不同域上的不可約多項式

1、論文題目不同域上的不可約多項式學(xué) 生 承 諾我承諾在畢業(yè)論文（設(shè)計）活動中遵守學(xué)校有關(guān)規(guī)定，恪守學(xué)術(shù)規(guī)范，本人畢業(yè)論文（設(shè)計）內(nèi)容除特別注明和引用外，均為本人觀點，不存在剽竊、抄襲他人學(xué)術(shù)成果，偽造、篡改實驗數(shù)據(jù)的情況。如有違規(guī)行為，我愿承擔(dān)一切責(zé)任，接受學(xué)校的處理。學(xué)生（簽名）：年 月 日指導(dǎo)教師承諾我承諾在指導(dǎo)學(xué)生畢業(yè)論文（設(shè)計）活動中遵守學(xué)校有關(guān)規(guī)定，恪守學(xué)術(shù)規(guī)范，經(jīng)過本人核查，該生畢業(yè)論文（設(shè)計）內(nèi)容除特別注明和引用外，均為該生本人觀點，不存在剽竊、抄襲他人學(xué)術(shù)成果，偽造、篡改實驗數(shù)據(jù)的現(xiàn)象。 指導(dǎo)教師（簽名）： 年 月 日目 錄1、前言12、因式分解定理及唯一性定理13、復(fù)系數(shù)多項式

2、14、實系數(shù)多項式25、有理系數(shù)多項式25.1 艾森斯坦（Eisenstein）判別法25.2艾森斯坦因（Eisenstein）判別法的變式35.3艾森斯坦因（Eisenstein）判別法的等價定理45.4多項式的復(fù)根與其不可約性65.5次整系數(shù)多項式在有理數(shù)域上的不可約的又一充分性76、有限域上的不可約多項式86.1判斷有限域上一元多項式是否可約進而得到分解式的方法96.2 階有限域上的不可約多項式10致謝11參考文獻122011屆數(shù)學(xué)系學(xué)士學(xué)位論文不同域上的不可約多項式摘要：判斷一個多項式是否可約是很困難的，在前人的基礎(chǔ)上，采用了類比分析的方法，討論了復(fù)數(shù)域、實數(shù)域、有理數(shù)域、有限域上的不

3、可約多項式的狀況，對不可約多項式進行了比較完善的總結(jié)歸納。關(guān)鍵字：復(fù)數(shù)域 實數(shù)域 有理數(shù)域 有限域 不可約多項式中圖分類號：O151Irreducible polynomials in the different fields Abstract: It is difficult to judge a polynomial irreducible. In this paper,we discuss the irreducible polynomials in the real number field, complex field,rational number field and finite

4、 field.This is a more perfect summary about irreducible polynomials.What is more,this is a simply analysis about irreducible polynomials.Key Words: Complex field Real number field Rational number field Finite field Irreducible polynomials不同域上的不可約多項式1、前言一個多項式是否不可約是依賴于系數(shù)域的，雖然因式分解定理在理論上有其基本重要性，但是它并沒有給出

5、一個具體的分解多項式的方法，對于一般的情形，普遍可行的分解多項式的方法是不存在的，即使只是判別一個多項式是否可約都很困難。所以我們只能在不同的域上討論多項式是否不可約。本文主要在前人研究的基礎(chǔ)上，將復(fù)數(shù)域、實數(shù)域、有理數(shù)域、有限數(shù)域上的多項式是否可約的問題進行歸納，采用類比分析的方法進行總結(jié)。2、因式分解定理及唯一性定理定理 數(shù)域上每個次數(shù)的多項式都可以唯一地分解成域上一些不可約多項式的乘積.所謂唯一性是說,如果有兩個分解式那么必有，并且適當(dāng)排列因式的次序后有，其中是一些非零常數(shù). 因式分解定理雖然在理論上有其基本重要性，但是它并沒有給出一些具體的分解多項式的方法。實際上，對于一般的情形，普遍

