鄧澤華向量代數(shù)與空間解析幾何課件

1、第七講 向量代數(shù)與空間解析幾何（數(shù)學(xué)一）考綱要求1.理解空間直角坐標(biāo)系，理解向量的概念及其表示.2.掌握向量的運(yùn)算（線性運(yùn)算、數(shù)量積、向量積、混合積），了解兩個(gè)向量垂直、平行的條件.3.理解單位向量、方向數(shù)與方向余弦、向量的坐標(biāo)表達(dá)式，掌握用坐標(biāo)表達(dá)式進(jìn)行向量運(yùn)算的方法.4.掌握平面方程和直線方程及其求法.5.會(huì)求平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角，并會(huì)利用平面、直線的相互關(guān)系（平行、垂直、相交等）解決有關(guān)問(wèn)題.6.會(huì)求點(diǎn)到直線以及點(diǎn)到平面的距離.7.了解曲面方程和空間曲線方程的概念.8.了解常用二次曲面的方程及其圖形，會(huì)求以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程.9.

2、了解空間曲線的參數(shù)方程和一般方程.了解空間曲線在坐標(biāo)平面上的投影，并會(huì)求其方程.一、向量代數(shù)問(wèn)題1向量的概念答相關(guān)內(nèi)容有1.向量的概念 既有大小又有方向的量稱為向量.向量的大小稱為向量的模，記作，向量的模.模為1的向量稱為單位向量.與軸，軸，軸同向的單位向量分別記作，.若為非零向量，則是與同向的單位向量.任一向量，這是表示向量的一種重要方法.若向量與模相等、方向相同（經(jīng)平行移動(dòng)能夠重合），則稱向量與相等，記作向量.以為起點(diǎn)，為終點(diǎn)的向量.以原點(diǎn)為起點(diǎn)，為終點(diǎn)的向量稱為點(diǎn)的向徑，.2.向量的夾角、向量的方向角與方向余弦向量與的正方向的夾角，稱為向量與的夾角，規(guī)定.向量與軸，軸，軸正方向（，）的夾

3、角稱為向量的方向角，方向角的余弦稱為向量的方向余弦.向量的方向余弦，.將向量單位化，可以求出向量的方向余弦.例題1.求質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)對(duì)質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)的引力.解 引力大小，與同方向的單位向量，則引力，其中.本題求引力的方法在用積分求連續(xù)體對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力時(shí)很重要.2.已知兩點(diǎn)和，求向量的模、方向余弦和方向角.解，與同向單位向量，方向余弦，方向角.問(wèn)題2 向量的運(yùn)算答 進(jìn)行向量運(yùn)算時(shí)，一要注意運(yùn)算的可行性，二要掌握向量的運(yùn)算律.設(shè)向量，.1.向量的加法由平行四邊形法則或者三角形法則給出，其坐標(biāo)運(yùn)算為.2.數(shù)乘向量是一個(gè)向量，其模，其方向規(guī)定為：當(dāng)時(shí)，與同向，當(dāng)時(shí)，與反向，其坐標(biāo)運(yùn)算為.向量的加法和數(shù)乘統(tǒng)稱

4、為向量的線性運(yùn)算，它們的運(yùn)算律（交換律、結(jié)合律、數(shù)乘對(duì)加法的分配律）和坐標(biāo)運(yùn)算與線性代數(shù)相同.3.向量的數(shù)量積，其中為向量與的夾角，其坐標(biāo)運(yùn)算為.向量的數(shù)量積的運(yùn)算律（交換律，對(duì)加法的分配律）和坐標(biāo)運(yùn)算與線性代數(shù)相同.4.向量的向量積是一個(gè)向量，其模，其方向垂直于且符合右手規(guī)則，其坐標(biāo)運(yùn)算為.5.向量的混合積.向量的向量積、混合積的運(yùn)算律可利用它們的坐標(biāo)運(yùn)算并結(jié)合行列式性質(zhì)記憶，如，.進(jìn)行向量運(yùn)算時(shí)，尤其要注意向量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算的差別：向量的向量積不滿足交換律，即；向量的數(shù)量積和向量積不滿足零因子律，即或者，或者；向量的數(shù)量積和向量積不滿足消去律，即，.例題1.下列命題是否正確？；若，則或者，

5、若，則或者；若，則，若，則.若，且，則.解不正確，因?yàn)橄蛄糠e不滿足交換律，正確的是；不正確，因?yàn)閿?shù)量積、向量積都沒(méi)有零因子律：不能推出或者，不能推出或者；不正確，因?yàn)閿?shù)量積、向量積都沒(méi)有消去律：不能推出，不能推出.正確，因?yàn)?，又，故，從?2.設(shè)為單位向量，且，求. 解由題設(shè)知，向量構(gòu)成一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形，故，類似可得，所以.3.設(shè)，則. 解.問(wèn)題3 向量在幾何上的應(yīng)用答1.由數(shù)量積的定義知；.因此可以用數(shù)量積求向量的模（長(zhǎng)度）；求兩個(gè)向量的夾角；討論向量的垂直關(guān)系.2.由向量積的定義知以向量為鄰邊平行四邊形的面積；或者.因此可以用向量積求平行四邊形的面積和三角形的面積；判斷三點(diǎn)共線：三點(diǎn)

