第一節(jié)微分中值定理

1、1引理引理羅爾定理羅爾定理方程根的判定方程根的判定拉格朗日定理拉格朗日定理柯西中值定理柯西中值定理幾何意義幾何意義有限增量公式有限增量公式函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性單調(diào)區(qū)間單調(diào)區(qū)間第三章第三章 中值定理和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中值定理和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用2引理引理( (費(fèi)馬定理費(fèi)馬定理）：）：若函數(shù)若函數(shù)y=f(x)（1）在在x0的某鄰域內(nèi)有定義的某鄰域內(nèi)有定義且在且在x0 取得最值；取得最值；（2 2）在在x0處可導(dǎo)。處可導(dǎo)。則則f (x0)=0. 證明思路證明思路證：證： 不妨設(shè)不妨設(shè)f(x0)是是x0某鄰域內(nèi)的最大值某鄰域內(nèi)的最大值 0)()(0000 xfxxfxx 時(shí)時(shí)時(shí)時(shí)0)()(lim)( 0000

2、xxfxxfxfx 0 x 0)()(lim)( 0000 xxfxxfxfx 0 x )( )( :)(000 xfxfxfx 可導(dǎo)，必有可導(dǎo)，必有點(diǎn)點(diǎn)而在而在0)( 0 xf故故 x0處可導(dǎo)處可導(dǎo)不妨設(shè)不妨設(shè)f(x0)最大最大 0)( 0 xf0)( 0 xf00 ()()fxfx0()0fx3abABCxyO ;,1上上連連續(xù)續(xù)在在若若baxf ;,2內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)在在ba 0 f .3bfaf ，則則至至少少有有一一點(diǎn)點(diǎn)ba, 使得使得注意注意：（1 1）條件并非缺一不可；）條件并非缺一不可；（2）羅爾定理的條件充分而非必要。）羅爾定理的條件充分而非必要。證明的關(guān)鍵是證明的關(guān)鍵是： 是區(qū)

3、間的內(nèi)點(diǎn)；是區(qū)間的內(nèi)點(diǎn)；a ab b。4證明思路證明思路: :M=mM=mf(x)=Cf(x)=C( (a,b)a,b)內(nèi)任意點(diǎn)可為內(nèi)任意點(diǎn)可為 MmMmM,mM,m不可能都在端點(diǎn)取得，不可能都在端點(diǎn)取得，設(shè)設(shè)MM由區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)取得由區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)取得f(a)=f(b)f(a)=f(b)由引理可得結(jié)論由引理可得結(jié)論引理引理( (費(fèi)馬定理費(fèi)馬定理）：）：若函數(shù)若函數(shù)y=f(x)（1）在在x0的某鄰域內(nèi)有的某鄰域內(nèi)有定義且在定義且在x0 取得最取得最值；值；（2 2）在在x0處可處可導(dǎo)。導(dǎo)。則則f (x0)=0. ;,1上上連連續(xù)續(xù)在在若若baxf ;,2內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)在在ba 0 f .3bfaf ，則

4、則至至少少有有一一點(diǎn)點(diǎn)ba, 使得使得5 abafbff 結(jié)論等價(jià)于：結(jié)論等價(jià)于： 上上連連續(xù)續(xù)，在在若若baxf, 內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)，在在baxf,，使使得得至至少少有有一一點(diǎn)點(diǎn)ba, abfafbf 或：或： 0abafbff ABCab xfy )()(afbf xOy xLy axabafbfafyAB的方程為：的方程為： axabafbfafxL xLxfx 在 ba,上滿足羅爾定理的條件，且上滿足羅爾定理的條件，且 abafbfxfx 6證證 滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的條條件件x 0abafbffLf 則必然則必然),(ba使得使得 abafbff 即即所以所以 ab fafbf證畢

