小學工程問題歸納及經典練習題

1、解工程問題的方法工程問題是研究工作量、工作效率和工作時間三者之間關系的問題。這三者 之間的關系是：工作效率X工作時間=工作量工作量工作時間=工作效率工作量工作效率=工作時間根據上面的數量關系，只要知道三者中的任意兩種量，就可求出第三種量。由于工作量的已知情況不同，工程問題可分為整數工程問題和分數工程問題 兩類。在整數工程問題中，工作量是已知的具體數量。解答這類問題時，只要按 照上面介紹的數量關系計算就可解題，計算過程中一般不涉及分率。在分數工程 問題中，工作量是未知數量。解這類題時，也要根據上面介紹的數量關系計算， 但在計算過程中要涉及到分率。一、工作總量是具體數量的工程問題例1建筑工地需要1

2、200噸水泥，用甲車隊運需要15天，用乙車隊運需要10天。兩隊合運需要多少天？（適于四年級程度）解：這是一道整數工程問題，題中給出了總工作量是具體的數量1200噸，還給出了甲、乙兩隊完成總工作量的具體時間。先根據“工作量+工作時間=工作 效率”，分別求出甲、乙兩隊的工作效率。再根據兩隊工作效率的和及總工作量, 利用公式“工作量+工作效率=工作時間”，求出兩隊合運需用多少天。甲車隊每天運的噸數：（甲車隊工作效率）1200-15=80 （噸）乙車隊每天運的噸數：（乙車隊工作效率）1200-10=120 （噸）兩個車隊一天共運的噸數：80+120=200 （噸）兩個車隊合運需用的天數：1200200

3、=6 （天）綜合算式：1200- （1200-15 + 1200-10）=1200- （80+120）=1200-200=6 （天）答略。例2生產350個零件，李師傅14小時可以完成。如果李師傅和他的徒弟 小王合作，則10小時可以完成。如果小王單獨做這批零件，需多少小時？（適 于四年級程度）解：題中工作總量是具體的數量，李師傅完成工作總量的時間也是具體的。李師傅1小時可完成：35074=25 （個）出“如果李師傅和他的徒弟小王合作，則10小時可以完成“可知，李師傅和 徒弟小王每小時完成：350X0=35 （個）小王單獨工作一小時可完成：35-25 = 10 （個）小王單獨做這批零件需要：350

4、X0=35 （小時）綜合算式：350 （350-10-350-14）=350+ （35-25= 35070=35 （小時）答略。,例3把生產2191打毛巾的任務，分配給甲、乙兩組。甲組每小時生產毛 巾128打，乙組每小時生產毛巾160打。乙組生產2小時后，甲組也開始生產。 兩組同時完工時超產1打。乙組生產了多長時間？（適于四年級程度）解：兩組共同生產的總任務是：2191-160x2 + 1 = 1872 （打）兩組共同生產的時間是:1872- (160+128) =6.5 (小時)乙組生產的時間是：6.5 + 2 = 8.5 （小時）綜合算式：（2191-160x2+1） + （160+128

5、） +2=1872+288+2= 6.5 + 2= 8.5 （小時）答略。練習題：1、筑路隊疾患修筑一條長2400米的公路，中隊單獨做需要20天完成，乙 隊單獨需要30天完成。如果兩隊同時開工共同修筑，只需幾天就可以完成？2、甲、乙兩個工程隊合修一條長42千米的水泥路，中隊每天修0.5千米,比乙隊的2倍多0.1千米。（1）乙隊每天修多少千米?35、用兩臺機器生產108個齒輪。第一臺4.5小時能生產18個，第二臺1.6小時能生產8個。兩臺機器一同生產一段時間以后，還剩45個。兩臺機器一同 生產了多少小時？綜合算式：/ A Z 13（108 -45）-（18-4-+8-1-）= 63+（4 + 5

6、）= 63-9 = 7 （小時）答略。二、工作總量不是具體數量的工程問題工程問題方法總結：基本數量關系：工效X時間=工作總量二：基本特點：設工作總量為“1”，工效=1/時間三：基本方法：算術方法、比例方法、方程方法。四：基本思想：分做合想、合做分想。五：類型與方法：-:分做合想：1.合想,2.假設法,3.巧抓變化（比例）,4.假設法。二：等量代換：方程組的解法一代入法，加減法。三：按勞分配思路：每人每天工效一每人工作量一按比例分配四：休息請假：方法：1.分想：劃分工作量。2.假設法：假設不休息。五：休息與周期：1 .已知條件的順序：先工效，再周期，先周期，再天數。2 .天數：近似天數，準確天數

