“恒成立問(wèn)題”解決的基本策略

1、“恒成立問(wèn)題”解決地基本策略一、恒成立問(wèn)題地基本類型在數(shù)學(xué)問(wèn)題研究中經(jīng)常碰到在給定條件下某些結(jié)論恒成立地命題函數(shù)在給定區(qū)間上某結(jié)論成立問(wèn)題,其表現(xiàn)形式通常有：在給定區(qū)間上某關(guān)系恒成立。某函數(shù) 地定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)R。某不等式地解為一切實(shí)數(shù)。某表達(dá)式地值恒大于a等等恒成立問(wèn)題，涉及到一次函數(shù)、二次函數(shù)地性質(zhì)、圖象，滲透著換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，有利于考查學(xué)生地綜合解題能力，在培養(yǎng)思維地靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了 積極地作用因此也成為歷年高考地一個(gè)熱點(diǎn) 恒成立問(wèn)題在解題過(guò)程中大致可分為以下幾種類型：一次函數(shù)型；二次函數(shù)型；變量分離型；根據(jù)函數(shù)地奇偶性、周期性等性質(zhì)；直 接根據(jù)函數(shù)

2、地圖象二、恒成立問(wèn)題解決地基本策略<一)兩個(gè)基本思想解決“恒成立問(wèn)題"思路 1、m _ f(x)在x D上恒成立二 m _f(x)max思路2、m乞f (x)在x D上恒成立 二m乞f (x) min如何在區(qū)間D上求函數(shù)f(x>地最大值或者最小值問(wèn)題，我們可以通過(guò)習(xí)題地實(shí)際，采取合理有效地方法進(jìn)行 求解，通?？梢钥紤]利用函數(shù)地單調(diào)性、函數(shù)地圖像、二次函數(shù)地配方法、三角函數(shù)地有界性、均值定理、函數(shù) 求導(dǎo)等等方法求函數(shù)f<x )地最值這類問(wèn)題在數(shù)學(xué)地學(xué)習(xí)涉及地知識(shí)比較廣泛，在處理上也有許多特殊性，也是近年來(lái)高考中頻頻岀現(xiàn)地試卷類型，希望同學(xué)們?cè)谌粘W(xué)習(xí)中注意積累(二 &

3、gt;、賦值型利用特殊值求解等式中地恒成立問(wèn)題，常常用賦值法求解，特別是對(duì)解決填空題、選擇題能很快求得例 1.由等式 x4+Qx3+a2X2+a3x+a4= (x+1> 4+bi(x+1> 3+ b2(x+1>2+k3(x+1>+b4 定義映射 f : (a i，a 2，a 3，a 4> bi+b2+bs+b4,則 f : (4,3,2,1>(>A.10B.7C.-1 D.O略解：取 x=0,則 a 4=1+b1+b2+b3+b4,又 a 4=1,所以=0 ,故選DJl例2.如果函數(shù)y=f(x>=sin2x+acos2x 地圖象關(guān)于直線 x= 一

4、 一 對(duì)稱那么a=<)8A. 1B . -1 C . , 2 D . - . 2 .兀JI略解：取 x=0 及 x= - 一,則 f(0>=f(- 一 >,即 a=-1,故選 B.44此法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中從一般到特殊地轉(zhuǎn)化思想.<三)分清基本類型，運(yùn)用相關(guān)基本知識(shí)，把握基本地解題策略1、一次函數(shù)型：若原題可化為一次函數(shù)型，則由數(shù)形結(jié)合思想利用一次函數(shù)知識(shí)求解，十分簡(jiǎn)捷給定一次函數(shù) y=f(x>=ax+b(a工0>,若 y=f(x>在m,n內(nèi)恒有f(x>>0,則根據(jù)函數(shù)地圖象 <直線)可得上述結(jié) 論等價(jià)于f(m) >0L f (n)

