曾量子力學(xué)題庫(kù)(網(wǎng)用)

1、曾謹(jǐn)言量子力學(xué)題庫(kù)一簡(jiǎn)述題：1. （1）試述Wien公式、Rayleigh-Jeans公式和Planck公式在解釋黑體輻射能量密度隨頻率分布的問(wèn)題上的差別2. （1）試給出原子的特征長(zhǎng)度的數(shù)量級(jí)（以m為單位）及可見(jiàn)光的波長(zhǎng)范圍（以Å為單位）3. （1）試用Einstein光量子假說(shuō)解釋光電效應(yīng) 4. （1）試簡(jiǎn)述Bohr的量子理論5. （1）簡(jiǎn)述波爾-索末菲的量子化條件6. （1）試述de Broglie物質(zhì)波假設(shè)7. （2）寫(xiě)出態(tài)的疊加原理8. （2）一個(gè)體系的狀態(tài)可以用不同的幾率分布函數(shù)來(lái)表示嗎？試舉例說(shuō)明。9. （2）按照波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋?zhuān)嚱o出波函數(shù)應(yīng)滿足的條件10.（2）已

2、知粒子波函數(shù)在球坐標(biāo)中為，寫(xiě)出粒子在球殼中被測(cè)到的幾率以及在方向的立體角元中找到粒子的幾率。11.（2）什么是定態(tài)？它有哪些特征？12.（2）是否定態(tài)？為什么？13.（2）設(shè)，試寫(xiě)成其幾率密度和幾率流密度14.（2）試解釋為何微觀粒子的狀態(tài)可以用歸一化的波函數(shù)完全描述。15.（3）簡(jiǎn)述和解釋隧道效應(yīng)16.（3）說(shuō)明一維方勢(shì)阱體系中束縛態(tài)與共振態(tài)之間的聯(lián)系與區(qū)別。17.（4）試述量子力學(xué)中力學(xué)量與力學(xué)量算符之間的關(guān)系18.（4）簡(jiǎn)述力學(xué)量算符的性質(zhì)19.（4）試述力學(xué)量完全集的概念20.（4）試討論：若兩個(gè)厄米算符對(duì)易，是否在所有態(tài)下它們都同時(shí)具有確定值？21.（4）若算符、均與算符對(duì)易，即，、

3、是否可同時(shí)取得確定值？為什么？并舉例說(shuō)明。22.（4）對(duì)于力學(xué)量A與B，寫(xiě)出二者在任何量子態(tài)下的漲落所滿足的關(guān)系，并說(shuō)明物理意義。 23.（4）微觀粒子方向的動(dòng)量和方向的角動(dòng)量是否為可同時(shí)有確定值的力學(xué)量？為什么？24.（4）試寫(xiě)出態(tài)和力學(xué)量的表象變換的表達(dá)式25.（4）簡(jiǎn)述幺正變換的性質(zhì)26.（4）在坐標(biāo)表象中，給出坐標(biāo)算符和動(dòng)量算符的矩陣表示27.（4）粒子處在的一維諧振子勢(shì)場(chǎng)中，試寫(xiě)出其坐標(biāo)表象和動(dòng)量表象的定態(tài)Schrödinger方程。28.（4）使用狄拉克符號(hào)導(dǎo)出不含時(shí)間的薛定諤方程在動(dòng)量表象中的形式。29.（4）如果均為厄米算符，下列算符是否也為厄米算符？a) b) b)

4、 30.（5）試述守恒量完全集的概念31.（5）全同粒子有何特點(diǎn)？對(duì)波函數(shù)有什么要求？32.（5）試述守恒量的概念及其性質(zhì)33.（5）自由粒子的動(dòng)量和能量是否為守恒量？為什么？34.（5）電子在均勻電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，哈密頓量為。試判斷各量中哪些是守恒量，并給出理由。35.（5）自由粒子的動(dòng)量和能量是否為守恒量？為什么？36.（6）中心力場(chǎng)中粒子處于定態(tài)，試討論軌道角動(dòng)量是否有確定值37.（6）寫(xiě)出中心力場(chǎng)中的粒子的所有守恒量38.（6）試給出氫原子的能級(jí)簡(jiǎn)并度并與一般中心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)粒子的能級(jí)簡(jiǎn)并度進(jìn)行比較39.（6）二維、三維各向同性諧振子及一維諧振子的能級(jí)結(jié)構(gòu)有何異同，并給出二維、三維各向同性諧振

