11.1數(shù)列極限microsoftword文檔doc

1、第十章極限與數(shù)知識結構網(wǎng)絡函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的導數(shù)一導函數(shù)f簡單函數(shù)的求導公式導數(shù)的四則運算法則復合函數(shù)的求導法則極限f四則運 導數(shù)的實際意義算法則與幾何意義數(shù)列的極限-無窮等比數(shù)列的和判斷函數(shù)的單調(diào)性 一判斷函數(shù)的極在、小值求函數(shù)的最大、小值11. 1數(shù)列極限一、明確復習目標1 .理解數(shù)列極限的概念，掌握數(shù)列極限的運算法則；2 .會通過恒等變形，依據(jù)數(shù)列極限的運算法則，依據(jù)極限為0的幾種形式，求數(shù)列的極根；3 .會求公比絕對值小于 1的無窮等比數(shù)列各項的和.二.建構知識網(wǎng)絡1 .數(shù)列極限的定義：一般地，如果當項數(shù) n無限增大時，無窮數(shù)列an的項an無限 地趨近于某個常數(shù) a （即|an-a|無

2、限地接近于0）,那么就說數(shù)列an以a為極限.注：a不一定是 an中的項.2 .幾個常用的極限： lim C=C （C 為常數(shù)）； lim 1 =0;n >:-n >二 n limn=0（ 口1< 1）.無窮等比數(shù)列an,當公比的絕對值|q|<1時，前n項和的極限 嗎Sn =六.稱之為 “各項和”或“所有項的和”.3.數(shù)列極限的四則運算法則：設數(shù)列an、bn,當 lim-n=a, limbn=b 時，lim(an土 M =a±b;nj 二二lim(an , » =a - b;n-)二二lim 包=a(bw0).n-' bnb說明：極限的四則運算

3、法則，只適合于有限次的四則運算.對于數(shù)列前n項和的極限，必須先求和(式)，再取極限.三、雙基題目練練手 lim qn=0n_):：1 .下列極限正確的個數(shù)是 lim =0 (a >0) n n -2n -3n lim - = 1n_. 2n -3nlim C=C (C為常數(shù))n j二二值是B.2. (2006 陜西)A.13.已知4.5.limn 一 ooC. 41D,都不正確2n(4n2+1 - /n2 1)C.D.a、b、c是實常數(shù),B. 3(2006 重慶)limn 二annim二 bn1 3 III (2n -1)2n2 - n 1將無限循環(huán)小數(shù)0.12化為分數(shù)是等于(c=2,c

4、bn2 - clim 2i ： cn - b2 an c=3,則 lim 2 n J cn aD. 66.(545n)5 4545(6 一5)(62 一52'(6n簡答:1-3 . BBDan c 一3.由 lim =2,得 a=2b.n bn clim 2C=3/I|b=3c,，c=1b.n一cn b3c2a.aan cn2 a, , 6 . lim 2= lim 6.cn cn - a n, a cc n4. 1.分子先求和，再求極限.25. 0.1智0. 12+0. 0012+ - 0. 12/(110 01) 4/33.6. -1四、經(jīng)典例題做一做【例1】求下列極限：2n2 n

5、 7(1) lim 9;(2)limn一5n2 7n，二Yn2 +n n);(3)242nlim ( -2 + + + -+ + 2 n-nnn分析：（1）因為分子分母都無極限，故不能直接運用商的極限運算法則，可通過變形分子分母同除以n2后再求極限；（2）因Jn2 +n與n都沒有極限，可先分子有理化再求 極限；（3）因為極限的運算法則只適用于有限個數(shù)列，需先求和再求極限.解：（1）221 -lim 曳4-limn 5n2 7 n7K十52n2 4 6- 2n(3)原式limn ”二lim n(n2 1) lim (1 + 1) -1 . n n n n ，一 2一、lim (2n2n 7).特

6、別提示：:對于(1)要避免下面兩種錯誤：原式 =*Z= -=1lim (5n2 7)n )二：lim (2n 2+n+7) , lim (5n?+7)不存在，原式無極限.對于(2)要避免出現(xiàn)下面兩種錯誤: lim ( Jn2 +n n) = lim Vn2 +n lim n=0° 00 =0;原式n_：=lim Vn2 +n lim n=8n-)二二n_：2.400不存在. 對于(3)要避免出現(xiàn)原式=lim = + lim )+ n n ，二 n2n+ lim 不=0+0+0=0這樣的錯誤. n' n【例2】 已知數(shù)列 an是由正數(shù)構成的數(shù)列, 其中n是大于1的整數(shù)，c是正數(shù)