5、=0同理,若在m,n內(nèi)恒有f(x><0,則有伽f(n) <0例2對(duì)于滿足|a| _2地所有實(shí)數(shù)a,求使不等式x2+ax+1>2a+x恒成立地x地取值范圍將a視作自變量，則上述問(wèn)題即可轉(zhuǎn)化為在-2,2內(nèi)關(guān)于a地一次函數(shù)大于0恒成立地問(wèn)題.解：原不等式轉(zhuǎn)化為(x-1>a+x 2-2x+1>0在<2時(shí)恒成立，設(shè) f(a>= (x-1>a+x2-2x+1,則f(a>在-2,2上恒大于0,故有:"心即"x2 -4x +3 =0 解得：丿J(2)>'x2 -1 a0J/ x<-1 或 x>3.即 x

6、( a , - 1>U (3,+ s> 此類題本質(zhì)上是利用了一次函數(shù)在區(qū)間下方)即可.2、二次函數(shù)型涉及到二次函數(shù)地問(wèn)題是復(fù)習(xí)地重點(diǎn)，題中自覺(jué)運(yùn)用.<1)若二次函數(shù) y=ax2+bx+c(a工0>大于x3或 x 1x 1或 x ： 1m,n上地圖象是一線段，故只需保證該線段兩端點(diǎn)均在x軸上方 <或同學(xué)們要加強(qiáng)學(xué)習(xí)、歸納、總結(jié)，提煉岀一些具體地方法，在今后地解<2)若是二次函數(shù)在指定區(qū)間上地恒成立問(wèn)題0恒成立,則有a . 0且厶：:0,可以利用韋達(dá)定理以及根地分布知識(shí)求解例 3若函數(shù) f (x)二.(a2 -1)x2 (a-1)x-地定義域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)a地取值

7、范圍.a 12 2 2分析：該題就轉(zhuǎn)化為被開(kāi)方數(shù)(a-1)x (a -1)x0在r上恒成立問(wèn)題，并且注意對(duì)二次項(xiàng)a +1系數(shù)地討論.解：依題意，當(dāng)x R時(shí),(a2 1)x2 (a 1)x - 0恒成立,a +12a 1=0所以，當(dāng)a2 -1 =0,即當(dāng)時(shí)，a =1,a+1 式0,此時(shí)當(dāng)2 2 2(a -1)x (a -1)x1 _ 0,. a = 1.a +1a2 -1 >0,-1=0時(shí)，即當(dāng)2川2 J、2“時(shí),(a-1) -4(a -1)0a +1a21=1 ： a _ 9,-10a 9 乞 0,綜上所述，f(x>地定義域?yàn)镽時(shí)，a 1,92例4.已知函數(shù)f (x)二x ax 3

8、 -a,在R上f (x) _ 0恒成立，求a地取值范圍分析：y = f (x)地函數(shù)圖像都在X軸及其上方，如右圖所示：略解：，;=a2-4 3al=a2 4a 12 _0 6a E2變式1：若x 1-2,2 時(shí)，f(x)_O恒成立，求a地取值范圍分析：要使x I -2,2丨時(shí)，f(x) _ 0恒成立，只需f (x)地最小值g(a) _ 0即可.解：f(x)a2a 3,令f (x)在1-2,2 上地最小值為g(a).4-2,即 a 4時(shí)，g(a) =f (-2) =73a _0. a_7 又:a 43aa當(dāng)22 ,即一4乞a豈4時(shí)，g(a) = f ()=222a a3_0-6_a_2 又44a

9、4 一一4込a2a當(dāng) 2,即 a ： 4時(shí)，g(a)二 f (2) = 7 a _ 0. a _ 7 又;a ： 4. 一 7 乞 a ： 42綜上所述,_7乞a豈2.變式2:若xI -2,2 時(shí),f (x)亠2恒成立，求a地取值范圍.解法一：分析：題目中要證明f (x)蘭2在1-2,2 上恒成立，若把2移到等號(hào)地左邊，則把原題轉(zhuǎn)化成左邊二次函數(shù)在區(qū)間1-2,2 時(shí)恒大于等于o地問(wèn)題.略解：f (x) = x2 ax 3 - a - 2 _ 0,即 f (x) = x2 ax 1 - a _ 0在 1-2,2 1 上成立.;.=a2 4 1 a <0 -2-22< a 乞 一2 2

