數(shù)學(xué)建模大作業(yè)

1、快速撤離問(wèn)題機(jī)電學(xué)院0901班 方哲 09221003摘要近年來(lái)，諸如地震、火災(zāi)等突發(fā)事件時(shí)常發(fā)生。雖然人們?cè)诤芏嗲闆r下還不能準(zhǔn)確預(yù)報(bào)這些突發(fā)事件，但當(dāng)災(zāi)難發(fā)生時(shí)，盡可能在災(zāi)難中減少傷亡人數(shù)是人們應(yīng)對(duì)突發(fā)事件的首選。在突發(fā)事件中，身處災(zāi)難環(huán)境的人員快速撤離災(zāi)難地點(diǎn)可以有效減少傷亡人數(shù)。本文通過(guò)對(duì)緊急疏散時(shí)人員行動(dòng)的相關(guān)參數(shù)進(jìn)行研究提出了在疏散時(shí)人的步長(zhǎng)、人流速度、人流量與時(shí)間的關(guān)系等相關(guān)數(shù)學(xué)模型，并針對(duì)思源西樓的特點(diǎn)提出了具體可行的疏散方案。關(guān)鍵詞：火災(zāi)；安全疏散；數(shù)學(xué)模型1. 問(wèn)題提出高校建筑物多且大，人員眾多且密集，涉及資產(chǎn)數(shù)量大，因此高校的防火要求高，消防任務(wù)重，除了要在平時(shí)加強(qiáng)學(xué)生消防

2、意識(shí)，在火災(zāi)發(fā)生時(shí)有一套科學(xué)高效的安全疏散方案也格外重要。而考察一個(gè)疏散方案的優(yōu)劣，疏散時(shí)間是一個(gè)重要指標(biāo)，而如何建立數(shù)學(xué)模型來(lái)計(jì)算這個(gè)時(shí)間，是問(wèn)題的一大關(guān)鍵，除此之外，如何結(jié)合思源西樓的實(shí)際情況來(lái)制訂具體疏散方案也是一大關(guān)鍵。2 問(wèn)題分析 關(guān)于疏散時(shí)間的計(jì)算涉及到諸多因素，如樓房用途、樓房及房間大小、在開(kāi)放時(shí)間段內(nèi)使用樓房的人數(shù)、安全出口的數(shù)目及出口與房間的距離、報(bào)警器的數(shù)量及音量、為殘疾人員準(zhǔn)備的特殊設(shè)施、通往安全地帶的出口、門的種類大小及開(kāi)門方向、樓梯的規(guī)格等等，這些因素都直接或間接地影響地影響了疏散的總時(shí)間。考慮到影響因素眾多，在模型建立中我們通過(guò)基本假設(shè)的有選擇地簡(jiǎn)化了某些影響因素。

3、 關(guān)于疏散方案的建立則要考慮樓房的各個(gè)教室與各個(gè)出口、樓梯的相對(duì)位置，在一層的房間還應(yīng)該考慮窗戶的位置（一部分受災(zāi)人員可能直接從窗戶逃生），等等其他因素。3 模型建立3. 1 火災(zāi)疏散的人流模型3. 1. 1 基本假設(shè) （1）人流在單向定寬通道內(nèi)前進(jìn)且相對(duì)飽和（后面的人與前面的人之間不存在很大的空隙），速度不大于某極限速度； （2）所有人員均具備良好素質(zhì)，即會(huì)自覺(jué)按照既定路線有序撤離，不會(huì)試圖超越前方個(gè)體； （3）人群密度（人/m2）在通道各處相等并隨速度v（m/s）的增加而減少； （4） 定義人流流量速率q（人/(ms)）即為單位時(shí)間單位通道截面積通過(guò)人數(shù)，q=v；（5）在逃離過(guò)程中，通道始

4、終完好，受災(zāi)人員只要逃出出口即視為安全； （6）所有人員均從出口撤離，無(wú)跳樓或跳窗者；3. 1. 2 人體基本參數(shù) 根據(jù)參考文獻(xiàn)1，結(jié)合我國(guó)人口素質(zhì)情況，簡(jiǎn)略起見(jiàn)取肩寬bp=0.5m，身體厚度dp=0.25m。3. 1. 3 模型建立擁擠狀態(tài)下跨步長(zhǎng)l(m)等于相鄰個(gè)體間距。如圖所示，結(jié)合對(duì)個(gè)體生理尺寸參數(shù)計(jì)算，可得式（1）：l=1bp+0.1-dp （1）參考文獻(xiàn)4和5中給出的速度、步幅等數(shù)據(jù)，確定人群密度與行走頻率f 之間存在關(guān)系，見(jiàn)式（2）。f=kn （2）通過(guò)進(jìn)一步驗(yàn)證得到k=1.36,n0.5,將人群速度表示為密度函數(shù)，見(jiàn)式（3）。v=lf=(1bp+0.1-dp) kn （3）則人