5、子能級(jí)簡(jiǎn)并度。40.（6） 氫原子體系處于狀態(tài) ，給出和可能取值及取值幾率，并說(shuō)明該狀態(tài)是否是定態(tài)？為什么？41（6）已知中心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子哈密頓表示為，試列舉出幾種該量子體系力學(xué)量完全集的選取方案。42.（7）什么是正常Zeeman效應(yīng)？寫(xiě)成與其相應(yīng)的哈密頓量，并指出系統(tǒng)的守恒量有哪些。43.（8）試給出電子具有自旋的實(shí)驗(yàn)依據(jù)44.（8）寫(xiě)出表象中、和的本征值與本征態(tài)矢45.（8）試述旋量波函數(shù)的概念及物理意義46.（8）以和分別表示自旋向上和自旋向下的歸一化波函數(shù)，寫(xiě)出兩電子體系的自旋單態(tài)和自旋三重態(tài)波函數(shù)（只寫(xiě)自旋部分波函數(shù)）。47.（8）若|>和|>是氫原子的定態(tài)矢（電子

6、和質(zhì)子的相互作用為庫(kù)侖作用，并計(jì)及電子的自旋軌道耦合項(xiàng)），試給出|>和|>態(tài)的守恒量完全集48.（10）若在表象中，與的矩陣分別為，是否可以將看作微擾，從而利用微擾理論求解的本征值與本征態(tài)？為什么?49.（11）利用Einstein自發(fā)輻射理論說(shuō)明自發(fā)輻射存在的必然性。50.（11）是否能用可見(jiàn)光產(chǎn)生 1阿秒(s) 的激光短脈沖，利用能量時(shí)間測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系說(shuō)明原因。51.（11）試給出躍遷的Fermi 黃金規(guī)則（golden rule）公式，并說(shuō)明式中各個(gè)因子的含義。52. （8）在質(zhì)心坐標(biāo)系中，設(shè)入射粒子的散射振幅為，寫(xiě)出靶粒子的散射振幅，并分別寫(xiě)出全同玻色子碰撞和無(wú)極化全同費(fèi)米子碰

7、撞的微分散射截面表達(dá)式。二、判斷正誤題（請(qǐng)說(shuō)明理由）1. （2）由波函數(shù)可以確定微觀粒子的軌道2. （2）波函數(shù)本身是連續(xù)的，由它推求的體系力學(xué)量也是連續(xù)的3. （2）平面波表示具有確定能量的自由粒子，故可用來(lái)描述真實(shí)粒子4. （2）因?yàn)椴òS著時(shí)間的推移要在空間擴(kuò)散，故真實(shí)粒子不能用波包描述5. （2）正是由于微觀粒子的波粒二象性才導(dǎo)致了測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系6. （2）測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系式是判別經(jīng)典力學(xué)是否適用的標(biāo)準(zhǔn)7. （2）設(shè)一體系的哈密頓與時(shí)間無(wú)關(guān)，則體系一定處于定態(tài)8. （2）不同定態(tài)的線性疊加還是定態(tài)9. （3）對(duì)階梯型方位勢(shì)，定態(tài)波函數(shù)連續(xù)，則其導(dǎo)數(shù)必然連續(xù)10.（3）顯含時(shí)間t，則體系不可能處于

8、定態(tài)，不顯含時(shí)間t，則體系一定處于定態(tài)11.（3）一維束縛態(tài)能級(jí)必定數(shù)非簡(jiǎn)并的12.（3）一維粒子處于勢(shì)阱中，則至少有一條束縛態(tài)13.（3）粒子在一維無(wú)限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)，其動(dòng)量一定是守恒量14.（3）量子力學(xué)中，靜止的波是不存在的15.（3）勢(shì)阱不存在束縛態(tài)16.（4）自由粒子的能量本征態(tài)可取為，它也是的本征態(tài)17.（4）若兩個(gè)算符有共同本征態(tài)，則它們彼此對(duì)易18.（4）在量子力學(xué)中，一切可觀測(cè)量都是厄米算符19.（4）如果是厄米算符，其積不一定是厄米算符20.（4）能量的本征態(tài)的疊加態(tài)仍然是能量的本征態(tài)21.（4）若對(duì)易，則在任意態(tài)中可同時(shí)確定22.（4）若不對(duì)易，則在任何情況下不可同時(shí)確定2

