微分中值定理和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、第四章 微分中值定理和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用4.1 微分中值定理費馬引理：設(shè)函數(shù) y=f(x) 在點的一個鄰域上有定義，并在可導(dǎo)，如果（或則一、羅爾(Rolle) 定理1. 羅爾( Rolle )定理如果函數(shù) f(x) 在閉區(qū)間 a ， b 上連續(xù)， 在開區(qū)間( a， b ) 內(nèi)可導(dǎo)，且在區(qū)間端點的函數(shù)值相等，即 f(a)=f(b) ，那么在( a,b )內(nèi)至少有一點函數(shù) f(x) 在該點的導(dǎo)數(shù)等于零，即2. 幾何解釋 :在曲線弧AB上至少有一點C,在該點處的切線是水平的。-1 ， 3 上是否滿足羅爾定理例 1. 判斷函數(shù)條件，若滿足，求出它的駐點。【答疑編號 11040101 】解滿足在 -1 ， 3

2、上連續(xù)，在( -1 ， 3)上可導(dǎo)，且f(-1)=f(3)=0，,取有幾例 2. 設(shè) f(x)=(x+1)(x-2)(x-3)(x-5) ，判斷個實根，并指出這些根所在的區(qū)間?！敬鹨删幪?1040102 】a， b )內(nèi)二、拉格朗日 (Lagrange) 中值定理1. 拉格朗日 (Lagrange) 中值定理如果函數(shù) f(x) 在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，在開區(qū)間(可導(dǎo)，那么在( a,b )內(nèi)至少有一點成立。注意：與羅爾定理相比條件中去掉了 f(a)=f(b)結(jié)論亦可寫成2. 幾何解釋 :在曲線弧AB上至少有一點C,在該點處的切線平行于弦AR拉格朗日中值定理又稱微分中值定理例 3 （教材 162

3、 頁習(xí)題 4.1 ， 3 題（2）題）、判斷f（x）=sinx 在上是否滿足拉格朗日中值定理。11040103】推論 1 如果函數(shù) f(x) 在區(qū)間 I 上的導(dǎo)數(shù)恒為零，那么 f(x) 在區(qū)間 I 上是一個常數(shù)。例 4 (教材 162 頁習(xí)題 4.1 ， 4 題)、證明【答疑編號 11040104 】又即推論 2 假設(shè)在區(qū)間 I 上兩個函數(shù)f(x) 和 g(x) 的導(dǎo)數(shù)處處相等，則 f(x) 與 g(x) 至多相差一個常數(shù)。4.2 洛必達法則型及型未定式解法：洛必達法則1、定義 如果當(dāng)xf a (或xf 8)時，兩個函數(shù)f(x)與F(x)都趨于零或都趨于無窮大，那么極限稱為型未定式。例如,2、

4、定理設(shè)(1)當(dāng)x-0時，函數(shù)f(x)及F (x)都趨于零；(2)在a點的某臨域內(nèi)(點 a本身可以除外)，V (x)及F，(x)都存在且F7 (x) w 0;3)存在(或為無窮大；那么3、 定義這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達法則。當(dāng)x-8時，以及 xfa, x8時，該法則仍然成立。4、例題分例 1 、求解：原式11040201】例 9 、求【答疑編號 11040202 】【答疑編號 11040203 】【答疑編號 11040204 】【答疑編號 11040205 】例 6、【答疑編號 11040206 】例 # 、求O【答疑編號11040207 】【

5、答疑編號 11040208 】解：原式例 9 、求解：原式11040209】例 10、求11040210】例 11（教材 168頁，例8）、求(a>0)【答疑編號11040211】型未定式,解：當(dāng) x-+8時，in x +8,這是用洛必達法則,例 12、求n 是正整數(shù)）?！敬鹨删幪?11040212 】解： 這是型未定式， 接連用洛必達法則n 次， 得。對于任意的a >0,同樣可以證明型未定式解法關(guān)鍵：將其它類型未定式化為洛必達法則可解決的類型1、 0. oo型步驟：例 13、求。（0 8）例 14、求解：原式11040213】【答疑編號 11040214 】例 15（教材 169 頁，例10）、求【答疑編號11040215 】解：當(dāng)Xf8時,所以這是0 8型未定式。2、00 00型步驟:(oo - oo)例 16、求【答疑編號 11040216 】例 17（