因式分解經(jīng)典講義(精).

1、第二章分解因式【知識(shí)要點(diǎn)】1 .分解因式(1)概念：把一個(gè) 化成幾個(gè) 的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式 分解因式。(2)注意：分解因式的實(shí)質(zhì)是一種恒等變形，但并非所有的整式都能因式分解。分解因式的結(jié)果中，每個(gè)因式必須是整式。分解因式要分解到不能再分解為止。2 .分解因式與整式乘法的關(guān)系整式乘法是 ;分解因式是 ;所以，分解因式和整式乘法為 關(guān)系。3 .提公因式法分解因式(1)公因式：幾個(gè)多項(xiàng)式 的因式。(2)步驟：先確定 ,后。(3)注意：當(dāng)多項(xiàng)式的某項(xiàng)和公因式相同時(shí)，提公因式后該項(xiàng)變?yōu)?。當(dāng)多項(xiàng)式的第一項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，通常先提出“-”號(hào)。4 .運(yùn)用公式法分解因式(1)平方差公式：(2)完全

2、平方公式： 注：分解因式還有諸如 十字相乘法、分組分解法 等基本方法，做為補(bǔ)充講解內(nèi)容?！究键c(diǎn)分析】考點(diǎn)一：利用提公因式法分解因式及其應(yīng)用【例1】分解因式：,.、32(1) -4m +16m -26m(2) 2x(y+ z)3(y+ z)2(3)x(x + y)(x y)x(x + y)(4) (3a 4b)(7a-8b)+ (11a T2b)(7 a8b)解析：(1)題先提一個(gè)“-”號(hào)，再提公因式 2m； (2)題的公因式為y + z；(3)題的公因式為x(x+y);(4)題的公因式為7a8b。答案：(1) 2m(2m2 8m+13) ；(2) (y+z)(2x3)；2(3) 2xy(x+y

3、)；(4) 2(7a-8b)?！纠?2】(1)已知 x +y =5, xy = 6 ,求 2x2y + 2xy2 的值。22(2)已知 ba =6, ab = 7 ,求 a bab 的值。解析：(1)題：2x2y+2xy2 =2xy(x + y),所以考慮整體代入求該代數(shù)式的值；(2)題：a2b -ab2 =ab(a -b),整體代入求值時(shí)注意符號(hào)。答案：(1) 60(2) -42【隨堂練習(xí)】1 .分解因式：3 42 32 2(1) 2x y -10x y +2x y(2) (m+n)(mn)(n m)(m+ 2n)(3) (2x3y)(a+b)+(3x2y)(a+b)(4) x3(x-2)2

4、-x2(2-x)2+x2(x-2)2x-y=12322 .不解方程組 47，求(2x y)3(2x y)2(x3y)的值x 2y =11注：(1)公因式應(yīng)按“系數(shù)大(最大公約數(shù))，字母同，指數(shù)低”的原則來選取(2)當(dāng)多項(xiàng)式的某項(xiàng)和公因式相同時(shí)，提公因式后該項(xiàng)變?yōu)?,而不是沒有。(3)當(dāng)多項(xiàng)式的第一項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，通常先提出“”號(hào)(4)利用分解因式 整體代入往往應(yīng)用于代數(shù)式的求值問題?？键c(diǎn)二：利用平方差公式分解因式及其應(yīng)用【例3】分解因式：(1) (3x+1)2 (x2)2(2) p4q4解析：(1)題：原式從整體看符合平方差公式，所以整體套用平方差公式；(2)題：p4 -q4 =(p2)2

5、-(q2)2,所以符合平方差公式，此題注意分解完全。答案：(1) (4x1)(2x+3) ；(2) (p2+q2)(p + q)(pq)。例4計(jì)算:1 、一 1 、一 1 、 一 1 、(1)(1- - )(1- - )(1-) '"(1-2)；5262722 002(2 ) 20 082 - 2007 x 20 09 -9992.解析：(1)題：原式中每一個(gè)因式符合平方差公式，可以借助分解因式簡(jiǎn)化計(jì)算。111111原式=(1一)(1一)6(1 . .).一(1)(155662 002005 61 992 0 142 0 120 1M X =X =2 002 00520025