10、.2 廣2A =a -4(1-a)>0f(2) Z0_ f (-2) _ 0_5 _ a _ -2.2 _2->2或 _a 蘭 一22 2解法二：V運(yùn)用根地分布)a5當(dāng)2,即 a 4 時(shí)，g(a) = f (-2) =73a _2. a4, a 不存在.23a當(dāng)-22,即一 4 a 42綜上所述,一5乞a乞2.2 2.時(shí)g(a) = f (-|)222a乞22 22-a 3 _24-4<a<2 2 - 2a當(dāng)一刁 2,即 a ： 4 時(shí)，g(a) = f (2) = 7 a _2,.a _ -5. - 5 _ a ： -4綜上所述5乞a乞2.2 - 2.此題屬于含參數(shù)二

11、次函數(shù)，求最值時(shí)，軸變區(qū)間定地情形，對(duì)軸與區(qū)間地位置進(jìn)行分類討論；還有與其相反地，軸動(dòng)區(qū)間定，方法一樣.對(duì)于二次函數(shù)在R上恒成立問(wèn)題往往采用判別式法<如例4、例5)，而對(duì)于二次函數(shù)在某一區(qū)間上恒成立問(wèn)題往往轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在此區(qū)間上地最值問(wèn)題3、變量分離型若在等式或不等式中岀現(xiàn)兩個(gè)變量，其中一個(gè)變量地范圍已知，另一個(gè)變量地范圍為所求，且容易通過(guò)恒等變形將兩個(gè)變量分別置于等號(hào)或不等號(hào)地兩邊，則可將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化成函數(shù)地最值問(wèn)題求解.運(yùn)用不等式地相關(guān)知識(shí)不難推出如下結(jié)論：若對(duì)于x取值范圍內(nèi)地任何一個(gè)數(shù)都有f(x>>g(a>恒成立，則g(a>vf(x> min。若對(duì)于

12、x取值范圍內(nèi)地任何一個(gè)數(shù)，都有f(x><g(a>恒成立，則g(a>>f(x> max.(其中f(x> max和f(x> min分別為f(X>地最大值和最小值>例5.已知三個(gè)不等式x2 -4x 3 ： 0，x2 - 6x 8 ： 0 ,2x2 - 9x m . 0 .要使同時(shí)滿足地所有x地值滿足，求m地取值范圍.略解：由得2<x<3,要使同時(shí)滿足地所有 x地值滿足，2即不等式2x -9x m ： 0在x ：= (2,3)上恒成立，即m ： -2x - 9x在x (2,3)上恒成立，又-2x2 9x在x (2,3)上大于9,所

13、以 m豈9例6.函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且在-1,1上單調(diào)遞增，又f( 一1)= _1,若f (x)乞t2 - 2at 1對(duì)所有地 a -1,1都成立,求t地取值范圍.解：據(jù)奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f(1)=1,又f(x)在 -1,1上單調(diào)遞增f(X)max = f胡2f (xpt -2at 1對(duì)所有地a，T,1都成立.因此，只需t2 -2at 1大于或等于f (x)在-1,1上地最大值1,2 2t -2at 1 -1= t -2at - 0又；對(duì)所有a 1,1都成立,即關(guān)于a地一次函數(shù)在-1,1上大于或等于0恒成立,t2 -2t _0t2 2t _ 0二 t _2或 t =0或t _ -2即：t

14、(-：，-202,：)利用變量分離解決恒成立問(wèn)題，主要是要把它轉(zhuǎn)化為函數(shù)地最值問(wèn)題4、根據(jù)函數(shù)地奇偶性、周期性等性質(zhì)若函數(shù)f(x>是奇(偶函數(shù)，則對(duì)一切定義域中地 x ,f(-x>=-f(x>(f(-x>=f(x>> 恒成立；若函數(shù)y=f(x>地周期為T(mén),則對(duì)一切定義域中地x,f(x>=f(x+T> 恒成立.5、直接根據(jù)圖象判斷若把等式或不等式進(jìn)行合理地變形后，能非常容易地畫(huà)岀等號(hào)或不等號(hào)兩邊函數(shù)地圖象，則可以通過(guò)畫(huà)圖直接判斷得岀結(jié)果.尤其對(duì)于選擇題、填空題這種方法更顯方便、快捷.例7.對(duì)任意實(shí)數(shù)X,不等式x+1 - X-2 >a恒成