7、。3.列表確定工作天數。六：交替與周期：估算周期，注意順序！七：注水與周期：1.順序，2.池中原來是否有水，3.注滿或溢出。八：工效變化。九：比例：1.分比與連比，2.歸一思想，3.正反比例的運用，4.假設法思想（周期）。+ ：牛吃草問題：1 .新生草量，2.原有草量，3.解決問題。工程問題當知道了兩者工作效率之比，從比例角度考慮問題，也就是知道了所需的時 間比。因此，在下面例題的講述中，不完全采用通常教科書中“把工作量設為整體1” 的做法，而偏重于“整數化”或“從比例角度出發(fā)”，也許會使我們的解題思路更靈 活一些.兩個人的問題標題上說的“兩個人"，也可以是兩個組、兩個隊等等的兩個集

8、體.（一）兩個人的問題例1. 1 一件工作，由A做20天完成，B做15天完成。（1）兩隊合做5 天可以完成工程的幾分之兒？（2）兩隊合做6天，還剩下工程的幾分之幾？（3） 兩隊合做兒天完成？117解：(1) ( + )x5 = 20 1512113（2） 1-(+ )x6 = 20 1510/ 、i z 11、60 o4/工、（3） 1 + （ + ） = = 8 （人）20 1577答：（1）兩隊合做5天可以完成工程的2_。（2）兩隊合做6天，還1234剩下工程的一。（3）兩隊合做8士天完成。107【解析】此題是工作效率問題。A用20天完成，總工程是“1:所以中隊的工作效率是1 + 20 =

9、,乙對的工作效率是1-5-15 = o2015問題（1）要求完成的工程量，用工作效率X工作時間；問題（2）要求剩余工程量，可先求出已做的工程量，用總工程量“1”減去已 做工程量；問題（3）要求完成時間，用總工程量“ 1”總工效。例1.2、一工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成，現在甲、乙做了3天，余下的工作由乙繼續(xù)完成，乙需要做幾天可以完成全部工作？解： l-（- + -）x3 = -9 66=1（天）O O答：乙需要做1天可以完成全部工作?！窘馕觥恳鉀Q此題，就要清楚此工程的過程，此工程是中和乙完成一件工作，先是 甲和乙一起做，之后轉由乙單獨完成，求的是乙單獨完成剩下的工作時間?？偣こ淌?/p>

10、“1 ”,就可以知道：甲的工作效率是1+9 = ,乙對的工作效率是91+6 = 1。6求乙單獨完成剩下的工作時間，還需要知道乙的工作總量，乙的工作總量=1-甲乙一起3天做的工作量。甲和乙3天的工作總量：工作效率X工作時間=工作總量9d + l）x3, 9 6剩下：t Z1 1 o 11 -（ + ）x3 =9 66乙完成剩下的工作時間：利用工作總量+工作效率=工作時間1=1（天）6 6練習一1、 一項工程，甲隊單獨做24天完成，乙隊單獨做16天完成。甲、乙兩 隊合做，多少天可以完成？（適于六年級程度）解：把這項工程的工作總量看作1。甲隊單獨做24天完成，做1天完成這項工程的占；乙隊單獨做16天

11、完成，做1天完成這項工程的5。甲、乙2416兩隊合做1天，完成這項工程的合 二）二。工作總量1中包含多少個!，24 lo 4X4X甲、乙兩隊合做完成這項工程就需要多少天。二1 ;483 千=”（天）答略。2、一項工程，由甲工程隊修建需要20天，由乙工程隊修建需要30天。甲、乙兩隊合做多少天能完成全工程的9?（適于六年級程度）解：把這項工程的工作總量看作1,由甲工程隊修建需要20天，知甲工鄙一天完成這項工程的J ;由乙工程隊修建需要30天，知乙工程隊一天完 乙V蟋項工程的，甲、乙兩個工程隊共同修建一天，完成這項工程的 3113：中含有多少個高+為 甲、乙合作完成這項工程的彳就需要多少天。3 11

