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文檔簡介
1、求遞推數(shù)列通項公式的常用方法歸納目錄一、概述二、等差數(shù)列通項公式和前n 項和公式1、等差數(shù)列通項公式的推導過程2、等差數(shù)列前n 項和公式的推導過程三、一般的遞推數(shù)列通項公式的常用方法1、公式法2、歸納猜想法3、累加法4、累乘法5、構(gòu)造新函數(shù)法( 待定系數(shù)法)6、倒數(shù)變換法7、特征根法8、不動點法9、換元法10、取對數(shù)法11、周期法一、概述在高中數(shù)學課程內(nèi)容中,數(shù)列作為離散函數(shù)的典型代表之一,不僅在高中數(shù)學中具有重要位置,而且,在現(xiàn)實生活中有著非常廣泛的作用,同時,數(shù)列的教學也是培養(yǎng)觀察、分析、歸納、 猜想、邏輯推理以及運用數(shù)學知識提出問題、分析問題和解決問題的必不可少的重要途徑。數(shù)列這一章蘊含
2、著多種數(shù)學思想及方法,如函數(shù)思想、方程思想,而且在基本概念、公式的教學本身也包含著豐富的數(shù)學方法,掌握這些思想方法不僅可以增進對數(shù)列概念、公式的理解, 而且運用數(shù)學思想方法解決問題的過程,往往能誘發(fā)知識的遷移,使學生產(chǎn)生舉一反三、融會貫通的解決多數(shù)列問題。在這一章主要用到了以下幾中數(shù)學方法:1、不完全歸納法不完全歸納法不但可以培養(yǎng)學生的數(shù)學直觀,而且可以幫助學生有效的解決問題,在等差數(shù)列以及等比數(shù)列通項公式推導的過程就用到了不完全歸納法。2、倒敘相加法 等差數(shù)列前 n 項和公式的推導過程中,就根據(jù)等差數(shù)列的特點,很好的應(yīng)用了倒敘相加法,而且在這一章的很多問題都直接或間接地用到了這種方法。3、錯
3、位相減法錯位相減法是另一類數(shù)列求和的方法,它主要應(yīng)用于求和的項之間通過一定的變形可以相互轉(zhuǎn)化,并且是多個數(shù)求和的問題。等比數(shù)列的前n 項和公式的推導就用到了這種思想方法。4、函數(shù)的思想方法數(shù)列本身就是一個特殊的函數(shù),而且是離散的函數(shù),因此在解題過程中,尤其在遇到等差數(shù)列與等比數(shù)列這兩類特殊的數(shù)列時,可以將它們看成一個函數(shù),運用函數(shù)的性質(zhì)和特點來解決問題。進而5、方程的思想方法數(shù)列這一章涉及了多個關(guān)于首項、末項、項數(shù)、公差、公比、第n 項和前n 項和這些量的數(shù)學公式,而公式本身就是一個等式,因此,在求這些數(shù)學量的過程中,可將它們看成相應(yīng)的已知量和未知數(shù),通過公式建立關(guān)于求未知量的方程,可以使解題
4、變得清晰、明了,而且簡化了解題過程。二、等差數(shù)列通項公式和前n 項和公式第一節(jié):等差數(shù)列前n 項和的推導過程1、等差數(shù)列通項公式:(1) 可以從等差數(shù)列特點及定義來引入。定義: n2時,有 an a(n 1)=d ,則:a2=a1 da3=a2 d=a12da4=a3 d=a1 3da5=a4 d=a14d猜測并寫出an=?(2 )采取累加a2 a1=da3 a2=da4 a3=dan a(n 1)=d累加后,有:an a1=(n 1)d ,即:an=a1 (n 1)d 。2、等差數(shù)列前n 項和:方法一:高斯算法(即首尾相加法)1 + 2 + 3 + +50+51+ +98+99+100= ?