7、.(1)求數(shù)列 an的通項公式及前 n和Sn；a1=3,且滿足 lgan=lgan 1+lgc,2n 1 -an 求lim nan的值.52 am解：(1)由已知得an= c an-1, an是以a=3,公比為c的等比數(shù)列，則 an=3 - c 丁13n(c=1)“一"且 ”1)._ n 4lim二 2n - am=limn ”二2n-3cn2n 3cn當c=2時，原式=-;4業(yè)“(2尸一31當c > 2時，原式=lim =;n - 2 (2)n4 3c cc1 -3(-)nJ1當0V c v 2時，原式=lim 2= 12 3c (曠2評述:求數(shù)列極限時要注意分類討論思想的應

8、用.【例 3】 已知直線 l:xny=0 (nC N *),圓 M: (x+1) 2+ (y+1) 2=1,拋物線中：y= (xT) 2,又l與M交于點A、B, l與學交于點C、D,求lim|AB |22分析:要求lim網(wǎng)!的值，必須先求它與n 4|CD |2n的關系.解:設圓心M ( 1,1)到直線l的距離為2d,則 d2=2 n2 122、 8n又 r=1,，|AB| =4 (1d ) =21 n設點 C(X1,y1), D (x2,y2),x-ny=02 一 .、 一由12 = nx (2n+1) x+n=0,y =(x -1)，2n 1 .一 x1 + x2= , xi x2=1 .n

9、/ - -、2 ,、24n 1, 一、2 , xix2、2 4n 1(x1 x2) = x x1 + x2) - 4x1x2=2 , ( y1 y2) = ( - ) =4-nn n n |CD |2= (xl x2)2+ (y1一y2)12=(4n+1) (n2+1).|AB |22|CD |2n8n58=lim 22 = lim =2.(4n 1)(n2 1)2 n >:(4 . 1)(1 . 1)2n n評述:本題屬于解析幾何與數(shù)列極限的綜合題.要求極限，需先求|ab |22 |CD|2，這就要求掌握求弦長的方法.【例4】若數(shù)列an的首項為a1=1，且對任意nCN *, an與an

10、+1恰為方程x2-bnx+cn=0 的兩根淇中0v|c|<1,當lim (b1+b2+ - +bn) w 3時，求c的取值范圍. n :，解:首先，由題意對任意n N*, an an+1=cn恒成立.n 1an 1 an -2 an 2 c = - =c.又 a1 a2=a2=c.an an 1 an c，ai,a3,a5,a2n-1,是首項為1,公比為c的等比數(shù)列，a2,a4,a6,a2n,是首項為 c,公比 為c的等比數(shù)列.其次，由于對任意nCN*,an+an+i = bn恒成立.bn 2 _ an 2 ' an 3bnan ' an 1=c.又 bi=ai+a2=1

11、 + c,b2=a2+a3=2c,，b1,b3,b5,b2n-1,是首項為1+c,公比為c的等比數(shù)列,b2,b4,b6,，b2n,是首項為2G 公比為c的等比數(shù)列，lim(b1+b2+b3+-+bn)n_.=lim (b+b3+b5+)+ lim(b2+b4+)1 c 2c=+3.1 -c 1-c11解得 c< 或 c>1 . < 0<|c|<1,.-.0<c< 或一1 vcv 0.33故c的取值范圍是(一1,0) U ( 0, 2 =2 - ( -r2)1 r .3提煉方法：本題的解題目標是將題設中的極限不等式轉化為關于c的不等式，即將 bn的各項和

12、表示為關于 c的解析式；關鍵是對數(shù)列特點的分析和運用；顯然“起點”應是一元二次方程根與系數(shù)的關系.【研討.欣賞】在大沙漠上進行勘測工作時，先選定一點作為坐標原點，然后采用如下 方法進行：從原點出發(fā)，在x軸上向正方向前進 a (a>0)個單位后，向左轉90° ,前進a r (0 vr<1=個單位，再向左轉90° ,又前進a r2個單位，如此連續(xù)下去.(1)若有一小分隊出發(fā)后與設在原點處的大本營失去聯(lián)系，且可以斷定此小分隊的行動與原定方案相同則大本營在何處尋找小分隊 ？(2)若其中的r為變量，且0vrv1,則行動的最終目的地在怎樣的一條曲線上？剖析：(1)小分隊按原

13、方案走，小分隊最終應在運動的極限位置.(2)可先求最終目的地關于r的參數(shù)形式的方程.解：(1)由已知可知即求這樣運動的極限點，設運動的極限位置為 Q (x,y),則x=a ar2+ar4 ,a a35ary=ar ar +ar =,1 r a ar大本營應在點( 上w,上下)附近去尋找小分隊.1 r 1 rX 2 ，1 +r消去2即行動的最終目的地在以（-,0）為圓心，亙?yōu)榘霃降膱A上. 22r 得(x 2) 2+y2=a_ (其中 x>a,y>0),242五.提煉總結以為師1 .極限的四則運算法則只用于有限次的運算，對于n項和的極限，要先求和再求極限02 .對“0、一、七8”型的極