6、可行的分解多項式的方法是不存在的。接下來將討論復(fù)數(shù)域、實數(shù)域、有理數(shù)域、有限域上的多項式的是否可約。3、復(fù)系數(shù)多項式 定理（代數(shù)基本定理） 每個次數(shù)的復(fù)系數(shù)多項式在復(fù)數(shù)域中至少有一根。 定理（復(fù)系數(shù)多項式因式分解定理）每個次數(shù)的復(fù)系數(shù)多項式在復(fù)數(shù)域上都可以唯一地分解成一次因式的乘積. 由此可知，在復(fù)數(shù)域上所有次數(shù)大于1的多項式全是可約的。4、實系數(shù)多項式定理（實系數(shù)多項式因式分解定理） 每個次數(shù)的實系數(shù)多項式在實數(shù)域上都可以唯一的分解成一次因式與二次不可約因式的乘積.由此可知，實數(shù)域上的不可約多項式有一次多項式和某些二次多項式（判別式小于0）。5、有理系數(shù)多項式每個次數(shù)的有理系數(shù)多項式都能唯一

7、的分解成不可約的有理系數(shù)多項式的乘積。但是對于任意一個給定的多項式，要具體地作出它的分解式卻是一個很復(fù)雜的問題，即使要判別一個有理系數(shù)多項式是否可約也不是一個容易解決的問題，這一點是有理數(shù)域與實數(shù)域、復(fù)數(shù)域不同的。5.1 艾森斯坦（Eisenstein）判別法定理（Eisenstein判別法） 設(shè)是一個整系數(shù)多項式，如果存在素數(shù)使得；那么在上不可約證明：若在有理數(shù)域上可約，則在上可約，即存在整系數(shù)多項式使得 其中 因為所以與不能同時被整除不妨設(shè)因為，所以.設(shè)考察等式由于，所以，這與矛盾，故在中不可約，因而在中不可約（證畢）對任意正整數(shù)都是上不可約多項式，從而（及）中存在任意次數(shù)的不可約多項式.

8、52艾森斯坦因（Eisenstein）判別法的變式一般地對，常作變換,則,很顯然與在上具有相同的可約性.有時候?qū)τ谀硞€多項式不能直接應(yīng)用Eisenstein判別法，可以把它進行如上適當(dāng)變形后，再應(yīng)用這個判別法。例如：設(shè)是一個素數(shù)，多項式叫做一個分圓多項式，證明在中不可約。證明：因為，所以不存在這樣的素數(shù)滿足Eisenstein判別法的條件，但是如果我們令，則由于 令，于是由Eisenstein判別法，在有理數(shù)域上不可約，所以也在有理數(shù)域上不可約。53艾森斯坦因（Eisenstein）判別法的等價定理定理 假如是整系數(shù)多項式，如果存在一個素數(shù)，使得；，則在上不可約。定理 設(shè)為次數(shù)大于3的整系數(shù)多

9、項式，且無有理根存在，如有整數(shù)使得1）；2）；3）則在整數(shù)環(huán)上一定不可約證明：這里僅考慮為本原多項式的情形反設(shè)在整數(shù)環(huán)上可約，其分解式為：其中 均為本原多項式，且，從而，由已知，而，所以不妨設(shè)：，而，又因為，所以不能同時整除及，不妨設(shè)中第一個不能被整除的數(shù)是，即，而其中下面分兩種情況討論：1） 當(dāng)時可證從而可得有有理根，此題與題設(shè)矛盾，同理可證2） 當(dāng)時考慮中的系數(shù)： 由設(shè)，所以，而，所以，這是一個矛盾！另當(dāng)時，同理可證矛盾！所以在整數(shù)環(huán)上不可約，證畢。5.4多項式的復(fù)根與其不可約性由代數(shù)基本定理，中次多項式在復(fù)數(shù)域中有個根，通過系數(shù)多項式在復(fù)數(shù)域上的分解的信息也能幫助判斷其在整數(shù)多項式上的不

10、可約性。定理 設(shè)滿足 （1）則在上不可約(從而在上不可約)證明：的復(fù)根的模均大于1。實際上，設(shè)有根滿足，則，與（1）矛盾?，F(xiàn)在假設(shè)在上可約，即存在整系數(shù)多項式 使得，則另一方面，記的復(fù)根為它們都是的根，故。結(jié)合韋達定理得出，即。同理，于是 與（1）矛盾，故在上不可約。令，則在上可約顯然等價于在上可約。因此定理8中與是對稱的。定理8表明，只要多項式的首項系數(shù)與常數(shù)項的絕對值足夠大時，它在上就不可約。5.5、次整系數(shù)多項式在有理數(shù)域上的不可約的又一充分性定理 設(shè)為整系數(shù)多項式,若有個兩兩不同的整數(shù)根,則在有理數(shù)域上不可約。證明: (反證法) 設(shè)的個兩兩不同的整數(shù)根為則有，假設(shè)在有理數(shù)域上不是不可約

