高等數(shù)學(xué)求極限的14種方法

1、高等數(shù)學(xué)求極限的14種方法一、極限的定義1.極限的保號性很重要：設(shè)，（1）若A，則有，使得當(dāng)時，；（2）若有使得當(dāng)時，。2. 極限分為函數(shù)極限、數(shù)列極限，其中函數(shù)極限又分為時函數(shù)的極限和的極限。要特別注意判定極限是否存在在：（1）數(shù)列是它的所有子數(shù)列均收斂于a。常用的是其推論，即“一個數(shù)列收斂于a的充要條件是其奇子列和偶子列都收斂于a”（2）(3) (4) 單調(diào)有界準(zhǔn)則（5）兩邊夾擠準(zhǔn) （夾逼定理/夾逼原理） (6) 柯西收斂準(zhǔn)則（不需要掌握）。極限存在的充分必要條件。是：二解決極限的方法如下：1.等價無窮小代換。只能在乘除時候使用。例題略。2.洛必達(dá)（Lhospital）法則（大題目有時候會

2、有暗示要你使用這個方法）   它的使用有嚴(yán)格的使用前提。首先必須是X趨近，而不是N趨近，所以面對數(shù)列極限時候先要轉(zhuǎn)化成求x趨近情況下的極限，數(shù)列極限的n當(dāng)然是趨近于正無窮的，不可能是負(fù)無窮。其次,必須是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要存在，假如告訴f（x）、g（x）,沒告訴是否可導(dǎo)，不可直接用洛必達(dá)法則。另外，必須是“0比0”或“無窮大比無窮大”,并且注意導(dǎo)數(shù)分母不能為0。洛必達(dá)法則分為3種情況：（1）“”“”時候直接用(2)“”“”，應(yīng)為無窮大和無窮小成倒數(shù)的關(guān)系，所以無窮大都寫成了無窮小的倒數(shù)形式了。通項之后，就能變成(i)中的形式了。即；(3)“”“”“”對于冪指函數(shù),方法主要是取指數(shù)還

3、取對數(shù)的方法，即，這樣就能把冪上的函數(shù)移下來了，變成“”型未定式。3.泰勒公式(含有的時候，含有正余弦的加減的時候）   ； cos=ln（1+x）=x-(1+x)=以上公式對題目簡化有很好幫助4.兩多項式相除:設(shè)，P（x）=, (1)（2）若，則5.無窮小與有界函數(shù)的處理辦法。例題略。面對復(fù)雜函數(shù)時候，尤其是正余弦的復(fù)雜函數(shù)與其他函數(shù)相乘的時候，一定要注意這個方法。面對非常復(fù)雜的函數(shù)可能只需要知道它的范圍結(jié)果就出來了。6.夾逼定理：主要是應(yīng)用于數(shù)列極限，常應(yīng)用放縮和擴大不等式的技巧。以下面幾個題目為例：（1）設(shè)，求 解：由于，由夾逼定理可知 （2）求 解：由，以及可知，原

4、式=0 (3)求解：由,以及得，原式=17.數(shù)列極限中等比等差數(shù)列公式應(yīng)用（等比數(shù)列的公比q絕對值要小于1）。例如： 求 。提示：先利用錯位相減得方法對括號內(nèi)的式子求和。8.數(shù)列極限中各項的拆分相加（可以使用待定系數(shù)法來拆分化簡數(shù)列）。例如： =9.利用極限相同求極限。例如： （1）已知，且已知存在，求該極限值。 解:設(shè)=A，（顯然A）則，即，解得結(jié)果并舍去負(fù)值得A=1+ （2）利用單調(diào)有界的性質(zhì)。利用這種方法時一定要先證明單調(diào)性和有界性。例如 設(shè) 解：（i）顯然（ii）假設(shè)則，即。所以，是單調(diào)遞增數(shù)列，且有上界，收斂。設(shè)，（顯然則，即。解方程并舍去負(fù)值得A=2.即 10.兩個重要極限的應(yīng)用。  （1） 常用語含三角函數(shù)的“” 型未定式(2)，在“”型未定式中常用11.還有個非常方便的方法就是當(dāng)趨近于無窮大時候不同函數(shù)趨近于無窮的速度是不一樣的，快于n！,n！快于指數(shù)型函數(shù)(b為常數(shù))，指數(shù)函數(shù)快于冪函數(shù),冪函數(shù)快于對數(shù)函數(shù)。當(dāng)x趨近無窮的時候，它們比值的極限就可一眼看出。12.換元法。這是一種技巧，對一道題目而言，不一定就只需要換元，但是換元會夾雜其中。例如：求極限。解：設(shè)。原式=13利用定積分求數(shù)列極限。例如：求極限。由于，所以14.利用導(dǎo)數(shù)的定義求“”型未定式極限。一般都是x0時候，分子上是“”的