(完整版)數(shù)列的概念與簡單表示法知識點

1、數(shù)列一、數(shù)列的概念與簡單表示法1、數(shù)列的概念 數(shù)列的定義：按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列。數(shù)列中的每個數(shù)稱為該數(shù)列的項。數(shù)列中每一項都和它的序號有關(guān)。數(shù)列的一般形式為a1, a2,an ,，或者簡記為 an ，其中 an表示數(shù)列 an 的通項。注： 研究對象 : “數(shù)” ( 與集合相區(qū)別 ) 。 首項（第 1 項）：數(shù)列中的排在第 1 位的數(shù)。第 2 項 ：數(shù)列中的排在第 2 位的數(shù)。通項（第 n 項）：數(shù)列中的排在第n 位的數(shù)。 注意 an與 an 含義的區(qū)別：an：表示數(shù)列 an 中的第 n 項。an ：表示數(shù)列 a1, a2 , an,，簡單記法。 數(shù)列的項性質(zhì)：有序性：一個數(shù)列不僅與

2、構(gòu)成數(shù)列的數(shù)有關(guān)，而且與排列順序有關(guān)?？芍貜托裕簲?shù)列中數(shù)可以重復出現(xiàn)。補充知識：集合中元素的性質(zhì)：確定性、互異性、無序性。例： a 1 、2、3、4、5、6 和 6、 5、 4、 3、 2、 1 構(gòu)成同一個結(jié)合，不同的數(shù)列b 1 、2、2、3、5、5 可以表示數(shù)列，但不能構(gòu)成集合。 從函數(shù)的角度研究數(shù)列：對于任意一個數(shù)列 an ，其每一項與序號都有對應(yīng)的關(guān)系，見下表：序號（項數(shù) n）123n項a1a2a3an數(shù)列可以看作一個定義域為正整數(shù)集N * ( 或它的有限子集 1,2,3 ， ,n ) 的函數(shù)，當自變量從小到大依次取值時對應(yīng)的一列函數(shù)值。注： 1、數(shù)列可以看作特殊的函數(shù)（離散型） ，其圖

3、像是一系列孤立的點。2、函數(shù)不一定是數(shù)列。2、數(shù)列的表示方法 列表法：列出表格表示出數(shù)列的項和序號的關(guān)系例：數(shù)列 6,66,666,6666,66666,666666可以用下表表示序號（項數(shù)）123456項666666666666666666666 圖像法：在平面直角坐標中， 數(shù)列的圖像是一系列橫坐標為正整數(shù)的孤立的點（ n , an ）。 通項公式法：用數(shù)學式子表示數(shù)列。最常用的數(shù)列表示方法。3、數(shù)列的通項公式： 數(shù)列的第 n 項叫做數(shù)列的通項。 如果數(shù)列 an 的第 n 項 an與序號 n 之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式。注：并不是所有的數(shù)列都可以用通項

4、公式表示例：小數(shù)點后每一位所構(gòu)成的數(shù)列1,4,1,5,9，2,6 精確到 1,0.1,0.01,0.001，的近似值組成的數(shù)列3,3.1 ，3.14,3.142 ， 只給出一個數(shù)列的若干項，而未指明數(shù)列構(gòu)成規(guī)律時，該數(shù)列的通項公式不能唯一確定。例：數(shù)列 1,4,7,10 ，通項公式可以是 an3n2 , 也可以 an3n2n 1 n2 n3 n4 數(shù)列通項公式的表示方法不唯一。例：數(shù)列 -1 ，1,-1,1,-1 ，通項公式可以是 anncos( n) , 也可以是 an （-1）。4、數(shù)列的遞推公式： 遞推公式：如果已知數(shù)列 an 的第一項（或前幾項），且任何一項 an 與它的前一項 an

5、1 （或前幾項）間的關(guān)系可以用一個式子來表示，即 an f (an 1 ) 或 an f ( an 1 , an 2 ) ，那么這個式子叫做數(shù)列 an 的遞推公式。 通項公式與遞推公式異同點：相同點：都可以確定一個數(shù)列，都可以求出數(shù)列的任意一項。不同點：通項公式可以通過代入項數(shù)n 直接求出項 an。簡單直接遞推公式需要通過一次或者多次賦值，求出需要的項 an。賦值繁瑣所以我們經(jīng)常會研究根據(jù)遞推公式求通項公式的問題。 （相應(yīng)專題練習）5、數(shù)列的前 n 項和：nan 叫做數(shù)列 an 的前 n 項和，記作 Snak a1 a2k 1數(shù)列的通項 an與前 n 項和 Sn 的關(guān)系：Sna1a2anS(n

6、1)an1Sn Sn 1(n2)注：1、 an SnSn 1不是對一切正整數(shù) n 都成立的，而是對于 n2的一切正整數(shù)恒成立，因為當 n 1時， an SnSn 1， S0 無意義。2 、由前 n 項和 Sn 求通項公式時，要分兩種情況： n 1和 n2，然后驗證兩種情形可否用同一式子表示。若當n 1時， a1 也適合 an 的表達式，則將兩種情況統(tǒng)一合寫。若不能，則需要采用分段形式來表示。n 1例： （1） Sn （ -1）* n ；（2） S2n2n ；n（3） Sn2n2n3 ；（4） Sn2n ；（5） S2n3 ；n6、數(shù)列的分類：分類標準名稱含義舉例項的個數(shù)有窮數(shù)列項數(shù)有限的數(shù)列1

7、,2,3 ， n無窮數(shù)列項數(shù)無限的數(shù)列1,4,9, , n2 , 項的變化趨勢遞增數(shù)列從第 2 項起，每一項3,4,5 ， n+2都大于它的前一項的數(shù)列遞減數(shù)列從第 2 項起，每一項1,1,1,1都小于它的前一項的數(shù)列23n常數(shù)列各項相等的數(shù)列6,6,6, ,6擺動數(shù)列從第 2 項起，有些項1,-2,3,-4,大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列7、數(shù)列的性質(zhì)：單調(diào)性，周期性，有界性 單調(diào)性：遞增數(shù)列：nN *， an 1> annN*an 1a遞減數(shù)列：，< n擺動數(shù)列：有大有小常數(shù)列：nN * ， an 1 = an求數(shù)列的最大（小）項，一般先研究數(shù)列的單調(diào)性，anan 1n 2 , n N *anan 1n 2 , n N* 求解，可以用an 1或an 1anan也可以轉(zhuǎn)換為函數(shù)的最值問題或利用數(shù)形結(jié)合求解。 周期性：n N * ，an k = an（k 為正整數(shù)），那么稱數(shù)列 an 是以 k 為周期的周期函數(shù)。例： ansin (n) 、 ancos(n) 、 an( 1)n注意：an sinn，ancosn不是周期函數(shù)。 an c(c為常數(shù) )遞推公式（創(chuàng)新題型） ： an 1an - an