9、3.（4）和不可同時(shí)確定24.（4）若對(duì)易，則的本征函數(shù)必是的本征函數(shù)25.（4）對(duì)應(yīng)一個(gè)本征值有幾個(gè)本征函數(shù)就是幾重簡(jiǎn)并26.（4）若兩個(gè)三個(gè)，則它們不可能同時(shí)有確定值27.（4）測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系只適用于不對(duì)易的物理量28.（4）根據(jù)測(cè)不準(zhǔn)原理，任一微觀粒子的動(dòng)量都不能精確測(cè)定，只能求其平均值29.（4）力學(xué)量的平均值一定是實(shí)數(shù)30.（5）體系具有空間反演不變性，則能量本征態(tài)一定具有確定的宇稱(chēng)31.（5）在非定態(tài)下力學(xué)量的平均值隨時(shí)間變化32.（5）體系能級(jí)簡(jiǎn)并必然是某種對(duì)稱(chēng)性造成的33.（5）量子體系的守恒量無(wú)論在什么態(tài)下，平均值和幾率分布都不隨時(shí)間改變34.（5）全同粒子系統(tǒng)的波函數(shù)必然是反對(duì)

10、稱(chēng)的35.（5）全同粒子體系波函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性將隨時(shí)間發(fā)生改變36.（5）描述全體粒子體系的波函數(shù)，對(duì)內(nèi)部粒子的隨意交換有確定的對(duì)稱(chēng)性37.（6）粒子在中心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，若角動(dòng)量是守恒量，那么就不是守恒量38.（6）在中心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子，軌道角動(dòng)量各分量都守恒39.（6）中心力場(chǎng)中粒子的能量一定是簡(jiǎn)并的40.（6）中心力場(chǎng)中粒子能級(jí)的簡(jiǎn)并度至少為41.（8）電子的自旋沿任何方向的投影只能取42.（8）兩電子的自旋反平行態(tài)為三重態(tài)三、證明題：1. （2）試由Schrödinger方程出發(fā)，證明，其中2. （3）一維粒子波函數(shù)滿足定態(tài)Schrödinger方程，若、都是方程的解，則

11、有3. （3）設(shè)是定態(tài)薛定諤方程對(duì)應(yīng)于能量的非簡(jiǎn)并解，則此解可取為實(shí)解4. （2）設(shè)和是定態(tài)薛定諤方程對(duì)應(yīng)于能量的簡(jiǎn)并解，試證明二者的線性組合也是該定態(tài)方程對(duì)應(yīng)于能量的解。5. （3）對(duì)于勢(shì)壘，試證勢(shì)中的躍變條件6. （3）設(shè)是定態(tài)薛定諤方程的一個(gè)解，對(duì)應(yīng)的能量為，試證明也是方程的一個(gè)解，對(duì)應(yīng)的能量也為7. （3）一維諧振子勢(shì)場(chǎng)中的粒子處于任意的非定態(tài)。試證明該粒子的位置概率分布經(jīng)歷一個(gè)周期后復(fù)原。8. （3）對(duì)于階梯形方勢(shì)場(chǎng) ，若有限，則定態(tài)波函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)必定連續(xù)。9. （3）證明一維規(guī)則勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子，其束縛態(tài)能級(jí)必定是非簡(jiǎn)并的10.（4）證明定理：體系的任何狀態(tài)下，其厄米算符的平均值必

