線段角的軸對稱性單元練習(xí)

1、第二章線段、角的軸對稱性一.選擇題（共10小題）1. （2016?湖州）如圖，AB/ CD, BP和CP分別平分/ ABC/ DCB AD過點P,且與AB垂直.若AD=8,則點P至ij BC的距離是（）A. 8 B. 6C. 4D. 22. （2016?淮安）如圖，在 RtABC中，/C=90 ,以頂點 A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交AG AB于點M, N,再分另1J以點 M N為圓心，大于2 MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P,作射線AP交邊BC于點D,若CD=4 AB=15,則4 ABD的面積是（）A. 15 B. 30 C. 45D. 603. （2016?德州）如圖，在 ABC中，/

2、 B=55 , / C=30 ,分別以點 A和點C為圓心，大因于2 AC的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M, N,作直線MN交BC于點D,連接AD,則/ BAD的度數(shù)為（）A. 65° B, 60° C. 55° D, 45°4. 如圖，已知點P是/ AOB角平分線上的一點，ZAOB=60 , PD± OA M是OP的中點，DM=4cm如果點C是OB上一個動點，則 PC的最小值為（）A. 2 B, 26C. 4 D, 4735.如圖，在已知的 ABC中，按以下步驟作圖:1分別以B, C為圓心，以大于 工BC的長為半徑作弧，兩弧相交于兩點M N;作直

3、線 MN AB于點D,連接CD.若 CD=AC / A=50° ,貝U / ACB的度數(shù)為（）A. 90° B. 95° C. 100°D. 105°6 .如圖，銳角三角形 ABC中，直線l為BC的垂直平分線，射線 m平分/ ABC l與m相交 于 P 點.若/ A=60° , /ACP=24 ,則/ ABP等于（）A. 24° B. 30° C. 32° D, 42°7 .如圖， ABC中，AB邊的垂直平分線交 AB于點E,交BC于點D,已知AC=5cm ADC 的周長為17cm,則BC的長為

4、（）A. 7cm B. 10cm C. 12cm D. 22cm8.三角形ABC的三條內(nèi)角平分線為 AE BF、CG下面的說法中正確的個數(shù)有（）ABC的內(nèi)角平分線上的點到三邊距離相等三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點 三角形的內(nèi)角平分線位于三角形的內(nèi)部三角形的任一內(nèi)角平分線將三角形分成面積相等的兩部分.A. 1個B. 2個 C. 3個D. 4個9 .如圖，AD是4ABC的角平分線， DF! AB,垂足為F, DE=DG ADG AED的面積分別 為50和39,則4 EDF的面積為（）A. 11B, 5.5 C. 7D.10 .如圖所示，點 P為 ABC三邊垂直平分線的交點，PA=6,則點P到點C的

5、距離為PC滿足（）A. PCX 6B. PC=6C. PO 6D.以上都不對二.填空題（共6小題）11 .（2016?西寧）如圖，。呼分 / AOB/AOP=15 , PC/ OA PDL OA 點 D, PC=4 則 PD=r12 . （2016?遵義）如圖，在 ABC中，AB=BC Z ABC=110 , AB的垂直平分線 DE交AC于點 D,連接BR則/ ABD=度.13 .如圖所示，已知 ABC的周長是20, OB OC分別平分/ ABC和/ ACB ODL BC于D,且 OD=3則4 ABC的面積是 .14.如圖， ABC中，DE是AC的垂直平分線， AE=4cm ABD的周長為14

6、cm,則 ABC的 周長為.C15.如圖， ABC中，AB=AC D是BC的中點，AC的垂直平分線分別交 AG AR AB于點E、 Q F,則圖中全等的三角形的對數(shù)是 .16 .如圖 ABC中，/ C=90 , AD平分/ BAC DEL AB于E,給出下列結(jié)論：DC=DEDA 平分/ CDEDE平分/ ADBBE+AC=AB/ BACW BDE其中正確的是 (寫序 號)三.解答題(共5小題)17.如圖，在RtABC, /C=90 , AB邊的垂直平分線 DE交BC于點E,垂足為D.求證: / CAB=Z AED18.如圖，已知:AB/ C口 / BAE=/ DCF AC, EF相交于點 M,

