齒輪減速器的優(yōu)化設(shè)計(jì)

1、齒輪減速器的優(yōu)化設(shè)計(jì)南昌航空大學(xué) 機(jī)械工程專業(yè) 苑曉帥 齒輪傳動(dòng)是現(xiàn)代機(jī)械中應(yīng)用最廣的一種傳動(dòng)形式。它的主要優(yōu)點(diǎn)是： 瞬時(shí)傳動(dòng)比恒定、工作平穩(wěn)、傳動(dòng)準(zhǔn)確可靠可傳遞空間任意兩軸之間的運(yùn)動(dòng)和動(dòng)力； 適用的功率和速度范圍廣； 傳動(dòng)效率高，； 工作可靠、使用壽命長； 外輪廓尺寸小、結(jié)構(gòu)緊湊。由齒輪、軸、軸承及箱體組成的齒輪減速器,用于原動(dòng)機(jī)和工作機(jī)或執(zhí)行機(jī)構(gòu)之間,起匹配轉(zhuǎn)速和傳遞轉(zhuǎn)矩的作用,在現(xiàn)代機(jī)械中應(yīng)用極為廣泛。國內(nèi)的減速器多以齒輪傳動(dòng)、蝸桿傳動(dòng)為主，但普遍存在著功率與重量比小，或者傳動(dòng)比大而機(jī)械效率過低的問題。另外，材料品質(zhì)和工藝水平上還有許多弱點(diǎn)，特別是大型的減速器問題更突出，使用壽命不長。國

2、外的減速器，以德國、丹麥和日本處于領(lǐng)先地位，特別在材料和制造工藝方面占據(jù)優(yōu)勢，減速器工作可靠性好，使用壽命長。但其傳動(dòng)形式仍以定軸齒輪傳動(dòng)為主，體積和重量問題，也未解決好。當(dāng)今的減速器是向著大功率、大傳動(dòng)比、小體積、高機(jī)械效率以及使用壽命長的方向發(fā)展。減速器與電動(dòng)機(jī)的連體結(jié)構(gòu)，也是大力開拓的形式，并已生產(chǎn)多種結(jié)構(gòu)形式和多種功率型號(hào)的產(chǎn)品。近十幾年來,由于近代計(jì)算機(jī)技術(shù)與數(shù)控技術(shù)的發(fā)展，使得機(jī)械加工精度，加工效率大大提高，從而推動(dòng)了機(jī)械傳動(dòng)產(chǎn)品的多樣化，整機(jī)配套的模塊化，標(biāo)準(zhǔn)化，以及造型設(shè)計(jì)藝術(shù)化，使產(chǎn)品更加精致，美觀化。針對減速器存在的問題，本課題采用優(yōu)化設(shè)計(jì)的方法，力求使減速器的體積達(dá)到最小

3、，建立數(shù)學(xué)模型，并通過matlab語言編輯后，得到一組優(yōu)化數(shù)據(jù)，到達(dá)預(yù)期目標(biāo)，使減速器的體積比傳統(tǒng)的經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)結(jié)果減小20%-30%。 關(guān)鍵字：減速器 1 優(yōu)化設(shè)計(jì)1.1 原始數(shù)據(jù)及優(yōu)化目標(biāo)1、原始數(shù)據(jù)：高速軸輸入功率P1=44kW，高速軸轉(zhuǎn)速n1=1440r/min，用電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)，長期工作，載荷有中等沖擊，總傳動(dòng)比i=20，高速級和低速級齒輪的齒寬系數(shù)分別為和，高速級和低速級上小齒輪比大齒輪分別寬和，高速級與低速級的齒輪傳動(dòng)誤差分別為和，大齒輪用20Cr滲碳淬火，齒面硬度為59HRC，小齒輪用20CrMnTi滲碳淬火，齒面硬度為59HRC，材料密度為。2、優(yōu)化目標(biāo)：設(shè)計(jì)二級斜齒圓柱齒輪減速器，