6、0(2)題：先化簡(jiǎn)，再使用平方差公式。原式=20082 - (2008 -1)(2008 1) -9992-20082 -(20082 -1) -9992-12 -9992 -(1 999)(1 -999) =998000答案：(1)型1 ;(2) 998000。250【例5】利用因式分解說明：367 -612能被140整除。解析：對(duì)于符號(hào)相反的二項(xiàng)式,我們考慮使用平方差公式。此種題型應(yīng)先將兩項(xiàng)化為底數(shù)相同的情況，再利用提取公因式法和平方差公式進(jìn)行因式分解，最后湊出除數(shù)。367 62=(£) 6= 61- 6=2 6 12 6 2 1) 612e3 5 6 1 40所以367 -61

7、2能被140整除?！倦S堂練習(xí)】1.分解因式:(1) ax4 -a一 22、(2) 9x (ab) +y (b-a)2.利用分解因式說明：257 -512能被60整除.注：（1）平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是：二項(xiàng)式，兩項(xiàng)都是平方項(xiàng)，且兩項(xiàng)符號(hào)相反；（2）公式中的a,b可以是具體數(shù)，也可以是代數(shù)式；（3）在運(yùn)用平方差公式的過程中，有時(shí)需要變形?？键c(diǎn)三：利用完全平方公式分解因式及其應(yīng)用22【例6】（1）分斛因式：abx 一2abxy + aby1 2（2）已知一x2 +bx +36是完全平方式，求 b的值。4（3）計(jì)算：9999 9999 19999 .解析：（1）題：原式要先提取公因式，再利用完全平方差

8、公式進(jìn)行分解。（2）題：此種題型考察完全平方公式的特征，中間項(xiàng)是首尾兩項(xiàng)底數(shù)積的2倍（或其相反數(shù)）。（3）題：9999M 9999+19999 = 99992 +2 父9999+1 =（9999 為 2 =10 8。答案：（1） ab（x-y）2 ； 壇； （3） 10811 2 _ 2 _【例7】（四川成都） 已知y= -x1,那么一 x 2xy+3y 2的值是。331c1斛析： 原式的刖二項(xiàng)可以進(jìn)仃因式分斛，分斛為 一（x-3y）,再將 y = - x-1變形為33x -3y =3 ,整體代入求值。答案：1.【隨堂練習(xí)】1.(1)分解因式：-2(a b) (a b)2 1(2)若多項(xiàng)式a2

9、+(k1)ab + 9b2能運(yùn)用完全平方差公式進(jìn)行因式分解，求 k的值。(3) 1999 1999 2000 19992. (1)已知：a+b=5, ab=3,求代數(shù)式 a3b+2a2b2+ab3。.122(2)當(dāng)s=t+時(shí)，求代數(shù)式s -2st+t的值。2注：(1)完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是：三項(xiàng)式，首尾兩項(xiàng)分別為兩個(gè)數(shù)的平方，中間項(xiàng)是兩個(gè)底數(shù)積的2倍(或其相反數(shù))；(2)公式中的a,b可以是具體數(shù)，也可以是代數(shù)式；考點(diǎn)四：綜合利用各種方法分解因式及其應(yīng)用【例8】分解因式：(1) 81m4 -72m2n2+16n4(2) a2 -4a+4 -c2解析：(1)、(2)題都應(yīng)先利用完全平方公式，再

10、利用平方差公式進(jìn)行因式分解。答案：(1) (3m+2n)2(3m2n)2；(2) (a 2+ c)(a 2 c)。1c1c1c【例9】(福建律州) 給出二個(gè)多項(xiàng)式：x2+2x 1, x2+4x+1,X22X,請(qǐng)選擇你222最喜歡的兩個(gè)多項(xiàng)式進(jìn)行加減運(yùn)算，使所得整式可以因式分解，并進(jìn)行因式分解。解析：本題是一道開放題，只要所得整式可以因式分解。本題可任取兩個(gè)多項(xiàng)式進(jìn)行加法運(yùn)1 O1 OO算再因式分解。如：(x2 2x -1) (-x2 4x 1) = x2 6x = x(x - 6)2 2可以失敗，但不可以放棄【例10】已知a,b,c分別是三角形 ABC的三邊，試證明(a2+b2c2)4a2b2

