重積分和線面積分

1、重積分與線面積分練習(xí)題一.填空題1. 設(shè)， D表示全平面，則2. 設(shè)為正向圓周在第一象限中的部分，則曲線積分的值為 .3.二重積分，其中D是由所圍成的區(qū)域。4.設(shè)連續(xù)，則積分，其中.5.6.設(shè)是圓的外側(cè)，則曲線積分7.已知，其中是錐面 和圍成的整個(gè)立體的表面內(nèi)側(cè)，則.8. _ _ .9. .二.選擇題1. 設(shè)函數(shù)連續(xù)，則二次積分等于 ( B ) A. B. C. D.2. 設(shè)，其中，則 ( A ) A. B. C. D.3. 設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，則等于 (A) 2f(2). (B) f(2). (C) f(2). (D) 0. 4. 設(shè)函數(shù)連續(xù), 區(qū)域, 則等于（D）（A）. （B）.（C）

2、. （D）5.由曲線，所圍成圖形的面積.A. B. C. D.6.設(shè)L是星形線，則曲線積分 A. B. C. D.7.設(shè)函數(shù)在上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，L是由點(diǎn)到的直線段，則曲線積分 A. 28 B. 26 C. 32 D. 308.設(shè)L是上半圓上從點(diǎn)到點(diǎn)的弧段，則曲線積分 A. B. C. D. 9. 若區(qū)域D由所圍成，則=（ ）（A）；（B）；（C）；（D）10若區(qū)域D由所圍成，則= .（A） ； （B）；（C）2； （D）11.若是星形線上半部（取順時(shí)針?lè)较颍?的值為( ).(A) ； (B) ； (C) ； (D) 12.設(shè) 是球域，則三重積分= .（A） ； （B）； （C） ； （D）.13

3、( ), 其中. (A) (B) (C) (D) 14.設(shè)是平面被圓柱面截出的有限部分，則曲面積分. (A); (B) ; (C) ; (D) .15可微, 則( ).(A) (B) (C) (D) 三. 解答題1. 計(jì)算二重積分，其中是由所圍成的平面區(qū)域。2. 計(jì)算二重積分，其中。3. 計(jì)算二重積分， 其中，積分區(qū)域。4. 求，其中D是由圓和所圍成的平面區(qū)域。5. 設(shè)閉區(qū)域，為D上的連續(xù)函數(shù)，且，求。6. 設(shè)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在圍繞原點(diǎn)的任意分段光滑簡(jiǎn)單閉曲線上，曲線積分的值恒為一常數(shù)。（1）證明：對(duì)右半平面內(nèi)任意分段光滑簡(jiǎn)單閉曲線，有；（2）求.7. 計(jì)算曲面積分其中是曲面的上側(cè).8.計(jì)算二重積

4、分，其中，表示不超過(guò)的最大整數(shù).9.計(jì)算，其中為。10.計(jì)算三重積分，其中是由平面與三個(gè)坐標(biāo)面圍成的區(qū)域。11.計(jì)算，其中為.12.計(jì)算空間曲線積分，其中L為球面與平面之交線。13.計(jì)算，其中L為與之交線。14.計(jì)算，其中是半球面的上側(cè)。15.計(jì)算，其中為柱體的邊界外表面。16.已知平面區(qū)域，L為D的正向邊界，試證：（1）（2）17.求其中，為正的常數(shù)，L為從點(diǎn)沿曲線到點(diǎn)的弧。18.計(jì)算是被割下的有限部分；19.,其中為錐面夾在之間的外側(cè).20.,其中是柱面被平面及所截得的在第一卦限內(nèi)的部分的前側(cè).21.,其中及所圍立體表面的外側(cè). 22.，其中為曲面的外側(cè)。23.計(jì)算，其中,為球面表面外側(cè)。

5、24.計(jì)算，其中是球體x2+y2+z22z的表面的外側(cè)。25.利用斯托克斯公式計(jì)算,其中是球面與平面的交線,從軸正向看為逆時(shí)針?lè)较?26.計(jì)算二次積分。27.計(jì)算二重積分28.計(jì)算曲面積分其中是球面（的常數(shù)）外側(cè)的上半球面。29.31.計(jì)算曲面積分, 其中。32.計(jì)算重積分:, 其中是由所圍之立體。-33.計(jì)算曲面積分, 其中。34.計(jì)算積分 其中 為立體的上半部 35.計(jì)算, 其中 x為不超過(guò)x的最大整數(shù).36.計(jì)算曲面積分 其中37.計(jì)算重積分： 其中是由所圍之立體.一、填空題1. 設(shè)， D表示全平面，則【詳解】由題設(shè)知，只有當(dāng)時(shí)，被積函數(shù)才不為0，即2. 設(shè)為正向圓周在第一象限中的部分，

