微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用練習(xí)題資料

1、題型1 .利用極限、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、積分綜合性的使用微分中值定理 寫生證明題2 .根據(jù)極限，利用洛比達(dá)法則，進(jìn)行計(jì)算3 .根據(jù)函數(shù)，計(jì)算導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)性以及極值、最值4 .根據(jù)函數(shù)，進(jìn)行二階求導(dǎo)，求函數(shù)的凹凸區(qū)間以及拐點(diǎn)5 .根據(jù)函數(shù)，利用極限的性質(zhì)，求漸近線的方程內(nèi)容一.中值定理1 .羅爾定理2 .拉格朗日中值定理二.洛比達(dá)法則一些類型（0、：、09、八g0、00、仔等） 三,函數(shù)的單調(diào)性與極值1 .單調(diào)性2 .極值四.函數(shù)的凹凸性與拐點(diǎn)1 .凹凸性2 .拐點(diǎn)五.函數(shù)的漸近線水平漸近線、垂直漸近線典型例題題型I方程根的證明題型II不等式(或等式)的證明題型III利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極

2、值題型IV求函數(shù)的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)自測(cè)題三一.填空題二.選擇題三.解答題4月13日微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用練習(xí)題基礎(chǔ)題：一.填空題1.函數(shù)y=x21在1-1,1】上滿足羅爾定理?xiàng)l件的 之=。3. f(x)=x2 -x-1在區(qū)間1-1,11上滿足拉格朗日中值定理的中值=4. 函數(shù)y=ln(x+1城區(qū)間0,11上滿足拉格朗日中值定理的t =。5. 函數(shù)f(x) = arctan x在0,1上使拉格朗日中值定理結(jié)論成立的E是個(gè)實(shí)根，分別位于6. 設(shè) f (x) =(x -1)(x -2)(x-3)(x -5),則 f '(x) =0有區(qū)間 中.cos5x57. lim = 一 一x. cos3x

3、321ln(1 -)8. lim -二 0arctan xc , 11、19. lim(-2 )=10. lim(sin x)x二1選擇題1.羅爾定理中的三個(gè)條件：f（x）在a,b上連續(xù)，在（a,b）內(nèi)可導(dǎo)，且f （a） = f （b）,是f （x）在（a,b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)二，使f，（0=0成立的（）.A.必要條件B.充分條件C.充要條件D.既非充分也非必要條件2 .下列函數(shù)在-1,1上滿足羅爾定理?xiàng)l件的是（）.A.f(x) =exB. f(x)=|x|C. f (x) =1 - x2D.1 f(x)= xsinx0,3 .若f （x）在（a,b）內(nèi)可導(dǎo)，且xx2是（a,b）內(nèi)任意兩點(diǎn)，則至

4、少存在一點(diǎn)之，使下式成立（）.A. f(x2) f (x)=(xx2) f«)W(a,b)B. f (x1)一 f (x2) =(x1一x2) f'(t)。在 x1,x2 之間C. f (x1) - f (x2) =(x2-x1) f'(t)x1< t<x2D. f (x2) - f (x1) = (x2-x1) f'(t)x1 < - <x24 .下列各式運(yùn)用洛必達(dá)法則正確的是（ B ）ln n1lim lim 一A. lim v n = ein= enTn = 1nj：B.C.D.x sin x 1 cosx lim= lim x

5、0 x - sin x x 0 1 -cosx2111x sin 2xsin - - coslim x = lim xx 不存在I sin x x 0 cosx5.在以下各式中，極限存在，但不能用洛必達(dá)法則計(jì)算的是（x21 tanxx sin xA. lim B.lim/-)C. lim xT sin xx 10 xxx綜合題：n x d. lim -x > :-e三.證明題1 .驗(yàn)證羅爾定理對(duì)函數(shù)5 二y = ln sin x在區(qū)間一6 6上的正確性。2 .驗(yàn)證拉格朗日中值定理對(duì)函數(shù) y =4x3 -5x2 +x 2在區(qū)間0,1】上的正確性。3 .試證明對(duì)函數(shù) y=px2 qx r應(yīng)用

6、拉格朗日中值定理時(shí)的求得的點(diǎn) 正中間。t總是位于區(qū)間的2 x4 .證明萬(wàn)程1，x , 一 23x 一+ =0有且僅有一個(gè)實(shí)根.65 .證明下列不得等式:(1) arctanx -arctan y < x - y當(dāng)x . 1時(shí)，ex e xa -b, aa-b(3)當(dāng) a > b > 0時(shí),< In <a b bji(4)當(dāng)0 <x M萬(wàn)時(shí),sin x tanx 2xsinx當(dāng)0 < x <n時(shí)，> cosx .x四.計(jì)算題10.用洛必達(dá)法則求下列極限: lim Jn1xTxx-xe - e limx0 sin xsin x -sin a l