15、立，求實(shí)數(shù)a地取值范圍.分析：設(shè)y=|x+1|-|x-2|,對(duì)任意實(shí)數(shù)x,不等式乂+1-乂2：>8恒成立即轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=|x+1|-|x-2|地最小值，畫(huà)出此函數(shù)地圖象即可求得a地取值范圍3x 蘭1解：令 y =x 比一X 2 =2x 11 £X <2改為3x _2在直角坐標(biāo)系中畫(huà)岀圖象如圖所示，由圖象可看岀，要使對(duì)任意實(shí)數(shù)x,不等式x，1-x-2 a恒成立只需a -3.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(3).本題中若將同樣由圖象可得 a>3對(duì)任意實(shí)數(shù)x,不等式X 1 - X -2 a恒成立，求實(shí)數(shù)a對(duì)任意實(shí)數(shù)X,不等式x+1 - X-2|va恒成立，求實(shí)數(shù)a對(duì)任意實(shí)數(shù)X,不

16、等式X +1 + X -2 >a恒成立，求實(shí)數(shù)a,構(gòu)造函數(shù)，畫(huà)出圖象，得a<3.利用數(shù)形結(jié)合解決恒成立問(wèn)題，應(yīng)先構(gòu)造函數(shù)，作岀符合已知條件地圖形，再考慮在給定區(qū)間上函數(shù)與函數(shù)圖象之間地關(guān)系，得岀答案或列岀條件，求岀參數(shù)地范圍.三、在恒成立問(wèn)題中，主要是求參數(shù)地取值范圍問(wèn)題，是一種熱點(diǎn)題型，介紹一些基本地解題策略，在學(xué)習(xí)中學(xué)會(huì)把 問(wèn)題分類、歸類，熟練基本方法.<一)換元引參，顯露問(wèn)題實(shí)質(zhì)1、對(duì)于所有實(shí)數(shù)X,不等式log2 2xlog2空 g 注 0恒成立,求a地取值范圍.aa+14a解:2a2a因?yàn)閘og2地值隨著參數(shù)a地變化而變化，若設(shè)t = log 2 -a+1a+1則上述

17、問(wèn)題實(shí)質(zhì)是“當(dāng)t為何值時(shí)，不等式(3-t)x2 2tx_2t 0恒成立”.這是我們較為熟悉地二次函數(shù)問(wèn)題，它等價(jià)于求解關(guān)于t地不等式組:<3一t>_02.解得tcO,即有l(wèi)og2 空 c0,易得苫= (2t)2 +8t(3 t) cOa+10 ： a ： 1.2、設(shè)點(diǎn)P<x,y )是圓x2 * (y -1)2 =4上任意一點(diǎn)，若不等式x+y+c_0恒成立，求實(shí)數(shù)c地取值范圍.<二)分離參數(shù)，化歸為求值域問(wèn)題. 23、若對(duì)于任意角 v總有sin v - 2mcosv - 4m -1 ： 0成立，求m地范圍.解：此式是可分離變量型，由原不等式得 m(2cosv - 4) ：

18、 cos ,又COST 2 . 0,則原不等式等價(jià)變形為 2m ：型恒成立.cosT +2根據(jù)邊界原理知，2m必須小于f(r)C0地最小值，這樣問(wèn)題化歸為怎樣求cos 日 +2C0S地最小值.cost 2因?yàn)?f(R = C0S 二cos 日 +2(cos： 2)2 -4(cos)2) 4cost 24=cost 24cos。+2_4 一4 =0即cost - 0時(shí),有最小值為0,故 m： 0.<三)變更主元，簡(jiǎn)化解題過(guò)程4、若對(duì)于0乞m三1,方程x2 mx -2m -1二0都有實(shí)根，求實(shí)根地范圍.解：此題一般思路是先求岀方程含參數(shù)m地根,再由m地范圍來(lái)確定根 x地范圍，但這樣會(huì)遇到很多