4、要求在滿足強(qiáng)度、剛度和壽命等條件下，使體積小。1.2優(yōu)化方案的選擇 優(yōu)化方法可以選用多目標(biāo)優(yōu)化方法，也可以采用單目標(biāo)優(yōu)化方法,多目標(biāo)優(yōu)化方法的特點(diǎn)是，在約束條件下，各個(gè)目標(biāo)函數(shù)不是被同等的采用，而是按不同的優(yōu)先層次先后的進(jìn)行優(yōu)化。由于這類問題要同時(shí)考慮多個(gè)指標(biāo)，而且有時(shí)會(huì)碰到多個(gè)定性指標(biāo)，且有時(shí)難于判斷說哪個(gè)決策好。這就造成多目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化問題的特殊性。多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題要求各分量目標(biāo)都達(dá)到最優(yōu)，如能獲得這樣的結(jié)果，當(dāng)然是十分理想的。但是一般比較困難，尤其是各個(gè)目標(biāo)的優(yōu)化互相矛盾時(shí)更是如此，例如本課題的體積小和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量大的要求互相矛盾。所以解決多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題也是一個(gè)復(fù)雜的問題，比起單目標(biāo)優(yōu)化

5、設(shè)計(jì)問題來，在理論上和計(jì)算方法上都還不夠完善，也不夠系統(tǒng)，多目標(biāo)優(yōu)化問題與單目標(biāo)優(yōu)化問題還有一個(gè)本質(zhì)的不同點(diǎn)：多目標(biāo)優(yōu)化是一個(gè)向量函數(shù)的優(yōu)化，即函數(shù)值大小的比較，而向量函數(shù)值大小的比較，要比標(biāo)量值大小的比較復(fù)雜。在單目標(biāo)優(yōu)化問題中，任何兩個(gè)解都可以比較其優(yōu)劣，因此是完全有序的?？墒菍τ诙嗄繕?biāo)優(yōu)化問題，任何兩個(gè)解不一定都可以比出其優(yōu)劣，因此只能是半有序的。單目標(biāo)優(yōu)化方法可以選擇設(shè)計(jì)目標(biāo)中的最重要因素作為優(yōu)化目標(biāo)而達(dá)到最優(yōu),基于此，本課題采用單目標(biāo)優(yōu)化方法。按照優(yōu)化目標(biāo)要求，取體積最小作為最終優(yōu)化目標(biāo)，它可以歸結(jié)為使減速器的總中心矩a為最小。1.3數(shù)學(xué)模型的建立1 變量的選取 一個(gè)設(shè)計(jì)方案可以用一

6、組基本參數(shù)的數(shù)值來表示.這些基本參數(shù)可以是構(gòu)件長度,截面尺寸,某些點(diǎn)的坐標(biāo)值等幾何量,也可以是重量,慣性矩力等物理量,還可以是應(yīng)力,變形,固有頻率,效率等代表工作性能的導(dǎo)出量。但是，對一個(gè)具體的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，并不是要求對所有的基本參都用優(yōu)化方法進(jìn)行調(diào)整。例如，對某個(gè)機(jī)械結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，一些工藝，結(jié)構(gòu)布置等方面的參數(shù)，或者某些工作性能的參數(shù)，可以根據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn)預(yù)先取為定值。這樣，對這個(gè)設(shè)計(jì)方案來說，它們就成為設(shè)計(jì)常數(shù)。而除此之外的基本參數(shù)，則需要在優(yōu)化設(shè)計(jì)過程中不斷進(jìn)行修改，調(diào)整，一直處于變化的狀態(tài)，這些基本參數(shù)稱為設(shè)計(jì)變量，又叫做優(yōu)化參數(shù)。 二級斜齒圓柱齒輪減速器由兩對斜齒圓柱齒輪傳動(dòng)共四個(gè)

7、齒輪組成，它們的齒數(shù)分別為相應(yīng)的齒數(shù)比分別為,和,兩組傳動(dòng)齒輪的法向模數(shù)分別設(shè)為Mn1和Mn2；齒輪的螺旋叫角為。這里都是設(shè)計(jì)參數(shù)，但由于設(shè)計(jì)時(shí)已給定總傳動(dòng)比i，且有所以從而四個(gè)齒輪的齒數(shù)只要能確定兩個(gè)即可，定兩個(gè)小齒輪的齒數(shù)Z1和Z3位設(shè)計(jì)變量，因此這個(gè)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的獨(dú)立設(shè)計(jì)變量為:六個(gè)。2 目標(biāo)函數(shù) 在所有的可行設(shè)計(jì)中，有些設(shè)計(jì)比另一些要“好些”，如果確實(shí)是這樣，則“較好”的設(shè)計(jì)比“較差”的設(shè)計(jì)必定具備某些更好的性質(zhì)。倘若這種性質(zhì)可以表示為設(shè)計(jì)變量的一個(gè)可計(jì)算函數(shù)，則我們可以考慮優(yōu)化這個(gè)函數(shù)，以得到更好的設(shè)計(jì)。這個(gè)用來使設(shè)計(jì)得以優(yōu)化的函數(shù)稱作目標(biāo)函數(shù)。用它可以評價(jià)設(shè)計(jì)方案的好壞，所以它又被

