習(xí)題課-單自由度系統(tǒng)

1、習(xí)題課-單自由度系統(tǒng)1.圖示系統(tǒng)質(zhì)量塊質(zhì)量為=10kg，彈簧剛度為=30kN/m并且彈簧質(zhì)量可以忽略，質(zhì)量塊被向左方向推離位置1mm后放手，求此系統(tǒng)的固有頻率、周期和響應(yīng)，以及彈簧所受的力。2.如果前題的系統(tǒng)必須考慮該彈簧的質(zhì)量，彈簧單位長(zhǎng)度的質(zhì)量等于=0.1kg，彈簧的長(zhǎng)度為=10mm。求系統(tǒng)的固有頻率并與上題比較，誤差有多大？提示：質(zhì)量塊的位移用來表示。假設(shè)在振動(dòng)過程中彈簧位移是線性的。顯然左端不動(dòng)、右端與質(zhì)量塊一致，則可設(shè)在距離彈簧左端處取一質(zhì)量為的微單元，則該單元位移為，則系統(tǒng)的動(dòng)能為：系統(tǒng)的勢(shì)能為:系統(tǒng)機(jī)械能:由根據(jù)機(jī)械能守恒原理得到系統(tǒng)振動(dòng)微分方程為： 代入數(shù)據(jù)可得：3. 設(shè)無阻尼

2、質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)在（0，）時(shí)間間隔內(nèi)受到突加的矩形脈沖力激勵(lì)如圖所示。為什么以T/2作為分界（1） 求系統(tǒng)響應(yīng)；解：（1）由圖可知當(dāng)時(shí)，由杜哈梅積分得則解得當(dāng)時(shí)，由杜哈梅積分分段積分得到 由此可以寫出系統(tǒng)響應(yīng)（2） 求系統(tǒng)在該激勵(lì)下的響應(yīng)譜；當(dāng)脈沖力作用時(shí)間超過系統(tǒng)的半周期即時(shí)，位移響應(yīng)的駐值發(fā)生在，即時(shí)刻亦即，位移的最大值為。當(dāng)時(shí)，位移響應(yīng)在脈沖力作用的時(shí)間間隔內(nèi)單調(diào)增大，最大值只能出現(xiàn)在脈沖力停止作用后的階段。對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)求導(dǎo)并使求的最大值則即 或代入原式得于是 表示了、及、的關(guān)系4.參數(shù)識(shí)別 一個(gè)質(zhì)量為1.95kg的物體在粘性阻尼介質(zhì)中作強(qiáng)迫振動(dòng)，激振力為牛頓。（1） 測(cè)得系統(tǒng)共振時(shí)的振幅為

3、1.27cm，周期為0.20s，求系統(tǒng)的阻尼比及阻尼系數(shù)；（2） 如果，除去阻尼后的振幅是有阻尼時(shí)的多少倍？解 （1）系統(tǒng)的固有頻率等于由共振發(fā)生時(shí)（其中B為振幅）得阻尼系數(shù)為則阻尼比為除去阻尼后的振幅為有阻尼時(shí)的振幅為其中頻率比算出為于是得到 5.懸臂梁端部有集中質(zhì)量塊 圖（2.9）所示為懸臂梁端部有集中質(zhì)量塊的振動(dòng)系統(tǒng)，設(shè)梁抗彎剛度為EI、單位長(zhǎng)度質(zhì)量為、梁長(zhǎng)、質(zhì)量塊質(zhì)量。當(dāng)只關(guān)心一階頻率時(shí)，可以將其簡(jiǎn)化為單自由度系統(tǒng)。假設(shè)梁的振動(dòng)時(shí)位移曲線為，則梁振動(dòng)位移為，其中可根據(jù)梁的靜變形曲線取得，它應(yīng)滿足梁的邊界條件，選取的好壞影響到計(jì)算精度。系統(tǒng)動(dòng)能： 由功能原理，外力所做的功數(shù)值上等于積蓄在彈性體內(nèi)的應(yīng)變能。 則可得振動(dòng)微分方程： （2.14）如取振型函數(shù)為 括號(hào) 則 即 所以振動(dòng)微分方程為：如取振型函數(shù)為冪級(jí)數(shù)代入式（2.14）則 即二、圖示四自由度系統(tǒng),各質(zhì)量塊均為m，彈簧如圖所示，阻尼均為c，作用激勵(lì)F(t)，初速度和位移均為零：1. 求系統(tǒng)固有頻率和振型（圖示）2. 求傳遞函數(shù)H11、H12、H13、H14（實(shí)、虛、幅、相）并圖示之（到最高固有頻率