7、有 AM=CM(1)求證：AE/ CF;若 AM¥分/ FAE求證：FE垂直平分 AC.19.在 ABC中，AB邊的垂直平分線 l 1交BC于D,AC邊的垂直平分線l2交BC于E, l1與l2相交于點O. ADE的周長為6cm.(1)求BC的長；(2)分別連結(jié) OA OB OC若 OBC勺周長為16cm,求OA的長.20.如圖，點 P為 ABC三邊垂直平分線的交點，若/ PAC=20 , / PCB=30 ,求/ PAB的21.如圖，AD為4ABC的角平分線，D已AB于點E, DF,AC于點F,連接EF交AD于點G.(1)求證：AD垂直平分 EF;(2)若/ BAC=60 ,猜測 D

8、G與AG間有何數(shù)量關(guān)系請說明理由.度數(shù).參考答案一.選擇題（共10小題）1. （2016?湖州）如圖，AB/ CD, BP和CP分別平分/ ABC/ DCB AD過點P,且與AB垂直.若）A. 8B. 6C. 4D. 2PA=PE【分析】過點P作PE! BC于E,根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得 PD=PE 那么 PE=PA=PD 又 AD=3 進而求出 PE=4.【解答】 解：過點P作PE± BC于E,1. AB/ cq PAI AB, pd± cq.BP和CP分另1J平分/ ABC和/ DCBPA=PE PD=PEPE=PA=PD. PA+PD=AD=8PA=

9、PD=4PE=4.故選C.BC熟記性質(zhì)并作輔助線是【點評】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì), 解題的關(guān)鍵.2. （2016?淮安）如圖，在 RtABC中，/C=90 ,以頂點 A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交AG AB于點M, N,再分另1J以點 M N為圓心，大于2 MN的長為半徑畫弧，兩弧交于 點P,作射線AP交邊BC于點D,若CD=4 AB=15,則4 ABD的面積是（）C.；NBA. 15B. 30 C. 45D. 60【分析】判斷出AP是/ BAC的平分線，過點 D作DE!AB于E,根據(jù)角平分線上的點到角的 兩邊距離相等可得 DE=CD然后根據(jù)三角形的面積公式列式

10、計算即可得解.【解答】 解：由題意得 AP是/BAC的平分線，過點 D作DE! AB于E,又/C=90 , . DE=CDJJ 1_ . ABD的面積=2 AB?DE=!X 15X 4=30.故選B.熟記【點評】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)以及角平分線的畫法, 性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.3. （2016?德州）如圖，在 ABC中，/ B=55 , / C=30 ,分別以點 A和點C為圓心，大11于2 AC的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M, N,作直線MN交BC于點D,連接AD,則/ BADA. 65° B. 60° C. 55° D, 45°【

11、分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AD=DC根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到/C=Z DAC求得/ DAC=30 ,根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到/ BAC=95 ,即可得到結(jié)論.【解答】 解：由題意可得：MN AC的垂直平分線，貝U AD=DC 故/ C=z DAC /C=30 ,/ DAC=30 , / B=55° ,/ BAC=95 , .Z BAD=/ BAG- / CAD=65 ,故選A.【點評】此題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，正確掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.4.如圖，已知點P是/ AOB角平分線上的一點，ZAOB=60 , PD± OA M是OP的中

12、點，DM=4cm 如果點C是OB上一個動點，則 PC的最小值為（）A. 2B. 2 ： ；C. 4D. 4 ,-L/【分析】根據(jù)角平分線的定義可得/ AOP= AOB=30 ,再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求得工PD=OP=4然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)和垂線段最短得到結(jié)果.【解答】 解：.P是/ AOB角平分線上的一點，/ AOB=60 ,Z/ AOP= AOB=30 ,PD）± OA M是 OP的中點，DM=4cm .OP=2OM=8工 .PD=： OP=4 點C是OB上一個動點，二PC的最小值為P到OB距離，二PC的最/、值=PD=4故選C.【點評】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等

13、的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作出輔助線構(gòu)造成直角三角形是解題的關(guān)鍵.5.如圖，在已知的 ABC中，按以下步驟作圖：分別以B, C為圓心，以大于2 BC的長為半徑作弧，兩弧相交于兩點M N;作直線 MN AB于點D,連接CD.若 CD=AC / A=50° ,貝U / ACB的度數(shù)為（）A. 90° B. 95° C. 100°D. 105°【分析】由CD=AC ZA=50° ,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可求得/ADC的度數(shù)，又由題意可得：MN是BC的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得：CD=BD則可求得/ B的度數(shù),繼而求得