8、稱作評價(jià)函數(shù)，計(jì)作f(x),用以強(qiáng)調(diào)它對設(shè)計(jì)變量的依賴性。 上面提到，本課題的優(yōu)化目標(biāo)選為體積最小，并歸結(jié)為使減速器的總中心距a最小，寫成 (1-1) 3 約束函數(shù) 設(shè)計(jì)空間是所有設(shè)計(jì)方案的集合，但這些設(shè)計(jì)方案有些是工程上所不能接受的。如果一個(gè)設(shè)計(jì)滿足所有對它提出的要求，就稱為可行設(shè)計(jì)，反之則稱為不可行設(shè)計(jì)。一個(gè)可行設(shè)計(jì)必須滿足某些設(shè)計(jì)限制條件，這些限制條件稱為約束條件。在工程問題中，根據(jù)約束的性質(zhì)可以把它們區(qū)分成性能約束和側(cè)面約束兩大類，針對性能要求而提出的限制條件稱作性能約束，不針對性能要求，只是對設(shè)計(jì)變量的取值范圍加以限制的約束稱作側(cè)面約束，也稱作邊界約束。 本課題保證總中心距a為最小時(shí)

9、應(yīng)滿足的條件是本優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的約束條件，性能約束有：齒面的接觸強(qiáng)度和齒根的彎曲強(qiáng)度以及中間軸上的大齒輪不與低速軸發(fā)生干涉。 (1) 齒面接觸強(qiáng)度計(jì)算給出 (1-2)和 (1-3)式中-需用接觸應(yīng)力；高速軸的轉(zhuǎn)矩；中間軸的轉(zhuǎn)矩；載荷系數(shù)； -尺寬系數(shù)。（2）齒根彎曲強(qiáng)度計(jì)算給出 高速級小大齒輪的齒根彎曲強(qiáng)度條件為 (1-4) (1-5) 低速級小大齒輪的齒根彎曲強(qiáng)度條件為 (1-6) (1-7)式中 ，分別是齒輪的許用彎曲應(yīng)力；分別是齒輪的齒形系數(shù)。（3）根據(jù)不干涉條件 (1-8)邊界約束條件有： （1）不跟切條件 (1-9) (1-10) （2） 動(dòng)力傳動(dòng)模數(shù) (1-11) (1-12)(3)

10、 圓柱齒輪傳動(dòng)比 (1-13)4 標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)模型 將以上物理模型轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)模型 (1) 設(shè)計(jì)變量 (1-14) (2)目標(biāo)函數(shù) (1-15)(3)約束函數(shù) st （高速級齒輪接觸強(qiáng)度條件） (1-16)（低速級齒輪接觸強(qiáng)度條件） (1-17)（高速級小齒輪彎曲強(qiáng)度條件） (1-18)（高速級大齒輪彎曲強(qiáng)度條件(1-19) （低速級小齒輪彎曲強(qiáng)度條件）(1-20) （低速級大齒輪彎曲強(qiáng)度條件）(1-21)（大齒輪與軸不干涉條件） (1-22)（高速級齒輪副模數(shù)的下限） (1-23)（高速級齒輪副模數(shù)的上限） (1-24)（低速級齒輪副模數(shù)的下限） (1-25)（低速級齒輪副模數(shù)的上限） (1-

11、26)（高速級小齒輪齒數(shù)的下限） (1-27)（高速級小齒輪齒數(shù)的上限） (1-28)（低速級小齒輪齒數(shù)的下限） (1-29)（低速級小齒輪齒數(shù)的上限） (1-30)（高速級傳動(dòng)比的下限） (1-31)（高速級傳動(dòng)比的上限） (1-32)（齒輪副螺旋角的下限） (1-33)（齒輪副螺旋角的上限） (1-34)1.4算法的選取與建立 由目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)的形式知選擇外點(diǎn)懲罰函數(shù)進(jìn)行計(jì)算較為合理。懲罰函數(shù)法是一種使用很廣泛，很有效的間接算法。它的基本原理是將約束優(yōu)化問題中的不等式和等式約束函數(shù)經(jīng)過加權(quán)轉(zhuǎn)化后，和原目標(biāo)函數(shù)結(jié)合成新的目標(biāo)函數(shù)-懲罰函數(shù)，求解該新目標(biāo)函數(shù)的無約束極小值，以期得到原問題的