5、證畢 xLxfx 構(gòu)造函數(shù)：構(gòu)造函數(shù)： )(axabafbfafxf顯然顯然0)()(ba 且且 xLxfx abafbfxf)()(7)10()( )()()( )( )()( xxxfxfxxfxxxxfyxxxxfxfxxf 或或之之間間與與在在或或之之間間與與在在 內(nèi)內(nèi)部部區(qū)區(qū)間間自自然然，這這點(diǎn)點(diǎn)落落在在”加加上上不不到到一一個(gè)個(gè)“給給則則可可以以理理解解為為點(diǎn)點(diǎn)”可可以以理理解解為為“不不到到一一個(gè)個(gè)),(, 10 xxxxxxx 函數(shù)的微分是增量的近似公式函數(shù)的微分是增量的近似公式dx)x(fdyy 其中，其中，x在區(qū)間的端點(diǎn)取值，在區(qū)間的端點(diǎn)取值，dx則要很小。且則要很小。且f

6、 (x)不為零。不為零。xfy )( 而拉格朗日增量公式則是一個(gè)精確公式而拉格朗日增量公式則是一個(gè)精確公式也也可可以以等等于于零零。而而且且，就就行行。）很很小小，只只要要是是有有限限量量（即即：不不要要求求在在區(qū)區(qū)間間的的內(nèi)內(nèi)部部取取值值，其其中中，)( fdxx 因此，拉格朗日中值公式又叫做因此，拉格朗日中值公式又叫做有限增量公式有限增量公式 8 .,0為為常常數(shù)數(shù)則則上上若若在在區(qū)區(qū)間間xfxfI證證 21xfxf Cxf )( 1212xxfxfxf , 0.21xx ,2121xxIxx 則則在在上滿足拉格朗日定理的條件上滿足拉格朗日定理的條件 xf 21, xx ( )( ).If

7、xgxfxxC若在區(qū)間 上，則=g9 滿滿足足：及及若若xFxf，使使得得則則至至少少有有一一點(diǎn)點(diǎn)ba, , 0,3,2xFbaxba內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)，在在 上上連連續(xù)續(xù)，在在b,a1 FfaFbFafbf10 xFxfdXdY 則曲線上任一點(diǎn)（則曲線上任一點(diǎn)（X,Y ） 處的切線的斜率為：處的切線的斜率為： 弦弦AB的斜率為：的斜率為：)()()()(aFbFafbf xfYxFX bxa 設(shè)曲線弧設(shè)曲線弧 AB 由參數(shù)方程由參數(shù)方程 確定，其中確定，其中 x為參數(shù)。為參數(shù)。 FfdXdYx假定點(diǎn)假定點(diǎn)C對(duì)應(yīng)于參數(shù)對(duì)應(yīng)于參數(shù), x那么曲線上點(diǎn)那么曲線上點(diǎn) C 處的切線平行于處的切線平行于 AB可

8、表示為可表示為)()()()(aFbFafbfBCXYO afaF, fF, bfbF,)( FAP1411 （1 1）定理中的定理中的f( )，F(xiàn)( )是在同一點(diǎn)是在同一點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù)值，所以處的導(dǎo)數(shù)值，所以下面的證明是錯(cuò)誤的：下面的證明是錯(cuò)誤的：論論。兩兩式式相相除除得得到到定定理理的的結(jié)結(jié)使使故故條條件件都都滿滿足足拉拉格格朗朗日日定定理理的的、由由定定理理的的條條件件可可知知)( )()()( )()(,)()(abFaFbFabfafbfbaxFxf 因?yàn)椴荒鼙ＷC，兩個(gè)函數(shù)由拉格朗日定理得到的是同一個(gè)點(diǎn)因?yàn)椴荒鼙ＷC，兩個(gè)函數(shù)由拉格朗日定理得到的是同一個(gè)點(diǎn) . .（2 2）若若F(x)=

9、x，則成為柯西定理的特殊情況，與拉格朗日則成為柯西定理的特殊情況，與拉格朗日 定理的形式相同。所以拉格朗日定理是柯西定理的特例。定理的形式相同。所以拉格朗日定理是柯西定理的特例。柯西定理則是拉格朗日定理的推廣柯西定理則是拉格朗日定理的推廣 。（3 3）柯西定理的一個(gè)重要應(yīng)用就是洛必達(dá)法則?？挛鞫ɡ淼囊粋€(gè)重要應(yīng)用就是洛必達(dá)法則。12證：證：)( )()(:,abFaFbFba 使得使得由拉格朗日中值定理：由拉格朗日中值定理：0)()(0)( )(aFbFxFbax已知已知，對(duì)對(duì))()()()()()()()()(aFxFaFbFafbfafxfx 引入輔助函數(shù)：引入輔助函數(shù)：)( )()()()