5、1+100=101, 2+99=101, ,50+51=101 ,所以原式 =50( 1+101)=5050則利用高斯算法,容易進行類比,過程如下:a1a 2a 3.a n 2a n 1a n?其中a1a na 2a n 1a 3a n 2.若 mnpq ,則 a ma na pa q這里用到了等差數(shù)列的性質(zhì):問題是一共有多少個a1an,學生自然想到對n 取奇偶進行討論。(1)當n 為偶數(shù)時:Sna1anan1an22Snn (aan)21(2)當 n 為奇數(shù)時:Sn a1a n 1 1a n 1an 1 1an222分析到這里發(fā)現(xiàn)a n 1 “落單”了,似乎遇到了阻礙,此時鼓勵學生不能放棄,
6、在2老師的適當引導下,不難發(fā)現(xiàn),an 1 的角標與 ( a1an )角標的關(guān)系2Snn 1(a1an ) an 122n 1an 1an 1an )22(a122nan )(a12從而得到,無論n 取奇數(shù)還是偶數(shù),Snn ( a1 an )2總結(jié):( 1)類比高斯算法將首尾分組進行“配對” ,發(fā)現(xiàn)需要對 n 取奇偶進行討論,思路自然,容易掌握。( 2)不少資料對 n 取奇數(shù)時的處理辦法是,當討論進行不下去時轉(zhuǎn)向?qū)で笃渌鉀Q辦法,進而引出倒序相加求和法。方法二:對 n 的奇偶進行討論有點麻煩,能否回避對n 的討論呢?接下來給出實際問題:伐木工人是如何快速計算堆放在木場的木頭根數(shù)呢?由此引入倒序相
7、加求和法。Sna1 a2an 1 anSnan an 1a2 a1兩式相加得:2Snn(a1an )Sn (aa )n21n總結(jié):( 1)數(shù)學學習需要最優(yōu)化的學習,因此引導學生去尋求更有效的解決辦法,讓學生在解決問題的同時也體會到同一個問題有不同的解決辦法,而我們需要的是具備高效率的方法。( 2)倒序相加求和法是重要的數(shù)學思想,方法比公式本身更為重要,為以后數(shù)列求和的學習做好了鋪墊。( 3)在過程中體會數(shù)學的對稱美。三、一般的遞推數(shù)列通項公式的常用方法一、公式法例 1、 已知無窮數(shù)列a n的前 n 項和為 Sn ,并且 anSn1(nN * ) ,求 a n 的通項公式?【解析】:Q Sn 1
8、an ,an 1 Sn 1 Snanan 1 ,an 11 an ,又 a11,22nan1.2反思:利用相關(guān)數(shù)列an 與 Sn 的關(guān)系: a1S1 , an SnSn 1(n2) 與提設(shè)條件,建立遞推關(guān)系,是本題求解的關(guān)鍵 .二、 歸納猜想法 :由數(shù)列前幾項用不完全歸納猜測出數(shù)列的通項公式,再利用數(shù)學歸納法證明其正確性,這種方法叫歸納法 .例 2、 已知數(shù)列a n 中, a11 , an2an 11(n2) ,求數(shù)列a n 的通項公式 .【解析】:Qa1 1 , an 2an 1 1(n 2) ,a2 2a1 13 , a3 2a2 1 7猜測 an 2n1 ( n N * ) ,再用數(shù)學歸
9、納法證明.(略)反思: 用歸納法求遞推數(shù)列, 首先要熟悉一般數(shù)列的通項公式,再就是一定要用數(shù)學歸納法證明其正確性 .三 、累加法 :利用 ana1 (a2 a1 )(an an 1 ) 求通項公式的方法稱為累加法。累加法是求型如 an 1 anf (n) 的遞推數(shù)列通項公式的基本方法(f (n) 可求前 n 項和) .1n例 3 、 已 知 無 窮 數(shù) 列 an的 的 通 項 公 式 是 an, 若 數(shù) 列 bn滿 足 b1 1 ,21nbn 1(n 1) ,求數(shù)列bnbn的通項公式 .21n1【解析】: 1, bb( n 1),bnb1(b2b1 )(bnbn 1 )=1+ +.+b 1n
10、1n221n 11n 1= 2.22反思 :用累加法求通項公式的關(guān)鍵是將遞推公式變形為an1anf (n) 。四、累乘法 : 利用恒等式 ana1a2a3an(an0, n2) 求通項公式的方法稱為累乘法 ,a1a2an 1累乘法是求型如:an 1g(n) an 的遞推數(shù)列通項公式的基本方法(數(shù)列 g(n) 可求前 n 項積) 。例 4、 已知 a11 , ann(an1an ) (n N * ) ,求數(shù)列a n通項公式 .【解析】:Q ann( an1an ) ,an 1n1,又有 ana1a2a3an( an0, n 2) =anna1a2an112 3 n= n ,當 n1 時 a11,
11、滿足 ann ,ann .12n-1反思 :用累乘法求通項公式的關(guān)鍵是將遞推公式變形為an 1g (n)a n .五、構(gòu)造新數(shù)列 (待定系數(shù)法): 將遞推公式an+1qand ( q,d 為常數(shù), q0 , d0 )通過 (an 1 x)q(an x) 與原遞推公式恒等變成 an 1dq(andq 1q) 的方法叫構(gòu)1造新數(shù)列,也即是待定系數(shù)法。例 5、已知數(shù)列 an中 , a1 1, an2an 11(n2) ,求an 的通項公式 .【解析】 :利用 (anx) 2(an 1x) ,求得 an12( an 11) , an 1 是首項為a1 1 2 ,公比為 2的等比數(shù)列,即 an1 2n
