202X屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十章圓錐曲線10.2雙曲線及其性質(zhì)課件理

1、 10.2 雙曲線及其性質(zhì)高考理數(shù)高考理數(shù) (課標(biāo)專用)考點(diǎn)一雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程考點(diǎn)一雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程(2016課標(biāo),5,5分)已知方程-=1表示雙曲線,且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4,則n的取值范圍是()A.(-1,3)B.(-1,)C.(0,3)D.(0,)22xmn223ymn33五年高考A A組組 統(tǒng)一命題統(tǒng)一命題課標(biāo)卷題組課標(biāo)卷題組答案答案 A解法一:由題意可知:c2=(m2+n)+(3m2-n)=4m2,其中c為半焦距,2c=22|m|=4,|m|=1,方程-=1表示雙曲線,(m2+n)(3m2-n)0,-m2n3m2,-1n3.故選A.解法二:原方程表示雙曲線,且焦距為4

2、,或由得m2=1,n(-1,3).無解.故選A.知識(shí)拓展知識(shí)拓展對(duì)于方程mx2+ny2=1,若表示橢圓,則m、n均為正數(shù)且mn;若表示雙曲線,則mn0,b0)的右焦點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),以O(shè)F為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P,Q兩點(diǎn).若|PQ|=|OF|,則C的離心率為()A.B.C.2D.22xa22yb235答案答案A本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)以及圓的性質(zhì);通過雙曲線的離心率考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力;考查的核心素養(yǎng)為數(shù)學(xué)運(yùn)算.如圖,|PQ|=|OF|=c,PQ過點(diǎn).P.又|OP|=a,a2=+=,=2,e=.故選A.,02c,2 2c c22c22c22c2caca2解題關(guān)鍵解題關(guān)鍵由|P

3、Q|=|OF|=c可知PQ過以O(shè)F為直徑的圓的圓心,進(jìn)而得到P是解答本題的關(guān)鍵.,2 2c c3.(2018課標(biāo),11,5分)已知雙曲線C:-y2=1,O為坐標(biāo)原點(diǎn),F為C的右焦點(diǎn),過F的直線與C的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為M,N.若OMN為直角三角形,則|MN|=()A.B.3C.2D.423x323答案答案B本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì).由雙曲線C:-y2=1可知其漸近線方程為y=x,MOx=30,MON=60,不妨設(shè)OMN=90,則易知焦點(diǎn)F到漸近線的距離為b,即|MF|=b=1,又知|OF|=c=2,|OM|=,則在RtOMN中,|MN|=|OM|tanMON=3.故選B.解題關(guān)鍵解題關(guān)鍵

4、利用雙曲線的幾何性質(zhì)求出MON的大小及|OM|的值是求解本題的關(guān)鍵.23x3334.(2018課標(biāo),5,5分)雙曲線-=1(a0,b0)的離心率為,則其漸近線方程為()A.y=xB.y=xC.y=xD.y=x22xa22yb3232232答案答案 A本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì).e=,=,雙曲線的漸近線方程為y=x=x.故選A.3ba21e 3 12ba25.(2017課標(biāo),9,5分)若雙曲線C:-=1(a0,b0)的一條漸近線被圓(x-2)2+y2=4所截得的弦長(zhǎng)為2,則C的離心率為()A.2B.C.D.22xa22yb322 33答案答案A本題主要考查雙曲線的方程和性質(zhì),直線與圓的位置關(guān)系

5、.由題意可知圓的圓心為(2,0),半徑為2.因?yàn)殡p曲線-=1的漸近線方程為y=x,即bxay=0,且雙曲線的一條漸近線與圓相交所得的弦長(zhǎng)為2,所以=,所以=.故離心率e=2.選A.22xa22ybba22|2 |bab2221ba3221ba6.(2016課標(biāo),11,5分)已知F1,F2是雙曲線E:-=1的左,右焦點(diǎn),點(diǎn)M在E上,MF1與x軸垂直,sinMF2F1=,則E的離心率為()A.B.C.D.222xa22yb132323答案答案 A解法一:不妨設(shè)M在第二象限,由MF1x軸,可得M,|MF1|=.由sinMF2F1=,可得cosMF2F1=,又tanMF2F1=,=,b2=ac,c2=

6、a2+b2b2=c2-a2,c2-a2-ac=0e2-e-1=0,e=.故選A.解法二:不妨設(shè)M在第二象限,由MF1x軸,得M,|MF1|=,由雙曲線的定義可得|MF2|=2a+|MF1|=2a+,又sinMF2F1=a2=b2a=b,e=.故選A.2,bca2ba1321132 23112|MFFF22bac22bac132 2322222222,bca2ba2ba12|MFMF222babaa1321ba27.(2015課標(biāo),5,5分)已知M(x0,y0)是雙曲線C:-y2=1上的一點(diǎn),F1,F2是C的兩個(gè)焦點(diǎn).若 0,則y0的取值范圍是()A.B.C.D.22x1MF2MF33,3333

7、,662 2 2 2,332 3 2 3,33答案答案 A不妨令F1為雙曲線的左焦點(diǎn),則F2為右焦點(diǎn),由題意可知a2=2,b2=1,c2=3.F1(-,0),F2(,0),則=(-x0)(-x0)+(-y0)(-y0)=+-3.又知-=1,=2+2, =3-10.-y0,故選A.思路分析思路分析由雙曲線方程求出F1,F2的坐標(biāo),利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算表示出,利用M在雙曲線上得=2+2,從而將轉(zhuǎn)化為僅含y0的式子,由0即可解得y0的取值范圍.解題關(guān)鍵解題關(guān)鍵依據(jù)0,b0),則A(-a,0),B(a,0),不妨設(shè)點(diǎn)M在第一象限內(nèi),則易得M(2a,a),又M點(diǎn)在雙曲線E上,于是-=1,可得b2=a2,