12、為實(shí)數(shù)11.（4）證明定理：厄米算符的屬于不同本征值的本征函數(shù)彼此正交12.（4）證明：在定態(tài)中幾率流密度矢量與時(shí)間無(wú)關(guān)13.（4）令，試證為厄密算符14.（4）試證為厄密算符15.（4）設(shè)是一個(gè)幺正算符且對(duì)可導(dǎo)，證明是厄米算符。16.（4）已知和是厄米算符，證明(+)和2也是厄米算符17.（4）試證明：任何一個(gè)力學(xué)量算符在它以自己的本征矢為基矢的表象中的表示為對(duì)角矩陣18.（4）試證明表象中算符的矩陣元是19.（4）試證明表象中算符的矩陣元是20.（4）若厄米算符具有共同本征函數(shù)，即，而且構(gòu)成體系狀態(tài)的完備函數(shù)組，試證明21.（4）若構(gòu)成完備基組，證明：22.（4）證明兩個(gè)線性算符之和仍為線

13、性算符23.（4）設(shè)算符，若為的本征函數(shù)，相應(yīng)的本征值為，求證和也是的本征函數(shù)，并求出相應(yīng)的本征值。24.（4）試證明是角動(dòng)量平方算符屬于本征值的本征函數(shù)。25.（4）試證明表象變換并不改變算符的本征值26.（4）證明對(duì)易關(guān)系 27.（4）證明在的本征態(tài)下 28.（4）設(shè)粒子處于狀態(tài)下，證明29.（4）證明諧振子的零點(diǎn)能是測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系的直接結(jié)果。30.（4） 一維體系的哈密頓算符具有分立譜，證明該體系的動(dòng)量在能量本征態(tài)中的平均值等于零31.（4）如果厄米算符A對(duì)任何矢量|u>，有<u|A|u>0，則稱(chēng)A為正定算符。試證明算符A=|a><a|為厄米正定算符32.（5）

14、設(shè)全同二粒子的哈密頓量為，波函數(shù)為，試證明交換算符是個(gè)守恒量33.（5）證明在定態(tài)下，任意不顯含時(shí)間t力學(xué)量A取值幾率分布不隨時(shí)間改變。34.（5）設(shè)力學(xué)量A是守恒量，證明在任意態(tài)下A的取值概率分布不隨時(shí)間改變。35.（5）證明：量子體系的守恒量，無(wú)論在什么態(tài)下，平均值不隨時(shí)間改變。36.（5）試證在一維勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子所受勢(shì)壁的作用力在束縛定態(tài)中的平均值為0（提示：利用對(duì)易關(guān)系）37.（5）設(shè)系統(tǒng)的哈密頓量為，厄米算符與對(duì)易。試證明，其中是的均方根偏差，即，式中尖括號(hào)表示求平均值。38.（5）如果，但，試證明的本征值必有簡(jiǎn)并。39.（5）粒子在對(duì)數(shù)函數(shù)型勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，其中常數(shù)。試?yán)肰iria

15、l定理證明：各束縛態(tài)的動(dòng)能平均值相等。40.（5）試根據(jù)力學(xué)量平均值表達(dá)式證明力學(xué)量平均值隨時(shí)間的變化為，其中為體系的哈密頓41.（4、5） 證明：宇稱(chēng)算符的本征函數(shù)非奇即偶42.（5）設(shè)粒子處在對(duì)稱(chēng)的雙方勢(shì)阱中（1）在情況下求粒子能級(jí)，并證明能級(jí)是雙重簡(jiǎn)并；（2）證明取有限值情況下，簡(jiǎn)并將消失。43.（5、6）證明在氫原子的任何定態(tài)中，動(dòng)能的平均值等于該定態(tài)能量的負(fù)值，即 44.（6）已知中心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子哈密頓表示為，證明中心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子角動(dòng)量守恒45.（8）證明Pauli算符各個(gè)分量的反對(duì)易關(guān)系46.（8）若電子處于的本征態(tài)。試證在此態(tài)中，取值或的概率各為。47. （8）設(shè)有兩個(gè)電

