高中數(shù)學導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 111 平均變化率習題 蘇教版選修22

1、1.1.1平均變化率明目標、知重點1.理解并掌握平均變化率的概念.2.會求函數(shù)在指定區(qū)間上的平均變化率.3.能利用平均變化率解決或說明生活中的實際問題1平均變化率一般地，函數(shù)f(x)在區(qū)間x1，x2上的平均變化率為.2曲線陡峭程度平均變化率是曲線陡峭程度的“數(shù)量化”，曲線陡峭程度是平均變化率的“視覺化”情境導(dǎo)學某市2013年5月30日最高氣溫是33.4，而此前的兩天5月29日和5月28日最高氣溫分別是24.4和18.6，短短兩天時間，氣溫“陡增”14.8，悶熱中的人們無不感嘆：“天氣熱得太快了！”但是，如果我們將該市2013年4月28日最高氣溫3.5和5月28日最高氣溫18.6進行比較，可以發(fā)

2、現(xiàn)二者溫差為15.1，甚至超過了14.8，而人們卻不會發(fā)出上述感嘆，這是什么原因呢？顯然，原因是前者變化得“太快”，而后者變化得“緩慢”，那么在數(shù)學中怎樣來刻畫變量變化的快與慢呢？探究點一函數(shù)的平均變化率思考1如何用數(shù)學反映曲線的“陡峭”程度？答如圖，表示A、B之間的曲線和B、C之間的曲線的陡峭程度，可以近似地用直線的斜率來量化如用比值近似量化B、C這一段曲線的陡峭程度，并稱該比值是曲線在xB，xC上的平均變化率思考2什么是平均變化率，平均變化率有何作用？答如果問題中的函數(shù)關(guān)系用yf(x)表示，那么問題中的變化率可用式子表示，我們把這個式子稱為函數(shù)yf(x)從x1到x2的平均變化率，平均變化率

3、可以描述一個函數(shù)在某個范圍內(nèi)變化的快慢例1某嬰兒從出生到第12個月的體重變化如圖所示，試分別計算從出生到第3個月以及第6個月到第12個月該嬰兒體重的平均變化率解從出生到第3個月，嬰兒體重的平均變化率為1(千克/月)，從第6個月到第12個月，嬰兒體重的平均變化率為0.4(千克/月)反思與感悟求函數(shù)f(x)的平均變化率的主要步驟：(1)先計算函數(shù)值的改變量yf(x2)f(x1)；(2)再計算自變量的改變量xx2x1；(3)得平均變化率.跟蹤訓練1如圖是函數(shù)yf(x)的圖象，則(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間1,1上的平均變化率為_；(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間0,2上的平均變化率為_答案(1)(2)解析(1)

4、函數(shù)f(x)在區(qū)間1,1上的平均變化率為.(2)由函數(shù)f(x)的圖象知，f(x).所以函數(shù)f(x)在區(qū)間0,2上的平均變化率為.探究點二求函數(shù)的平均變化率例2已知函數(shù)f(x)x2，分別計算函數(shù)f(x)在下列區(qū)間上的平均變化率；(1)1,3；(2)1,2；(3)1,1.1；(4)1,1.001解(1)函數(shù)f(x)在1,3上的平均變化率為4；(2)函數(shù)f(x)在1,2上的平均變化率為3；(3)函數(shù)f(x)在1,1.1上的平均變化率為2.1；(4)函數(shù)f(x)在1,1.001上的平均變化率為2.001.反思與感悟函數(shù)的平均變化率可以表現(xiàn)出函數(shù)的變化趨勢，自變量的改變量x取值越小，越能準確體現(xiàn)函數(shù)的變

5、化情況跟蹤訓練2分別求函數(shù)f(x)13x在自變量x從0變到1和從m變到n(mn)時的平均變化率解自變量x從0變到1時，函數(shù)f(x)的平均變化率為3；自變量x從m變到n(mn)時，函數(shù)f(x)的平均變化率為3.思考一次函數(shù)ykxb(k0)在區(qū)間m，n上的平均變化率有什么特點？答根據(jù)函數(shù)平均變化率的幾何意義，一次函數(shù)圖象上任意兩點連線的斜率是定值k，即一次函數(shù)的平均變化率是定值探究點三平均變化率的應(yīng)用例3甲、乙兩人走過的路程s1(t)，s2(t)與時間t的關(guān)系如圖，試比較兩人的平均速度哪個大？解由圖象可知s1(t0)s2(t0)，s1(0)>s2(0)，則<，所以在從0到t0這段時間內(nèi)

6、乙的平均速度大反思與感悟平均變化率的絕對值反映函數(shù)在給定區(qū)間上變化的快慢，平均變化率的絕對值越大，函數(shù)在區(qū)間上變化越快；平均變化率的絕對值越小，函數(shù)在區(qū)間上變化越慢跟蹤訓練3甲用5年時間掙到10萬元，乙用5個月時間掙到2萬元，如何比較和評價甲、乙兩人的經(jīng)營成果？解甲賺錢的平均速度為(萬元/月)，乙賺錢的平均速度為(萬元/月)因為乙平均每月賺的錢數(shù)大于甲平均每月賺的錢數(shù)，所以乙的經(jīng)營成果比甲的好1函數(shù)f(x)53x2在區(qū)間1,2上的平均變化率為_答案9解析函數(shù)f(x)53x2在區(qū)間1,2上的平均變化率為9.2一物體的運動方程是s32t，則在2,2.1這段時間內(nèi)的平均速度為_答案23.甲、乙兩廠污