12、約束最優(yōu)解。為此，按一定的法則改變加權(quán)因子的值，構(gòu)成一系列的無約束優(yōu)化問題，求得一系列的無約束最優(yōu)解，并不斷地逼近原約束優(yōu)化問題的最優(yōu)解。外點(diǎn)懲罰函數(shù)法簡稱外點(diǎn)法，新目標(biāo)函數(shù)定義在可行域之外，序列迭代點(diǎn)從可行域之外逐漸逼近約束邊界上的最優(yōu)點(diǎn)。外點(diǎn)法可以用來求解含不等式和等式約束的優(yōu)化問題。算法方框圖如圖1： 圖11.5 matlab語言程序編輯1 Matlab 簡介 在科學(xué)研究和工程應(yīng)用中，往往要進(jìn)行大量的數(shù)學(xué)計(jì)算，其中包括矩陣運(yùn)算。這些運(yùn)算一般來說難以用手工精確和快捷地進(jìn)行，而要借助計(jì)算機(jī)編制相應(yīng)的程序做近似計(jì)算。美國Mathwork公司于1967年推出了“Matrix Laboratory

13、”（縮寫為Matlab）軟件包，并不斷更新和擴(kuò)充。目前最新的5.x版本（windows環(huán)境）是一種功能強(qiáng)、效率高便于進(jìn)行科學(xué)和工程計(jì)算的交互式軟件包。其中包括：一般數(shù)值分析、矩陣運(yùn)算、數(shù)字信號(hào)處理、建模和系統(tǒng)控制和優(yōu)化等應(yīng)用程序，并集應(yīng)用程序和圖形于一便于使用的集成環(huán)境中。在此環(huán)境下所解問題的Matlab語言表述形式和其數(shù)學(xué)表達(dá)形式相同，不需要按傳統(tǒng)的方法編程。不過，Matlab作為一種新的計(jì)算機(jī)語言，要想運(yùn)用自如，充分發(fā)揮它的威力，也需先系統(tǒng)地學(xué)習(xí)它。但由于使用Matlab編程運(yùn)算與人進(jìn)行科學(xué)計(jì)算的思路和表達(dá)方式完全一致，所以不象學(xué)習(xí)其它高級語言-如Basic、Fortran和C等那樣難于掌

14、握。實(shí)踐證明，你可在幾十分鐘的時(shí)間內(nèi)學(xué)會(huì)Matlab的基礎(chǔ)知識(shí)，在短短幾個(gè)小時(shí)的使用中就能初步掌握它.從而使你能夠進(jìn)行高效率和富有創(chuàng)造性的計(jì)算。 Matlab大大降低了對使用者的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和計(jì)算機(jī)語言知識(shí)的要求，而且編程效率和計(jì)算效率極高，還可在計(jì)算機(jī)上直接輸出結(jié)果和精美的圖形拷貝，所以它的確為一高效的科研助手。自推出后即風(fēng)行美國，流傳世界。 綜上所述，Matlab語言有如下特點(diǎn)：1編程效率高 2用戶使用方便 3擴(kuò)充能力強(qiáng) 4語句簡單，內(nèi)涵豐富 5高效方便的矩陣和數(shù)組運(yùn)算 6方便的繪圖功能2 matlab編程 本課題調(diào)用函數(shù)為多維約束優(yōu)化命令fmincon,及子函數(shù)目標(biāo)函數(shù)jsqyh_f和非線性

15、約束函數(shù)jsqyh_g.fmincon函數(shù)的基本形式為x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon，options)其中fun為你要求最小值的函數(shù)，可以單寫一個(gè)文件設(shè)置函數(shù)。（1）.如果fun中有N個(gè)變量，如x y z, 或者是X1, X2,X3, 什么的，自己排順序，在fun中統(tǒng)一都是用x(1),x(2）.x(n) 表示的。（2）. x0, 表示初始的猜測值，大小要與變量數(shù)目相同(3). A b 為線性不等約束，A*x = b， A應(yīng)為n*n階矩陣，學(xué)過線性代數(shù)應(yīng)不難寫出A和b(4) Aeq beq為線性相等約束，Aeq*x = beq。 Aeq