16、子，自旋態(tài)分別為。證明兩個(gè)電子處于自旋單態(tài)（S=0）和三重態(tài)（S=1）的幾率分別為48.（10）在一定邊界條件下利用定態(tài)薛定諤方程求解體系能量本征值與變分原理等價(jià)。49.（12）已知在分波法中 ，據(jù)此證明光學(xué)定理。四、 計(jì)算題：1.（2）設(shè)一維自由粒子的初態(tài)為，求。2.（3）質(zhì)量為的粒子在一維無(wú)限深方勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)，勢(shì)阱可表示為（1）求解能量本征值和歸一化的本征函數(shù)；（2）若已知時(shí)，該粒子狀態(tài)為，求時(shí)刻該粒子的波函數(shù)；（3）求時(shí)刻測(cè)量到粒子的能量分別為和的幾率是多少？（4）求時(shí)刻粒子的平均能量和平均位置。3. （3）粒子在一維勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)求粒子的束縛定態(tài)能級(jí)與相應(yīng)的歸一化波函數(shù)。4. （3）設(shè)有質(zhì)量

17、為的粒子（能量）從左入射，碰到勢(shì)壘，試推導(dǎo)出勢(shì)中的躍變條件。5. （3）質(zhì)量為m的粒子，在位勢(shì) 中運(yùn)動(dòng)，其中a. 試給出存在束縛態(tài)的條件，并給出其能量本征值和相應(yīng)的本征函數(shù)；b. 給出粒子處于x>0區(qū)域中的幾率。它是大于1/2，還是小于1/2，為什么？ 6. （3）一個(gè)質(zhì)量為m的粒子在一維勢(shì)場(chǎng) ，求波函數(shù)滿足的方程及連續(xù)性條件，并給出奇宇稱(chēng)能量本征波函數(shù)及相應(yīng)的本征能量。7. （3）質(zhì)量為的粒子在一維勢(shì)場(chǎng) 中運(yùn)動(dòng)。求粒子的定態(tài)能量與歸一化的波函數(shù)；粒子在態(tài)上的位置平均值。8. （3）如圖所示，一電量為質(zhì)量為的帶電粒子處在電量為固定點(diǎn)電荷的強(qiáng)電場(chǎng)中，并被約束在一直線AB上運(yùn)動(dòng)，到AB的距離

18、為a，由于產(chǎn)生的電場(chǎng)很強(qiáng)，只能在平衡位置O附近振動(dòng)，即a遠(yuǎn)大于粒子的運(yùn)動(dòng)范圍，設(shè)平衡位置O為能量參考點(diǎn)，試求體系可能的低能態(tài)能級(jí)。 9.（3）一電量為質(zhì)量為的帶電粒子處在強(qiáng)度為E的均勻強(qiáng)電場(chǎng)中，并被約束在一半徑為R的圓弧上運(yùn)動(dòng)，電場(chǎng)方向如圖所示，由于電場(chǎng)很強(qiáng)，只能在平衡位置O附近振動(dòng)，即R遠(yuǎn)大于粒子的運(yùn)動(dòng)范圍，設(shè)平衡位置O為能量參考點(diǎn)，試求體系可能的低能態(tài)能級(jí)。10. (3) 一維諧振子處于基態(tài)，求諧振子的1）平均值；2）平均值；3）動(dòng)量的幾率分布函數(shù)。（提示：函數(shù)滿足遞推關(guān)系：；）。11.（3）把傳導(dǎo)電子限制在金屬內(nèi)部的是金屬內(nèi)勢(shì)的一種平均勢(shì)，對(duì)于下列一維模型（如圖） 試就（1），（2）兩種

19、情況計(jì)算接近金屬表面的傳導(dǎo)電子的反射和透射幾率。12.（3、4）設(shè)時(shí)，質(zhì)量為、頻率為的諧振子處于 狀態(tài)，其中是實(shí)常數(shù)，是厄米多項(xiàng)式。（1） 求歸一化常數(shù)；（2） 求時(shí)刻體系的狀態(tài)；（3） 求時(shí)刻位置的平均值；（4） 求諧振子能量取值及相應(yīng)幾率 13.（3）設(shè)一維粒子由處以平面波入射，在原點(diǎn)處受到勢(shì)能的作用。（1）寫(xiě)出波函數(shù)的一般表達(dá)式；（2）確定粒子在原點(diǎn)處滿足的邊界條件；（3）求出該粒子的透 射系數(shù)和反射系數(shù)；（4）分別指出與時(shí)的量子力學(xué)效應(yīng)。14. （3、4、5）設(shè)一維線性諧振子處于基態(tài) （1）求 （2）寫(xiě)出本征能量，并說(shuō)明它反映微觀粒子的什么性質(zhì) （3）利用位力定理證明：，其中 15.