5、流流量速率為，q=v=(1bp+0.1-dp) kn+1 （4）利用式（3）與式（4）兩個(gè)模型和相關(guān)參數(shù)，在Mathmatica2.2中繪制如下圖形：可確定人流密度=2.22人/m2、相應(yīng)速度v=1.01m/s之時(shí)，q取得極值qmax=2.25人/(ms)。接著給出沿第i條路徑第k段（每條撤離路徑由多個(gè)階段構(gòu)成，如在教室內(nèi)、在走廊內(nèi)等）撤離過(guò)程中某一小段時(shí)間（tik）內(nèi)人流總量qik與該段時(shí)間的關(guān)系。cik為人在該段時(shí)間走過(guò)的步數(shù)。Sik為該段撤離路徑的路程。Dik為該段路徑中通道寬度。（注意qik區(qū)別于q）fik=cik/tik （5）與（2）聯(lián)立即得：kikntik=cik （6）又cik

6、=Sik/lik （7）得到ik=nSiklik t （8）其中n0.5，k=1.36。.由（8）式及（1）式可解得=(-Ski+Sik2+4dpk2tik2bp+0.12kdptik)2 （9）將（9）式代入（4）式q=(1bp+0.1(-Ski+Sik2+4dpk2tik2bp+0.12kdptik)2 -dp) k(-Sik+Sik2+4dpk2tik2bp+0.12kdptik)2(n+1) （10）則，qik=0tikqDikdt=0tDik(1bp+0.1(-Ski+Sik2+4dpk2tik2bp+0.12kdptik)2 -dp) k(-Sik+Sik2+4dpk2tik2bp

7、+0.12kdptik)2(n+1)dt （12）則Qik=0TikqikDikdt (13)3. 2 疏散時(shí)間的計(jì)算變量設(shè)定Mi - 通過(guò)第i條撤離路徑的疏散人數(shù)總和;M - 整棟樓總疏散人數(shù);T - 整棟樓所有人全部撤離的時(shí)間；Ti - 第i個(gè)出口的疏散時(shí)間；tik - 第i個(gè)出口中第k段的疏散時(shí)間; D* - 不同門的寬度3. 2. 1 關(guān)于Ti的計(jì)算： 因?yàn)榭倳r(shí)間Ti等于各段時(shí)間之和，即： Ti= 通過(guò)教室門的時(shí)間+通過(guò)樓梯門的時(shí)間+通過(guò)各個(gè)段的時(shí)間+通過(guò)出口的時(shí)間Ti = + + + （*）其中，tik=Sikvik3. 2. 2 時(shí)間的最優(yōu)化 由T與Ti的關(guān)系有 T=max現(xiàn)在證明

8、T最小的條件為:T1 = T2 = Tn (數(shù)學(xué)歸納法)設(shè)mi為單位時(shí)間通過(guò)第i個(gè)出口的人流流量。 M=m1T1+m2T2 + mnTn , Mi=mi Ti 1 當(dāng) n=2 時(shí)： 1. T1 <T2 Ta =T2 = 2. T1 =T2 Tb = Tb -Ta =- 又M1T1+M2T2 =（M1 +M2）Tb >M1T1+M2T1 Tb >T1 所以 Tb -Ta < 0 故當(dāng)T1 =T2 時(shí)，所用時(shí)間最少.2 假設(shè)n=k時(shí)，有當(dāng)T1 = T2 = Tn 時(shí)， T最??； 則當(dāng)n=k+1時(shí)： 1. Tk <Tk+1 Ta =Tk+1 = 2. Tk =Tk+1