6、共線的充要條件是，求一個(gè)同時(shí)垂直于的向量.3.由混合積的幾何意義知，混合積的絕對(duì)值等于以向量為共點(diǎn)棱的平行六面體的體積. 因此可以用混合積求平行六面體的體積和四面體體積；判斷四點(diǎn)共面：四點(diǎn)共面的充要條件是.4.向量在平面、直線問(wèn)題中有廣泛應(yīng)用：推導(dǎo)平面的點(diǎn)法式方程推導(dǎo)直線的點(diǎn)向式（對(duì)稱式）方程求平面與平面的夾角（法向量的夾角）、直線與直線的夾角（方向向量的夾角）、直線與平面的夾角（方向向量與法向量夾角的余角）；討論平面與平面、直線與直線、直線與平面的平行、垂直關(guān)系；推導(dǎo)點(diǎn)到平面的距離公式；推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式；求兩條異面直線的公垂線的長(zhǎng)；解決平面幾何、立體幾何問(wèn)題，推導(dǎo)余弦定理.例題 1.若

7、且，則與的夾角.解，即故，.2.設(shè)，求與的夾角.【】解【求兩向量的夾角】，兩式相減，得，代入上式，得，3.若且與的夾角，求與的夾角；【】以與為鄰邊的平行四邊形的面積.【】解設(shè)與的夾角為，則，由余弦定理，得，故，.以與為鄰邊的平行四邊形的面積為.4.已知點(diǎn)和，試在軸上求一點(diǎn)，使的面積最小.解設(shè)為軸上任意一點(diǎn)，則，的面積的面積，當(dāng)時(shí)，最小，故所求點(diǎn)為.5.證明三角形的三條高線交于一點(diǎn).證 如圖，已知，要證.，又，故，所以.二、平面與直線問(wèn)題4 平面的法向量與平面方程答主要內(nèi)容有1.平面的法向量 任何垂直于平面的非零向量.2.平面的方程平面的點(diǎn)法式方程 過(guò)點(diǎn)且法向量為的平面方程為；平面的一般式方程；

8、平面的截距式方程.3.求平面方程的方法利用平面的點(diǎn)法式方程，關(guān)鍵是找出平面上一點(diǎn)和平面的法向量，這是求平面方程的基本方法.利用平面的一般方程，這種方法主要用于求特殊位置的平面方程.利用過(guò)直線：的平面束方程，關(guān)鍵是由題設(shè)條件確定其中的參數(shù).利用求點(diǎn)的軌跡的一般方法.例題1.經(jīng)過(guò)點(diǎn)并且與直線：垂直的平面方程為.【】2.求與直線：和直線：都平行且經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的平面方程.【】3.求經(jīng)過(guò)點(diǎn)和直線：的平面方程.【】4.求經(jīng)過(guò)直線：且與平面垂直的平面方程.【】5.設(shè)一平面通過(guò)從點(diǎn)到直線的垂線，且與平面垂直，求此平面的方程.解【求平面方程，利用平面束方程】先求垂線方程：直線的方向向量，通過(guò)點(diǎn)垂直于直線的平面方

9、程為，即，由解得垂足為，從點(diǎn)到直線的垂線的方向向量為，垂線方程為，即設(shè)過(guò)垂線的平面束方程為，即，要它與平面垂直，只要它們的法向量垂直，即，故所求平面方程為.6.求通過(guò)點(diǎn)和且與面成角的平面方程.解【求平面方程，利用截距式方程】設(shè)所求平面方程為，其法向量，它與面的法向量成角，故，解得，代入平面方程并化簡(jiǎn)得或者.問(wèn)題5 直線的方向向量與直線方程答 主要內(nèi)容有：1.直線的方向向量 任何平行于直線的非零向量2.直線的方程直線的點(diǎn)向式（對(duì)稱式）方程 過(guò)點(diǎn)且方向向量為的直線方程為；直線的參數(shù)式方程 ；直線的一般式（面交式）方程 3.求直線方程的方法利用直線的點(diǎn)向式（對(duì)稱式）方程，關(guān)鍵是找出直線上一點(diǎn)和直線的

