組合數(shù)學 工學研究生 2

1、西安電子科技大學研究生課程考試試題考試科目： 組 合 數(shù) 學 考試日期：考試方式： 閉卷 任課教師： 學生姓名： 學 號： 注意：請先閱讀完題目后面的要求后再答題！一、 （10分）設(shè)盒子中有3n個球，其中有n個樣子相同的紅球和n個樣子相同的籃球，而其余的n個球的顏色互相都不一樣，且都不是紅色或藍色?，F(xiàn)從中隨機取出n個球（不考慮取出來的球的次序），且要求紅球和籃球一樣多。那么，當n為偶數(shù)時，可能有多少種不同的選取結(jié)果？此題不允許用母函數(shù)方法求解。二、 （10分）請利用二項式展開的方法求被13除所得的余數(shù)。三、 （10分）將n元面值為1元的人民幣分給四名同學，且要求同學甲與乙分得的錢一樣多，同學丙

2、與丁一樣多，同時還要求甲同學至少分得2元錢。問共有多少種不同的分法？四、 （10分）設(shè)集合S1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3，試問由集合S的10個基本數(shù)字可構(gòu)成多少個不同的四位數(shù)？五、 （10分）由a、b、c、d、e五個基本符號組成n位符號串，其中希望相鄰的兩個字母不能同時為a，請問滿足條件的串共有多少個？六、 （10分）平面上有兩兩相交，但無3線共點的n條直線，試求這n條直線把平面分成多少個區(qū)域？七、 （10分）現(xiàn)有t種不同顏色的球，其中第i種顏色的球有個（i1, 2, , t）。要把這些球放入m個不同的盒子中，且使每個盒子至少放入一個球，問共有多少種不同的放法？八、

3、 （10分）某班每天放學后都要打掃衛(wèi)生，其項目有掃地、整理桌椅、擦窗子和擦黑板共4項工作，故每天留下4名同學打掃衛(wèi)生，每人恰好完成其中的一項。而今天留下的4名同學中，甲愿意整理桌椅或擦窗子，乙則不愿意擦窗子，丙不愿意整理桌椅，丁同學對每一項工作都不挑剔。那么，能給出多少種安排打掃衛(wèi)生的方案，使得每個同學都不用干自己不愿意干的工作？九、 （10分）設(shè)n是大于1的奇數(shù)，證明在整數(shù)，中必有一個數(shù)能被n整除。十、 （10分）桌子上放著一些大小一樣的等邊三角形木框，且每個木框的每條邊都被染成了彩色。經(jīng)統(tǒng)計，所用的顏色共有10種。那么，如果按照木框的邊的顏色異同對其進行分類，請問這些木框最多可以分成多少類

4、。要求：（1） 請在試題和試卷上寫上學號和姓名；（2） 請給出每一個問題的具體解答過程；（3） 考試時允許攜帶計算器；（4） 所有的答案都要寫在試卷上；（5） 請按題目的順序書寫答案；（6） 請將試題夾在自己的試卷中一并交回；（7） 對于計算題，當計算結(jié)果較大時，不要求計算出具體的數(shù)字，只要給出答案的表達式即可。如答案為15或20!3×8!等。一、 （10分）設(shè)盒子中有3n個球，其中有n個樣子相同的紅球和n個樣子相同的籃球，而其余的n個球的顏色互相都不一樣，且都不是紅色或藍色?，F(xiàn)從中隨機取出n個球（不考慮取出來的球的次序），且要求紅球和籃球一樣多。那么，當n為偶數(shù)時，可能有多少種不同

5、的選取結(jié)果？ 分析問題 4分設(shè)紅球選k個，則籃球必選k個，從而其它球應選n2k個，此時有種不同的選取結(jié)果（k0, 1, 2, , n/2）。 總的選取結(jié)果數(shù)為 4分 計算總的選取結(jié)果數(shù)為 2分二、 （10分）請利用二項式展開的方法求被13除所得的余數(shù)。 展開 3分 展開 3分 展開 3分 答：余數(shù)為3 1分三、 （10分）將n元面值為1元的人民幣分給四名同學，且要求同學甲與乙分得的錢一樣多，同學丙與丁一樣多，同時還要求甲同學至少分得2元錢。問共有多少種不同的分法？ 分析問題，化為經(jīng)典問題 2分相當于將n個相同的球放入4個不同的盒子，且甲盒與乙盒的球一樣多，丙盒與丁盒的球一樣多，同時甲盒至少放2