20、（4）設(shè)一維諧振子能量本征函數(shù)為。試?yán)眠f推公式求諧振子坐標(biāo)在能量表象中的矩陣表示16.（4、5）一維諧振子時(shí)處于基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)的疊加態(tài) 其中， （1）求時(shí)刻位置和動(dòng)量的平均值； （2）證明對(duì)于一維諧振子的任何狀態(tài)，時(shí)刻位置和動(dòng)量的平均值有關(guān)系； （3）求時(shí)刻能量的平均值17.（4）設(shè)體系處于狀態(tài)（已歸一化，即）。求 的可能測(cè)值及平均值； 的可能測(cè)值及相應(yīng)的幾率。 18（4）設(shè)一量子體系處于用波函數(shù)所描述的量子態(tài)中。試求（1）在該態(tài)下的可能測(cè)值和各個(gè)值出現(xiàn)的幾率；（2）的平均值19.（6）時(shí)氫原子的波函數(shù)為。忽略自旋和躍遷。 （1）寫(xiě)出系統(tǒng)能量、角動(dòng)量平方及角動(dòng)量分量的可能測(cè)值（表示成基本物

21、理的函數(shù)即可）； （2）上述物理量的可能測(cè)值出現(xiàn)的幾率和期望值； （3）寫(xiě)出時(shí)刻的波函數(shù)。20.（6）求勢(shì)場(chǎng)中的粒子的能級(jí)和定態(tài)波函數(shù)（A,B>0） 21.（7、8）設(shè)有一個(gè)定域電子，受到沿方向均勻磁場(chǎng)的作用，Hamiltonian量（不考慮軌道運(yùn)動(dòng)）表為。設(shè)時(shí)電子自旋“向上”（），求時(shí)的平均值。 22. （8）假設(shè)一個(gè)定域電子（忽略電子軌道運(yùn)動(dòng)）在均勻磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，磁場(chǎng)沿軸正向，電子磁矩在均勻磁場(chǎng)中的勢(shì)能為：，其中，（）為電子的磁矩,自旋用泡利矩陣表示。（1）求定域電子在磁場(chǎng)中的哈密頓量，并列出電子滿足的薛定諤方程：；（2）假設(shè)時(shí)，電子自旋指向軸正向，即，求時(shí)，自旋的平均值；（3）求時(shí)，

22、電子自旋指向軸負(fù)向，即的幾率是多少？ 23. （8）自旋，并具有自旋磁矩的粒子處于沿 x 方向的均勻磁場(chǎng)B中。已知t=0時(shí)，粒子的，求在以后任意時(shí)刻發(fā)現(xiàn)粒子具有的幾率。 24.（8）在表象中求自旋角動(dòng)量在方向的投影 的本征值和所屬的本征函數(shù)。25（8）兩個(gè)自旋為1/2的粒子，在表象中的表示為，其中， 是第i個(gè)粒子自旋向上的幾率，是第i個(gè)粒子自旋向下的幾率。a. 求哈密頓量的本征值和本征函數(shù)（V0為一常數(shù)）；b. t=0時(shí)，體系處于態(tài)，求t時(shí)刻發(fā)現(xiàn)體系在態(tài) 的幾率（注：為第i個(gè)粒子泡利算符的x, y分量） 26.（8）考慮由兩個(gè)自旋為 1 的粒子組成的體系，總自旋，求總自旋的平方及 z 分量 (

23、,) 的共同本征態(tài)，并表示成和本征函數(shù)乘積的線性疊加（取=1）。27.（8）一束自旋為的粒子進(jìn)入Stern-Gerlach裝置SG（I）后被分成兩束，去掉其中的一束，另一束（）進(jìn)入第二個(gè)SG（II），SG（I）與SG（II）的夾角為。則粒子束穿過(guò)SG（II）后又被分為兩束，求這兩束粒子的相對(duì)數(shù)目之比。28.（8）試求表象中的矩陣表示29.（8）自旋為1/2的粒子，其自旋角動(dòng)量算符和動(dòng)量算符分別為和。令 為和的共同本征態(tài)，其本征值分別為和，算符。試問(wèn)： （1）是否為厄米算符？在以為基的空間中，的矩陣形式如何？ （2）的本征值是什么？求出的共同本征函數(shù)系30.（8）對(duì)自旋為1/2的粒子，是自旋角動(dòng)