14、答案.【解答】 解：CD=AC ZA=50° , /ADChA=50° ,根據(jù)題意得：MN是BC的垂直平分線，.CD=BD / BCDh B,L./ B=2 ZADC=25 ,，/ACB=180 - Z A- /B=105 .故選D.注意垂直平分線上任意m平分/ ABC l與m相交【點評】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì). 一點，到線段兩端點的距離相等.6.如圖，銳角三角形 ABC中，直線l為BC的垂直平分線，射線 于 P 點.若/ A=60° , /ACP=24 ,則/ ABP等于（）A. 24° B, 30° C. 32&

15、#176; D. 42【分析】根據(jù)角平分線定義求出/ ABP=Z CBP；根據(jù)線段的垂直平分線性質(zhì)得出BP=CP求出/CBPW BCR根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出方程3/ABPh240 +60° =180° ,求出方程的解即可.【解答】解：: BP平分/ ABC / ABP土 CBP 直線l是線段BC的垂直平分線，.BP=CP/ CBP=/ BCR / ABP土 CBP4 BCP, /A+/ ACB吆 ABC=180 , Z A=60° , / ACP=21 , 3Z ABP+?4° +60° =180° ,解得：/ ABP=32 ,故選

16、：C.【點評】 本題考查了三角形內(nèi)角和定理，線段垂直平分線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)的應(yīng)用， 能求出/ ABP=/ CBP=/ BCP是解此題的關(guān)鍵，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.7.如圖， ABC中，AB邊的垂直平分線交 AB于點E,交BC于點D,已知AC=5cm ADC的周長為17cm,則BC的長為（）22cm【分析】根據(jù)三角形周長求出 AD+DC=12crm艮據(jù)線段垂直平分線求出 AD=BD求出BC=AD+DC 即可得出答案.【解答】 解：.AC=5cm ADC勺周長為17cm,，AD+DC=12cm.AB的垂直平分線 DEBD=AQBC=BD+DC=AD+DC=12 cm故選：C.【點評】本題考查了

17、線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用，注意：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等.8.三角形ABC的三條內(nèi)角平分線為 AE BF、CG下面的說法中正確的個數(shù)有（）ABC的內(nèi)角平分線上的點到三邊距離相等三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點三角形的內(nèi)角平分線位于三角形的內(nèi)部三角形的任一內(nèi)角平分線將三角形分成面積相等的兩部分.A. 1個B. 2個 C. 3個D. 4個【分析】畫出圖形，設(shè) 。為/ BAC的角平分線和/ ACB的角平分線的交點，過 。作ONLAB 于 N, OML BC于 M OQL AC于 Q,求出 ON=OM=OQU斷即可. 設(shè)。為/ BAC的角平分線和/ ACB的角平分線的交點，過 。作O

18、NL AB于N, OML BC于MOQL AC于 Q.ON=OQ OQ=OM，ON=OM=O Q . ABC的三個內(nèi)角的角平分線的交點到三角形三邊的距離相等，錯誤；,. ONL AB, OML BC, ON=OM .O在/ ABC的角平分線上，即。是 ABC的三個角的平分線交點，正確； 三角形的三個內(nèi)角的平分線都在三角形的內(nèi)部，正確；三角形的任意中線把三角形的面積分為面積相等的兩部分，而三角形的任意角平分線不一定把三角形的面積分成面積相等的兩部分，錯誤；故選B.【點評】本題考查了三角形的角平分線性質(zhì)和三角形的中線性質(zhì)，主要考查學(xué)生的推理能力和辨析能力.9.如圖，AD是4ABC的角平分線， DF

19、，AB,垂足為F, DE=DG ADG AED的面積分別 為50和39,則4 EDF的面積為（）A. 11B, 5.5 C. 7 D.【分析】 作DM=D& AC于M彳DNL AG利用角平分線的性質(zhì)得到DN=DF將三角形EDF的面積轉(zhuǎn)化為三角形 DNM勺面積來求.【解答】 解：作DM=D& AC于M,彳DN! AC于點N, DE=DG.DM=DG 人口是 ABC的角平分線， DF,AB,.DF=DN在 RtDEF和 RtADMhN,rDN=DF叫二 DE, RtADEf RtADMN(HL.), ADG AED的面積分別為 50和39, ''' Samd