12、4 、20 3 H _ 3,342 =4 "60"3 1 =-r 一4 12=9（天）3、一項工程，甲、乙合做5天可以完成，中單獨做15天可以完成。乙單 獨做多少天可以完成？（適于六年級程度）解：把這項工程的工作量看作1。甲、乙合做5天可以完成，甲、乙合做一天完成這項工程的g。甲單獨做15天可以完成，甲做一天完成這項工程的白。從甲、乙的工作效率之和;減去甲的工作效率可求出乙的工作效率工作總量1中包含多少個乙的工作效率，乙單獨做這項工程就需要多長的時間。= 7.5 （天）答：乙單獨做7.5天可以完成。例2.1 ： 一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成?，F在甲先做了3

13、天，余下的工作由乙繼續(xù)完成，乙需要做幾天可以完成全部工作？解一：把這件工作看作1,中每天可完成這件工作的九分之一，做3天完成的l/3o乙每天可完成這件工作的六分之一，（1-1/3） 7/6=4 （天）答：乙需要做4天可完成全部工作.解二：9與6的最小公倍數是18.設全部工作量是18份.甲每天完成2份，乙每天完成3份.乙完成余下J：作所需時間是（18- 2 x 3） - 3= 4 （天）.解三：甲與乙的工作效率之比是6 : 9= 2 : 3.中做了3天，相當于乙做了2天.乙完成余下工作所需時間是6-2=4 （天）.練習二1、一項工程，甲獨做需15天，乙獨做需12天，現在甲乙合作若干天后，乙再接著

14、做3天，就完成了全部工程，問甲乙合作了多少天？2、一項工程，甲隊單獨做需20天完成，如果甲乙合作12天可以完成，如果乙隊單獨做，多少天可以完成?例3.1 ： 一件工作，甲、乙兩人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲離開了，山乙繼續(xù)做了 40天才完成.如果這件工作由甲或乙單獨完成各需要多少 天？解：共做了6天后,原來，甲做24天，乙做24天，現在，甲做0天，乙做40= (24+16)天.這說明原來甲24天做的工作，可由乙做16天來代替.因此甲的工作效率如果乙獨做，所需時間是50天如果甲獨做，所需時間是75天答：甲或乙獨做所需時間分別是75天和50天.練習三1、甲乙兩人合作生產一批零件，6天可以

15、完成任務，甲先做5天，因有事外出，這時只完成任務的;，如果接下來由乙完成，還需要多少天？2、一批零件，先由20人生產了 10天完成任務的：，余下的工程要提前10天完成，還要增加多少人？3、中乙二人合作一批零件需20天，甲比乙多做了這批零件的1/9,中單獨 做需多少天完成？4、一項工程，中乙兩隊需10天完成，甲乙兩隊合作了幾天，因乙隊有事調離，由甲隊乂干了 8天，乂知甲隊獨做需20天完成，問甲、乙兩隊合干了多少 天？例4.1： 一件工程，甲隊單獨做10天完成，乙隊單獨做30天完成.現在兩隊合作，其間甲隊休息了2天，乙隊休息了8天（不存在兩隊同一天休息）.問開始 到完工共用了多少天時間？解一：甲隊

16、單獨做8天，乙隊單獨做2天，共完成工作量余下的工作量是兩隊共同合作的，需要的天數是2 + 8+ 1= 11 （天）.答：從開始到完工共用了 11天.解二：設全部工作量為30份.中每天完成3份，乙每天完成1份.在中隊單獨做 8天，乙隊單獨做2天之后，還需兩隊合作（30- 3 x 8- lx 2） - （3 + 1） = 1 （天）.解三：甲隊做1天相當于乙隊做3天.在甲隊單獨做8天后，還余下（甲隊）10-8= 2 （天）工作量.相當于乙隊 要做2x3 = 6 （天）.乙隊單獨做2天后，還余下（乙隊）6-2=4 （天）工作量.4=3 + 1,其中3天可由中隊1天完成，因此兩隊只需再合作1天.解四：

17、方法：分休合想（題中說甲乙兩隊沒有在一起休息，我們就假設他們在 一起休息.）甲隊每天工作量為1/10,乙為1/30,因為甲休息了2天，而乙休息 了8天，因為8>2,所以我們假設甲休息兩天時，乙也在休息。那么甲開始工作 時，乙還要休息：8-2 = 6（天）那么這6天內甲獨自完成了這項工程的 1/10x6=6/10,剩下的工作量為1-6/10=4/10,而這剩下的4/10為甲乙兩人一起 合作完成的工程量，所以，工程量的4/10需要甲乙合作： （4/10）X1/10+1/30）=3天。所以從開始到完工共需：8 + 3 = 11（天）例4.2： 一項工程，甲隊單獨做20天完成，乙隊單獨做30天完