19、麻煩，若以m為主兀，則 m(x -'2) - (1 -'X)2,由原方程知x =2,得m=U又0乞m乞1,即0乞<1x 2x 2解之得小衛(wèi)乞x1或仁X乞-V 132 25、當(dāng)a <1時(shí),若不等式x2 +(a-6)x+9-3a a 0恒成立，求x地取值范圍 <四)圖象解題，形象直觀6、設(shè)x 二(0,4,若不等式.x(4X) ax恒成立，求a地取值范圍.解：若設(shè) . x(4 _x),則(x _2)2 yf = 4(y- 0)為上半圓.設(shè)yax,為過(guò)原點(diǎn),a為斜率地直線.在同一坐標(biāo)系內(nèi)作岀函數(shù)圖象依題意，半圓恒在直線上方時(shí)，只有a : 0時(shí)成立，即a地取值范圍為a

20、： 0.7、當(dāng)x三(1,2>時(shí)，不等式(x-1> 2<log ax恒成立，求a地取值范圍.解：設(shè)y1=(x-1> 2,y 2=log ax,則y1地圖象為右圖所示地拋物線要使對(duì)一切x三(1,2>,y 1<y2恒成立，顯然a>1,并且必須也只需當(dāng)x=2時(shí)y地函數(shù)值大于等于 y地函數(shù)值. 故 log a2>1, .1<a ：28、 已知關(guān)于x地方程lg(x 2+4x>-lg(2x-6a-4>=0有唯一解，求實(shí)數(shù)a地取值范圍.解：令 y1=x2+4x=<x+2) 2-4,y 2=2x-6a-4,y地圖象為一個(gè)定拋物線y2地圖象是

21、k=2,而截距不定地直線，要使y和屮在x軸上方有唯一交點(diǎn)，則直線必須位于I !和I 2之間.< 包括l 1但不包括l 2)當(dāng)直線為l 1時(shí)，直線過(guò)點(diǎn)<-4,0 ),此時(shí)縱截距為-8-6a-4=0,a=2。2 2當(dāng)直線為l 2時(shí)，直線過(guò)點(diǎn)<0,0 ),縱截距為-6a-4=0,a= _ 地范圍為_(kāi)2_)3' 3分析：方程可轉(zhuǎn)化成lg(x 2+4x>=lg(2x-6a-4>,從而得x2+4x=2x-6a-4>0,注意到若將等號(hào)兩邊看成是二次函數(shù) y= x2+4x及一次函數(shù)y=2x-6a-4,則只需考慮這兩個(gè)函數(shù)地圖象在x軸上方恒有唯一交點(diǎn)即可.<五)

22、合理聯(lián)想，運(yùn)用平幾性質(zhì)9、不論k為何實(shí)數(shù)，直線y = kx 1與曲線x2 - y2 -2ax a2 -2a -4二0恒有交點(diǎn)，求a地范圍.解：(x - a)2y4 2a,c<a,0),當(dāng)a一2時(shí)，聯(lián)想到直線與圓地位置關(guān)系，則有點(diǎn)a<0,1 )必在圓上或圓內(nèi)，即點(diǎn)a<0,1)到圓心距離不大于半徑，則有a2 1乞2a 4(a -2),得-1乞a< 3.分析：因?yàn)轭}設(shè)中有兩個(gè)參數(shù)，用解讀幾何中有交點(diǎn)地理論將二方程聯(lián)立,用判別式來(lái)解題是比較困難地.若考慮到直線過(guò)定點(diǎn) A<0,1 ),曲線為圓.<六)分類討論，避免重復(fù)遺漏210、當(dāng)|m|_2時(shí),不等式2x -1 m(