8、e=.思路分析思路分析設(shè)出雙曲線方程,依據(jù)題意,求出點(diǎn)M的一個(gè)坐標(biāo),代入雙曲線方程,得到關(guān)于a、b的方程,進(jìn)而可得出雙曲線E的離心率.22xa22yb322(2 )aa22( 3 )ab221ba29.(2019課標(biāo),16,5分)已知雙曲線C:-=1(a0,b0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A,B兩點(diǎn).若=,=0,則C的離心率為.22xa22yb1F AAB1FB2F B答案答案2解析解析本題考查雙曲線的幾何性質(zhì),平面向量的線性運(yùn)算,平面向量數(shù)量積的性質(zhì)等知識(shí);考查學(xué)生的推理論證能力、運(yùn)算求解能力及應(yīng)用意識(shí);考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算.雙曲線-=1

9、(a0,b0)的漸近線方程為y=x,=0,F1BF2B,點(diǎn)B在O:x2+y2=c2上,如圖所示,不妨設(shè)點(diǎn)B在第一象限,由得點(diǎn)B(a,b),22xa22ybba1FB2F B222222,0byxaxycabcx=,點(diǎn)A為線段F1B的中點(diǎn),A,將其代入y=-x得=.解得c=2a,故e=2.思路分析利用=0得出點(diǎn)B在O:x2+y2=c2上,結(jié)合點(diǎn)B在漸近線上求得點(diǎn)B的坐標(biāo),進(jìn)而利用=得點(diǎn)A的坐標(biāo),由點(diǎn)A在另一條漸近線上可得a與c的關(guān)系,從而求得離心率.疑難突破求點(diǎn)B的坐標(biāo)是難點(diǎn),垂直關(guān)系可以與圓聯(lián)系,也可以轉(zhuǎn)化為直角三角形,求邊的關(guān)系.一題多解一題多解一題多解一:如圖,由=知A為線段F1B的中點(diǎn),

10、O為線段F1F2的中點(diǎn),OAF2B,=0,F1BF2B,OAF1A且F1OA=OF2B,BOF2=AOF1,BOF2=OF2B,又易知|OB|=|OF2|=c,OBF2為正三角形,1F AAB,22ac bba2bba2acca1FB2F B1F AAB1F AAB1FB2F B可知=tan60=,e=2.一題多解二:如圖,設(shè)AOy=,則BOy=,=,A為線段F1B的中點(diǎn),又O為線段F1F2的中點(diǎn),OABF2,OBF2=2.過B作BHOF2,垂足為H,則BHy軸,則有OBH=,HBF2=,易得OBH F2BH,|OB|=|BF2|,=0,ba3ca221ba1F AAB2F B1FBBF1BF

11、2,又O為F1F2的中點(diǎn),|OB|=|OF2|=c,OBF2為正三角形.BOF2=60,則=tan60=,e=2.ba3ca221ba1.(2017天津,5,5分)已知雙曲線-=1(a0,b0)的左焦點(diǎn)為F,離心率為.若經(jīng)過F和P(0,4)兩點(diǎn)的直線平行于雙曲線的一條漸近線,則雙曲線的方程為()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=122xa22yb224x24y28x28y24x28y28x24yB B組組 自主命題自主命題省省( (區(qū)、市區(qū)、市) )卷題組卷題組考點(diǎn)一雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程考點(diǎn)一雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程答案答案 B本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.由離心率為可知

12、a=b,c=a,所以F(-a,0),由題意可知kPF=1,所以a=4,解得a=2,所以雙曲線的方程為-=1,故選B.方法總結(jié)方法總結(jié)求雙曲線的方程的常用方法:(1)待定系數(shù)法:設(shè)出所求雙曲線的方程,根據(jù)題意構(gòu)造關(guān)于參數(shù)a,b的方程組,從而解方程組求出參數(shù)a和b的值;(2)定義法:根據(jù)題意得到動(dòng)點(diǎn)所滿足的關(guān)系式,結(jié)合雙曲線的定義求出動(dòng)點(diǎn)所滿足的軌跡方程.222400(2 )a 42a2228x28y2.(2016天津,6,5分)已知雙曲線-=1(b0),以原點(diǎn)為圓心,雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為半徑長(zhǎng)的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A,B,C,D四點(diǎn),四邊形ABCD的面積為2b,則雙曲線的方程為()A.-=

13、1B.-=1C.-=1D.-=124x22yb24x234y24x243y24x24y24x212y答案答案 D設(shè)A(x0,y0),不妨令其在第一象限,由題意得可得=,=,結(jié)合2x02y0=2b,可得b2=12.所以雙曲線的方程為-=1.故選D.22200002 ,2xybyx20 x2164b20y24b2164b2244bb24x212y3.(2015天津,6,5分)已知雙曲線-=1(a0,b0)的一條漸近線過點(diǎn)(2,),且雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線y2=4x的準(zhǔn)線上,則雙曲線的方程為()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=122xa22yb37221x228y228x221y23x24y

14、24x23y答案答案D由題意知點(diǎn)(2,)在漸近線y=x上,所以=,又因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線為x=-,所以c=,故a2+b2=7,所以a=2,b=.故雙曲線的方程為-=1.選D.3baba3277324x23y1.(2019浙江,2,4分)漸近線方程為xy=0的雙曲線的離心率是()A.B.1C.D.2222考點(diǎn)二雙曲線的幾何性質(zhì)考點(diǎn)二雙曲線的幾何性質(zhì)答案答案C本題考查雙曲線的漸近線、離心率;考查學(xué)生的運(yùn)算求解的能力;體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).漸近線方程為y=x,a=b,c=a,e=,故選C.解題關(guān)鍵解題關(guān)鍵正確理解雙曲線方程與漸近線方程的關(guān)系,從而得出a與c的關(guān)系.2ca22.(2019天津,5,5分

