三角形問(wèn)題中的數(shù)學(xué)思想方法

1、三角形問(wèn)題中的數(shù)學(xué)思想方法數(shù)學(xué)思想和方法是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的本質(zhì)體現(xiàn)，是形成數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)意識(shí)的橋梁，是靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)、技能的靈魂.因此，在解三角形題過(guò)程中準(zhǔn)確快捷的關(guān)鍵是正確運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法.這里對(duì)三角形解題時(shí)常用的分類(lèi)討論思想、整體思想、方程思想、轉(zhuǎn) 化思想、數(shù)形結(jié)合思想等舉例予以說(shuō)明，以供同學(xué)們學(xué)習(xí)參考應(yīng)用一、分類(lèi)討論思想由于題目的約束較弱（條件趨一般）或圖形位置的變化常常使同一問(wèn)題具有多種形態(tài)，因而有必要考查全面（所有不同情況）才能把握問(wèn)題的實(shí)質(zhì).此種情況下應(yīng)當(dāng)進(jìn)行適當(dāng)分類(lèi)，就每種情形研究討論結(jié)論的正確性.例1在等腰三角形中，一腰上的中線(xiàn)把它的周長(zhǎng)分為15cm和6cm兩部分，求

2、三角形各邊白長(zhǎng).分析:要注意等腰三角形有兩邊相等，一腰上的中線(xiàn)把它的腰分成的兩段相等.由于問(wèn)題中未指明哪一段為 15cm,哪一段為6cm,故需分類(lèi)討論.解:設(shè)腰長(zhǎng)為xcm,底邊為ycm,即AB=x ,則AD=CD= x BC=y a-12'右x+ x=6時(shí)，則y+ x=15.八1221/D由 x+ x=6 得 x=4.把 x=4 代入 y+ x=15 得 y=13./ 因?yàn)?+4<13,所以不能構(gòu)成三角形.B C圖1 若x+，x=15時(shí)，則y+x=6.22由 x+ 1 x=15 得 x=10.把 x=10 代入 y+ x=15 得 y=1. 2210+1>10符合題意，所以

3、三角形三邊分別為10cm、10cm、1cm.例2已知非直角三角形 ABC中，/ A=45° ,高BD和CE所在直線(xiàn)交于 H,求/ BHC 的度數(shù).圖2分析:三角形的形狀不同，高的交點(diǎn)的位置也就不同.高的交點(diǎn)可能在三角形內(nèi)部，也可能在三角形外部，故應(yīng)分兩種情況加以討論解:當(dāng) ABC為銳角三角形時(shí)（圖2）. BD、CE 是4ABC 的高， / A=45 , . . / ADB= / BEH=90在4ABD 中， Z ABD=180 90 45 =45°. / BHC > BHE 的外角， . / BHC=90 +45° =135° .當(dāng) ABC為鈍角三

4、角形時(shí)（圖3） H是 ABC兩條高所在直線(xiàn)的交點(diǎn)/ A=45 ,，/ABD=180 90 45 =45°.在 RtABEH 中，Z BHC=180 90 45 =45°.，/BHC的度數(shù)是135°或45°.注意：涉及三角形高的問(wèn)題，常常會(huì)因?yàn)楦叩奈恢枚枰懻?，否則就會(huì)漏解二、整體思想研究某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，往往不是以問(wèn)題的某個(gè)組成部分為著眼點(diǎn)，而是將待解決的問(wèn)題看作一個(gè)整體，通過(guò)研究問(wèn)題的整體形式，整體結(jié)構(gòu)做整體處理后，達(dá)到解決問(wèn)題的目的例 3 如圖 4,求/ A+ /B+/C+/D+/E+/F+/G 的度數(shù).可根據(jù)四邊形和三角形的內(nèi)角分析:觀察圖形可得，