11、 <0解析：已知a,b,c分別是三角形 ABC的三邊，可以想到利用三角形的三邊關(guān)系，再由不等式的左邊是平方差形式，可想到利用平方差公式分解因式。(a2b2-c2) -4a2b2= (a2b2-c22ab)(a2b2-c2-2ab)=(a +b )2 c21(a -b 2 -c2 I二(a b c)(a b c)(a b c)(a b c)由三角形三邊關(guān)系可知，上式的前三個(gè)因式大于0,而最后一個(gè)因式小于 0,則有:(a2 b2 -c2) -4a2b2 : 0【隨堂練習(xí)】1 .分解因式：(1)(x2+y2)2 4x2y2(2) a4 -6a2 -272 . (2009,吉林)在三個(gè)整式：x2

12、+2xy, y2+2xy, x2中，請(qǐng)你任意選出兩個(gè)進(jìn)行加(或 減)法運(yùn)算，使所得整式可以因式分解，并進(jìn)行因式分解。注：分解因式的一般步驟可歸納為：“一提、二套、三查 工一提：先看是否有公因式，如果有公因式，應(yīng)先提取公因式；二套：再考察能否運(yùn)用公式法分解因式；運(yùn)用公式法，首先觀察項(xiàng)數(shù)，若為 二項(xiàng)式，則考慮用平方差公式；若為三項(xiàng)式，則考慮用完全平方公式。三查：分解因式結(jié)束后，要檢查其結(jié)果是否正確，是否分解徹底。【鞏固提高】一、選擇題1 .下列從左到右的變形中，是分解因式的有()可以失敗，但不可以放棄2 a -4 a = (a 2)(a -2) aA、1個(gè)B、2個(gè)2.下列多項(xiàng)式能分解因式的是(2A

13、、x y2,B、 x +122c、x + y + y2D、 x 4x+4(x 1)(x-2)=x2 x2 x2 +9 = (3 + x)(3 x) aba + b 1 = (a+1)(b1)2 ,1、(y+1)(y 3) = (3 y)(y + 1) a2 + 1=a(a+-) aC、3個(gè)D、4個(gè))可以失敗，但不可以放棄3 .下列多項(xiàng)式中，不能用完全平方公式分解因式的是()2, m2=2-2.2A、m+1+ 4 B、-x +2xy-yC、-a +14ab +49b D、4 . a、b、c是 ABC的三邊,且 a2+b2+c2 =ab+ac+bc,那么 ABC的形狀是()A、直角三角形 B、等腰

14、三角形C、等腰直角三角形D、等邊三角形25 .如果9 x +kx+25是一個(gè)完全平方式，那么 k的值是()A、15B、工5C、30D、-30. 一 一 _26 .已知多項(xiàng)式2x +bx+c分解因式為2(x3)(x+1),則b,c的值為()A、b=3, c = -1B、b = -6, c = 2 C、b = -6, c = -4 D、b = -4,c=-6,-2-2xy, 一7 .已知 2x2 -3xy + y2 = 0(xy # 0),則一十上的值是()y x一 1一八一 11A、2或 2-B、2C、2-D、-2 或2-一. .2. 3. 28 .右(p q) -(q-p) = (q p) E

15、 ,則 E 是()A、1 q p B、q pC、1 + p _q9.已知二次三項(xiàng)式 x+bx +c可分解為兩個(gè)一次因式的積(x+s)(x+P),下面說法中錯(cuò)誤的是()A、若b A0,c >0 ,則口、P同取正號(hào);B、若b <0,c >0 ,則a、P同取負(fù)號(hào);C、若 b >0,c <0 ,則 u、P異號(hào)，且負(fù)的一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值較大;D、若 b <0,c <0 ,則 口、P異號(hào)，且負(fù)的一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值較大。10 .已知 a=2 0 0處+ 20 0 b =2002x+ 2004 , c = 2002x + 2005 ,則 多項(xiàng)式2.22.a +b +c abb