6、則曲線積分的值為 .【分析】 利用極坐標(biāo)將曲線用參數(shù)方程表示，相應(yīng)曲線積分可化為定積分?！驹斀狻?正向圓周在第一象限中的部分，可表示為于是 =【評(píng)注】 本題也可添加直線段，使之成為封閉曲線，然后用格林公式計(jì)算，而在添加的線段上用參數(shù)法化為定積分計(jì)算即可.3.二重積分，其中D是由所圍成的區(qū)域。【詳解】由函數(shù)的奇偶性可知,而，其中是由確定的閉域。故.4.設(shè)連續(xù)，則積分，其中.【詳解】5.【分析】顯然我們首先遇到的便是函數(shù)的積分，而這個(gè)函數(shù)的原函數(shù)是不能表示為初等函數(shù)的，因此必須先交換積分順序再計(jì)算累次積分?！驹斀狻坑深}知積分區(qū)域D為由直線和拋物線所圍成的，若先對(duì)積分，則.于是.6.設(shè)是圓的外側(cè)，則

7、曲線積分【詳解】由于圓關(guān)于，軸都是對(duì)稱(chēng)的，因此，.其中是在的部分，則二、 選擇題1. 設(shè)函數(shù)連續(xù)，則二次積分等于 ( B ) A. B. C. D.【分析】畫(huà)出積分區(qū)域的草圖即可.2. 設(shè)，其中，則 ( A ) A. B. C. D.【分析】都是區(qū)域D上的二重積分，只需比較被積函數(shù)在D上的大小?！驹斀狻坑捎谠趨^(qū)域D上有， 所以， （僅在點(diǎn)處取等號(hào)）. 于是有 .3. 設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，則等于 (A) 2f(2). (B) f(2). (C) f(2). (D) 0. B 【分析】 先求導(dǎo)，再代入t=2求即可。關(guān)鍵是求導(dǎo)前應(yīng)先交換積分次序，使得被積函數(shù)中不含有變量t.【詳解】 交換積分次序，

8、得=于是，從而有 ，故應(yīng)選(B). 【評(píng)注】 在應(yīng)用變限的積分對(duì)變量x求導(dǎo)時(shí)，應(yīng)注意被積函數(shù)中不能含有變量x:否則，應(yīng)先通過(guò)恒等變形、變量代換和交換積分次序等將被積函數(shù)中的變量x換到積分號(hào)外或積分線上。4. 設(shè)函數(shù)連續(xù), 區(qū)域, 則等于（D）（A）. （B）.（C）. （D）【分析】將二重積分化為累次積分的方法是:先畫(huà)出積分區(qū)域的示意圖,再選擇直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系,并在兩種坐標(biāo)系下化為累次積分.【詳解】積分區(qū)域見(jiàn)圖.在直角坐標(biāo)系下,故應(yīng)排除（A）、（B）.在極坐標(biāo)系下, ,故應(yīng)選（D）.【評(píng)注】此題是將二重積分化為累次積分的常規(guī)題,關(guān)鍵在于確定累次積分的積分限.5.由曲線，所圍成圖形的面積.

9、A. B. C. D.【詳解】利用極坐標(biāo)變換有 故應(yīng)選（ C ）6.設(shè)L是星形線，則曲線積分 A. B. C. D.【詳解】由星形線的直角坐標(biāo)方程，可推得參數(shù)方程則 ，故7.設(shè)函數(shù)在上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，L是由點(diǎn)到的直線段，則曲線積分 A. 28 B. 26 C. 32 D. 30【詳解】令，則有 ，所以，在第一象限內(nèi)所給曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，取為積分路徑，有8.設(shè)L是上半圓上從點(diǎn)到點(diǎn)的弧段，則曲線積分 A. B. C. D. 【詳解】添加軸上從點(diǎn)到的直線段，則有構(gòu)成封閉曲線，它所圍成的平面區(qū)域記為D，并令，由格林公式有而 于是可得 .三、 解答題1. 計(jì)算二重積分，其中是由所圍成的平面區(qū)域?！痉治觥?/p>

10、采用“先后”方法計(jì)算?！驹斀狻孔ⅲ罕绢}如果采用“先后”的方法，則計(jì)算比較復(fù)雜。2. 計(jì)算二重積分，其中?！痉治觥坑捎诒环e函數(shù)不是初等函數(shù)，所以需將積分區(qū)域D分塊后再積分。【詳解】將積分區(qū)域D分成和兩部分，則由于，所以，。注：本題將計(jì)算轉(zhuǎn)化為計(jì)算，而 是單位正方形上的二重積分，容易計(jì)算，而是已經(jīng)算出的的相反數(shù)。3. 計(jì)算二重積分， 其中，積分區(qū)域?！驹斀狻吭跇O坐標(biāo)下有.由對(duì)稱(chēng)性得.令，則. 記，則由此可得 .所以 .4. 求，其中D是由圓和所圍成的平面區(qū)域?！驹斀狻坑煞e分區(qū)域的對(duì)稱(chēng)性和被積函數(shù)的奇偶性得.故 注意：積分區(qū)域?qū)ΨQ(chēng)性的應(yīng)用。5. 設(shè)閉區(qū)域，為D上的連續(xù)函數(shù)，且，求?！痉治觥坑?，對(duì)所給

