應(yīng)力與應(yīng)變分析

1、2 2 2I :n'm :n-n 1y22231第十三章應(yīng)力與應(yīng)變分析一、內(nèi)容提要1. 三向應(yīng)力狀態(tài)在一平衡物體內(nèi)任意位置上取單元體， 這里僅討論主應(yīng)力狀態(tài)時(shí)得情形圖13.1a 假設(shè)三個(gè)主應(yīng)力為，求單元體內(nèi)任意斜截面ABC上的應(yīng)力即一點(diǎn)任一方向上的 應(yīng)力。斜截面截出的四面體如圖13.1b所示，設(shè)斜截面的法線為n，法線與x、y、z坐 標(biāo)軸的夾角余弦分別為cosN,x=l， cosN,y=m， cosN,z=n，它們應(yīng)滿足關(guān)系式(a)-b圖 1 3. 1把斜截面上的總應(yīng)力P分解成與斜截面垂直的正應(yīng)力Cn和相切的切應(yīng)力n 圖13.1c,那么其與主應(yīng)力的關(guān)系為2 2 2 +cr2m +cr3n

2、 13.1i匸 ln為由三個(gè)主應(yīng)力所確定的三個(gè)圓所圍成區(qū)域圖13.2中陰影中的一點(diǎn)。由圖13.2顯見(jiàn)2在以匚n為橫坐標(biāo)、n為縱坐標(biāo)的坐標(biāo)系中，由上式所確定的任意斜截面上的正應(yīng)力G和切應(yīng)力2.平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變分析一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)的概念與應(yīng)力狀態(tài)的概念相似，在受力構(gòu)件內(nèi)，應(yīng)變不但隨點(diǎn)的位置而變化，而且在同一點(diǎn)也隨方向而改變。即一點(diǎn)的應(yīng)變與點(diǎn)的位置和方向都有關(guān)系。同一點(diǎn)不同方向的應(yīng)變 分量之間應(yīng)滿足微單元體在線彈性小變形條件下的幾何關(guān)系。一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)即指通過(guò)一點(diǎn)不同方向上的應(yīng)變的情況。應(yīng)變分析平面應(yīng)力狀態(tài)下，一點(diǎn)的應(yīng)變分量；x、:y、xy，欲求與水平方向成逆時(shí)針：角方向上的線應(yīng)變和切應(yīng)變,由于應(yīng)

3、變分量；x、利用疊加原理，即可得到1可根據(jù)彈性小變形的幾何條件，分別找出微單元體長(zhǎng)方形 丫xy在此方向上引起的線應(yīng)變 咕及切應(yīng)變丫 圖13.3，在(13.3)1 1 .=(:X 亠 Ty)' _( ；x .：y) cos 2 ：xy sin 2 ：2 2 2(13.4)圖 13. 3.-_(核-“)sin 2二：；gy cos 2：確定主應(yīng)變主應(yīng)變?yōu)檎龖?yīng)變的極值，由條件d ；：./d =0，即可得平面內(nèi)主應(yīng)變?yōu)镴1；2212(13.5)假設(shè)主應(yīng)變“方向與x軸得夾角為：o，那么有tan 2% 二-13.6"Sy3.應(yīng)變得測(cè)量與應(yīng)力的計(jì)算在實(shí)驗(yàn)應(yīng)力分析中，常常使用應(yīng)變儀來(lái)測(cè)量受力