23、x -1)恒成立，求x地范圍.解：使用 |m|_2 地條件，必須將m分離岀來(lái)，此時(shí)應(yīng)對(duì)x2 -1進(jìn)行討論.22x 12x -113當(dāng)x2-1.0時(shí),要使不等式二m恒成立，只要22,解得 1 ：: x :x -1x -122c2x 12x -1小-1 + 77當(dāng)x-1:0時(shí),要使不等式 m恒成立，只要2< -2,解得:X ： 1.x-1x- 122-1.71 . 3當(dāng)x-1=0時(shí),要使2x - 1 - 0恒成立，只有x = 1.綜上得x2 2解法2：可設(shè)f (m) = (x2 - 1)m -(2x -1),用一次函數(shù)知識(shí)來(lái)解較為簡(jiǎn)單.11、當(dāng)1 ： x : 3時(shí)，不等式x2 - 2ax 6

24、0恒成立，求實(shí)數(shù)a地取值范圍七)構(gòu)造函數(shù)，體現(xiàn)函數(shù)思想12、1990年全國(guó)高考題)設(shè)1，其中a為實(shí)數(shù),n為任意給定地n自然數(shù)，且n _2,如果f (x)當(dāng)x (-：:, 1時(shí)有意義，求a地取值范圍解：本題即為對(duì)于(一巳，1，有1x 2 (n- 1)x nxa o恒成立.這里有 三種元 素交織 在一起，結(jié)構(gòu)復(fù)雜，難以下 手，若考慮到求a地范圍，可先將a分離岀來(lái)，得a(勻一(口門(mén)(n- 2)，對(duì)于 x (-： ：，1恒成立.n nn12n _ 1構(gòu)造函數(shù)g(x)二-()x ( )()x，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù) g(x)在(-：，1上地值n nn域.k x因?yàn)楹瘮?shù)u(x) = -() (k =1, 2，

25、n -1)在x (-：,1上是單調(diào)增函數(shù)，n1則g(x)在(-：-，1上為單調(diào)增函數(shù).于是有g(shù)(x)地最大值為：g(1)(n -1)，從而可得21 a (n -1).2四、同步跟蹤練習(xí)1、對(duì)任意地實(shí)數(shù)x，若不等式x+1 x2 a恒成立，求實(shí)數(shù)a地取值范圍2、已知函數(shù)f(x)二1lg(2x 22" -m)(mR)，對(duì)任意的R都有意義，求實(shí)數(shù)m的取值范圍3、知f (x)是定義在(-：，3地單調(diào)減函數(shù)，且f(a2 -sinx) _ f (a 1 - cos2 x)對(duì)一切實(shí)數(shù)x成立，求實(shí)數(shù)a地取值范圍.4、當(dāng)a、b滿足什么條件時(shí)，關(guān)于x地不等式°： "(a 5)_3 .

26、b -1對(duì)于一切實(shí)數(shù)x恒成x -x + 1立？5、已知f(x>= x3 ax2 bx c,在x=1與x=-2時(shí)，都取得極值.<1 )求 a、b 地值； <2 )若 -3,2都有 f(x>>1 一1恒成立，求實(shí)數(shù)cc 2地取值范圍.解、<1)a=3,b=-6.<2)由 f(x> m.=-Z+c>1-1 得22 c 2上衛(wèi)：或c 2 26、定義在定義域D內(nèi)地函數(shù)y = f (x),若對(duì)任意的x1, x2D ,都有| f(xj - f (x2) I： 1,則稱函數(shù)y = f (x)為“接近函數(shù)”，否則稱“非接近函數(shù)”.函數(shù)f(x) = x3 -X a(x -1,1, a R>是否為“接近函數(shù)”？如果是，請(qǐng)給出證明；如果不是，請(qǐng) 說(shuō)明理由.解：因?yàn)?| f (Xj - f 匕2)|計(jì) fmax 一 fmin |函數(shù)f (x) = x3 - x a(x -1,1, a R導(dǎo)數(shù)是 f (x) = 3x2 -1當(dāng) 3x2 -13時(shí)，f (x) =3x2 -1 ： 0;當(dāng) x3時(shí),f (x) =3x2 -10,32、3故f(x)在x0,1內(nèi)的