20、(=Saadg_ Saadi=50 39=11 ,X 11 = .L 1Sa dnmtSa ed= Samd= '"故選B.BDC解題的關(guān)鍵是正確地作出【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)及全等三角形的判定及性質(zhì), 輔助線，將所求的三角形的面積轉(zhuǎn)化為另外的三角形的面積來求.PA=6,則點P到點C的距離為PC滿10 .如圖所示，點 P為 ABC三邊垂直平分線的交點, 足（）A. PCX 6B. PC=6 C. PO 6D.以上都不對【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到PC=PA得到答案.【解答】 解：二點P為 ABC三邊垂直平分線的交點，PC=PA=6故選：B.【點評】此題主要考

21、查線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵.二.填空題（共6小題）11 . （2016?西寧）如圖，OP平分/ AOB ZAOP=15 , PC/ OA PDL OA于點 D, PC=4 貝U PD=【分析】作PH OAT E,根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得 PE=PD根據(jù)平行線的性質(zhì)可得/ ACP= /AOB=30 ,由直角三角形中 30。的角所對的直角邊等于斜邊的一半，可求得 PE,即可求 得PD.【解答】解：作PE! OA于E, /AOPh BOP PDL OR PEI OAPE=PD（角平分線上的點到角兩邊的距離相等）， / BOPh AOP=1

22、5 , / AOB=30 ,1. PC/ OR ./ ACP=/ AOB=30 , 1_ 工在RtPCE中，PEPC工X4=2 （在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一 半），PD=PE=2故答案是：2.【點評】此題主要考查角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，難度一般，作輔助線是關(guān)鍵.12. （2016?遵義）如圖，在 ABC中，AB=BC Z ABC=110 , AB的垂直平分線 DE交AC于點 D,連接BR則/ ABD= 35 度.【分析】由已知條件和等腰三角形的性質(zhì)可得/A=Z C=35 ,再由線段垂直平分線的性質(zhì)可求出/ ABD=/ A,問題得解.【解答】 解：二.在 A

23、BC中，AB=BC Z ABC=110 ,/ A=Z C=35 ,.AB的垂直平分線 DE交AC于點D,.AD=BQ/ABD4 A=35 ,故答案為：35.【點評】此題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，熟記垂直平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.13.如圖所示，已知 ABC的周長是20, OB OC分別平分/ ABC和/ ACB ODL BC于D,且OD=3則4 ABC的面積是 30 .B D C【分析】根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得點O到AR AG BC的距離都相等（即OE=OD=OF從而可得到 ABC的面積等于周長的一半乘以 3,代入求出即可.【解答】 解：如圖，連接 O

24、A過O作OEL AB于E, OF! AC于F, BD.OR OO另1J平分/ ABC和/ACB.OE=OF=OD=3.ABC 的周長是 22, ODL BC于 D,且 OD=3工 上 工 Saabc=2 X ABX OE在 X BCX OD+ X ACX OF/ X ( AB+BC+AC X 3=220X 3=30,故答案為：30.【點評】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，判斷出三角形的面積與周長的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.14 .如圖， ABC中，DE是AC的垂直平分線， AE=4cm ABD的周長為14cm,則 ABC的 周長為 22cm .【分析】 根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)求出A

25、D=DC根據(jù) ABD的周長求出AB+BC=14cm即可求出答案.【解答】 解：DE是AC的垂直平分線，AE=4cm，AC=2AE=8cm AD=DC.ABD的周長為14cm,.AB+AD+BD=14c mAB+AD+BD=AB+DC+BD=AB+BC=14cm . ABC的周長為 AB+BC+AC=14cm+8cm=22cm故答案為：22cm【點評】本題考查了線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用，能運用性質(zhì)定理求出 AD=DC是解此題的關(guān)鍵，注意：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等.15 .如圖， ABC中，AB=AC D是BC的中點，AC的垂直平分線分別交 AG AR AB于點E、O F,則圖