5、圖由一個(gè)四邊形和一個(gè)三角形構(gòu)成, 和定理求度數(shù)之和.解:因?yàn)? A + ZC+Z E=180° ,又因?yàn)? B+/D+/F+ Z G=360 ,所以/ A+ / B+ / C+Z D+ / E+Z F+ / G=540 .剖析：例題中若直接求出每一角的度數(shù)再求其和顯然是做不到的.因此，設(shè)法整體求值是解題的關(guān)鍵.事實(shí)上，有些數(shù)學(xué)問(wèn)題，如果從局部去考慮，拘泥于常規(guī)，則舉步維艱.如果從全局著手，突破常規(guī)，則會(huì)柳暗花明.三、方程思想求值時(shí)，當(dāng)問(wèn)題不能直接求出時(shí)，一般需要設(shè)未知數(shù)繼之建立方程.用解方程的方法求出結(jié)果，這也是解題中常見(jiàn)的具有導(dǎo)向作用的一種思想EDC的方程.例 4 如圖 5,在 A

6、BC 中，/ B = /C, / 1 = /2, / BAD=40 .求/ EDC.分析：利用三角形的外角性質(zhì)，設(shè)法建立關(guān)于/解:設(shè)/ EDC=x.因?yàn)? 1是4DEC的外角，所以/ 1=x+/C.又因?yàn)? 1 = 72,所以/ 2=x+/C.又因?yàn)? 2ABD的外角，所以/ ADC=/B+/BAD.所以 / B+ / BAD = Z 2+x ,即/ B+40° = / C+2x.因?yàn)? B = ZC,所以 2x=40° ,解得 x=20° .事剖析:方程是解決很多數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要工具，很多數(shù)學(xué)問(wèn)題可以通過(guò)構(gòu)造方程而獲解實(shí)上，用設(shè)未知數(shù)的方法表示所求，可使計(jì)算過(guò)程書(shū)

7、寫(xiě)簡(jiǎn)便， 也易于表明角與角之間的關(guān)系四、轉(zhuǎn)化思想用簡(jiǎn)單、已學(xué)過(guò)的知識(shí)解決復(fù)雜、未知的知識(shí)，把復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，將陌 生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題來(lái)解 .這種解題思想叫轉(zhuǎn)化思想.例5如圖6,求五角星各頂角之和.分析：因?yàn)? A、/ B、/ C、/ D、/ E較分散，本例中又不知其度數(shù)，因此，應(yīng)設(shè)法將它們集中起來(lái)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形 來(lái)處理.根據(jù)三角形外角性質(zhì)和內(nèi)角和定理可以求解.解:因?yàn)? 1=/C+/E, /2=/B+/D,又因?yàn)? 1 + Z2+ ZA=180° ,所以/ A+ZB+ZC+ZD+ZE=180° .點(diǎn)撥:此題還可以連接 CD求解.當(dāng)我們求多個(gè)角之和不能

8、直接計(jì)算時(shí)，應(yīng)考慮轉(zhuǎn)化為三 角形求解.五、數(shù)形結(jié)合思想例6如圖7,在 ABC中，已知 AD是角平分線(xiàn)，/ B=60° , / C=45 ,求/ ADB和/ ADC的度數(shù).分析:在 ABD 中，/ ADB 是一個(gè)內(nèi)角，它等于 180 -Z B-Z BAD ,故求出/ BAD 即可求出/ ADB的度數(shù)，這由已知條件不難求得；同理可求出/ ADC的度數(shù).解:在 ABC中， . /B=60°,/C=45 , / B+/C+/BAC=180 ,，/BAC=180 /B /C=180 60 45 =75°.1 一 一 一又 AD 是角平分線(xiàn)，/ BAD= / DAC= / B