10、()( )( xFaFbFafbfxfx 滿足羅爾定理的全部條件，滿足羅爾定理的全部條件，且：且：)(x 由羅爾定理，至少存在一點(diǎn)由羅爾定理，至少存在一點(diǎn) （a，b） ，使使 , 0)( 0)( )()()()()( FaFbFafbff)( )( )()()()( FfaFbFafbf于是：于是：BCXYO afaF, fF, bfbF,)( FA13例例1 驗(yàn)證羅爾定理對(duì)函數(shù)驗(yàn)證羅爾定理對(duì)函數(shù) xysinln 在區(qū)間在區(qū)間 65,6 上的正確性。上的正確性。 解解： 函數(shù)函數(shù) xysinln 在在 65,6 上連續(xù)，上連續(xù)， 在在 65,6 內(nèi)可導(dǎo)，內(nèi)可導(dǎo)， xysinln （函數(shù)（函數(shù)

11、是初等函數(shù)，是初等函數(shù)， 且當(dāng)且當(dāng) 65,6 x時(shí)，時(shí)， , 0sin x即即 65,6 是是 xysinln 定義域內(nèi)的一部分；定義域內(nèi)的一部分； ) .cotsincosxxxy 且且.21ln65sinln6sinln 令令0,xxxycotsincos得得2 x.65,6 即即,65,62 使得使得 . 0 f14 例例2 不用求函數(shù)不用求函數(shù) 4321 xxxxxf的導(dǎo)數(shù)，說(shuō)明的導(dǎo)數(shù)，說(shuō)明 方程方程 0 xf有幾個(gè)實(shí)根，并指出它們所在的區(qū)間。有幾個(gè)實(shí)根，并指出它們所在的區(qū)間。 解解 在在 顯然函數(shù)顯然函數(shù) xf在在 2 , 1上連續(xù)，上連續(xù)， 2 , 1內(nèi)可導(dǎo)，內(nèi)可導(dǎo)， 且且 , 0

12、21 ff由羅爾定理：由羅爾定理： ,2 , 11 使得使得 . 01 f同理同理 ,4 , 3,3 , 232 使得使得 . 0, 032 ff即即 321 、都是方程都是方程 0 xf的根。的根。 注意到注意到 0 xf為三次方程，為三次方程， 它最多有三個(gè)根。它最多有三個(gè)根。 我們已經(jīng)找到它的三個(gè)實(shí)根我們已經(jīng)找到它的三個(gè)實(shí)根 ,321 、所以這三個(gè)根就是方程所以這三個(gè)根就是方程 0 xf 的全部根。的全部根。 15xxxxx1ln10時(shí)時(shí)，證證明明當(dāng)當(dāng)例例3 xxffxf 0 ,00 .11,00 xxff 由由于于 xx1x xx 111ln證證拉格朗日定理的條件，即拉格朗日定理的條件

13、，即 則則 顯然，函數(shù)顯然，函數(shù) xf在在 x,0上滿足上滿足 ,1lnxxf 設(shè)設(shè)16例例4 證明下列不等式：證明下列不等式： xeexbabax,12arctanarctan1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)證證(1)令令 baxxxf,arctan xf在在ba,上連續(xù)，在上連續(xù)，在ba, 內(nèi)可導(dǎo)，則內(nèi)可導(dǎo)，則 由由 .,baabfafbf ,即即abab211arctanarctan 所以所以bababa211arctanarctan （2）令令 xexf取區(qū)間取區(qū)間, 1 x由于函數(shù)由于函數(shù) xf在在x, 1上連續(xù)，在上連續(xù)，在x, 1內(nèi)可導(dǎo)，內(nèi)可導(dǎo)，所以所以 ,11xffxf ., 1 x 即即11xee

14、ex 1xexeex因此因此 17例例5 設(shè)設(shè))(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上連續(xù)，在上連續(xù)，在),(ba內(nèi)可導(dǎo)，證明：內(nèi)可導(dǎo)，證明：),(ba ).()()()( ffabaafbbf至少存在一點(diǎn)至少存在一點(diǎn) 使使 將將 )()( ff中的中的 換為換為 ,x得得 ),()(xfxxf令令 ),()(xfxxfxF得得 ).(xxfxF解解 令令 ).(xxfxF顯然顯然 xF在在 ,ba上滿足拉格朗日定理的條件上滿足拉格朗日定理的條件, ),(ba abFaFbF 至少存在一點(diǎn)至少存在一點(diǎn) 使得使得 ).()()()( ffabaafbbf即即 .)()()()(abffaafbbf 18例例