16、cca 的值為()A、0B、1C、2D、3二、填空題511 .分解因式：m -4m =:12 .在括號(hào)前面填上“十”或“”號(hào)，使等式成立：(y-x)2 =(x-y)2213 .若x +mx+9是一個(gè)完全平方式，則 m的值是；o92ab,，14 .已知： ab=0,a +ab2b =0,那么 的值為：2a b15 . ABC的三邊滿足a4 +b2c2 -a2c2 -b4 =0 ,則4 ABC的形斗犬是( 第16題圖)16 .觀察圖形，根據(jù)圖形面積的關(guān)系，不需要連其他的線，便可以 得到一個(gè)用來分解因式的公式，這個(gè)公式是 :2217 .若 x -y x + y = (x y)，A,則 A=.2n2n

17、 .118 .分解因式：x(a -b ) +y(ba)*= 2219 .若 a +2a+b 6b+10=0,則2=, b=20 .若(x2 +y2)(x2 + y2 +1)=12,則(x2 +y2)=.三、解答題(1) 8a3b2 -12ab3c +6a3b2c21 .分解因式:(2) 8a(x - a) +4b(a -x) -6c(x-a)5 33 5(3) -x y +x y(4) 4(a-b)2 -16(a + b)2(5) m4 -16n422(6) 9(m n) -16(m。n) 5m(x-y)2+10n(y-x)321(8) 2x +2x+ 一 2132 213 ,22.先分解因式

18、，再求值：已知 a+b=2, ab=2,求一a3b+a2b2 +ab3的值 22_2 _2_2 _2.一 .、2 .一 .、2一 23.設(shè) &=3 -1 , a2=5 -3 ,4=(2n+1) -(2n-1) (n為大于零的自然數(shù))探究&是否為8的倍數(shù)，并用文字語言表達(dá)你所得到的結(jié)論。24.對(duì)于實(shí)數(shù)a,b,c,d ,定義一種新運(yùn)算:b4x=ad -bc,分解因式：dx + 1_22(x-1)1 一 x25.閱讀下列計(jì)算過程：99X 99+199=992+2 X 99+1= (99+1) 2=100 2=10 4(1)計(jì)算：999 X 999+1999=9999 >9999

19、+19999=(2)猜想 9999999999X9999999999+19999999999 等于多少？寫出計(jì)算過程。第三章 分式【知識(shí)要點(diǎn)】1 .分式的概念及特征：A、B表示兩個(gè)整式，A+B就可以表示成 人的形式，如果B BA中含有字母，式子 A就叫做分式。B2 .分式有意義、無意義的條件：因?yàn)?不能做除數(shù)，所以在分式 公中，有：B# 0則B-有意義；B=0則A無意義。BB3 .分式值為零的條件：分式的值為零要同時(shí)滿足：分母的值不為零，分式的值為零這 A兩個(gè)條件。即一=0則有慶=0且8。0。 Bb-b- b b4 . 分式的符方法則：=- = =- a a - a - a5 .分式的運(yùn)算(1

20、)同分母分式相加減，分母不變，只把分式相加減，即 -+ b=旦-至 c c c(2)異分母分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质剑?然后再加減，即9+-=adb d bdbc ad bc =bd bd注：1.無論是探求分式有意義、無意義的條件，還是分式值等于零的條件，都將轉(zhuǎn)化成解方程或不 等式的問題。2 .分式約分步驟：(1)找出分式的分子與分母的公因式，當(dāng)分子分母是多項(xiàng)式時(shí)，要先把分式的分子和分母分解因式。(2)約去分子與分母的公因式。3 .最簡(jiǎn)公分母的確定：(1)當(dāng)幾個(gè)分式的分母是單項(xiàng)式時(shí)，各分式的最簡(jiǎn)公分母是系數(shù)的最小公倍數(shù)、相同字母的最高次嘉、所有不同字母的積；(2)如果各分母都是多項(xiàng)式

21、，應(yīng)先把各個(gè)分母按某一字母降嘉或升嘉排列，再分解因式，找出最簡(jiǎn)公分母?！究键c(diǎn)分析】考點(diǎn)一：分式有意義、無意義、值等于零的條件（重點(diǎn)）2【例1】（2009,天津）若分式 x2 X2的值為零,則x的值等于。x 2x 1答案：2評(píng)析：由于x2 x2可得（x2）（x+1） = 0 ,解得x = 2或x = 1。又因?yàn)閤 = 1時(shí), x2+2x+1=0; x = 2時(shí)，x2+2x + 1 0 0。所以要使分式的值為零，x的值只能等于2?！倦S堂練習(xí)】x2 -1 "/上 , r 1 .若分式x-的值為0 ,則乂的值等于。x2 12 _62.若分式x2 x6的值為零，則x的值等于 。x x 1考點(diǎn)二