14、限，要分別通過“約去使分母為零的因式、同除 0以分子、分母的最高次哥、有理化分子”等變形，化歸轉化后再求極限值。3 .對含參數(shù)的題目要看是否需要分類討論；4 .在日常學習過程中，注意化歸思想、分類討論思想和極限思想的運用.同步練習【選擇題】A .2.1、lm子n (1 -)0 B. 1(2003北京)若數(shù)列4C. 2an二3.5D.an的通項公式是3q 25(-1)n(35-2q)1124217 B.24（2004湖南）數(shù)列an中C.(1L)1等于 () n 2,n=1,2,，則 lim (a+a2+ an)等于c 19C.24,a1二 一 ,an+an+1 =n_):：c 25D.246.、

15、一gn4,n C N *，則 lim(a1+a2+an)等于4D.254. （2006山東）若i 1一,如(. n a fn)5. （2004上海）設等比數(shù)列an （nCN）的公比q=工，且吧（a+a3+a5+a2n-1)=8，則 a1 =36. （2004春上海）在數(shù)列an中，a1=3,且對任意大于1的正整數(shù) "點（花,癡 -1 ）在直線x-y-擲=0上，則liman 2n 1二（n 1）簡答.提示:1-3. CCC;234 n 1 _1. 原式 =lim nx x x 1345 n 2=lim 2n =2.n- 1 n 223 .)2- (n為奇數(shù))，an= 3 (n為偶數(shù)).a

16、1+a2+-+an= (2 1+2 3+2 5+)+ (3 2+3 4+3 6+)- lim (a1+a2+ . +an)n_):：11493. 2 (a+a2+an)=a1+ (a+a2)+ (a2+a3)+ (an-1+an)1 +an1 6= -+ +55266F + +an-535n6原式=+ 25 + lim an】25 1 _1n，二5=1 ( 1 + + lim an).25 10 n，二an+an+1= _,.,. lim an+ lim an+1=0.5nl n )二nj：. nm0.答案：c4. 2; 5. 2; 6. 3.【解答題】7.求下列極限:圳十(1)lim n :

17、二2n 1)；1 2 42n(2)lim(-).n 1 3 9 "I 3n1“，八35斛：(1)lim ( 2 十 2nr ： n1 n 172n 1、2-2)n 1 n 1n3 (2n 1)= lim 3 5 7 ”(2n 1n , n2 1=limn :2n2 1= lim n : n2 11 2= limn = 1nn lim(n ;1 2 4 |ll 2nd2n -11 3 9川3n)=lim n-2(3n-1)= lim中n : 3n -1n-= lim-3- =0n 二 “1%8.已知數(shù)列an、bn都是無窮等差數(shù)列，其中a1=3,b1=2,b2是a?與a3的等差中項，li

18、mn-j 二：anbnn一j 二二+aQ a2 b2+ )的值.an bn解:an、bn的公差分別為di、d2.2b2=a2+a3,即 2 (2+d2)= (3+di) + (3+2d1)， .,2d2-3d1=2.-V an 3 (n-1)d1d11日又 lim -= lim - =-,IPd2=2d1,n bn n二 2 (n7)d2d22,"d1=2,d2=4.an=a1+ (n 1) d1=2n+1,bn=b1+ (n1) d2=4n 2.111/11、-=(一).an bn(2n 1) (4n - 2) 4 2n -1 2n 1原式=lim 1 (1-)=.4 2n 149

19、. (2003年北京)如圖，在邊長為 l的等邊 ABC中，圓O1為 ABC的內(nèi)切圓， 圓O2與圓。1外切，且與 AB、BC相切，圓On+1與圓On外切，且與 AB、BC相切，如 此無限繼續(xù)下去，記圓On的面積為% (nC N*).(1)證明an是等比數(shù)列；(2)求lim (a+a2+an)的值n_：(1)證明：記rn為圓On的半徑,l貝U r 1= tan30 =2rn J -rn =sin30rn J - rn1一n13(n>2).2qC _. 2.兀1a1=兀 r 1 =12anan Janan JS) 2=1rn9an成等比數(shù)歹U.(2)解：因為an =1)9n 1 a1(nCN*),a1所以 lim (a+a2+ + an)=n二d 11 -93 M23210.已知數(shù)列 an、bn都是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,公比分別為p、q淇中p>q且pW1,qW1,設Cn=an+bn,Sn為數(shù)歹U 品的前n項和，求1mSnSn解:Sn=a1(1pn)+b1(1-qn),1。p 1 -qq(1 -pn)“(1 -qn)Sn_1 _ p 1 _qSn4a1(1 - pn')b1(1 -qnb1 -p1-q當p>1時，p>q>0,得0v q <1,上式分子、分母同除以pl1,得p/ 1、卜 / 1 qn、ai（F -P）bif