4、構(gòu)件外表上某點(diǎn)處的應(yīng)變，然后運(yùn)用應(yīng)力、應(yīng)變分析的知識(shí)，就可以確定構(gòu)件的應(yīng)力情況。在應(yīng)變測(cè)量中，由于切應(yīng)變xy 不易測(cè)量，所以一般先測(cè)定測(cè)點(diǎn)處沿幾個(gè)方向的線應(yīng)變，利用測(cè)定的結(jié)果，根據(jù)公式13.3、公式13.5和公式13.6就可進(jìn)行應(yīng)變分析，確定測(cè)點(diǎn)的主應(yīng)變。如圖13.5 所示直角應(yīng)變花，可測(cè)出三個(gè)方向上的應(yīng)變；0.、右和；90 ,利用公式13.5和公式13.6,tan 2 ： °2 ；45°-；9°：得主應(yīng)變的大小和方向?yàn)榧僭O(shè)測(cè)點(diǎn)為二向應(yīng)力狀態(tài)，由廣義胡克定律公式5.12,可解出兩個(gè)主應(yīng)力為門E ；9°，. ：2E-321 -;： 一 21 '.(

5、13.8)(13.9)(13.11)圖 1 3. 51圖 13. 6假設(shè)使用60"角應(yīng)變花圖13.6，那么得(13.12)主應(yīng)力的方向由13.9式確定。-'60二 12 0-(13.13)假設(shè)測(cè)點(diǎn)為二向應(yīng)力狀態(tài)，同理可解出兩個(gè)主應(yīng)力為E3(1 一、.)("0 ' -6 0 "1203(1 ，.)(13.14)主應(yīng)力的方向由13.13式確定二、根本要求1 掌握平面應(yīng)變狀態(tài)分析的解析法2. 掌握通過(guò)某點(diǎn)測(cè)量的應(yīng)變值來(lái)確定該點(diǎn)主應(yīng)變、主應(yīng)力的大小及方向的方法。三、典型例題分析例題13.1習(xí)題13.7用直角應(yīng)變花測(cè)得受力構(gòu)件外表某點(diǎn)處的應(yīng)變值為：乍二二6

6、71f ,；45:. = -5 7 0 1 0 - ,；90：' =79 10 -。 假設(shè)材料為 Q235 鋼， E = 2 0 0 G P 戶=0.3 ,k- I-160M Pa。試計(jì)算測(cè)點(diǎn)主應(yīng)力的大小與方向，并用第三強(qiáng)度理論校核強(qiáng)度。解：由公式13.11計(jì)算主應(yīng)力的大小為(G _ E( ；0；90.)962001 0 ( 一267 - 79)10 -2(1 _0.3 )-3 2(1 -、.)2001 09 J 2；22/*;(一267 - 570)(-570 -79)1 0 -=2(1 0.3 )'66( 5 1.0 6 M Pa-26.8 610 士77.9 21 0=-

7、1 04.7 8M Pa:2 =0由公式13.9計(jì)算主應(yīng)變的方向，也即主應(yīng)力的方向ta n 2、f0902(-570)267792.7 5267 -792：0 =70 或 250，:- 0=35 或 1 25'由第三強(qiáng)度理論可得CTr3 =6 兀 =5 1.0 6 ( 一1 0 4.7 8) =155.8 4M Pa < fcr J滿足強(qiáng)度條件例題13.2習(xí)題13.8用等角應(yīng)變花測(cè)得受力構(gòu)件外表某點(diǎn)處的應(yīng)變值為：4 0 010，0 7k- .1-1 60M Pa。試計(jì)算測(cè)點(diǎn)主應(yīng)力的大小與方向，并用第四強(qiáng)度理論校核強(qiáng)度。解：由公式13.14計(jì)算主應(yīng)力的大小為二 331 一、.(“ W 云 560-1 20-2)'(；12d9200 10 6 (400 -300250)1 0 一 3(1 -0.3 )、2 200 1092 2 2 6400 - 300) - ( -300 -250)(2 50 4 00)1 0 -3(1 - 0.3 )63 3.3 310665.4 7109 8.8 M Pa-3 2.1 4M Pa；2 = 0由公式13.13計(jì)算主應(yīng)變的方向，也即主應(yīng)力的方向tan 2 ： 020、3(_300 _ 250)二 1.1 22400300 2502： 0 = -48.2 5 或 1 31. 74，:- 0 = _2 4.1 3 或 6