9、Tb = Tb-Ta =- 同理：Tb -Ta < 0 故當(dāng)T1 = T2 = Tk_+1時(shí)，所用時(shí)間最少.綜上所述，故當(dāng)T1 = T2 = Tn時(shí)，所用時(shí)間最少.3. 3 理論最優(yōu)疏散方案設(shè)計(jì) 由以上分析所得當(dāng)T1 = T2 = Tn（12）和（13）可知，只有通過(guò)合理安排不同教室的人的撤離路徑以及控制每條撤離路徑的承載的撤離人數(shù)使得各條路徑上的tik之和最為接近，才能使得整體撤離時(shí)間最短化。顯然，要使疏散方案達(dá)到最優(yōu)化，方案的復(fù)雜性極高，實(shí)際可行性不大。 4 實(shí)例分析 以我校思源西樓為實(shí)例，來(lái)設(shè)計(jì)火災(zāi)時(shí)人員疏散具體方案并計(jì)算疏散時(shí)間。為計(jì)算方便，再做出如下假設(shè)： （1）將教師與學(xué)生作

10、為整體分析；（2）教學(xué)樓人員均為身體健康，具有正常判斷能力的無(wú)差別個(gè)體；（3）所有的人均以安全出口為原則；（4）所有上課的學(xué)生均沒(méi)有逃課；（5）沒(méi)有人跳樓或爬窗逃生；（6）每扇門都可以完全打開(kāi)；（7）一有火災(zāi)立刻有人按火災(zāi)警報(bào)所有人都立刻開(kāi)始撤離。（8）撤離過(guò)程中人流始終保持較為擁擠狀態(tài)，此時(shí)q保持在2.25人/s左右，v保持在1m/s左右。 4. 1 平面圖的確定思源西樓一層思源西樓二層4. 2 疏散人數(shù)的確定 題設(shè)中給出火災(zāi)時(shí)間為某一天的上午學(xué)生正在上課之時(shí)且只考慮一二層的人，在這里我們假定當(dāng)天為周一。周一上午大一學(xué)生在思西一二層上微積分和大學(xué)物理，所以當(dāng)時(shí)這兩層每個(gè)教室都有課且上課人數(shù)較

11、多，為計(jì)算方便我們假定每個(gè)教室100人。在該情況下一二層疏散人數(shù)幾乎已達(dá)最大值，此時(shí)計(jì)算出的疏散總時(shí)間T即為所有可能情況的最大值（其余情況即為有教室沒(méi)有課的情況）。4. 3 疏散方案確定 由可知理論最優(yōu)方法的撤離路徑以及各條撤離路徑上的人數(shù)安排過(guò)于復(fù)雜，結(jié)合實(shí)際情況，和人類心理的偏向（比如一般都會(huì)優(yōu)先考慮離自己較近的樓梯口等等），以下給出幾種較為合理的的方案并進(jìn)行比較評(píng)估，得出一套相對(duì)較好的方案。 （1）對(duì)于一樓的人員，根據(jù)上述數(shù)學(xué)模型并結(jié)合大出口與小出口的瞬時(shí)通行量的比例（約為為3：1），及一樓教室情況等，安排以下方案進(jìn)行疏散撤離： 101，106，107從大出口撤離，105從小出口撤離；并

12、且每個(gè)教室的每一個(gè)門撤出的人數(shù)均為教室人數(shù)的一半。 （2）對(duì)于二樓的人員，考慮到二樓教室與樓梯口分布不均，各個(gè)教室到各個(gè)樓梯口的距離不等且在疏散時(shí)必有大量人群涌向樓梯，以及一個(gè)教室的人有可能從不同的樓梯口逃離等等實(shí)際情況，現(xiàn)給出四種較為合理的撤離方案，其中每一方案分為兩個(gè)模塊（從二樓到一樓樓梯口，從一樓樓梯口到最終出口兩部分）：（簡(jiǎn)圖表示）方案一：在一層樓梯口的人在一層樓梯口的人在一層樓梯口的人 全部 大出口201 全部 到達(dá)一樓后 202 全部 在一層樓梯口的人 全部 小出口203 從a1通過(guò)一半 從a2通過(guò)一半 204 全部 205 全部 方案二：在一樓樓梯口的人在一樓樓梯口的人在一樓樓梯