15、)已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l.若l與雙曲線-=1(a0,b0)的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,且|AB|=4|OF|(O為原點(diǎn)),則雙曲線的離心率為()A.B.C.2D.22xa22yb235答案答案 D本題主要考查雙曲線的離心率,拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程,通過圓錐曲線的性質(zhì)考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力,滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).如圖,由題意可知拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1,|AB|=4|OF|=4,A(-1,2),又點(diǎn)A在直線y=-x上,2=-(-1),=2,雙曲線的離心率e=.故選D.bababa221ba1453.(2016浙江,7,5分)已知橢圓C1:+y2=

16、1(m1)與雙曲線C2:-y2=1(n0)的焦點(diǎn)重合,e1,e2分別為C1,C2的離心率,則()A.mn且e1e21B.mn且e1e21C.m1D.mn且e1e21,=1,即e1e21.結(jié)合圖形易知mn,故選A.思路分析思路分析根據(jù)焦點(diǎn)重合可得m2與n2之間的關(guān)系,進(jìn)而建立關(guān)于m的解析式,然后判定范圍即可.評(píng)析評(píng)析本題考查了橢圓、雙曲線的方程和基本性質(zhì).考查了運(yùn)算求解能力.21m 21mm21n 21nn21e22e2222(1)(1)mnmn2222(1)(2)mmm21e22e221tt 21e22e4.(2019江蘇,7,5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若雙曲線x2-=1(b0)經(jīng)過點(diǎn)(

17、3,4),則該雙曲線的漸近線方程是.22yb答案答案y=x2解析解析本題主要考查雙曲線漸近線方程,考查了運(yùn)算求解能力,考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算.由雙曲線x2-=1(b0)經(jīng)過點(diǎn)(3,4),得9-=1,解得b=,又b0,所以b=,易知雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,故雙曲線的漸近線方程為y=x=x.22yb216b22ba25.(2018江蘇,8,5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若雙曲線-=1(a0,b0)的右焦點(diǎn)F(c,0)到一條漸近線的距離為c,則其離心率的值是.22xa22yb32答案答案2解析解析本題考查雙曲線的性質(zhì).雙曲線的一條漸近線方程為bx-ay=0,則F(c,0)到這條漸近線的距離為=c,

18、b=c,b2=c2,又b2=c2-a2,c2=4a2,e=2.22|()bcba 323234ca6.(2017山東,14,5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,雙曲線-=1(a0,b0)的右支與焦點(diǎn)為F的拋物線x2=2py(p0)交于A,B兩點(diǎn).若|AF|+|BF|=4|OF|,則該雙曲線的漸近線方程為.22xa22yb答案答案 y=x22解析解析本題考查雙曲線、拋物線的基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力和方程的思想方法.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).因?yàn)?|OF|=|AF|+|BF|,所以4=y1+y2+,即y1+y2=p.由消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2=0,所以y1+y2=.由可得

19、=,故雙曲線的漸近線方程為y=x.2p2p2p222222,1xpyxyab222pbaba2222思路分析思路分析由拋物線的定義和|AF|+|BF|=4|OF|可得y1+y2的值(用p表示).再聯(lián)立雙曲線和拋物線的方程,消去x得關(guān)于y的一元二次方程,由根與系數(shù)的關(guān)系得y1+y2.從而得的值,進(jìn)而得漸近線方程.解題關(guān)鍵解題關(guān)鍵求漸近線方程的關(guān)鍵是求的值,利用題中條件建立等量關(guān)系是突破口,注意到|AF|、|BF|為焦半徑,因此應(yīng)利用焦半徑公式求解.又A、B為兩曲線的交點(diǎn),因此應(yīng)聯(lián)立它們的方程求解.這樣利用y1+y2這個(gè)整體來建立等量關(guān)系便可求解.baba7.(2016北京,13,5分)雙曲線-=

20、1(a0,b0)的漸近線為正方形OABC的邊OA,OC所在的直線,點(diǎn)B為該雙曲線的焦點(diǎn).若正方形OABC的邊長(zhǎng)為2,則a=.22xa22yb答案答案2解析解析由OA、OC所在直線為漸近線,且OAOC,知兩條漸近線的夾角為90,從而雙曲線為等軸雙曲線,則其方程為x2-y2=a2.OB是正方形的對(duì)角線,且點(diǎn)B是雙曲線的焦點(diǎn),則c=2,根據(jù)c2=2a2可得a=2.評(píng)析評(píng)析本題考查等軸雙曲線及其性質(zhì).21.(2015廣東,7,5分)已知雙曲線C:-=1的離心率e=,且其右焦點(diǎn)為F2(5,0),則雙曲線C的方程為()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=122xa22yb5424x23y29x216y2

21、16x29y23x24yC C組組 教師專用題組教師專用題組考點(diǎn)一雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程考點(diǎn)一雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程答案答案 C由已知得解得故b=3,從而所求的雙曲線方程為-=1,故選C.5,45,cac5,4,ca216x29y2.(2014大綱全國,9,5分)已知雙曲線C的離心率為2,焦點(diǎn)為F1、F2,點(diǎn)A在C上.若|F1A|=2|F2A|,則cosAF2F1=()A.B.C.D.14132423答案答案A由題意得解得|F2A|=2a,|F1A|=4a,又由已知可得=2,所以c=2a,即|F1F2|=4a,cosAF2F1=.故選A.1212| 2 ,| 2|,F AF AaF AF Ac