22、：分式的約分例2 （2009,吉林）化簡(jiǎn) Jy -2y 的結(jié)果是（）D. y x-2x - 4x 4A. B. C. yx 2x-2x 2答案：D評(píng)析：觀察題中所給分式，分子、分母都為多項(xiàng)式，且都能分解，因此應(yīng)先將分子分母分解因式，再約去公因式。如xy-2y2x -4x 4注：1.在應(yīng)用分式的基本性質(zhì)時(shí)要充分理解"者即和"同"這兩字的含義2.約分的結(jié)果是最簡(jiǎn)分式或整式。【隨堂練習(xí)】221.（2008,太原）化簡(jiǎn) m2 -n 的結(jié)果是（ m mnA.2mm -nB.mm nC.mm - nD.m n2.11化簡(jiǎn)（y ）x（x）的結(jié)果A.B.C.-yD.考點(diǎn)三:分式的

23、加減運(yùn)算（重點(diǎn)）例3（2009,長(zhǎng)沙）分式的計(jì)算結(jié)果是（）a(a 1)a.一 aaB.a 1C.a 1D.a答案:評(píng)析:C先通分化為同分母分式,再進(jìn)行加法運(yùn)算。a(a 1) a(a 1)+a(a 1)a(a 1)注：1.同分母分式加減運(yùn)算中的“把分子相加減”是指把各個(gè)分式的“分子的繁體相加減，故當(dāng)分子是多項(xiàng)式時(shí)，應(yīng)加括號(hào)。2.通分和約分是兩種截然不同的變形，約分是針對(duì)一個(gè)分式而言，通分是針對(duì)多個(gè)分式而言;約分是將一個(gè)分式簡(jiǎn)化,通分是將一個(gè)分式化繁。【隨堂練習(xí)】2(2008,杭州)化簡(jiǎn)-xx-y2-y的結(jié)果是（）y -xA. -x - yB. y -xC. x - yD. x y考點(diǎn)四：分式的乘

24、除運(yùn)算2.2.【例 4】(2009,天水)已知 a-2 +Jb3 = 0,計(jì)算 a 42ab xa2-abb a -b評(píng)析：因?yàn)?a2 + 4仁3 = 0,所以 a 2 =0 且 b3 = 0，即 a = 2,b = 3原式=a(a b)b22,a(a -b)at,4x=,當(dāng) a =2,b=3時(shí)，原式=一(a b)(a -b)b29注：先化簡(jiǎn)再求值,運(yùn)算更簡(jiǎn)便，分式的乘除運(yùn)算要進(jìn)行到分式和分母不再有公因式為止?！倦S堂練習(xí)】化簡(jiǎn)/ x y1. 1 x - 3y22x -y22x 6xy 9yx 22.-x 4x 4考點(diǎn)五：分式的混合運(yùn)算【例5】（2010,常德）化簡(jiǎn)：（1y-尸22y x y -

25、x評(píng)析：原式=y -7 y x(y x)(y-x) =y x注：1.正確運(yùn)用運(yùn)算法則;2.靈活運(yùn)用運(yùn)算規(guī)律；3.運(yùn)算結(jié)果要最簡(jiǎn)化【隨堂練習(xí)】（2010,瀘州）化簡(jiǎn)：（1十a(chǎn) -2)a 1a2 -4考點(diǎn)六：條件分式求值的常用技巧(難點(diǎn))【例6】已知1+1 =3,則分式2x+3xy-2y的值為xyx-2xy_y3答案：35評(píng)析：由已知條件不能直接求出 x, y的值，所以考慮將已知條件向著所求代數(shù)式的方向進(jìn)行變形轉(zhuǎn)化，通過整體代換解決問題。由1+1=3,可得yx = 3,所以x- y = -3xy,x yxy所以原式=2(x-y) 3xy= 2(-3xy) 3xy= 3 (x-y)-2xy-3xy

