相似三角形解題方法、技巧、步驟、輔助線解析

1、相似三角形解題方法、技巧、步驟、輔助線解、相似、全等的關(guān)系全等和相似是平面幾何中研究直線形性質(zhì)的兩個重要方面，全等形是相似比為1的特殊相似形，相似形則是全等形的推廣.因而學(xué)習(xí)相似形要隨時與全等形作比較、明確它們之間的聯(lián)系與區(qū)別；相似形的討論又是以全等形的有關(guān)定理為基礎(chǔ).二、兩個三角形相似的六種圖形：只要能在復(fù)雜圖形中辨認(rèn)出上述基本圖形，并能根據(jù)問題需要添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造出基本圖形，從而使問題得以解決三、三角形相似的證題思路：判定兩個三角形相似思路:1）先找兩對內(nèi)角對應(yīng)相等（對平行線型找平行線），因為這個條件最簡單；2）再而先找一對內(nèi)角對應(yīng)相等，且看夾角的兩邊是否

2、對應(yīng)成比例；3）若無對應(yīng)角相等，則只考慮三組對應(yīng)邊是否成比例；1、已知一對等角找另一角，兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似；找夾邊對應(yīng)成比例，兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似2、已知兩邊對應(yīng)成比例找夾角相等，兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似；找第三邊也對應(yīng)成比例，三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似3、已知可能的一個直角三角形找一個直角，斜邊、直角邊對應(yīng)成比例，兩個直角三角形相似；找另一角，兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似找兩邊對應(yīng)成比例判定定理1或判定定理44、與等腰三角形有關(guān)的找頂角對應(yīng)相等判定定理1找底角對應(yīng)相等判定定理1找底和腰對應(yīng)成比例判定定理35、相似形的傳遞性若1S42,2S43,則41S

3、43四、“三點定形法”，即由有關(guān)線段的三個不同的端點來確定三角形的方法。具體做法是：先看比例式前項和后項所代表的兩條線段的三個不同的端點能否分別確定一個三角形，若能，則只要證明這兩個三角形相似就可以了，這叫做“橫定”；若不能，再看每個比的前后兩項的兩條線段的兩條線段的三個不同的端點能否分別確定一個三角形，則只要證明這兩個三角形相似就行了，這叫做“豎定”。有些學(xué)生在尋找條件遇到困難時，往往放棄了基本規(guī)律而去亂碰亂撞，亂添輔助線，這樣反而使問題復(fù)雜化，效果并不好，應(yīng)當(dāng)運用基本規(guī)律去解決問題。（判斷“橫定”還是“豎定”？例1、已知：如圖，AABC中,CE±AB,BF±AC.求證：

4、m分析方法:例3、已知:分析方法：五、過渡法例2、如圖，CD是RtABC的斜邊 AB上的高，/ BAC的平分線分別交 BG CD于點E、FAC- AE=AF- AB嗎？說明理由。1如圖,1 )（或叫代換法）有些習(xí)題無論如何也構(gòu)造不出相似三角形，這就要考慮靈活地運用“過渡”，其主要類型有三種，下面分情況說明.（一）、等量過渡法（等線段代換法）：遇到三點定形法無法解決欲證的問題時，即如果線段比例式中的四條線段都在圖形中的同一條直線上，不能組成三角形，或四條線段雖然組成兩個三角形，但這兩個三角形并不相似，那就需要根據(jù)已知條件找到與比例式中某條線段相等的一條線段來代替這條線段，如果沒有，可考慮添加簡單

5、的輔助線。然后再應(yīng)用三點定形法確定相似三角形。只要代換得當(dāng)，問題往往可以得到解決。當(dāng)然，還要注意最后將代換的線段再代換回來。例4:如圖3,4ABC中，AD平分/BAGAD的垂直平分線FE交BC的延長線于E.求證：DE2=BE-CE（二）、等比過渡法（等比代換法）：當(dāng)用三點定形法不能確定三角形，同時也無等線段代換時，可以考慮用等比代換法，即考慮利用第三組線段的比為比例式搭橋，也就是通過對已知條件或圖形的深入分析，找到與求證的結(jié)論中某個比相等的比，并進行代換，然后再用三點定形法來確定三角形。例5:如圖4,在ABC中，/BAC=90,ADLBC,E是AC的中點，ED交AB的延長線于點F.求證：（三）

6、、等積過渡法（等積代換法）：思考問題的基本途徑是：用三點定形法確定兩個三角形，然后通過三角形相似推出線段成比例；若三點定形法不能確定兩個相似三角形，則考慮用等量（線段）代換，或用等比代換，然后再用三點定形法確定相似三角形，若以上三種方法行不通時，則考慮用等積代換法。于點 F. 求證：cD=DF-DG急：等線等比來代替?！崩?:如圖，在ABC中，/ACB=90,CD是斜邊AB上的高，G是DC延長線上一點，過B作BE!AG垂足為E,交CD小結(jié)：證明等積式思路口訣：“遇等積，化比例：橫找豎找定相似；不相似，不用六、證比例式和等積式的方法：對線段比例式或等積式的證明：常用“三點定形法”、等線段替換法、