22、a2222121212|2 | |F AFFF AF AFF222416162 24aaaaa141.(2018浙江,2,4分)雙曲線-y2=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()A.(-,0),(,0)B.(-2,0),(2,0)C.(0,-),(0,)D.(0,-2),(0,2)23x2222考點(diǎn)二雙曲線的幾何性質(zhì)考點(diǎn)二雙曲線的幾何性質(zhì)答案答案 B本小題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì).a2=3,b2=1,c=2.又焦點(diǎn)在x軸上,雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,0),(2,0).易錯(cuò)警示易錯(cuò)警示求雙曲線焦點(diǎn)坐標(biāo)的易錯(cuò)點(diǎn)(1)焦點(diǎn)在x軸上還是y軸上,容易判斷錯(cuò)誤;(2)雙曲線與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中,a,b,c的關(guān)系式容易混

23、淆.22ab2.(2015四川,5,5分)過雙曲線x2-=1的右焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線,交該雙曲線的兩條漸近線于A,B兩點(diǎn),則|AB|=()A.B.2C.6D.423y4 3333答案答案D雙曲線x2-=1的右焦點(diǎn)為F(2,0),其漸近線方程為xy=0.不妨設(shè)A(2,2),B(2,-2),所以|AB|=4,故選D.23y33333.(2015湖北,8,5分)將離心率為e1的雙曲線C1的實(shí)半軸長(zhǎng)a和虛半軸長(zhǎng)b(ab)同時(shí)增加m(m0)個(gè)單位長(zhǎng)度,得到離心率為e2的雙曲線C2,則()A.對(duì)任意的a,b,e1e2B.當(dāng)ab時(shí),e1e2;當(dāng)ab時(shí),e1e2C.對(duì)任意的a,b,e1b時(shí),e1e2;當(dāng)ae

24、2答案答案D依題意有e1=,e2=.而-=,a0,b0,m0,當(dāng)ab時(shí),有e1e2;當(dāng)a,有e1e2.故選D.22aba21ba22()()ambmam21bmambabmam()()ba ma ambabmambabmam4.(2015重慶,10,5分)設(shè)雙曲線-=1(a0,b0)的右焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A,過F作AF的垂線與雙曲線交于B,C兩點(diǎn),過B,C分別作AC,AB的垂線,兩垂線交于點(diǎn)D.若D到直線BC的距離小于a+,則該雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是()A.(-1,0)(0,1)B.(-,-1)(1,+)C.(-,0)(0,)D.(-,-)(,+)22xa22yb22ab2222答案答

25、案A由題知F(c,0),A(a,0),不妨令B點(diǎn)在第一象限,則B,C,kAB=,CDAB,kCD=,直線CD的方程為y+=(x-c).由雙曲線的對(duì)稱性,知點(diǎn)D在x軸上,得xD=+c,點(diǎn)D到直線BC的距離為c-xD,a+=a+c,b4a2(c-a)(c+a)=a2b2,b2a2,0)的一個(gè)焦點(diǎn),則點(diǎn)F到C的一條漸近線的距離為()A.B.3C.mD.3m33答案答案 A由題意知,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1,其中a2=3m,b2=3,故c=,不妨取F(,0),一條漸近線為y=x,化成一般式即為x-y=0,由點(diǎn)到直線的距離公式可得d=,故選A.思路分析思路分析將雙曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,求出一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)

26、和一條漸近線方程,再由點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算即可.知識(shí)延伸知識(shí)延伸任何雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離恒為定值b(其中b為虛半軸長(zhǎng)).23xm23y22ab33m33m1mm2|31|1()mm 36.(2013課標(biāo),4,5分)已知雙曲線C:-=1(a0,b0)的離心率為,則C的漸近線方程為()A.y=xB.y=xC.y=xD.y=x22xa22yb52141312答案答案C=,C的漸近線方程為y=x.故選C.思路分析思路分析由雙曲線離心率與的關(guān)系可得=,由此即可寫出漸近線方程.ba21e 5141212baba127.(2012課標(biāo),8,5分)等軸雙曲線C的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,C與拋物線y

27、2=16x的準(zhǔn)線交于A,B兩點(diǎn),|AB|=4,則C的實(shí)軸長(zhǎng)為()A.B.2C.4D.8322答案答案 C如圖,AB為拋物線y2=16x的準(zhǔn)線,由題意可得A(-4,2).設(shè)雙曲線C的方程為x2-y2=a2(a0),則有16-12=a2,故a=2,雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)2a=4.故選C.評(píng)析評(píng)析本題考查了雙曲線和拋物線的基礎(chǔ)知識(shí),考查了方程的數(shù)學(xué)思想,要注意雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2a.38.(2011課標(biāo),7,5分)設(shè)直線l過雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn),且與C的一條對(duì)稱軸垂直,l與C交于A,B兩點(diǎn),|AB|為C的實(shí)軸長(zhǎng)的2倍,則C的離心率為()A.B.C.2D.323答案答案B不妨設(shè)雙曲線C為-=1(a0,b0),并設(shè)