26、- 2xy5注：條件分式求值主要方法有：x yz1 .參數(shù)法：當(dāng)已知條件形如= = 所要求值的代數(shù)式是一個(gè)含 x,y,z而又不易化簡(jiǎn)的分式abcxy z時(shí)，常設(shè)一=1=k(k就是我們所說的參數(shù))，然后將其變形為x = ka, y = kb, z = kc ab c的形式，再代入所求代數(shù)式，約分即可。2 .整體代換法：若由已知條件不能直接求分式中字母的值，可考慮把已知條件和所求代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危缓笳w代換，可使問題得到解決【隨堂練習(xí)】1.已知x2 2 = 0 ,求代數(shù)式(x-1)2x2 -1的值2.a2 -ab b222a2 b2的值【鞏固提高】-、選擇題1. （2009,荊門）計(jì)算：士當(dāng)

27、）_的結(jié)果是（）a2bA. a B. b C. 1 D. b,、112. （2009,威海）化簡(jiǎn)（y ）m（x）的結(jié)果是（） x yA.B.C.D.2 2a a rs a，a -ab b 土工 ,3. 右 一=2 ,則22一等于（ba2 b2A.B. 1C.D.2 人？4. （2010,河北）化簡(jiǎn)一a-b的結(jié)果是（a。b a。b22A. a -b B. a b C. a -b d. 1b的結(jié)果是（）-b1D.a b5. （2009,陜西）化簡(jiǎn)（a）父一 a aA. a - b B. a b C.a -b、填空題一 3"一231（2009,漳州）若分式 二無意義，則實(shí)數(shù)x=8. （20

28、10,黃岡）當(dāng) x=2010 時(shí),X -1x一11的值為X -19.在下列三個(gè)不為零的式子：X2 -4,x2 -2x,x2 4x + 4中，任選兩個(gè)組成一個(gè)分式是 把這個(gè)分式化簡(jiǎn)所得結(jié)果是 三、解答題2210 . （2010,煙臺(tái)）先化簡(jiǎn)，再求值：x y+2 x y ,其中x = 1+J2, y = 1J2x -2y x -4xy y11. （2010,貴陽）先化簡(jiǎn):a2 ab2a 2ab aa當(dāng)b = 1時(shí)，再從一2< a< 2的范圍選取一個(gè)合適的整數(shù) a代入求值。12 .（表格信息題）按下圖的程序計(jì)算，把答案寫在表格內(nèi): n 一平方一（+n） 一 *n （ n） 一答案（1）填

29、寫表格輸入n312-2-3輸出答案11（2）請(qǐng)將題中的計(jì)算程序用代數(shù)式表達(dá)出來，并化簡(jiǎn)。13 .（條件開放題）請(qǐng)從下列三個(gè)代數(shù)式中任選兩個(gè)構(gòu)造一個(gè)分式，并化簡(jiǎn)該分式:a2 -1, ab -b,b ab第四章相似三角形【知識(shí)要點(diǎn)】1 .相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形。注：(1)兩個(gè)全等三角形一定相似(2)兩個(gè)直角三角形不一定相似。兩個(gè)等腰直角三角形一定相似。(3)兩個(gè)等腰三角形不一定相似。兩個(gè)等邊三角形一定相似。2.相似比(1)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比。(2)面積比等于相似比的平方。、， AB 一注：相似比要注意順序：如 ABCA'B'C'

30、的相似比k1= ,而AB.，_，-' AB 、 ，1ABC s AABC 的相似比 k2 =,這時(shí) k1= 一。ABk23.相似三角形的識(shí)別(1)如果一個(gè)三角形的兩角分別與另一個(gè)三角形的兩角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三 角形相似。(2)如果一個(gè)三角形的兩條邊與另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，并且夾角相 等，那么這兩個(gè)三角形相似。(3)如果一個(gè)三角形的三條邊和另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè) 三角形相似?！究键c(diǎn)分析】考點(diǎn)一：相似三角形的判定【例1】 如圖，/ 1 = / 2 = / 3,圖中相似三角形有（）對(duì)。A解析：由平行線的性質(zhì)，Z1=Z2=Z3,可知DE / BC , /DEB