24、量算符，求的本征函數(shù)和本征值（是實(shí)常數(shù)）31.（8）電子處于沿y軸方向的均勻恒定磁場(chǎng)中，t=0時(shí)刻在表象中電子的自旋態(tài)為 ，不考慮電子的軌道運(yùn)動(dòng)。（1）求任意t>0時(shí)刻體系的自旋波函數(shù)；（2）在t時(shí)刻電子自旋各分量的平均值；（3）指出哪些自旋分量是守恒量，并簡(jiǎn)述其理由。32.（8）考慮兩個(gè)電子組成的系統(tǒng)。它們空間部分波函數(shù)在交換電子空間部分坐標(biāo)時(shí)可以是對(duì)稱(chēng)的或是反對(duì)稱(chēng)的。由于電子是費(fèi)米子，整體波函數(shù)在交換全部坐標(biāo)變量（包括空間部分和自旋部分）時(shí)必須是反對(duì)稱(chēng)的。（1）假設(shè)空間部分波函數(shù)是反對(duì)稱(chēng)的，求對(duì)應(yīng)自旋部分波函數(shù)?？傋孕惴x為：。求：和的本征值；（2）假設(shè)空間部分波函數(shù)是對(duì)稱(chēng)的，求

25、對(duì)應(yīng)自旋部分波函數(shù)，和的本征值；（3）假設(shè)兩電子系統(tǒng)哈密頓量為：，分別針對(duì)（1）（2）兩種情形，求系統(tǒng)的能量。33.（8）兩個(gè)電子處在自旋單態(tài)中，其中分別是自旋算符 和的單粒子自旋態(tài)。 （1）試證明：是算符的本征態(tài)（和分別是兩個(gè)單電子的自旋算符）； （2）如果測(cè)量一個(gè)電子的自旋分量，得，那么測(cè)量另一個(gè)電子的自旋的概率是多少？（3）如果測(cè)量態(tài)的一個(gè)電子的自旋，測(cè)量結(jié)果表明它處在的本征態(tài)，那么再測(cè)量另一個(gè)電子自旋分量，得到的概率是多少？34.（8）由兩個(gè)非全同粒子組成的體系，二粒子自旋均為，不考慮軌道運(yùn)動(dòng)，粒子間相互作用可寫(xiě)作。設(shè)初始時(shí)刻（）粒子1自旋朝上（），粒子2自旋朝下（）。求時(shí)刻 （1）粒

26、子1自旋向上的概率； （2）粒子1和2自旋均向上的概率； （3）總自旋為0和1的概率 35.（8）質(zhì)量為的一個(gè)粒子在邊長(zhǎng)為的立方盒子中運(yùn)動(dòng)，粒子所受勢(shì)能由下式給出：（i）列出定態(tài)薛定諤方程，并求系統(tǒng)能量本征值和歸一化波函數(shù)；（ii）假設(shè)有兩個(gè)電子在立方盒子中運(yùn)動(dòng)，不考慮電子間相互作用，系統(tǒng)基態(tài)能是多少？并寫(xiě)出歸一化系統(tǒng)基態(tài)波函數(shù)（提示：電子自旋為，是費(fèi)米子）； （iii）假設(shè)有兩個(gè)玻色子在立方盒子中運(yùn)動(dòng)，不考慮玻色子間相互作用，系統(tǒng)基態(tài)能是多少？并寫(xiě)出歸一化系統(tǒng)基態(tài)波函數(shù)。 36.（2、4、6、8）已知時(shí)，氫原子的波函數(shù)為，其中滿足歸一化條件。試（1）寫(xiě)出任意時(shí)刻的波函數(shù)（2）求能量、軌道角動(dòng)