7、水的排放量W與時間t的關(guān)系如圖所示，治污效果較好的是_答案乙解析在t0處，雖然W1(t0)W2(t0)，但是，在t0t處，W1(t0t)<W2(t0t)，即<，所以，在相同時間t內(nèi)，甲廠比乙廠的平均治污率小所以乙廠治污效果較好4已知函數(shù)h(x)4.9x26.5x10.(1)計算從x1到x1x的平均變化率，其中x的值為2；1；0.1；0.01.(2)根據(jù)(1)中的計算，當|x|越來越小時，函數(shù)h(x)在區(qū)間1,1x上的平均變化率有怎樣的變化趨勢？解(1)yh(1x)h(1)4.9(x)23.3x，4.9x3.3.當x2時，4.9x3.313.1；當x1時，4.9x3.38.2；當x0

8、.1時，4.9x3.33.79；當x0.01時，4.9x3.33.349.(2)當|x|越來越小時，函數(shù)f(x)在區(qū)間1,1x上的平均變化率逐漸變大，并接近于3.3.呈重點、現(xiàn)規(guī)律1函數(shù)的平均變化率可以表示函數(shù)值在某個范圍內(nèi)變化的快慢；平均變化率的幾何意義是曲線割線的斜率，在實際問題中表示事物變化的快慢2求函數(shù)f(x)的平均變化率的步驟：(1)求函數(shù)值的增量yf(x2)f(x1)；(2)計算平均變化率.一、基礎(chǔ)過關(guān)1如圖，函數(shù)yf(x)在A，B兩點間的平均變化率為_答案1解析1.2過曲線y2x上兩點(0,1)，(1,2)的直線的斜率為_答案13函數(shù)y1在2,5上的平均變化率是_答案0解析0.4

9、一物體的運動方程是s3t2，則在一小段時間2,2.1內(nèi)相應(yīng)的平均速度為_答案4.1解析4.1.5設(shè)函數(shù)yf(x)x21，當自變量x由1變?yōu)?.1時，函數(shù)的平均變化率為_答案2.1解析2.1.6過曲線yf(x)x21上兩點P(1,2)和Q(1x,2y)作直線，當x0.1時，直線的斜率k_.答案2.1解析y(1x)21(121)2x(x)2，2x，直線斜率為2x，當x0.1時，直線PQ的斜率k20.12.1.7求函數(shù)ysin x在0到之間和到之間的平均變化率，并比較它們的大小解函數(shù)在0到之間的平均變化率為；函數(shù)在到之間的平均變化率為.2<1，>.函數(shù)ysin x在0到之間的平均變化率為

10、，在到之間的平均變化率為，且在0到之間的平均變化率較大二、能力提升8甲、乙二人跑步路程與時間關(guān)系如右圖所示，_跑得快答案乙解析乙跑的快因為在相同的時間內(nèi)，甲跑的路程小于乙跑的路程，即甲的平均速度比乙的平均速度小9將半徑為R的球加熱，若半徑從R1到Rm時球的體積膨脹率為，則m的值為_答案2解析Vm3×13(m31)，.m2m17.m2或m3(舍)m2.10在x1附近，取x0.3，在四個函數(shù)yx，yx2，yx3，y中，平均變化率最大的是_答案解析的平均變化率為1，的平均變化率為2.3，的平均變化率為3.99，的平均變化率約為0.77.故的平均變化率最大11一正方形鐵板在0時，邊長為10

11、cm，加熱后膨脹當溫度為t時，邊長變?yōu)?0(1at) cm，a為常數(shù)，試求鐵板面積在溫度t，tt上的膨脹率解鐵板面積S的增量為S1021a(tt)2102(1at)2200(aa2t)t100a2(t)2，因此200(aa2t)100a2t.所以鐵板面積對溫度的膨脹率為200(aa2t)100a2t.12已知氣球的體積為V(單位：L)與半徑r(單位：dm)之間的函數(shù)關(guān)系是V(r)r3.(1)求半徑r關(guān)于體積V的函數(shù)r(V)；(2)比較體積V從0 L增加到1 L和從1 L增加到2 L半徑r的平均變化率；哪段半徑變化較快(精確到0.01)？此結(jié)論可說明什么意義？解(1)Vr3，r3，r ，r(V) .(2)函數(shù)r(V)在區(qū)間0,1上的平均變化率約為 0.62(dm/L)，函數(shù)r(V)在區(qū)間1,2上的平均變化率約為 0.16(dm/L)顯然體積V從0 L增加到1 L時，半徑變化快，這說明隨著氣球體積的增加，氣球的半徑增加得越來越慢三、探究與拓展13巍巍泰山為我國的五岳之首，有“天下第一山”之美