18、成.現在他們 兩隊一起做，其間中隊休息了3天，乙隊休息了若干天.從開始到完成共用了 16天. 問乙隊休息了多少天？解一：如果16天兩隊都不休息，可以完成的工作量是 （1-20） xl6+ （1+30） x6=4/3由于兩隊休息期間未做的工作量是4/3-1 = 1/3乙隊休息期間未做的工作量是1/3-1/20x3=11/60乙隊休息的天數是11/60-（1/30）=11/2答：乙隊休息了5天半.解二：設全部工作量為60份.甲每天完成3份，乙每天完成2份.兩隊休息期間未做的工作量是（3 + 2） xl6- 60= 20 （份）.因此乙休息天數是（20- 3 x 3） 2= 5.5 （天）.解三：甲

19、隊做2天，相當于乙隊做3天.甲隊休息3天，相當于乙隊休息4.5天.如果中隊16天都不休息，只余下甲隊4天工作量，相當于乙隊6天工作量，乙 休息天數是16-6-4.5 = 5.5 （天）.練習四1、一件工程，甲隊單獨做10天完成，乙隊單獨做30天完成.現在兩隊合作,其間甲隊休息了 2天，乙隊休息了 8天（不存在兩隊同一天休息）.問開始到完 工共用了多少天時間？2、加工一批零件，甲單獨做20天完成，乙單獨做30天完成，現在兩人合 作完成，中間甲休息了 2.5天，乙休息了若干天（兩人沒有同事休息一天），這 樣共用14天完工，問乙休息了多少天？3、一件工作，甲單獨做需要12天完成，乙單獨做需要10天完

20、成，現在中乙合作8天完成任務，已知這段時間甲休息了 2天看，那么乙休息了多少天？4、一項工程，甲單獨做需要12天完成，乙單獨做需要8天完成，現在兩人合作，中途休息了 2天，乙沒有休息，完成這件工程共用了多少天？例題5 一項工程，甲、乙兩隊合作15天完成，若甲隊做5天，乙隊做3天，只能完成工程的白，乙隊單獨完成全部工程需要幾天？【思路導航】此題已知中、乙兩隊的工作效率和是，只要求出中隊貨乙 隊的工作效率，則問題可解，然而這正是本題的難點，用“組合法”將中隊獨做255天，乙隊獨做3天，組合成甲、乙兩隊合作了 3天后，甲隊獨做2天來考慮,就可以求出中隊2天的工作量/X3=，從而求出中隊的工作效率。所

21、以71元一隹 義3）+（5 3）】=20 （天）答：乙隊單獨完成全部工程需要20天。練習五1、 師、徒二人合做一批零件，12天可以完成。師傅先做了 3天,3因事外出，由徒弟接著做1天，共完成任務的n。如果這批零件由師傅單獨做，多少天可以完成？52、 某項工程，甲、乙合做1天完成全部工程的R o如果這項工程13由中隊獨做2天,再由乙隊獨做3天，能完成全部工程的有。甲、乙兩 隊單獨完成這項工程各需多少天？3、 甲、乙兩隊合做，20天可完成一項工程。先由甲隊獨做8天,8再由乙隊獨做12天，還剩這項工程的西o甲、乙兩隊獨做各需兒天完成?例題6一項工程，甲隊獨做12天可以完成。甲隊先做了 3天，再由乙隊

22、做2天， 則能完成這項工程的;o現在甲、乙兩隊合做若干天后，再由乙隊單獨做。做 完后發(fā)現兩段所用時間相等。求兩段一共用了幾天？【思路導航】此題很容易先求乙隊的工作效率是：（；一看X3） ；再由條件“做完后發(fā)現兩段所用時間相等”的題意,O可組合成由兩個乙隊和一個中隊合做需若干天完成，即可求出相等 的時間。（1） 乙隊每天完成這項工程的111（2 一萬 乂3） +2下（2） 兩段時間一共是1114- （- X 2+7Z ） X2 = 6 （天） OI C答：兩段時間一共是6天。練習六1、一項工程，甲隊獨做15天完成。若甲隊先做5天，乙隊再做4天能8完成這項工程的正o現由甲、乙兩隊合做若干天后，再由