26、中全等的三角形的對數(shù)是4 .C【分析】 由AB=AC D是BC的中點，易得 AD是BC的垂直平分線，則可證得 ACN ABD OCD OBD AO冬 AOB又由EF是AC的垂直平分線，證得 OC孽 OAE【解答】 解：.AB=AC D是BC的中點，.Z CADh BAR ADL BC, .OC=OB在 ACM 口 ABD 中，tAD=AD. .AC陰ABD (SAS;同理： CO星 BOD 在 AOC AOB 中，OA=OA OC=OB AC=AB,.OA挈 OAB (SSS ；.EF是AC的垂直平分線，.OA=OC / OEAh OEC=90 , 在 Rt OA訝口 Rt OCE,f OA-

27、OC10E=dE,RtAOAE RtAOCE(HL.).故答案為：4.【點評】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì).注意垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等.16.如圖 ABC中，/ C=90 , AD平分/ BAC DEL AB于E,給出下列結(jié)論：DC=DEDA 平分/ CDEDE平分/ ADBBE+AC=AB/ BAC=Z BDE其中正確的是 (寫 序號)【分析】根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得DC=DE判斷正確，然后利用“HL'證明RtAACM RtAED全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得/ADCh ADE，判斷正確；全等三

28、角形對應(yīng)邊相等可得AC=AE然后求出BE+AC=AB判斷正確；根據(jù)同角的余角相等求出/ BACW BDE判斷正確，并得到錯誤.【解答】解：./C=90 , A葉分/ BAC DEI AB, DC=DE故正確；fAD=AD 在 Rt AC訊 Rt AED中， DE=DC , RtAACID RtAAEt)(HL.), /ADChADE AC=AE DA平分/ CDE故正確； BE+AC=BE+AE=A 瞅正確； / BAC+Z B=90° ,/BDE+ZB=90° , 丁./ BAC4BDE故正確； . / ADE-+Z BAD=90 ,而/ BAt> / B, . /

29、 BDg / ADE DE平分/ ADB錯誤，故錯誤；綜上所述，正確的有.故答案為：.【點評】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，同角的余角相等的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，求出三角形全等是解題的關(guān)鍵.三.解答題(共5小題)17 .如圖，在Rt ABC, /C=90 , AB邊的垂直平分線 DE交BC于點E,垂足為D.求證: / CAB之 AED【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AE=BE再由直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論.【解答】 證明：.DE是線段AB的垂直平分線， .AE=BE Z ADE=90 , / EAB土 B.在 Rt ABC中, /C=90 , /

30、CAB吆 B=90° .在 RtADE中， ,/ADE=90 , / AED4Z EAB=90 , / CAB4 AED【點評】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，熟知線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等是解答此題的關(guān)鍵.18 .如圖，已知： AB/ C口 / BAE=Z DCF AC, EF相交于點 M,有 AM=CM(1)求證：AE/ CF;若 AM¥分/ FAE求證：FE垂直平分 AC.【分析】(1)先根據(jù) AB/ CD得出/ BACh DCA再由/ BAE4 DCF<知/ EAM= FCM故可 得出結(jié)論；(2)先由 AMFF分/ FAE得出/ FAM

31、h EAM 再根據(jù)/ EAMh FAMK知/ FAMN FCM 故 FAC 是等腰三角形，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可得出結(jié)論.【解答】(1)證明：AB/ C口2 .Z BAC4 DCA又 / BAE4 DCR3 / EAMh FCM4 .AE/ CF;(2)證明：.AMff分/ FAE,5 / FAMh EAM又 / EAMW FCM6 / FAMh FCM7 . FAC是等腰三角形，又 AM=CM.FM± AC,即EF垂直平分 AC【點評】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，熟知線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等是解答此題的關(guān)鍵.19.在 ABC中，AB邊的垂直平分

32、線l i交BC于D, AC邊的垂直平分線12交BC于E, l i與12相交于點O. 4ADE的周長為6cm.(1)求BC的長；(2)分別連結(jié) OA OB OC若 OBC勺周長為16cm,求OA的長.【分析】(1)先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AD=BD AE=CE再本據(jù)AD+DE+AE=BD+DE+CE即可得出結(jié)論；(2)先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出OA=OC=OBM由, OBC勺周長為16cm求出OC的長，進而得出結(jié)論.【解答】 解：(1) .DF、EG分別是線段AR AC的垂直平分線，.AD=BQ AE=CEAD+DE+AE=BD+DE+CE=BC. ADE的周長為 6cm,即 AD+DE+AE=6cmBC=6cm(2) AB邊的垂直平分線