7、im x a x - a1 i ln 1 十一x J lim x J :：1arctan-x1 lim x1"x1 lim (cot x -)x 0x1 lim (cos x)x lim x (、x2 1 - x) x_：i 二sinx -xcosx2x sinxQi) lim 1 -x tan 一x 124月14基礎(chǔ)題：一.填空題1.函數(shù)y104x3 -9x2 6x,則該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間區(qū)間是 2 .函數(shù)y = In(x + Jl+ x2 則該函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是 3 .函數(shù)y = x3 5x2 +3x +5 ,則該函數(shù)的拐點(diǎn)是 4 .函數(shù)y =xe",則該函數(shù)的凹區(qū)間是

8、5 .函數(shù)y =x4(12ln x 7 )的拐點(diǎn)是6 . 點(diǎn)(1,3 )為曲線 y = ax3 +bx2的拐點(diǎn)，則a=,b=x27 .函數(shù)f (x )=r ,其極大值為 ,極小值為 1 x8 .函數(shù)y =x十J1 一x ,在區(qū)間-5,1 上的最大值為 ,最小值為9 .函數(shù)y =4x2 -l nx2)的單調(diào)增加區(qū)間是,單調(diào)減少區(qū)間.f(x) 一10 .若函數(shù)f (x)二階導(dǎo)數(shù)存在，且 f (x) A0, f (0) = 0 ,則F (x) =在0< x <十8上x是單調(diào).x11 .函數(shù)y=x2取極小值的點(diǎn)是2112.函數(shù)f(x) =x3 (x2 1)3在區(qū)間0,2上的最大值為,最小值

9、為.二.選擇題1下列函數(shù)中，()在指定區(qū)間內(nèi)是單調(diào)減少的函數(shù).a. y=2、(-二，二)b. y 二ex (-二，0)C. y = ln x (0,二)D. y = sin x (0,二)一.12 設(shè) f (x) = (x -1)(2x 十 1),則在區(qū)間 q ,1)內(nèi)().A. y = f(x)單調(diào)增加，曲線 y = f(x)為凹的B. y = f(x)單調(diào)減少，曲線y = f(x)為凹的c. y = f (x)單調(diào)減少，曲線y = f(x)為凸的D. y = f(x)單調(diào)增加，曲線 y=f(x)為凸的3 f(X)在(_oo,+=c)內(nèi)可導(dǎo)，且 /X1,X2，當(dāng) X1 >*2時(shí)，f (

10、X1) > f (X2)，則(A.任意 X, f '(x) >0 B.任意 X, f'(x) < 0C. f(_x)單調(diào)增D. _ f ( -x)單調(diào)增4設(shè)函數(shù)f (X)在0,1上二階導(dǎo)數(shù)大于0,則下列關(guān)系式成立的是()A. f (1) . f (0) . f (1) - f (0)B. f (1) f (1) - f (0) f (0)C. f(1) - f (0) f (1) f (0)D. f (1) . f (0) - f (1) . f (0)5.設(shè)f (X)在(g,一)內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù),(X0)=0,問(wèn)f(x)還要滿足以下哪個(gè)條件，則f(X0)必是f(

11、x)的最大值？()A. X = X0是f (X)的唯一駐點(diǎn)B. X = X0是f (x)的極大值點(diǎn)C. f "(X)在(-=0,+=c)內(nèi)恒為負(fù)D. f"(x)不為零2_x6.已知 f (x)對(duì)任意 y = f (x)滿足 xf (x) +3x f (x) =1 e ，右 f (%)=0 (x0 #0),則()A. f (X。)為f (X)的極大值 B. f (X0)為f (X)的極小值C. (X0, f (X0)為拐點(diǎn)D. f (X0)不是極值點(diǎn)，(X°, f(x0)不是拐點(diǎn)-一-“口f (X) - f (X0)_,7.若f(x)在X0至少二階可導(dǎo)，且lim1,

12、則函數(shù)f (X)在X0處()X M° (X-X0)A.取得極大值B .取得極小值綜合題：三.求下列函數(shù)的單點(diǎn)區(qū)間(1) y =ln(X +31 +x2)4 .求下列函數(shù)的極值(1) y = x + tanx5 .求下列函數(shù)的最值(1) y=x + j1-x, 5Mx<1C.無(wú)極值 D.不一定有極值(2) y = (2x-5)3x2 f x = X - 3 x2/32(3) y = 2x3 + 3x2 12x+14, 3,4arctan x(1) y =e六.求函數(shù)圖形的凹或凸區(qū)間及拐點(diǎn)，、x(2) y = x x -1七.證明題(1)利用函數(shù)的單調(diào)性，證明:當(dāng) x a 0時(shí)，1

13、 + x ln k +，1 + x2 )>+ x2(2)利用函數(shù)的凹凸性，證明不等式八.試確定曲線y=ax3+bx2 +cx+d中的a、b、c、d,使得x =2處曲線有水平切線,(1,10)為拐點(diǎn),且點(diǎn)(2,44)在曲線上.九.工廠C與鐵路線的垂直距離 AC為20km, A點(diǎn)到火車站B的距離為100km.欲修一 條從工廠到鐵路的公路 CD,已知鐵路與公路每公里運(yùn)費(fèi)之比為 3: 5,為了使火車站 B與工 廠C間的運(yùn)費(fèi)最省，問(wèn)D點(diǎn)應(yīng)選在何處？4月15日微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用練習(xí)題一、選擇題1、下列函數(shù)在給定區(qū)間上滿足羅爾定理?xiàng)l件的有()A、y = x2 7x+10 2, 51B、y =2x