27、量和、自旋的可能取值和相應(yīng)的幾率以及平均值（3）計(jì)算時(shí)刻自旋分量的平均值（4）寫(xiě)出時(shí)刻電子處在以原子核為球心，半徑為的球體積內(nèi)，且的幾率的表達(dá)式37.（6、10）粒子處在無(wú)限深球方勢(shì)阱中（1）求其徑向波函數(shù)和能量本征值；（2）今加上一微擾（為小量），求能量一級(jí)修正值（只求第一激發(fā)態(tài)的結(jié)果）。38. （6、10）一維無(wú)限深方勢(shì)阱中的粒子受到微擾的作用，其中為常數(shù)。求基態(tài)能量的二級(jí)近似與波函數(shù)的一級(jí)近似。39.（3、10）一維諧振子的哈密頓為若再加上一個(gè)外場(chǎng)作用，使用微擾論計(jì)算體系的能量到二級(jí)修正，并與嚴(yán)格解比較。40.（10）有一兩能級(jí)體系，哈密頓量為，在表象中，表示為 為微擾，表示微擾程度，試

28、求的本征值和本征態(tài)。41. （10）設(shè)Hamilton量的矩陣形式為：（1）設(shè)c<<1，應(yīng)用微擾論求H本征值到二級(jí)近似；（2）求H 的精確本征值；（3）在怎樣條件下，上面二結(jié)果一致。 42.（10）設(shè)在表象中，與微擾的矩陣為 其中與分別是基態(tài)與激發(fā)態(tài)的零級(jí)近似能量，是微小量。(1) 求基態(tài)的一級(jí)近似能量與零級(jí)近似態(tài)矢(2) 激發(fā)態(tài)的二級(jí)近似能量與一級(jí)近似態(tài)矢。43.（10）已知系統(tǒng)的哈密頓量為，。用微擾法求能量至二級(jí)修正。44.（10）設(shè)粒子在二維無(wú)限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)，設(shè)加上微擾。求基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)的一階能量修正。45.（10）一個(gè)取向用角坐標(biāo)和確定的轉(zhuǎn)子作受礙轉(zhuǎn)動(dòng)，用下述哈密頓描述：

29、，式中A和B均為常數(shù)，且，是角動(dòng)量平方算符。試用一級(jí)微擾論計(jì)算系統(tǒng)的p能級(jí)(l=1)的分裂，并算出微擾后的零級(jí)近似波函數(shù)。46.（3、10）對(duì)于一維諧振子，取基態(tài)試探波函數(shù)形式為，為參數(shù)。用變分法求基態(tài)能量，并與嚴(yán)格解進(jìn)行比較。47. （3、10）一維無(wú)限深勢(shì)阱加上如圖所示的微擾， 則 勢(shì)函數(shù)為試用微擾論求基態(tài)能量本和波函數(shù)至一級(jí)近似。 48. （10）氫原子處于基態(tài)：沿z方向加一個(gè)均勻弱電場(chǎng)，視電場(chǎng)為微擾。求電場(chǎng)作用后的基態(tài)波函數(shù)（一級(jí)近似），能級(jí)（二級(jí)近似），平均電矩和電極化系數(shù)（不考慮自旋）。49.（10）考慮體系，且，a. 利用變分法，取試探波函數(shù)為，求基態(tài)能量上限；b.我們知道，如試探波函數(shù)為，則基態(tài)能量上限為。對(duì)這兩個(gè)基態(tài)的能量上限，你能接受哪一個(gè)？為什么？50.（10）以為變分函數(shù)， 式中為變分參數(shù)， 試用變分法求一維諧振子的基態(tài)能量和波函數(shù)。 已知51.（10）質(zhì)量為的粒子在一維勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，式中。 （1）用變分法計(jì)算基態(tài)能量時(shí)，在區(qū)域內(nèi)的試探波函數(shù)應(yīng)取下列波函數(shù)中的哪一個(gè)？為什么？（2）算出基態(tài)能量。 提示：必要時(shí)可利用積分公式：52.（10）質(zhì)量為 m 的的粒子在勢(shì)場(chǎng) 中運(yùn)動(dòng)。 (1) 用變分