28、l過F2(c,0)且垂直于x軸,則易求得|AB|=,=22a,b2=2a2,離心率e=,故選B.錯(cuò)因分析錯(cuò)因分析將|AB|求錯(cuò)或者將實(shí)軸長(zhǎng)視作a是致錯(cuò)的主要原因.評(píng)析評(píng)析本題主要考查雙曲線的方程、離心率和實(shí)軸等幾何性質(zhì),屬中等難度題目.22xa22yb22ba22baca221ba39.(2017北京,9,5分)若雙曲線x2-=1的離心率為,則實(shí)數(shù)m=.2ym3答案答案2解析解析本題考查雙曲線的性質(zhì).由題意知,a2=1,b2=m.e=,m=2.ca221ba11m310.(2016江蘇,3,5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,雙曲線-=1的焦距是.27x23y答案答案210解析解析由-=1,得a2

29、=7,b2=3,所以c2=10,c=,所以2c=2.27x23y101011.(2016山東,13,5分)已知雙曲線E:-=1(a0,b0).若矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在E上,AB,CD的中點(diǎn)為E的兩個(gè)焦點(diǎn),且2|AB|=3|BC|,則E的離心率是.22xa22yb答案答案2解析解析由已知得|AB|=|CD|=,|BC|=|AD|=|F1F2|=2c.因?yàn)?|AB|=3|BC|,所以=6c,又b2=c2-a2,所以2e2-3e-2=0,解得e=2,或e=-(舍去).評(píng)析評(píng)析本題考查了雙曲線的基本性質(zhì),利用2|AB|=3|BC|和b2=c2-a2構(gòu)造關(guān)于離心率e的方程是求解的關(guān)鍵.22ba24ba

30、1212.(2015湖南,13,5分)設(shè)F是雙曲線C:-=1的一個(gè)焦點(diǎn).若C上存在點(diǎn)P,使線段PF的中點(diǎn)恰為其虛軸的一個(gè)端點(diǎn),則C的離心率為.22xa22yb答案答案5解析解析不妨設(shè)F為左焦點(diǎn)(-c,0),點(diǎn)P在第一象限,因?yàn)榫€段PF的中點(diǎn)恰為雙曲線C虛軸的一個(gè)端點(diǎn),所以由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得P(c,2b),又P在雙曲線C上,-=1,=5,e=.22ca22(2 )bb22caca513.(2015山東,15,5分)平面直角坐標(biāo)系xOy中,雙曲線C1:-=1(a0,b0)的漸近線與拋物線C2:x2=2py(p0)交于點(diǎn)O,A,B.若OAB的垂心為C2的焦點(diǎn),則C1的離心率為.22xa22yb答案答案

31、 32解析解析設(shè)點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè),拋物線C2的焦點(diǎn)為F,則F.由和分別解得A,B.F為OAB的垂心,AFOB,kAFkOB=-1,即=-14b2=5a24(c2-a2)=5a2=,e=.0,2p22,xpybyxa 22,xpybyxa2222,bpb paa2222,bpb paa22222b ppabpaba22ca94ca3214.(2014江西,20,13分)如圖,已知雙曲線C:-y2=1(a0)的右焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A,B分別在C的兩條漸近線上,AFx軸,ABOB,BFOA(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).(1)求雙曲線C的方程;(2)過C上一點(diǎn)P(x0,y0)(y00)的直線l:-y0y=1與直線AF相交

32、于點(diǎn)M,與直線x=相交于點(diǎn)N.證明:當(dāng)點(diǎn)P在C上移動(dòng)時(shí),恒為定值,并求此定值.22xa02x xa32|MFNF解析解析(1)設(shè)F(c,0),因?yàn)閎=1,所以c=,直線OB的方程為y=-x,直線BF的方程為y=(x-c),解得B.又直線OA的方程為y=x,則A,kAB=.又因?yàn)锳BOB,所以=-1,解得a2=3,故雙曲線C的方程為-y2=1.(2)由(1)知a=,則直線l的方程為-y0y=1(y00),即y=.因?yàn)橹本€AF的方程為x=2,所以直線l與AF的交點(diǎn)為M;直線l與直線x=的交點(diǎn)為N21a 1a1a,22cca1a,cca22ccaacc 3a3a1a23x303x x0033x xy

33、00232,3xy32,則=.因?yàn)镻(x0,y0)是C上一點(diǎn),則-=1,代入上式得=,所求定值為=.003332,23xy22|MFNF20202020(23)(3)33124(3)xyxy202200(23)99(2)44xyx43202200(23)33(2)xyx203x20y22|MFNF43202200(23)33(2)xxx 4320200(23)4129xxx43|MFNF232 33考點(diǎn)一雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程考點(diǎn)一雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程1.(2019河南洛陽尖子生第二次聯(lián)考,4)經(jīng)過點(diǎn)(2,1),且漸近線與圓x2+(y-2)2=1相切的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.-=1B.-y

34、2=1C.-=1D.-=12113x211y22x2113y211x211y2113x三年模擬A組 20172019年高考模擬考點(diǎn)基礎(chǔ)題組答案答案A設(shè)雙曲線的漸近線方程為y=kx,即kx-y=0,由漸近線與圓x2+(y-2)2=1相切可得圓心(0,2)到漸近線的距離等于半徑1,由點(diǎn)到直線的距離公式可得=1,解得k=.因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn)(2,1),所以雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,可設(shè)雙曲線的方程為-=1(a0,b0),將(2,1)代入可得-=1,由得故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1.故選A.一題多解設(shè)雙曲線的方程為mx2-ny2=1(mn0),將(2,1)代入方程可得,4m-n=1.雙曲線的漸近線方程為y

35、=x,圓x2+(y-2)2=1的圓心為(0,2),半徑為1,由漸近線與圓x2+(y-2)2=1相切,可得=1,即=3,由可得m=,n=,所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1,故選A.解后反思解后反思用待定系數(shù)法求雙曲線的方程時(shí),先確定焦點(diǎn)在x軸還是y軸上,設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程,再由條件確定a2,b2的值,即“先定型,再定量”,如果焦點(diǎn)的位置不好確定,可將雙曲線的方程設(shè)為-=(0)或mx2-ny2=1(mn0),再根據(jù)條件求解.2|02|1kk 322xa22yb24a21b22411,3abba2211,311,ab2113x211ymn21mnmn3111112113x211y22xm22yn2.(201

