相似三角形添加輔助線的方法舉例有答案

1、相似三角形添加輔助線的方法舉例例1:已知：如圖，ABC中，AB=AC,BD)±AC于D.求證：BG=2CD-AC.例2.已知梯形ABCD中，ADBC,BC3AD,E是月AB上的一點，連結CE(1)如果CEAB,ABCD,BE3AE,求B的度數(shù)；BE(2)設BCE和四邊形AECD的面積分別為S1和S2,且2s3S2，試求-BE的值AE111AF-AD例3.如圖4-1,已知平行四邊ABCD中，E是AB的中點，3，連E、F交AC于G.求AG:AC的值.例4、如圖45,B為AC的中點，E為BD的中點，則AF:AE=OE 交 BC例5、如圖4-7,已知平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于

2、。點，E為AB延長線上一點,于F,若AB=a,BC=b,BE=g求BF的長.ABBD例6、已知在ABC中，AD是/BAC的平分線.求證：ACCD.相似三角形添加輔助線的方法舉例答案例1:已知：如圖，ABC中，AB=AC,BD）±AC于D.求證：BG=2CD-AC.分析：欲證BC2=2CD>-AC,只需證-BC-處.但因為結論中有“2”，無法2CDBC直接找到它們所在的相似三角形，因此需要結合圖形特點及結論形式，通過添加輔助線，對其中某一線段進行倍、分變形，構造出單一線段后，再證明三角形相似.由“2”所放的位置不同，證法也不同.證法一（構造2CD）:如圖，在AC截取DE=DC,B

3、D）±AC于D,.BD是線段CE的垂直平分線，BC=BE/C=ZBEC,又AB=AC,/C=ZABC.BC&ACB.BCAC.BCAC一.CEBC2CDBCBG=2CD-AC.證法二（構造2AC）:如圖，在CA的延長線上截取AE=AC,連結BE, AB=AC,AB=AC=AE/EBC=90,又BDXAC./EBC=ZBDC=ZEDB=90°,/E=ZDBG .EBSBDCBCCE口uBC2AC 一即CDBCCDBCBG=2CD-AC. 1一，一什1-證法三（構造一BC）:如圖，取BC的中點E,連結AE,則ECBC22又AB=AC,AE±BC,/ACE=ZC

4、/AEC=ZBDC=90°.AC匕BCD.1BC-隹股即2BCACCDBCCDBCBC2=2CD-AC.、，1，一什1證法四（構造一BC）:如圖，取BC中點E,連結DE,則CE=BC.22BD）±AC,BE=EC=EB/EDC=ZC又AB=AC,/ABC=ZC,.ABCEDC.BCAC口口BCACJ即一-CDECCD1/一BC2BG=2CD-AC.說明：此題充分展示了添加輔助線，構造相似形的方法和技巧.在解題中方法要靈活，思路要開闊.例2.已知梯形ABCD中，ADBC,BC3AD,E是月AB上的一點，連結CE(1)如果CEAB, ABBE(2)設BCE和四邊形AECD的面積

5、分別為S1和S2,且2s3S2，試求的值AE(1)設AEk,則BE3k解法1如圖，延長BA、CD交于點FADBC,BC3AD,BF3AFAF2k,E為BF的中點又CEBFBCCF,又CFBFBCF為等邊三角形故B60解法2如圖作DF/AB分別交CE、CB于點G、F則CEDF,得平行四邊形ABFD同解法1可證得CDF為等邊三角形故B160解法3如圖作AFEC交CD于G,交BC的延長線于F作GIAB,分別交CE、BC于點H、I則CEGI,得矩形AEHGCF AEAF/CEBC-BE3,又BC3ADCFAD,故G為CD、AF的中點以下同解法1可得CGI是等邊三角形故B160解法4如圖，作AFCD,交

6、BC于F,作FGCE,交AB于G,得平行四邊形AFCD,且FGAB讀者可自行證得ABF是等邊三角形，故B60解法5如圖G延長CE、DA交于點F,作AG/CD,分別交BC、CE于點G、H,得平行四邊形AGCD可證得A為FD的中點，則AH2k,故160得ABG為等邊三角形，故B60解法6如圖（補形法），讀者可自行證明CDF是等邊三角形,得BF60（注：此外可用三角形相似、等腰三角形三線合和一、等積法等）（2）設SBCE3S,貝US四邊形AECD2S解法1（補形法）如圖補成平行四邊形ABCF,連結AC,則DF2AD設SACDx，則Sace2Sx,Scdf2XABC3s2sxx2x,xSACEBEAE