31、=EBC/ADE = 2ABe ,再由相似三角形判定定理一，可得有四組三角形相似。答：4對(duì)?！倦S堂練習(xí)】1 .如圖，已知： ABC、 DEF,其中/ A = 50° , / B=60° Z C = 70° ,ZD = 40° , / E=60° , / F = 80° ,能否分別將兩個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，使 ABC所分成的每個(gè)三角形與 DEF所分成的每個(gè)三角形，分別對(duì)應(yīng)相似？如果可能，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種分割方案；若不能，說明理由?？键c(diǎn)二：相似三角形的識(shí)別、特征在解題中的應(yīng)用【例2】（2008 廣東?。┤鐖D所示，四邊形ABCD是平行四邊形

32、，點(diǎn) F在BA的延長(zhǎng)線上，連結(jié)CF交AD于點(diǎn)E。(1)求證： CDEA FAE;（2）當(dāng)E是AD的中點(diǎn)，且 BC = 2CD時(shí)，求證：/ F=/BCF。解析：由 AB / DC 得：Z F = Z DCE , / EAF = / DCDEA FAECD DEfa AE ,又E為AD中點(diǎn).DE = AE,從而CD=FA,結(jié)合已知條件，易證BF = BC, / F=/ BCF(1)二.四邊形ABCD是平行四邊形AB / CD ./ F = Z DCE , / EAF = / DCDEA FAE(2) E 是 AD 中點(diǎn)，DE = AECD DE由(i)得：AF - AE.CD= AF四邊形ABCD

33、是平行四邊形AB = CDAB = CD = AFBF=2CD,又 BC = 2CDBC= BF ./ F = Z BCF注：平行往往是證兩個(gè)三角形相似的重要條件，利用比例線段也可證明兩線段相等?！倦S堂練習(xí)】1 .已知：如圖(a),在梯形ABCD中，AD/BC,對(duì)角線交于 O點(diǎn)，過O作112十=EF/BC 分別交 AB , DC 于 E, F。求證：(1)OE=OF;(2) AD BC EF ;(3)若MN為梯形中位線，求證 AF / MC?？键c(diǎn)三：未知數(shù)的設(shè)定應(yīng)用【例3】 在梯形ABCD中，/ A = 90° , AD /BC,點(diǎn)P在線段AB上從A向B運(yùn)動(dòng),(1)是否存在一個(gè)時(shí)刻使

34、 ADP s bcp ；(2)若 AD = 4, BC = 6, AB = 10,使 ADPA BCP,貝U AP 的長(zhǎng)度為多少？解析：(1)存在AD _ AP(2)若ADPsbcp,則 BC Bp設(shè) AP = x，x=4, ，AP 44 x _ 6 10 -xAD _ AP 或即-BC410-xx6'x= 4或x = 6AP =4或 AP =6AP長(zhǎng)度為4或6【隨堂練習(xí)】1 .如圖，有一批形狀大小相同的不銹鋼片，呈直角三角形，已知/C=90° , AB =5cm, BC= 3cm,試設(shè)計(jì)一種方案，用這批不銹鋼片裁出面積達(dá)最大的正方形不銹 鋼片，并求出這種正方形不銹鋼片的邊長(zhǎng)

35、?？键c(diǎn)四：直角三角形相似的比例關(guān)系【例4】已知：如圖， RtA ABC中，/ ACB=90 ° , CD LAB于D, DE LAC于 巳 DF± BC 于 F。求證：（1）CD3=AE BF AB； （2） BC2 : AC2 =CE : EA；（3） BC3: AC3 " BF : AE解析：（1）掌握基本圖形“ RtA ABC, ZC=90° , CDXAB于D”中的常用結(jié)論。勾股定理：AC2 BC2 =AB2面積公式：AC BC=AB- CD 2_2 2_三個(gè)比例中項(xiàng)： AC =AD AB,BC BD BA, CD = DA DB I AC CD