12、, an 2n1反思:構(gòu)造新數(shù)列的實質(zhì)是通過(an 1x)q( anx) 來構(gòu)造一個我們所熟知的等差或等比數(shù)列 .can(c 0, d 0) ,取倒數(shù)變成1d 11六 、倒數(shù)變換 :將遞推數(shù)列 an 1an 1c an的形andc1式的方法叫倒數(shù)變換。然后就轉(zhuǎn)變?yōu)榈谖宸N情況,此時將數(shù)列看成一個新的數(shù)列,即an再利用“構(gòu)造新數(shù)列”的方法求解。例 6、 已知數(shù)列an ( nN * ) 中 , a11, an 1an,求數(shù)列an的通項公式 .2an1【解析】 :將 an 1an取倒數(shù)得 :121,Q112,1是以 112an1an 1anan 1anana1為首項 ,公差為 2的等差數(shù)列 .112(
13、n1) ,an1.an2n1反思 :倒數(shù)變換有兩個要點需要注意:一是取倒數(shù) .二是一定要注意新數(shù)列的首項,公差或公比變化了。七、特征根法: 形如遞推公式為an 2pa n 1qa n (其中 p, q 均為常數(shù)) 。對 于 由 遞 推公 式 an 2pan 1qan , 有 a1, a2給 出 的 數(shù) 列 an , 方 程x2px q 0 ,叫做數(shù)列an的特征方程。若 x1 , x2 是特征方程的兩個根,當 x1x2 時,數(shù)列an 的通項為 anAx1n 1Bx 2n 1 ,其中 A , B 由 a1, a2決定(即把 a1 , a2 , x1, x2 和 n1,2 ,代入 anAx1n 1B
14、x2n 1 ,得到關(guān)于 A 、 B 的方程組);當x1x2時,數(shù)列an的通項為 an(ABn)xn 1,其中, 由a1, a2決定(即1A B把 a1 ,a2 , x1 , x2 和 n1,2 ,代入 an( ABn) x1n1 ,得到關(guān)于A 、B 的方程組)。例 7: 數(shù)列 an 滿足 3an 2 5an 12an0( n 0, nN ) , a1a, a2b ,求 an【解析】:由題可知數(shù)列的特征方程是:3x25x 20 。x11, x22,32anAx1n 1Bx2n 1AB()n 1 。又由 a1a, a2b ,于是3aABA3b2a2a 3(a b)( 2) n 12 B故 an3b
15、bAB3(ab)33反思:本題解題的關(guān)鍵是先求出特征方程的根。再由初始值確定出A,B的用已知量 a,b表示的值,從而可得數(shù)列 an 的通項公式。八、不動點法若 A,B0且 AD-BCAxD,為其兩根0 ,解 x,設(shè)CxDI 、若,數(shù)列 a n 是等比數(shù)列;anII 、若,數(shù)列 1 是等差數(shù)列。a n7a例 8、已知數(shù)列 a n 滿足 a n 12an2, a12 ,求數(shù)列 a n 的通項公n3式。7x2,得 2x 23x1【解析】:令 x34x 2 0 ,則 x=1 是函數(shù) f ( x )72x4x的不動點。7 a因為a n 112ann25a n53132a n12an3 2 an32512
16、2(12)所以a n 1 15a n5 5 an15an1an1 5 ,1111 為首項,以2所以數(shù)列是以12 1為公差的等差數(shù)列,則an1a1511(n1)2,故 an2n8。an52n31f (x )3x1x7x2反思:本題解題的關(guān)鍵是先求出函數(shù)4 x的不動點,即方程2x的73根 x1 ,進而可推出112 ,從而可知數(shù)列 1為等差a n 1 1 a n1 5an1數(shù)列,再求出數(shù)列1 的通項公式,最后求出數(shù)列 an 的通項公式。a n1九、換元法即是將一復雜的整體用一個新的符號來表示,從而使遞推數(shù)列看起來更簡單,更易找到解決的方法。例 9、 已知數(shù)列 a n 滿足 a n11(14a n1
17、24 a n ), a11 ,16求數(shù)列 a n 的通項公式?!窘馕觥浚毫?b n124 a n,則 a n1 ( b n21)24故 a n 11 ( b n21 1)24代入 a n 11 (1 4a n1 24 a n ) 得161 ( b n211)11 41 (b n21) b n 241624即 4bn21(bn3)2因為 b n124 a n0 ,故 b n 11 24 a n 10則 2b n 1b n3 ,即 b n 11 b n3 ,22可化為 b n 131 ( b n3) ,2所以 bn3 是以 b113124a131241 32 為首項, 以2為公比的等比數(shù)列,因此b
18、 n32 ( 1 ) n1( 1 ) n2 ,則 bn(1 ) n 2+3 ,即2221 24 a n1n23 ,得 an21n1n1( )( )( )。23423反思:本題解題的關(guān)鍵是通過將124 a n 的換元為 b n ,使得所給遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化bn 11 bn322形 式 , 從 而 可 知 數(shù) 列 b n3 為 等 比 數(shù) 列 , 進 而 求 出 數(shù) 列 bn3 的通項公式,最后再求出數(shù)列 an 的通項公式。十、取對數(shù)法:形如 an 1panr ( p0, an0)這種類型一般是等式兩邊取對數(shù)后轉(zhuǎn)化為an 1panq ,再利用構(gòu)造新數(shù)列(待定系數(shù)法)求解。例 10:已知數(shù)列an 中, a11, an 11 an2 (a 0) ,求數(shù)列 an 的通項公式 .。a【解析】:由 an 1 1an2 兩邊取對數(shù)得 lg an 1 2 lg anlg1 ,
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