7、中間比過渡法、面積法等.若比例式或等積式所涉及的線段在同一直線上時，應(yīng)將線段比“轉(zhuǎn)移”（必要時需添輔助線），使其分別構(gòu)成兩個相似三角形來證明.可用口訣：遇等積，改等比，橫看豎看找關(guān)系；三點定形用相似，三點共線取平截；平行線，轉(zhuǎn)比例，等線等比來代替；兩端各自找聯(lián)系，可用射影和園哥.例7、如圖，在ABC43,ADBE分別是BCAC邊上的高，DFLAB于F,交AC的延長線于H,交BE于G求證：（1）FG/F"FB/FH（2）FD是FG與FH的比例中項.1說明：證明線段成比例或等積式，通常是借證三角形相似.找相似三角形用三點定形法（在比例式中，或橫著找三點，或豎著找三點），若不能找到相似三角

8、形，應(yīng)考慮將比例式變形，找等積式代換，或直接找等比代換A例8、如圖6,DABC珅，E是BC上的一點，AE交BD于點F,已知BEEC=3:1,Safbee=18,求：（1）BF：FD（2）Safda（說明：線段BEFD三點共線應(yīng)用平截比定理.由平行四邊形得出兩線段平行且相等，再由“平截比定理”得到對應(yīng)線段成比例、三角形相似；由比例合比性質(zhì)轉(zhuǎn)化為所求線段的比；由面積比等于相似比的平方，求出三角形的面積.）例9如圖7在4ABC中，AD是BC邊上的中線，M是AD的中點，CM的延長線交AB于N.求：ANAB的值；（求比例式的值,可直接利用己知的比例關(guān)系或是借助己知條件中的平行線，找等比過渡.當(dāng)已知條件中

9、的比例關(guān)系不夠用時，還應(yīng)添作平行線，再找中間比過渡.）例10、如圖8在矩形ABCEfr,E是CD的中點，BE!AC交AC于F,過F作FG/AB交AE于G求證：AG2=AR<FC4說明:證明線段的等積式，可先轉(zhuǎn)化為比例式，再用等線段替換法，然后利用“三點定形法”確定要證明的兩個三角形相似.例11、如圖在ABC43,D是BC邊的中點，且AD=ACDELBC交AB于點E,EC交AD于點F.（1）求證：ABCFCD（2）若Safca5,BC=10,求DE的長.（說明：要證明兩個三角形相似可由平行線推出或相似三角形的判定定理得兩個三角形相似.再由相似三角形的面積比等于相似比的平方及比例的基本性質(zhì)得

10、到線段的長）。例12如圖10過ABC勺頂點C任作一直線與邊AB及中線AD別交于點F和E.過點D作DM/FC交AB于點M（1）若Saaef：S四邊形mde2:3,求AEED（2）求證：AExFB=2AFXED（說明：由平行線推出兩個三角形相似，再由相似三角形的面積比等于相似比的平方及比例的基本性質(zhì)得到兩線段的比.注意平截比定理的應(yīng)用.）例13、己知如圖11在正方形ABCD勺邊長為1,P是CD邊的中點，Q在線段BC上，當(dāng)BQ為何值時，ADPWQCPlf似？（說明：兩個三角形相似，必須注意其頂點的對應(yīng)關(guān)系.然后再確定頂點P所在的位置.本題是開放性題型，有多個位置，應(yīng)注意計算，嚴(yán)防漏解.）七、確定證明

11、的切入點。幾何證明題的證明方法主要有三個方面。第一，從“已知”入手，通過推理論證，得出“求證”；第二，從“求證”入手，通過分析，不斷尋求“證據(jù)”的支撐，一直追溯回到“已知”；第三，從“已知”及“求證”兩方面入手，通過分析找到中間“橋梁”，使之成為清晰的思維過程。例14、如圖，ABC的AB邊和AC邊上各取一點D和E,且使AAAE,DE延長線與BC延長線相交于F,求證：5=厘八、相似三角形中的輔助線在添加輔助線時，所添加的輔助線往往能夠構(gòu)造出一組或多組相似三角形，或得到成比例的線段或得出等角，等邊，從而為證明三角形相似或進行相關(guān)的計算找到等量關(guān)系。主要的輔助線有以下幾種：一）、作平行線例15、如圖，ABC中，AB<AC在ARAC上分另截取BD=CEDE,BC的延長線相交于點F,證明：AB-DF=ACEF。例16、如圖，B為AC的中點，E為BD的中點，則AF:AE=例17、如圖，已知平行四邊形ABCM,對角線AGBD交于。點，E為AB延長線上一點，OE交BC于F,若AB=a,BC=b),BE=c,求BF例18、ABC中，在AC上截取A口在CB延長線上截取BE,使AD=BE求證：DF-AC=BCFE例19:如圖ABC中，AD為中線，CF為任一直線，CF交AD于E,交AB于F,求證