36、9河南鄭州一模,7)已知雙曲線C:-=1(a0,b0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,實(shí)軸長(zhǎng)為6,漸近線方程為y=x,動(dòng)點(diǎn)M在雙曲線左支上,點(diǎn)N為圓E:x2+(y+)2=1上一點(diǎn),則|MN|+|MF2|的最小值為()A.8B.9C.10D.1122xa22yb136答案答案 B由題意知2a=6,則a=3,又由=得b=1,所以c=,則F1(-,0).根據(jù)雙曲線的定義知|MF2|=2a+|MF1|=|MF1|+6,所以|MN|+|MF2|=|MN|+|MF1|+6=|EN|+|MN|+|MF1|+5|F1E|+5=+5=9,當(dāng)且僅當(dāng)F1,M,N,E共線時(shí)取等號(hào),故選B.ba1322ab101022(

37、 10)(6) 3.(2019河北石家莊二中3月模擬,10)已知雙曲線C:-=1(b0),F1,F2分別為C的左、右焦點(diǎn),過F2的直線l分別交C的左、右支于點(diǎn)A,B,且|AF1|=|BF1|,則|AB|=()A.4B.8C.16D.32216x22yb答案答案C由雙曲線定義知|AF2|-|AF1|=2a,|BF1|-|BF2|=2a,由于|AF1|=|BF1|,所以兩式相加可得|AF2|-|BF2|=4a,而|AB|=|AF2|-|BF2|,|AB|=4a,由雙曲線方程知a=4,|AB|=16,故選C.4.(2019豫東豫北十所名校第五次聯(lián)考,15)已知雙曲線E:-=1(a0,b0)的左、右焦

38、點(diǎn)分別為F1,F2,過點(diǎn)F1的直線l與雙曲線的左、右兩支分別交于A,B兩點(diǎn).若ABF2的內(nèi)切圓與邊AB,BF2,AF2分別相切于點(diǎn)M,N,P,且AP的長(zhǎng)為4,則a的值為.22xa22yb答案答案2解析解析由題意知|BM|=|BN|,|F2P|=|F2N|,|AM|=|AP|,則|BF1|-|BF2|=|MF1|-|NF2|=2a,又|AF2|-|AF1|=2a,則|AF1|=|AF2|-2a,所以|BF1|-|BF2|=|MA|+|AF1|-|NF2|=|MA|+|AP|+|PF2|-2a-|NF2|=8-2a=2a,所以a=2.5.(2018河北名校名師俱樂部二調(diào),15)已知F1、F2分別是

39、雙曲線x2-=1(b0)的左、右焦點(diǎn),A是雙曲線上在第一象限內(nèi)的點(diǎn),若|AF2|=2且F1AF2=45,延長(zhǎng)AF2交雙曲線的右支于點(diǎn)B,則F1AB的面積等于.22yb答案答案4解析解析由題意知a=1,由雙曲線定義知|AF1|-|AF2|=2a=2,|BF1|-|BF2|=2a=2,|AF1|=2+|AF2|=4,|BF1|=2+|BF2|.由題意知|AB|=|AF2|+|BF2|=2+|BF2|,|BA|=|BF1|,BAF1為等腰三角形,F1AF2=45,ABF1=90,BAF1為等腰直角三角形.|BA|=|BF1|=|AF1|=4=2.=|BA|BF1|=22=4.222221F ABS1

40、212221.(2019河南鶴壁高中4月模擬,5)設(shè)F1,F2是雙曲線C:-=1(a0,b0)的左、右焦點(diǎn),P是雙曲線C右支上一點(diǎn),若|PF1|+|PF2|=4a,且F1PF2=60,則雙曲線C的漸近線方程是()A.xy=0B.2xy=0C.x2y=0D.2xy=022xa22yb3733考點(diǎn)二雙曲線的幾何性質(zhì)考點(diǎn)二雙曲線的幾何性質(zhì)答案答案 CF1,F2是雙曲線的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P在雙曲線右支上,由雙曲線定義可得|PF1|-|PF2|=2a,又知|PF1|+|PF2|=4a,|PF1|=3a,|PF2|=a.在PF1F2中,由余弦定理的推論可得cos60=,即=,3a2=10a2-4c2,即4c

41、2=7a2,又知b2+a2=c2,=,雙曲線C的漸近線方程為y=x,即x2y=0,故選C.222121212|2| |PFPFFFPFPF12222(3 )42 3aacaa22ba343232.(2019湖南長(zhǎng)沙3月統(tǒng)一考試,6)已知F1,F2分別是雙曲線C:y2-x2=1的上、下焦點(diǎn),P是其一條漸近線上的一點(diǎn),且以F1F2為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)P,則PF1F2的面積為()A.B.1C.D.2222答案答案 C設(shè)P(x0,y0),不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線C的過一、三象限的漸近線x-y=0上,因此可得x0-y0=0.F1(0,),F2(0,-),所以|F1F2|=2,以F1F2為直徑的圓的方程為x2+y2