11、多項式,因為所以在有理數(shù)域上可約,也即是在整數(shù)環(huán)上可約,所以存在整系數(shù)多項和，使得 其中 ，。所以 ，所以由 ,得 ，因此 所以 即有 所以首項系數(shù)為負數(shù)與1矛盾，所以在有理數(shù)域上不可約。6、有限域上的不可約多項式對于一般數(shù)域上的多項式，普遍可行的分解方法是不存在的。但是對于有限域，普遍可行的方法確實存在的，但是這也只適合低次多項式。定理 設(shè)是一個有限域，則存在唯一的,使，其中或像在數(shù)域上一樣，該定理給出了在有限域上判斷整除性的方法。例：，問是否有？解：作帶余除法 所以6.1判斷有限域上一元多項式是否可約進而得到分解式的方法設(shè)是一個有限域， 若在上可約，則存在，且，使得，由+知，有或者，即必有

12、次數(shù)大于0而不超過的因式。而是有限域，只有有限個元素，從而上次數(shù)大于0而不超過的多項式只有有限個。因而只需找出上次數(shù)大于0而不超過的首項系數(shù)為1的多項式，用它們逐個試除，若某個，則可約。否則不可約，若可約，對所做的分解式重復(fù)以上做法，最終可得在上的因式分解。例：在上，證明多項式均為不可約多項式。證明：1）為2次多項式，且在上無根，從而沒有一次因式，故在上不可約 2），上次數(shù)大于0而不超過2的首項系數(shù)為1的全部多項式為，且任一均不能整除，故在上也不可約。但是當(dāng)多項式的次數(shù)很高時，用帶余除法判斷就不實用，接下來我們將討論幾個定理來說明有限域上不可約多項式的狀況。6.2 階有限域上的不可約多項式定理

13、 設(shè)為階有限域上的一個次不可約多項式，則必為上多項式的一個因式。證明：因為是階有限域上的一個次不可約多項式，則為多項式環(huán)的一個極大理想，從而以為模的剩余類域是一個階為的有限域，而其全體單位（即可逆元）共有個，它作為一個階為的循環(huán)群，此即階有限域的單位群，因此，作為此單位群（即階循環(huán)群）中的元素，必有或，這就是說，對模來說，多項式與0同余，即整除多項式，亦即是多項式的一個因式。致 謝時間過得真快，在、的四年學(xué)習(xí)時間即將過去。雖然這四年時間不算長，但是在這四年我成長了很多，不管是自己的綜合素質(zhì)還是能力都有很大的進步，這是承受師恩、增長才干、提高學(xué)識的四年。很感激那些曾經(jīng)幫助過我的老師和同學(xué)們，因為

14、有他們的幫助才讓我少走了很多彎路，才讓我一人在外求學(xué)的道路走得不那么艱辛。在此，我要特別感謝老師在我大學(xué)最后的學(xué)習(xí)階段畢業(yè)設(shè)計階段給自己的指導(dǎo)，為了指導(dǎo)我們小組的畢業(yè)論文，他常常放棄自己的休息時間，他這種無私奉獻的敬業(yè)精神令人敬佩，在整個過程中也始終感受著導(dǎo)師的精心指導(dǎo)與無私的關(guān)懷。他扎實的學(xué)術(shù)功底，對論文的鉆研精神，對待學(xué)術(shù)的嚴(yán)格要求讓我們小組的每個人都受益匪淺，在此向余老師表示深深的感謝和崇高的敬意。 參考文獻1王咢芳,石生明.高等代數(shù).第三版.北京：高等教育出版社,2003:18-292羅永超.推廣Eisenstein判別法判定整系數(shù)多項式有理根的存在性J.大學(xué)數(shù)學(xué).2007(5):63-693王立志.整系數(shù)多項式在整數(shù)環(huán)上不可約性的探討.工科數(shù)學(xué).1994(3):60-624錢展望，朱偉華.湖北：奧林匹克數(shù)學(xué)高三分冊,2002：85-985席小忠.整系數(shù)多項式有理根的特征J.宜春學(xué)院學(xué)報.2006(2):37-386張小紅,任耀文.整系數(shù)多項式不可約性的新判別法.咸陽師專學(xué)報J.2001(2): 12-147羅永超.整系數(shù)多項式無有理根的一個