36、=BC AD兩個(gè)等積式子：BC CD = AC ED（由圖中相似三角形得到 ）AC2ADBC2BD(2)靈活運(yùn)用以上結(jié)論， 并掌握恒等變形的各種方法， 是解決此類問題的基 本途徑，如等式兩邊都乘或除以某項(xiàng)，都平方、立方，或兩等式相乘等。(3)學(xué)習(xí)三類問題的常見的思考方法，并熟悉常用的恒等變形方法，以及中間等量代換。第(1)題：2證法一 CD = DA DB4_22_ CD =AD BD =(AE AC) (BF BC) =(AE BF) (AC BC)=(AE BF)(AB CD)2AC BC證法二. CD 2 = AD BD , CD = ABCD3 = AD BDAC BC fAD AC、

37、(BD BC )=I 1 I ABAB AB 八 AB J=AE BF AB第(2)題：BC BD BA BD證法=,利用 A BDF s a DAE ,證得AC2 AD AB ADBD DF CEAD - EA - AE命題得證。證法由生AC22DE /口 BC DE AE EC CE/日 一付 一2 一 2一 2一AE ACAEAEAE證法三.ABCD s ACAD ,BC DFAC DE(相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于對(duì)應(yīng)邊的比2 BCDEBCDF DEDFCEDE II BC,2 =ACAEAC2DE AEAEAE第(4)題：、BC2 BD AB DB證法一"2 =AC AD AB

38、 AD.BC44AC4BD2一 BF BC3BC3 BF一AD2一 AEACAC3 一AE證法二：A ADCs A CDB , .BCACDF一 DE.BC3DF3_ DFDF 2DF BFCF_ BF. AC3 一DE3一 DEDE2一 DE AECE一 AE證法三：.BCDFBCDEBC BFAC一 DE，AC一 AE, AC 一 DF.BC3BCBCBCDF DE BF BF一 AC3"ACACAC 一DE AE DF - AE【隨堂練習(xí)】1.如圖，已知直角梯形 ABCD中，/ A = / B = 90° ,設(shè)AB = a, ADb=,BC =2b a Ab),作 D

39、E,DC, DE 交 AB 于點(diǎn) E,連結(jié) EC。(1)試判斷 DCE與AADE、 DCE與 BCE是否分別一定相似？若相似，請(qǐng)加 以證明。(2)如果不一定相似，請(qǐng)指出 a、b滿足什么關(guān)系時(shí)，它們就能相似？DB【鞏固提高】1 .如圖，已知 DE/ BC, CD 和 BE 相交于。，若 S&OE： SOB = 9 ： 16 ,貝U AD :O2 .如圖， ABC 中，CE: EB=1: 2, DE/AC,若 ABC 的面積為 S,則 ADE 的面 積為。3.若正方形的4個(gè)頂點(diǎn)分別在直角三角形的 為3cm和4cm,則此正方形的邊長(zhǎng)為 3條邊上，直角三角形的兩直角邊的長(zhǎng)分別V甲又設(shè)V甲、V乙

40、分別表示這兩個(gè)正方體的體積，則 3 a b3X3b>6a26b2（2000年武漢市中考題）4 .閱讀下面的短文，并解答下列問題：我們把相似形的概念推廣到空間：如果兩個(gè)幾何體大小不一定相等，但形狀完全相同， 就把它們叫做相似體。如圖，甲、乙是兩個(gè)不同的正方體，正方體都是相似體， 它們的一切對(duì)應(yīng)線段之比都等，>，一一一、，S甲于相似比：a： b,設(shè)S甲：S乙分別表木這兩個(gè)正方體的表面積，則 -（1）下列幾何體中，一定屬于相似體的是（）A.兩個(gè)球體B.兩個(gè)圓錐體C.兩個(gè)圓柱體D.兩個(gè)長(zhǎng)方體（2）請(qǐng)歸納出相似體的 3條主要性質(zhì)：相似體的一切對(duì)應(yīng)線段（或?。╅L(zhǎng)的比等于 ;相似體表面積的比等于 ；相似體體積的比等于 。（2001年江蘇省泰州市中考題）5 .如圖，鐵道口的欄桿短臂長(zhǎng)1 m,長(zhǎng)臂長(zhǎng)16 m,當(dāng)短臂端點(diǎn)下降 0.5 m時(shí)，長(zhǎng)臂端點(diǎn)升高（）A. 11.25 m B. 6.6 mC. 8 m D. 10.5 m6 .如圖，D為ABC的邊AC上的一點(diǎn)