16、beq同上可求(5) lb ub為變量的上下邊界， 正負(fù)無窮用 -Inf和Inf表示， lb ub應(yīng)為N階數(shù)組(6) nonlcon 為非線性約束，可分為兩部分，非線性不等約束 c，非線性相等約束ceq 。程序如下編制優(yōu)化設(shè)計(jì)的M 文件（main.m） % 1-減速器中心距優(yōu)化設(shè)計(jì)主程序% 設(shè)計(jì)變量的初始值x0=3;19;5;19;5;14; % 設(shè)計(jì)變量的下界與上界lb=2;14;2;14;3;8; ub=6;22;6;22;6;20; % 使用多維約束優(yōu)化命令fmincon(調(diào)用目標(biāo)函數(shù)jsqyh_f 和非線性約束函數(shù)jsqyh_g) % 不定義線性不等式約束中設(shè)計(jì)變量的系數(shù)矩陣a=和常數(shù)

17、項(xiàng)向量b= % 沒有等式約束,則參數(shù)：系數(shù)矩陣Aeq=和常數(shù)項(xiàng)向量beq= x,fn=fmincon(jsqyh_f,x0,lb,ub,jsqyh_g); disp * 兩級斜齒輪傳動(dòng)中心距優(yōu)化設(shè)計(jì)最優(yōu)解 * fprintf (1, 高速級齒輪副模數(shù) Mn1 = %3.4f mm n,x(1) fprintf (1, 低速級齒輪副模數(shù) Mn2 = %3.4f mm n,x(3) fprintf (1, 高速級小齒輪齒數(shù) z1 = %3.4f n,x(2) fprintf (1, 低速級小齒輪齒數(shù) z3 = %3.4f n,x(4) fprintf (1, 高速級齒輪副傳動(dòng)比 i1 = %3.4

18、f n,x(5) fprintf (1, 齒輪副螺旋角 beta = %3.4f 度 n,x(6) fprintf (1, 減速器總中心距 a12 = %3.4f mm n,fn) % 調(diào)用多維約束優(yōu)化非線性約束函數(shù)(jsqyh_g)計(jì)算最優(yōu)點(diǎn)x*的性能約束函數(shù)值g=jsqyh_g(x); disp = 最優(yōu)點(diǎn)的性能約束函數(shù)值 = fprintf (1, 高速級齒輪副接觸疲勞強(qiáng)度約束函數(shù)值 g1 = %3.4f n,g(1) fprintf (1, 低速級齒輪副接觸疲勞強(qiáng)度約束函數(shù)值 g2 = %3.4f n,g(2) fprintf (1, 高速級小齒輪齒根彎曲強(qiáng)度約束函數(shù)值 g3 = %3

19、.4f n,g(3) fprintf (1, 高速級大齒輪齒根彎曲強(qiáng)度約束函數(shù)值 g4 = %3.4f n,g(4) fprintf (1, 低速級小齒輪齒根彎曲強(qiáng)度約束函數(shù)值 g5 = %3.4f n,g(4) fprintf (1, 低速級大齒輪齒根彎曲強(qiáng)度約束函數(shù)值 g6 = %3.4f n,g(4) fprintf (1, 大齒輪齒頂與軸不干涉幾何約束函數(shù)值 g7 = %3.4f n,g(5) （jsqyh_f.m） % 2-兩級斜齒輪減速器總中心距的目標(biāo)函數(shù)(jsqyh_f) function f=jsqyh_f(x); hd=pi/180; a1=x(1)*x(2)*(1+x(5)

20、; % 3-兩級斜齒輪減速器優(yōu)化設(shè)計(jì)的非線性不等式約束函數(shù)(jsqyh_g) function g,ceq=jsqyh_g(x); hd=pi/180; g(1)=cos(x(6)*hd)3-3.4e-8*x(1)3*x(2)3*x(5); g(2)=x(5)2*cos(x(6)*hd)3-834e-7*x(3)3*x(4)3; g(3)=cos(x(6)*hd)2-3e-4*(1+x(5)*x(1)3*x(2)2; g(4)=cos(x(6)*hd)2-2.39e-4*(1+x(5)*x(1)3*x(2)2; g(5)=x(5)2.*cos(x(6)*hd)2-3.67e-4*(20+x(5)*x(3)3*x(4)2;g(6)=x(5)cos(x(6)*hd)2-2.9e-4*(1+20/x(5)*x(3)3*x(4)2; g(7