42、=2,又以F1F2為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)P,所以+=2.由得|x0|=1,于是=|F1F2|x0|=21=,故選C.22220 x20y0022000,2xyxy1 2PFFS1212223.(2019湖南長(zhǎng)沙雅禮中學(xué)第八次模擬,11)已知雙曲線-=1(a0,b0)的左、右焦點(diǎn)為F1、F2,在雙曲線上存在點(diǎn)P滿足2|+|,則此雙曲線的離心率e的取值范圍是()A.1e2B.e2C.1b0)的右焦點(diǎn),A,B是雙曲線C的一條漸近線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn),AFBF,且AF的中點(diǎn)在雙曲線C上,則C的離心率為()A.-1B.C.D.+122xa22yb53125123答案答案AF為雙曲線C:-=1(ab0)的右焦

43、點(diǎn),F的坐標(biāo)為(c,0).設(shè)A,B是雙曲線C的一條漸近線y=x上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn),A(x00),B,=,=,AFBF,(x0-c)(-x0-c)+x0=0,-c2+=0,又a2+b2=c2,=c2,即=a2,x00,x0=a,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,b),AF的中點(diǎn)坐標(biāo)為,又AF的中點(diǎn)在雙曲線C上,-=1,即-=1,(e+1)2=5,已知e1,e=-1,故選A.22xa22ybba00,bxxa00,bxxaFA00,bxcxaFB00,bxcxaba0bxa20 x22ba20 x22ca20 x20 x,22ac b222aca222bb2(1)4e1455.(2019福建福州3月聯(lián)考,10)

44、如圖,雙曲線C:-=1(a0,b0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過F2作直線與C的漸近線交于P點(diǎn),若等腰PF1F2的底邊PF2的長(zhǎng)等于C的半焦距,則C的離心率為()A.B.C.D.22xa22yb2 33232 6332答案答案C依題意得,kOP=,在等腰PF1F2中,cosPF2F1=,所以|OP|2=c2+c2-2c2cosPF2F1=c2,所以|OP|=c,所以cosF2OP=,所以tanF2OP=,所以=,解得e=,故選C.ba222caa21e 212|2|PFF F22cc1432622|2|OPOF6415321e 1532 636.(2018河南4月適應(yīng)性測(cè)試,9)已知F1、

45、F2分別是雙曲線-=1(a0,b0)的左、右焦點(diǎn),P是雙曲線上一點(diǎn),若|PF1|+|PF2|=6a,且PF1F2的最小內(nèi)角為,則雙曲線的漸近線方程為()A.y=2xB.y=xC.y=xD.y=x22xa22yb612222答案答案D不妨設(shè)P為雙曲線右支上一點(diǎn),則|PF1|PF2|,由雙曲線的定義得|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|+|PF2|=6a,所以|PF1|=4a,|PF2|=2a.又因?yàn)樗訮F1F2為最小內(nèi)角,故PF1F2=.由余弦定理的推論,可得=,即(a-c)2=0,所以c=a,則b=a,所以雙曲線的漸近線方程為y=x,故選D.22 ,42 ,caaa6222(4 )(2

46、 )(2 )2 42acaac323322一、選擇題一、選擇題( (每題每題5 5分分, ,共共4040分分) )B組 20172019年高考模擬專題綜合題組(時(shí)間：45分鐘 分值：50分)1.(2019河南洛陽二模,8)已知雙曲線-=1(a0,b0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)P(2,)在雙曲線上,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差數(shù)列,則該雙曲線的方程為()A.x2-y2=1B.-=1C.x2-=1D.-=122xa22yb322x23y23y216x24y答案答案A|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差數(shù)列,|PF1|+|PF2|=4c.點(diǎn)P位于第一象限,|PF1|-|

47、PF2|=2a,|PF1|=2c+a,|PF2|=2c-a,cosPF2F1=,又點(diǎn)P(2,)在雙曲線上,sinPF2F1=,+=1,化簡(jiǎn)得(c-2a)2+3=(2c-a)2,即c2-a2=b2=1,又-=1,a2=1,雙曲線的方程為x2-y2=1,故選A.2224(2)(2)4 (2)ccacacca22caca332ca222caca23(2)ca24a23b2.(2019安徽五校聯(lián)盟第二次質(zhì)檢,4)-=4表示的曲線方程為()A.-=1(x-2)B.-=1(x2)C.-=1(y-2)D.-=1(y2)22(3)xy22(3)xy24x25y24x25y24y25x24y25x答案答案C的幾

48、何意義為點(diǎn)M(x,y)到點(diǎn)F1(0,3)的距離,的幾何意義為點(diǎn)M(x,y)到點(diǎn)F2(0,-3)的距離,則-=4表示點(diǎn)M(x,y)到點(diǎn)F1(0,3)的距離與到點(diǎn)F2(0,-3)的距離的差為4,且40,b0)的左、右焦點(diǎn),P為雙曲線右支上任一點(diǎn),若的最小值為8a,則該雙曲線離心率e的取值范圍是()A.(0,2)B.(1,3C.2,3)D.3,+)22xa22yb212|PFPF答案答案B由雙曲線定義可知|PF1|-|PF2|=2a,|PF1|=2a+|PF2|,=+|PF2|+4a2+4a=8a,當(dāng)且僅當(dāng)|PF2|=,即|PF2|=2a時(shí),等號(hào)成立.的最小值為8a,|PF2|=2a,|PF1|=4

49、a.點(diǎn)P在雙曲線右支上,|PF1|+|PF2|F1F2|,當(dāng)且僅當(dāng)P1、F1、F2三點(diǎn)共線且點(diǎn)P為右頂點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立,即6a2c,e3,又e1,e(1,3,故選B.知識(shí)拓展知識(shí)拓展點(diǎn)P是雙曲線-=1(a0,b0)右支上一點(diǎn),F1,F2是左、右焦點(diǎn),則有|PF2|min=c-a,|PF1|min=c+a.212|PFPF222(2|)|aPFPF222224|4 |aPFa PFPF224|aPF2224|aPFPF224|aPF212|PFPF22xa22yb4.(2019湖南衡陽二模,9)已知雙曲線E:-=1(a0,b0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心,OF1的長(zhǎng)為半徑作圓,