9、AC=37.52在4ABD中，Z ADB=180 -Z B-Z BAD=180 60° 37.5 =82.5 °.同理/ ADC=180 -Z C- / DAC=180 -45 -37.5 =97.5 °.點(diǎn)撥:幾何與代數(shù)是患難兄弟，密不可分 .在求解幾何題中，通常數(shù)與形要結(jié)合起來(lái)才能 打開(kāi)思路，進(jìn)行運(yùn)算.否則，一頭舞水，撲朔迷離，茫然不知所措數(shù)學(xué)思想方法在三角形中的應(yīng)用一、方程思想方法：例1、已知：等腰三角形的周長(zhǎng)是 24cm,腰長(zhǎng)是底邊長(zhǎng)的 2倍，求腰長(zhǎng).分析：根據(jù)等腰三角形的周長(zhǎng) =腰長(zhǎng)+腰長(zhǎng)+底邊長(zhǎng)和腰長(zhǎng)是底邊長(zhǎng)的 2倍，可設(shè)一腰長(zhǎng)的長(zhǎng)為xcm,可列方程為

10、x+2x+2x=24,解之即可.解：(1)設(shè)底邊長(zhǎng)xcm,則腰長(zhǎng)為2xcmx+2 x+2 x=24x =4.8. .腰長(zhǎng)=2x=2>4.8=9.6 (cm)點(diǎn)撥：用設(shè)未知數(shù)，找相等關(guān)系，列方程來(lái)解，體現(xiàn)了幾何問(wèn)題用代數(shù)方法解和方程思想.二、分類(lèi)討論的思想方法：例2、已知斜三角形 ABC中，/ A=45° ,高BD和CE所在直線(xiàn)交于 H,求/ BHC的度 數(shù).分析：三角形的形狀不同， 高的交點(diǎn)的位置也就不同，斜三角形包括銳角三角形和鈍角三角形，故應(yīng)分兩種情況討論 .解：. ABC為斜三角形，.ABC可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形,(1) 當(dāng) ABC為銳角三角形時(shí)(如圖 1)

11、,. BD、CE 是ABC 的高，/ A=45 ,，/ADB= Z BEH=90 ,/ ABD=90 -45 =45° ,/ BHC= / ABH+ / BEH=45 +90° =135°.(2) 當(dāng)4ABC為鈍角三角形時(shí)(如圖 2),H為 ABC的兩條高所在直線(xiàn)的交點(diǎn)，/A=45°,/ ABD=90 -45 =45° ,在 RtAEBH 中，/ BHC= 90 -Z ABD=90 -45 =45°.綜上所述，/ BHC的度數(shù)是135°或45°.點(diǎn)撥：當(dāng)問(wèn)題出現(xiàn)的結(jié)果不唯一時(shí)，我們就需要分不同的情況來(lái)解決，這就是分

12、類(lèi)的思想.此類(lèi)問(wèn)題的出現(xiàn)，往往會(huì)被同學(xué)們忽視，或考慮不全面，希望大家在平時(shí)就要養(yǎng)成分類(lèi)解析的習(xí)慣.本題易犯的錯(cuò)誤是只考慮銳角三角形的情況，而造成解答不全面的錯(cuò)誤三、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法：例3、如圖3,已知五角星形的頂點(diǎn)分別為A、B、C、D、E,請(qǐng)你求出/ A+/B+/C+/ D+ / E的度數(shù).分析：直接求這五個(gè)角的度數(shù)和顯然比較難，又考慮到此圖中提供的角應(yīng)與三角形有關(guān),我們應(yīng)該想辦法將這幾個(gè)角轉(zhuǎn)化成三角形的內(nèi)角，然后利用三角形的內(nèi)角和定理求解.解法一：1 是 CEM 的外角，/ 1 = /C+/E,/2是BDN 的外角，1 = /B+/D.在4AMN中，由三角形內(nèi)角和定理，得/ A+ / 1 + Z 2=180° ,. A+ /B+ / C+Z D+Z E=180° .解法二：如圖4,連結(jié) CD,在 BOE和 COD中，/ 5=7 6, / 3+Z4+ Z6=Z B+ / E+ Z 5=180° ,3+/4=/B+ / E.在 AACD 中，/ A+/ACE+/ ADC=180 ,.Z A+ Z ACE+ / ADC