13、口一半的人 大出口201 全部 到達(dá)一樓后 202 全部 203 從a1通過(guò)一半 從a2通過(guò)一半 在一樓樓梯口的另一半人在一樓樓梯口的人 小出口 204 全部 205 全部 方案三：201 全部 在一層樓梯口的人在一層樓梯口的人在一層樓梯口的人 全部 大出口到達(dá)一樓后202 從a1通過(guò)一半 從a2通過(guò)一半 在一層樓梯口的人 全部 小出口203 從a1通過(guò)一半 從a2通過(guò)一半 204 從a1通過(guò)一半 從a2通過(guò)一半 205 全部 方案四：201 全部 在一樓樓梯口的人在一樓樓梯口的人在一樓樓梯口一半的人 大出口到達(dá)一樓后202 從a1通過(guò)一半 從a2通過(guò)一半 在一樓樓梯口的另一半人在一樓樓梯口的

14、人 小出口203 從a1通過(guò)一半 從a2通過(guò)一半 204 從a1通過(guò)一半 從a2通過(guò)一半 205 全部 以下給出測(cè)量所得的數(shù)據(jù)（為計(jì)算簡(jiǎn)便做了一定的簡(jiǎn)化處理）：方案中在二樓的數(shù)據(jù)表撤離所對(duì)樓梯號(hào)教室a1門對(duì)應(yīng)樓梯口距離（m）a2門對(duì)應(yīng)樓梯口距離（m）在樓梯間通過(guò)距離201614.719.52022.412.6無(wú)8.42032.4無(wú)無(wú)2.42044.29無(wú)13.8205921方案中在一樓的數(shù)據(jù)表樓梯號(hào)從樓梯到大出口距離（m）從樓梯到小出口距離（m）10.8無(wú)11.1無(wú)29.124無(wú)4.8其他數(shù)據(jù)教室門寬（m）走廊寬（m）樓梯口門寬（m）樓梯寬（m）大出口寬（m）小出口寬（m）D1.22.41.6

15、82.44.021.24. 4人員疏散方案分析根據(jù)T = max 原理，各方案的優(yōu)劣由各方案中各個(gè)流通路徑中時(shí)間最長(zhǎng)的路徑?jīng)Q定。由分析得四個(gè)方案的時(shí)間最長(zhǎng)的路徑分別為：方案一 （204） +大出口方案二 （204）一半 +大出口方案三 （202的a2門出一半+203的a2門出一半+204的a1門出一半 ）+大出口方案四 （202的a2門出一半+203的a2門出一半+204的a1門出一半 ）一半+大出口 由基本假設(shè)（8）“分別計(jì)算四個(gè)方案的最終撤離時(shí)間，比較分析得出第三個(gè)方案為最優(yōu)方案，并算得其撤離時(shí)間為T=205.95。5 模型總結(jié) 通過(guò)建立思源西樓人流疏散模型，從理論上預(yù)測(cè)所得趨勢(shì)與日常經(jīng)驗(yàn)

16、相符合，并且量值上的結(jié)果與實(shí)際情況較為吻合。 通過(guò)模型建立，還得出了理論最優(yōu)時(shí)間的撤離方案要求，并通過(guò)幾個(gè)合理方案驗(yàn)證了當(dāng)方案與理論方案越接近時(shí)，疏散時(shí)間越短。綜上，此模型對(duì)火災(zāi)發(fā)生撤離方案的確定有一定可信性和借鑒意義，希望能為今后建筑火災(zāi)人員疏散提供參考。5. 1 優(yōu)化方向 A.可以考慮火災(zāi)中產(chǎn)生的煙霧及有毒氣體對(duì)人群疏散速度的影響。 B.可以考慮火災(zāi)發(fā)生位置不同對(duì)撤離方案的影響。 C.可以考慮火災(zāi)發(fā)生的季節(jié)時(shí)間以及溫度濕度等對(duì)火災(zāi)撤離方案的影響。 D.可以考慮撤離時(shí)間內(nèi)人員健康受影響（比如受煙氣影響）的程度來(lái)對(duì)思源西樓抗火災(zāi)能力進(jìn)行評(píng)估。5. 2 對(duì)思源西樓平時(shí)管理的建議 A.注意平時(shí)保持樓內(nèi)通道的暢通和易行進(jìn)（防止有水和油漬）。 B.樓梯口的兩扇門應(yīng)盡量都保持暢通，不要只開(kāi)半扇（有幾扇壞的要及時(shí)修好）。 C.注意保持樓與外界，教室與外界的通風(fēng)狀況良好。參考文獻(xiàn)：1J J Fruin.Pedestrian Planning and DesignM.Metropolitan Association of Urban Designers and Environmental Planners,Inc.,1