10、方向向量，這是求直線方程的基本方法.利用直線的一般方程，關(guān)鍵是找出直線所在的兩個(gè)平面.例題1.經(jīng)過(guò)點(diǎn)并且與平面：垂直的直線方程為.【】2.求過(guò)點(diǎn)且平行于平面，又與直線相交的直線的方程.【】解設(shè)所求直線的方向向量為，則垂直于平面的法向量，又所求直線在過(guò)點(diǎn)與直線的平面上，該平面的法向量，故所求直線方程為.3.求經(jīng)過(guò)點(diǎn)并且與直線：垂直相交的直線方程. 【】問(wèn)題6 如何求平面與平面的夾角、直線與直線的夾角、直線與平面的夾角？如何討論平面與平面、直線與直線、直線與平面的平行、垂直關(guān)系？答 平面與平面的夾角定義為它們的法向量的夾角；直線與直線的夾角定義為它們的方向向量的夾角；直線與平面的夾角定義為直線的方

11、向向量與平面的法向量的夾角的余角，并規(guī)定這些夾角取值范圍為.平面與平面平行的充要條件是它們的法向量平行，平面與平面垂直的充要條件是它們的法向量垂直；直線與直線平行的充要條件是它們的方向向量平行，直線與直線垂直的充要條件是它們的方向向量垂直；直線與平面平行的充要條件是直線的方向向量與平面的法向量垂直，直線與平面垂直的充要條件是直線的方向向量與平面的法向量平行.綜上所述，平面與平面、直線與直線、直線與平面的夾角、垂直、平行問(wèn)題均轉(zhuǎn)化為它們的法向量和方向向量的夾角、垂直、平行問(wèn)題例題1直線與直線的夾角為.【】解 直線的方向向量，直線的方向向量，故這兩條直線的夾角.2直線與平面的位置關(guān)系是.【垂直】解

12、 直線的方向向量，平面的法向量，故直線垂直于平面.問(wèn)題7 如何求點(diǎn)到平面的距離？如何求點(diǎn)到直線的距離？答 1.點(diǎn)到平面的距離.2.點(diǎn)到直線的距離公式，其中為直線上一點(diǎn)，為直線的方向向量.其幾何意義是以為鄰邊的平行四邊形的高.例題1.求點(diǎn)到平面的距離.解 由點(diǎn)到平面的距離公式，得.2.求點(diǎn)到直線的距離.三、曲面與曲線問(wèn)題8 何謂旋轉(zhuǎn)曲面？如何求旋轉(zhuǎn)曲面方程？答旋轉(zhuǎn)曲面是曲線繞定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面，該曲線稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線，定直線稱為旋轉(zhuǎn)曲面的軸.求旋轉(zhuǎn)曲面方程的方法有：利用已知結(jié)論：面上的曲線繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面方程為，面上的曲線繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面方程為.例如面上的曲線繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面方

13、程為，繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面方程為.利用求曲面方程的一般方法.例題1.求直線在平面上的投影直線的方程,并求繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成曲面方程.解的方程為，過(guò)的平面束方程為，即，令，即法向量，得，故，所以投影面方程為，故投影直線的方程為過(guò)曲面上任一點(diǎn)作垂直于軸的平面，交軸于，交于，由，得，又解得，代入，得旋轉(zhuǎn)曲面方程.2.求直線：繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程.【】3.設(shè)，則線段繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成曲面與所圍立體體積為.解 直線的方向向量，方程為，即旋轉(zhuǎn)曲面垂直于軸的截面面積，所求旋轉(zhuǎn)體體積.問(wèn)題9 何謂柱面？母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程有何特點(diǎn)？答柱面是直線沿曲線平行移動(dòng)所形成的曲面，該曲線稱為柱面的準(zhǔn)線，該

14、直線稱為柱面的母線.母線平行于軸的柱面方程為，方程中不含.問(wèn)題10 曲線與曲線在坐標(biāo)面上的投影答空間曲線可以看作兩個(gè)曲面的交線.1.曲線方程曲線的一般方程曲線的參數(shù)方程2.空間曲線在坐標(biāo)平面上的投影空間曲線的方程為，由曲線方程消去得到投影柱面方程，從而得到在面上的投影方程例題求空間曲線在面上的投影.解 由方程組得，解得，（舍去），投影柱面為，投影曲線為問(wèn)題11 二次曲面（橢球面、拋物面、雙曲面和橢圓錐面）答考綱要求了解常用二次曲面的方程及其圖形（用截痕法）.橢球面的標(biāo)準(zhǔn)方程：；拋物面的標(biāo)準(zhǔn)方程：（時(shí)為橢圓拋物面，時(shí)為雙曲拋物面）；雙曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程：（單葉雙曲面），（雙葉雙曲面）；橢圓錐面的標(biāo)準(zhǔn)方程：.例題1.方程表示何種曲面？答當(dāng)時(shí)，表示單葉雙曲面；當(dāng)時(shí)，表示圓柱面；當(dāng)時(shí)，表示圓錐面.2.求直線繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)面的方程，它表示什么曲面？解 設(shè)為旋轉(zhuǎn)面上任一點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)作軸的