成具體問題的新的方程組為220 (7)RRR(0)(8)R ( )0 (9)R b NoImage一、建立方程一、建立方程29

13、7方程（ ）為零階貝塞爾方程，其通解為00( )()()RCJDY80 .D 由條件（ ）知二、求本征值、本征函數二、求本征值、本征函數3000(0)0()0( )( )mJbbJxJx即，由此可知是的零點。以表示的正零點，有(0)0()0mJ789從而，得到方程（ ）在條件（ ）、（ ）下的本征值以及本征函數(0)()mmb(0)0( )()mmRJb(1,2)m 二、求本征值、本征函數二、求本征值、本征函數9,再由條件（ ）得0( )()0R bCJb31三、由疊加原理三、由疊加原理 寫出解。寫出解。0 (6)zz6將上述的值代入方程（ ），可得(0)(0)( )mmzzeemmmZzCD

14、從而(0)(0)(0)0( , )()()mmzzmeemmmuzCDJb35由疊加原理，方程（ ）滿足（ ）的解為(0)(0)(0)01( , )()() (10)mmzzmeemmmuzCDJb32四、確定常數四、確定常數(0)(0)(0)01( , )()() (10)mmzzmeemmmuzCDJb00 ,(4)zz huuU4由條件( ），得(0)01( ,0)()()0mmmmuCDJb于是得0 (m1,2,) (11)mmCD5再由條件（ ）得(0)(0)(0)01( , )()()mmhhmeemmmuhCDJUb0(5)bu33(0)(0)(0)00(0)(0)(0)10 1()2(12)()()2mmbmhheemmmmmUJdbUCDbJJ四、確定常數四、確定常數依據貝塞爾級數展開系數公式，得)(2)()()(12)(0nknnknRkJRrdrRJrfrA 340 (m1,2,) (11)mmCD5.115.12將（）與先前得到的（）聯立，解得(0)(0)(0)1()mmmmUCshhJb(0)(0)(0)1()mmmmUDshhJb 將上述結果代入（10），得到原問題的解(0)(0)(0)01( , )()()m