14、- 30,2y2'x + 2 - 1 e x y 1-xr r a ic一C、y = xe 0, 1 D 、y = 、1 x = 12、下列函數(shù)在給定區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件的有()一， xxA、y =7-1,1 B 、y=1,11 x2xc、y = | x| -2, 2x + 1-1 E x 0= 、x2+10MxM13、設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),a < x1 < x2 < b,則下式中不一定成立的是A、f (b)-f (a) = f )(b-a) : £ (a, b)B、f (b)-f (a) = f (D(b a) - C(x

15、1，X2)C、f(X2)f (xi) = f*( - ) ( X2 Xi)- C(a, b)D>f(X2) f (Xi) = f'伐)(X2 Xi) C(xi, X2)4 4、函數(shù)y = X + 一的單調(diào)減少區(qū)間為()XA、 (- 8,- 2) U(2,+ 8)b、 (- 2, 2)C (- 00, 0) u( 0,+ oo)D、(- 2, 0) U ( 0, 2)5、設(shè)f(X)在a, b上連續(xù)，在(a, b)內(nèi)可導(dǎo)，且當(dāng)XC(a, b)時(shí)，有f'(X)>0,又知f( a) < 0,則()A f(X)在a, b上單調(diào)增加,且 f(b)>0B f(X)在a

16、, b上單調(diào)增加,且 f(b) < 0C f(X)在a, b上單調(diào)減少,且 f(b)<0D f(X)在a, b上單調(diào)增加，f( b)的符號(hào)無(wú)法確定6、函數(shù)f(X)在x = X0處取得極小值，則必有()A fX0)=0B、f"(X0)>0C f'(X0)=0,且 f"(X0)>0 D 、f'(X0)=0 或 f'(X0)不存在7、設(shè)函數(shù) f( x)在 x = % 處 f '(X) =0,且 f "(X) = 0 ,則 f( x)在 x = x0 點(diǎn)()A、一定有最大值B、一定有極小值C不一定有極值D、一定沒(méi)有極

17、值8、點(diǎn)(i,2)是曲線y = ax3+ bx2的拐點(diǎn)，則()A a =i,b=3B、a =0, b=iC a為任意數(shù)，b=30 a = i, b為任意數(shù).aeX/、9、曲線 y =()i xA、有一個(gè)拐點(diǎn)B、有二個(gè)拐點(diǎn)C有三個(gè)拐點(diǎn)H無(wú)拐點(diǎn)Xi0、曲線y =的漸近線(3-x2A、無(wú)水平漸近線，也無(wú)斜漸近線B X= J3為垂直漸近線，無(wú)水平漸近線C有水平漸近線，也有垂直漸近線D只有水平漸近線2 i e" ii、曲線y =三()i -eA、沒(méi)有漸近線；C、僅有鉛直漸近線B、僅有水平漸近線D、既有水平漸近線又有鉛直漸近線二、填空題1、2、曲線 y = x33x+ 1要使點(diǎn)(1,3)x4的拐

18、點(diǎn)是是曲線y =x2ax3 + bx2的拐點(diǎn)，則a =3、曲線12 + x + 1的凹區(qū)間為 24、曲線3x2x2f (x) =2x 1- 1Q人”八,的斜漸近線為5、曲線6、7、函數(shù)函數(shù)(x-3)2y =,其垂直漸近線方程是 _4(x -1)f (x)= x4-2x2+5 在2, 2的最小值為 f (x)= 3x4+6x2 1 在2,2的最小值為,斜漸近線方程是8、函數(shù)2f (x)=x 3-(x2 -1) 3在0,2的最大值為9、函數(shù)2xf (x)=一-2x 1-在(8 , +8)的取大值為x 1x -110、函數(shù) f (x)=x 1在0,4的最大值為三、計(jì)算題1、求下列極限(1)2x(2)

19、 lim J° cosx - 1(3)tgx - x lim x Q x - sin xlilimXFlsin 3x、tg5x /，、2 ,一 lxm0x ctg2x(6) lim(x >1 x2 -1x-xe - elim xT sin xm m x - a (8) limx X xn _ an(9limx >0<x21_ 2sin x>(10)limx0x2 -1 ln xxe - e(ii) lim -x )二ln(1 ex)，1 x2(12) limx 02二. x (cosx)2(13) lim +ln xctgxx(14)lim(x *1 ln xln x(15)xm0x xcosx k x - sin x(16) lim(1 +sin x)x(17)(18)lim x2 In xx_02、求下列函數(shù)的增減區(qū)間(1) y = x2+ x(3) y =2x2 - In x y = <x2 - 1 y = 1x1一八-4x3(4) y = arctg x- x(6) y = (x-2)