50、O與E在第一象限交于點(diǎn)P,若直線PF1的傾斜角為且sin2=,則雙曲線E的離心率為()A.B.C.2D.422xa22yb34243答案答案 C由題意知F1PF2=,即PF1F2為直角三角形,sin=,cos=,|PF2|=2csin,|PF1|=2ccos,由雙曲線定義知|PF1|-|PF2|=2a,即2ccos-2csin=2a,cos-sin=,兩邊平方得1-sin2=,e2=4,又知e1,e=2,故選C.22|2PFc1|2PFcac22ac21e5.(2019安徽宣城二模,10)已知雙曲線C:-=1(a0,b0)的左、右焦分別為F1、F2,O為坐標(biāo)原點(diǎn),P是雙曲線在第一象限內(nèi)的點(diǎn),直

51、線PO交雙曲線C左支于點(diǎn)M,直線PF2交雙曲線C右支于點(diǎn)N,若|PF1|=2|PF2|,且MF2N=60,則雙曲線C的漸近線方程為()A.y=xB.y=xC.y=2xD.y=2x22xa22yb2222答案答案A連接F1M.點(diǎn)P是雙曲線C在第一象限內(nèi)的點(diǎn),|PF1|-|PF2|=2a,又知|PF1|=2|PF2|,|PF1|=4a,|PF2|=2a,直線PO交雙曲線C左支于點(diǎn)M,由對(duì)稱性可知,|PO|=|OM|,又|OF1|=|OF2|,四邊形PF1MF2為平行四邊形,|MF2|=|PF1|=4a.在POF2中,由余弦定理得4a2=|PO|2+c2-2c|PO|cosBACPOF2,在POF1

52、中,由余弦定理得16a2=|PO|2+c2+2c|PO|cosPOF2,由+得20a2=2|PO|2+2c2,|PO|2=10a2-c2,即|PO|=,|PM|=2,又直線PF2交雙曲線C右支于點(diǎn)N,且MF2N=60,MF2P=120.在PMF2中,由余弦定理得4(10a2-c2)=4a2+16a2-22a4acos120,即c2=3a2,又知c2=a2+b2,a2+b2=3a2,=2,=,雙曲線C的漸近線方程為y=x,故選A.2210ac2210ac22baba226.(2019湖南岳陽二模,11)設(shè)雙曲線C:-=1(a0,b0)的右焦點(diǎn)為F,O為坐標(biāo)原點(diǎn),若雙曲線及其漸近線上各存在一點(diǎn)Q,

53、P,使得四邊形OPFQ為矩形,則其離心率為()A.B.2C.D.22xa22yb356答案答案A如圖,作PHx軸于點(diǎn)H,設(shè)點(diǎn)P(xP,yP),易知OH=xP,PH=yP,OPHOFP,所以=,則xPOF=OP2xP=又由于點(diǎn)P在漸近線y=x上,因此有yP=xP=,即P.設(shè)點(diǎn)Q(xQ,yQ),由PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為可知,xQ=c-=,yQ=-yP=-,即Q.將點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入雙曲線方程結(jié)合a2+b2=c2可得c2=3a2,即e=.思路分析思路分析根據(jù)題意,借助平面幾何知識(shí)求出點(diǎn)P的坐標(biāo),利用矩形對(duì)角線的性質(zhì)及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得點(diǎn)Q的坐標(biāo),將點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入雙曲線方程得a2與c2的關(guān)系式,從而求得離心率.O

54、HOPOPOF2OPOF2,acbabaabc2,aabcc,02c2ac2bcabc2,babcc37.(2018山西太原五中4月月考,11)已知F1、F2是雙曲線-=1(a0,b0)的左、右焦點(diǎn),過F1的直線l與雙曲線的左支交于點(diǎn)A,與右支交于點(diǎn)B,若|AF1|=2a,F1AF2=,則=()A.1B.C.D.22xa22yb231 22AFFABFSS121323答案答案B如圖所示,由雙曲線定義可知|AF2|-|AF1|=2a.又|AF1|=2a,所以|AF2|=4a,因?yàn)镕1AF2=,所以=|AF1|AF2|sinF1AF2=2a4a=2a2.設(shè)|BF2|=m,由雙曲線定義可知|BF1|

55、-|BF2|=2a,所以|BF1|=2a+|BF2|,又知|BF1|=2a+|BA|,所以|BA|=|BF2|.又知BAF2=,所以BAF2為等邊三角形,邊長(zhǎng)為4a,所以=|AB|2=(4a)2=4a2,所以=,故選B.231 2AFFS121232332ABFS343431 22AFFABFSS222 34 3aa12思路分析思路分析利用雙曲線定義及|AF1|=2a求得|AF2|,從而利用三角形面積公式求出;在BF1F2中,利用雙曲線定義得|BA|=|BF2|,從而得ABF2為等邊三角形,進(jìn)一步可求得,最后得面1 2AFFS2ABFS積的比值.解題關(guān)鍵解題關(guān)鍵利用雙曲線定義得|BF1|-|BF2|=2a,進(jìn)而結(jié)合|BF1|=2a+|BA|得出|BA|=|BF2|是求解本題的關(guān)鍵.8.(2017福建福州3月質(zhì)檢,11)已知雙曲線E:-=1(a0,b0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,|F1F2|=6,P是E右支上的一點(diǎn),PF1與y軸交于點(diǎn)A,PAF2的內(nèi)切