15、6 設(shè)設(shè) xgxf,在在 ba, 上連續(xù)，在上連續(xù)，在 ba,內(nèi)可導(dǎo)，證明內(nèi)可導(dǎo)，證明,ba 使得使得 gagfafabbgagbfaf ,xgagxfafagxfxgafx 證證 設(shè)設(shè) baxagxfxgafxgagxfafx, x 在在ba,上連續(xù)，在上連續(xù)，在ba,內(nèi)可導(dǎo)，且內(nèi)可導(dǎo)，且 ,agxfxgafxgagxfaf ,xgagxfafagxfxgafxF設(shè)設(shè) 19即即 gagfafabagagafafbgagbfaf所以所以 gagfafabbgagbfaf由拉格朗日定理由拉格朗日定理 .,baabab ,20因?yàn)橐驗(yàn)?)()(bfaf且且 )(xf不恒為常數(shù)，不恒為常數(shù)， 不妨設(shè)

16、不妨設(shè) ),()()(bfafcf同理可證：同理可證： )()()(bfafcf的情形的情形.證明證明 顯然顯然 )(xf在在 ,ca上滿足拉格朗日中值定理的條件，上滿足拉格朗日中值定理的條件， ),(),(baca 使使 . 0)()()(acafcff 于是至少存在一點(diǎn)于是至少存在一點(diǎn)例例7 設(shè)不恒為常數(shù)的函數(shù)設(shè)不恒為常數(shù)的函數(shù) )(xf,ba上連續(xù)上連續(xù),在在 ),(ba內(nèi)可導(dǎo)，且內(nèi)可導(dǎo)，且 ).()(bfaf證明至少存在一個(gè)證明至少存在一個(gè)),(ba 使使 . 0)( f 在在 ),(bac使得使得 ).()()(bfafcf所以至少存在一點(diǎn)所以至少存在一點(diǎn) 21例例8 若函數(shù)若函數(shù)

17、xf在在,內(nèi)滿足關(guān)系式內(nèi)滿足關(guān)系式 ,xfxf且且 , 10 f則則 .xexf證證構(gòu)造函數(shù)構(gòu)造函數(shù) .,xexfxx , xexfx xxxeexfexf2 xexfxf0 .,xCx , 1000 ef 又又 1 xexfx 即即 .xexf 22證證設(shè)設(shè) ,3xxF ,上上滿滿足足柯柯西西定定理理的的條條件件在在及及則則baxFxf例例9 設(shè)設(shè) xf在在baba0, 上連續(xù)，在上連續(xù)，在 ba,內(nèi)可導(dǎo)，證明內(nèi)可導(dǎo)，證明 ,ba 使得使得 2223 fbabaabafbf 2223 fbabaabafbf ，使使得得即即至至少少有有一一點(diǎn)點(diǎn)ba, FfaFbFafbf 。即即2333 fa

18、bafbf 故故 2223 fbabaabafbf23例例10 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) )(xf,ba上連續(xù)上連續(xù),在在 ),(ba內(nèi)可導(dǎo)，且內(nèi)可導(dǎo)，且 在在 , 0)( xf試證存在試證存在 ,ba 使得使得 eabeeffab)(上式變形為上式變形為 ,)( effeeabab右側(cè)為右側(cè)為 )(xf和和 xe導(dǎo)數(shù)的比值，因此設(shè)導(dǎo)數(shù)的比值，因此設(shè) ,xexg應(yīng)用柯西中值定理。應(yīng)用柯西中值定理。 證證 令令 ,xexg則則 )(xf和和 xg,ba上滿足柯西中值定理的條件上滿足柯西中值定理的條件 在在 因此必因此必 ),(ba 使得使得 . efeeafbfab又又 )(xf,ba上滿足拉格朗日中值定理的條件，因此上滿足拉格朗日中值定理的條件，因此 在在 ),(ba 使得使得 .a