23、乙隊單獨做。做 完后發(fā)現，兩段時間相等。這兩段時間一共是幾天？2、一項工程，中、乙合做8天完成。如果先讓甲獨做6天，再由乙獨做，完成任務時發(fā)現乙比甲多了 3天。乙獨做這項工程要幾天完成？3、某工作，甲單獨做要12天，乙單獨做要18天，丙單獨做要24天。這件工作先由甲做了若干天，再由乙接著做；乙做的天數是甲3倍，再由丙 接著做，丙做的天數是乙的2倍。終于完成了這一工作。問總共用了多少天？（二人多人的工程問題例1. 一件工作，甲、乙兩人合作36天完成，乙、丙兩人合作45天完成, 甲、丙兩人合作要60天完成，問中一人獨做需要多少天完成?缶7, 111、01解：(十 + )+ 2 =36 45 603

24、01-2-(-) = 90 (天)30 45JX 天 /< 60=XI/ ±60 1一30 zf天 zfv 80 1=x)z1361獷(X答：獨做完成，甲需90天，乙需60天，丙需180天?！窘馕觥看祟}有別與以上3題，是要對工作效率更深刻的理解，尋找數學量之間的關 系。1、有一項工程，甲隊獨做需8天，乙隊獨做需10天，丙隊獨做需20天，現在由丙隊先獨做9天后，再由甲乙合作，問再需多少天可以完成？2、一項工程，甲乙兩人合作8天完成，乙丙兩人合作9天完成，中丙兩人合作18天完成，如果丙一人來做，完成這項工程需要多少天？3、一項工程，甲乙兩人合作8天完成，乙丙兩人合作6天完成，丙丁兩

25、人合作12天完成，那么中丁兩人合作多少天可以完成？4、一項工程，甲乙兩人合作6天完成，乙丙兩人合作9天完成，甲丙兩人合作15天完成，現在甲乙丙三人合作需多少天？5、生產一批零件，甲乙兩人合作12小時完成，乙丙兩人合作15小時完成,甲丙兩人合作20小時完成，現在中乙丙三人合作需多少小時？6、某工程如果由甲乙丙合作18天完成，有乙丙丁隊合作15天完成，由甲 乙丁隊合作12天完成，有甲丙丁隊合作20天完成，由中隊單獨做需要多少天 完成？例題2。一項工作，甲、乙、丙3人合做6小時可以完成。如果甲工作6小時 后，乙、丙合做2小時，可以完成這項工作的| ；如果甲、乙合做3小時后， 丙做6小時，也可以完成這

26、項工作的|。如果由中、丙合做，需兒小時完成？【思路導航】將條件“甲工作6小時后，乙、丙合做2小時, 可以完成這項工作的("組合成“甲工作4小時，甲、乙、丙合2做2小時可以完成這項工作的可”，則求出中的工作效率。同理，運用“組合法”再求出丙的工作效率。甲每小時完成這項工程的幾分之兒2 11(T 7 X 2 ) 4- ( 6 - 2 ) =7Z3 6Id內每小時完成這項工程的幾分之幾211(£ -7 X 3 ) 4- (6 - 3 )=而 oIO甲、丙合做需完成的時間為：1+ (77 +77)=71(小時)IC I O答：甲、丙合做完成需要/小時。練習二1、 一項工作，甲、乙、丙三人合做，4小時可以完成。如果甲做4小時后，乙、丙合做2小時，可以完成這項工作的3 ；如果甲、乙合做2 I O小時后，丙再做4小時，可以完成這項工作的o這項工作如果由甲、丙 I O合做需兒小時完成？2、 一項工程，甲、乙合做6天可以完成，乙、丙合做10天可以完成?，F在先由甲、乙、丙合做3天后，余下的乙再做6天則可以完成。乙 獨做這項工程要幾天就可以完成？3、 一項工程，甲、乙兩隊合做10天完成，乙、丙兩隊合做8天完 成。現在甲、乙、丙三隊合做4天后，余下的工程由乙隊獨做5；天完成。 乙隊單獨做這項工程需多少天可以完成？4、 一件工作，甲、乙合做4小時完成，乙、丙合做5小時完成?，F