11、等式的兩邊進(jìn)行二重積分得到關(guān)于A的方程，求出A即得的表達(dá)式?！驹斀狻坑?，則.對(duì)上式兩邊在區(qū)域D上作二重積分得即 所以因此，.6. 設(shè)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在圍繞原點(diǎn)的任意分段光滑簡(jiǎn)單閉曲線上，曲線積分的值恒為一常數(shù)。（1）證明：對(duì)右半平面內(nèi)任意分段光滑簡(jiǎn)單閉曲線，有；（2）求.【詳解】（1）證明很簡(jiǎn)單，設(shè)點(diǎn)在右半平面上，曲線即為曲線（不包含原點(diǎn)），取點(diǎn)在左半平面上，則曲線包含坐標(biāo)原點(diǎn)，顯然，因此.（2）由（1）可知，是全微分。利用“湊全微分法”求。因?yàn)橹灰?是形式的全微分，即使即可。此時(shí).7. 計(jì)算曲面積分其中是曲面的上側(cè).【分析】 先添加一曲面使之與原曲面圍成一封閉曲面，應(yīng)用高斯公式求解，而在添加的

12、曲面上應(yīng)用直接投影法求解即可.【詳解】 取為xoy平面上被圓所圍部分的下側(cè)，記為由與圍成的空間閉區(qū)域，則由高斯公式知 = =而 ，故 【評(píng)注】 本題選擇時(shí)應(yīng)注意其側(cè)與圍成封閉曲面后同為外側(cè)（或內(nèi)側(cè)），再就是在上直接投影積分時(shí)，應(yīng)注意符號(hào)(取下側(cè)，與z軸正向相反，所以取負(fù)號(hào)).8.計(jì)算二重積分，其中，表示不超過(guò)的最大整數(shù).【詳解】令，則9.計(jì)算，其中為?！驹斀狻吭谄矫鎯?nèi)投影為圓域，利用球坐標(biāo)變換則，10.計(jì)算三重積分，其中是由平面與三個(gè)坐標(biāo)面圍成的區(qū)域?！痉治觥窟@個(gè)積分區(qū)域?qū)θ齻€(gè)變量是對(duì)稱(chēng)的，關(guān)于被積函數(shù)也是對(duì)稱(chēng)的，利用對(duì)稱(chēng)性來(lái)計(jì)算。【詳解】因?yàn)楣?1.計(jì)算，其中為.【詳解】利用廣義球坐標(biāo)變換，

13、令 其中12.計(jì)算空間曲線積分，其中L為球面與平面之交線?！痉治觥恳該Q，以換，以換，曲線L的方程不變，即L具有輪換對(duì)稱(chēng)性，利用這一性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算。【詳解】由于輪換對(duì)稱(chēng)性，可知而L是經(jīng)過(guò)球心的圓，其周長(zhǎng)為，故.13.計(jì)算，其中L為與之交線?！驹斀狻肯葟南サ?其參數(shù)方程為，因此 .14.計(jì)算，其中是半球面的上側(cè)?！驹斀狻侩m然不是封閉的，但我們可以用平面將其補(bǔ)上，使成為封閉的外側(cè)面，它圍成的域是。于是就有由于 由高斯公式而的值又可以直接化成二重積分來(lái)計(jì)算故 .15.計(jì)算，其中為柱體的邊界外表面?！驹斀狻恳李}可設(shè)柱體，由高斯公式，并利用柱面坐標(biāo)計(jì)算可得16.已知平面區(qū)域，L為D的正向邊界，試證：（1）

14、（2）【詳解】（1）左邊， 右邊，所以 .（2）由于，故由（1）得.1. 若區(qū)域D由所圍成，則=（ D ）（A）；（B）；（C）；（D）2若區(qū)域D由所圍成，則= A .（A） ； （B）；（C）2； （D）3.若是星形線上半部（取順時(shí)針?lè)较颍?的值為( ).(A) ； (B) ； (C) ； (D) 4.設(shè) 是球域，則三重積分= D .（A） ； （B）； （C） ； （D）.5( B ), 其中. (A) (B) (C) (D) .6.設(shè)是平面被圓柱面截出的有限部分，則曲面積分 D . (A); (B) ; (C) ; (D) .7可微, 則( B ). (A) (B) (C) (D) 8.已知，其中是錐面 和圍成的整個(gè)立體的表面內(nèi)側(cè)，則9.10.11.計(jì)算曲面積分, 其中。解 根據(jù)輪換對(duì)稱(chēng)性 -12.計(jì)算重積分:, 其中是由所圍之立體。解：關(guān)于對(duì)稱(chēng)，是關(guān)于的奇函數(shù) 投影區(qū)域?yàn)?，選擇柱坐標(biāo)，13.計(jì)算曲面積分, 其中。解：根據(jù)輪換對(duì)稱(chēng)性 -14.計(jì)算積分