6、個球。 進一步轉(zhuǎn)換為兩個盒子的問題 2分相當于將n個相同的球放入2個大盒子A和B，每個盒子放偶數(shù)個球，且A盒至少放4個球。 寫母函數(shù) 2分 求的系數(shù) 2分 答：分法總數(shù)為 2分四、 （10分）設(shè)集合S1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3，試問由集合S的10個基本數(shù)字可構(gòu)成多少個不同的四位數(shù)？ 【方法1】用母函數(shù) 分析問題，寫相應的（指）母函數(shù) 4分 母函數(shù)展開 4分 答：共有79種分法 2分【方法2】直接算排列組合 集合的4排列有81種 4分 不符合要求的排列有“1111”和“2222”2個 4分 故構(gòu)成的四位數(shù)有81279個 2分五、 （10分）由a、b、c、d、e五個基

7、本符號組成n位符號串，其中希望相鄰的兩個字母不能同時為a，請問滿足條件的串共有多少個？ 設(shè)滿足要求的串有個，分析問題 3分首字母不是a的串有4個；若首字母為a，則次字母一定不是a，這樣的串有個 建立遞推關(guān)系 3分 解得 3分 答：滿足要求的串有個 1分六、 （10分）平面上有兩兩相交，但無3線共點的n條直線，試求這n條直線把平面分成多少個區(qū)域？ 設(shè)把平面劃分為個區(qū)域，分析問題 3分第n條直線被原來的n1條直線分為n段，而每一段又把所在的區(qū)域一分為二，即增加一條直線，增加n個新的區(qū)域。 建立遞推關(guān)系 3分 解得 4分七、 （10分）現(xiàn)有t種不同顏色的球，其中第i種顏色的球有個（i1, 2, ,

8、t）。要把這些球放入m個不同的盒子中，且使每個盒子至少放入一個球，問共有多少種不同的放法？ 分析問題，設(shè)全集S和子集（i1,2, , n） 3分設(shè)每個盒子不要求至少一個球的全部分配方案組成集合S，其中第i個盒子為空的所有分配方案構(gòu)成集合（i=1, 2, , m）。其次，將個相同的球放入m個不同的盒子的方案數(shù)為（即可重復組合數(shù)） 計算 4分， （k=1, 2, , m） 由逐步淘汰原理計算結(jié)果 3分八、 （10分）某班每天放學后都要打掃衛(wèi)生，其項目有掃地、整理桌椅、擦窗子和擦黑板共4項工作，故每天留下4名同學打掃衛(wèi)生，每人恰好完成其中的一項。而今天留下的4名同學中，甲愿意整理桌椅或擦窗子，乙則不

9、愿意擦窗子，丙不愿意整理桌椅，丁同學對每一項工作都不挑剔。那么，能給出多少種安排打掃衛(wèi)生的方案，使得每個同學都不用干自己不愿意干的工作？ 方法I 分析問題，對應為如下的棋盤布局問題 3分 求禁區(qū)A的棋盤多項式 2分或分離為2個小棋盤， 套公式： 3分 答案：4!4×3!5×2!2×1!0×0!8 2分九、 （10分）設(shè)n是大于1的奇數(shù)，證明在，中必有一個數(shù)能被n整除。 構(gòu)造n個正整數(shù) 4分 令，則由n為奇數(shù)知令，即（i=1,2,n） 6分 由抽屜原理知必有2個相等，設(shè)且j<k 6分 由此知n整除 6分 但n為奇數(shù)，故n不能整除，從而n必整除（1kjn1） 6分另法：張國良，劉曉東十、 （10分）桌子上放著一些大小一樣的等邊三角形木框，且每個木框的每條邊都被染成了彩色。經(jīng)統(tǒng)計，所用的顏色共有10種。那么，如果按照木框的邊的顏色異同對其進行分類，請問這些木框最多