7、SBCESACE3s3s45-s44解法2（補形法）如圖，延長BA、CD交于點F,1SFADSFADSFADSABC8S梯形ABCD5sS FAD 二S，S FEC8521 一5s 2s 21s,又 S883sEFSfbc7BESbec8設BE8m,則EF7m,BF15m,AF5mAE2m,-BE-4AE解法3(補形法)如圖連結AC,作DF/AC交BA延長線于點F連結FC則FADsABC,故AB3AF(1)S ACD S ACF，SR邊形 AECDS FECBESBECSBCEEFSFECS四邊形AECD2故2BE3EF3(AEAF)3AE3AF(2)由（1）、（2）兩式得BE4AE即至4AE

8、解法4（割補法）如圖連結A與CD的中點F并延長交BC延長線于點G,如圖，過E、A分別作高h1、h2,則CGAD且S四邊形AECDS四邊形AECG,SABGS梯形ABCD5s3SBC2BCh1又BC35-河BG4hih2BEABBE 4AE說明本題綜合考查了等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題關鍵是作輔助線，構造相似三角形.1AFAD例3.如圖4-1,已知平行四邊ABCD中，E是AB的中點，3，連E、F交AC于G.求AG:AC的值.H圖笳1解法1:延長FE交CB的延長線于H,四邊形ABCD是平行四邊形,AD/BC= ?/H=/AFE, / DAB=/ HBE又AE=ERAAEFBEH,

9、即AF=BH,11_1_AF-ADAF-BCAF-CH3,.3,即4.AD/CH,/AGF=/CGH,/AFG=/BHE,，AAFGCGH.，AG:GC=AF:CH,AG:GC=1:4,AG:AC=1:5.解法2:如圖4-2,延長EF與CD的延長線交于M,由平行四邊形ABCD可知，ABDC,即煙mc,圖421AF-ADAF:FD=AEMD,AG:GC=AEMC,3,/.AF:FD=1:2,AE:MD=1:2.1 1-AEABDC2 2.AE：MC=1:4,即AG:GC=1:4,AG:AC=1:5例4、如圖45,B為AC的中點，E為BD的中點，則AF:AE=解析：取CF的中點G,連接BG.B為A

10、C的中點，BG:AF=1:2,且BG/AF,又E為BD的中點，F(xiàn)為DG的中點.EF:BG=1:2.故EF:AF=1:4,AF:AE=4:3.例5、如圖4-7,已知平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于。點，E為AB延長線上一點，OE交BC于F,若AB=a,BC=b,BE=g求BF的長.解法1:過O點作OM/CB交AB于M,。是AC中點，OM/CB,1MB-aM是AB的中點，即2,11OM-BC-bOM是4ABC的中位線，22且OM/BC,/EFB=ZEOM,/EBF=/EMO.BFBEBEDMOE,OMEM,BFBFbca2c.解法2:如圖4-8,延長EO與AD交于點G,則可得AO8COF

11、,AG=FC=b-BFBF/ AG,BF BE BF cAG AE .即 b BF a c ,BF c b a 2cBFbca 2cBF BE解法3:延長EO與CD的延長線相交于N,則 BEF與 CNF的對應邊成比例，即 CF CN .BF解得bca 2cABBD例6、已知在ABC中，AD是/BAC的平分線.求證：ACCD.分析1比例線段常由平行線而產(chǎn)生，因而研究比例線段問題，常應注意平行線的作用，在沒有平行線時,可以添加平行線而促成比例線段的產(chǎn)生.此題中AD為4ABC內(nèi)角A的平分線，這里不存在平行線，于是可考慮過定點作某定直線的平行線，添加了這樣的輔助線后，就可以利用平行關系找出相應的比例線

12、段，再比較所證的比例式與這個比例式的關系，去探求問題的解決.證法1:如圖49,過C點作CE/AD,交BA的延長線于E.在4BCE中，DA/ CE,BD BADC AE又CE/ AD,/1 = /3,/1 = /2,于是/ 3=7 4,/ 2=7 4,且 AD平分/ BAC,BDAC=AE代入式得DCABAC .分析2由于BD、CD是點D分BC而得，故可過分點D作平行線.證法2:如圖410,過D作DE/AC交AB于E,貝U/2=/3./1=72,/1=73.于是EA=EDBEBDABBEBEABBD又.EADC,.ACEDEA,.ACCD.分析3欲證式子左邊為AB:AC,而AB、AC不在同一直線上，又不平行，故考慮將AB轉(zhuǎn)移到與AC平行的位置.證法3:如圖4-11,過B作BE/AC,交AD的延長線于E,則/2=Z