立體幾何典型問題的向量解法

1、立體幾何中幾類典型問題的向量解法空間向量的引入為求立體幾何的空間角和距離問題、證線面平行與垂直以及解決立體幾何的探索性試題提供了簡便、快速的解法。它的實(shí)用性是其它方法無法比擬的，因此應(yīng)加強(qiáng)運(yùn)用向量方法解決幾何問題的意識(shí)，提高使用向量的熟練程度和自覺性，注意培養(yǎng)向量的代數(shù)運(yùn)算推理能力，掌握向量的基本知識(shí)和技能，充分利用向量知識(shí)解決圖形中的角和距離、平行與垂直問題。一、利用向量知識(shí)求點(diǎn)到點(diǎn)，點(diǎn)到線，點(diǎn)到面，線到線，線到面，面到面的距離(1)求點(diǎn)到平面的距離除了根據(jù)定義和等積變換外還可運(yùn)用平面的法向量求得，方法是：求出平面的一個(gè)法向量的坐標(biāo)，再求出已知點(diǎn)P與平面內(nèi)任一點(diǎn)M構(gòu)成的向量mP的坐nMP標(biāo)，

2、那么P到平面的距離d=MP*cos<n,MP>|=|q|-qqb',pq'_ AB'或 PQ，(2)求兩點(diǎn)P,Q之間距離，可車t化求向量PQ的模。(3)求點(diǎn)P到直線AB的距離，可在AB上取一點(diǎn)Q,令A(yù)Q=的最小值求得參數(shù)人，以確定Q的位置，則PQ為點(diǎn)P到直線AB的距離。還可以在AB上任取一點(diǎn)Q先求coscPQ,ABa,再轉(zhuǎn)化為sin<PQ,AB>,則PQsin<PQ,AB>為點(diǎn)P到直線AB的距離。q(4)求兩條異面直線li,l2之間距離，可設(shè)與公垂線段AB平行的向量n,C,D分別是li,l2上一qqCDn的任意兩點(diǎn)，則11,12之間距

3、離AB=耳nn例1：設(shè)A(2,3,1),B(4,1,2),C(6,3,7),D(-5,-4,8),求點(diǎn)D到平面ABC的距離例2：如圖，正方形ABCD、ABEF的邊長都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。點(diǎn)M在AC上移動(dòng)，點(diǎn)N在BF上移動(dòng)，若CM=BN=a(0<a<J2)。(I)(出)求MN的長；(n)當(dāng)a為何值時(shí),當(dāng)MN長最小時(shí)，求面MNA與面例3：正方體ABCDABCiDi的棱長為1,求異面直線ACi與ABi間的距離例4：如圖，在長方體面ACDi的距離。ABCD-ABQ1D1 中,AB = 4,BC = 3,CCi = 2,求平面 AB& 與平y(tǒng)q點(diǎn)評(píng)：若n是平面a

4、的法向量，AB是平面a的一條斜線段，且Bw汽，則點(diǎn)A到平面a的qaAB,n距離d=平行平面之間的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，變?yōu)樾本€在法向量上的射n影。二、利用向量知識(shí)求線線角，線面角，二面角的大小。(i)設(shè)li2是兩條異面直線，A,B是li上的任意兩點(diǎn)，C,D是直線12上的任意兩點(diǎn)，則li2AB*CD|所成的角為arccos-q陶ABCD(2)設(shè)AB是平面a的斜線，且Bwa,BC是斜線AB在平面a內(nèi)的射影，則斜線AB與-q-q平面a所成的角為 arccos一qj-4。設(shè)n是平面AB| *|BC|I -q二AB*n則AB與平面&所成的角為 一 -arccosLiq-T,-,2AB * n

5、AB*BCIa的法向量，AB是平面a的一條斜線，ABn|或者arcsin號(hào)。AB*n是 就q,4.q(3)設(shè)n1,n2是二面角a-l-P的面ot,P的法向量，則<n1,n2>=arc二面角的平面角或補(bǔ)角的大小。例5：在棱長為a的正方體ABCDA'B'C'D'中，EF分別是BC,A'D的中點(diǎn),(1)求直線AC與DE所成角；(2)求直線AD與平面B'EDF所成的角，'一(3)求平面BEDF與平面ABCD所成的角例6:如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PD_L底面ABCD,AD=PD,E,F分別CD、PB的中點(diǎn).(I)

6、求證：EF_L平面PAB;(n)設(shè)AB=應(yīng)BC,求AC與平面AEF所成角的大小例7:如圖，PA_L平面ABC,AC_LBC,PA=AC=1,BC=72,求二面角A-PB-C的大小。點(diǎn)評(píng)：如果AB,CD分別是二面角a-l-P兩個(gè)面內(nèi)的兩條直線，且AWl,CWl,AB-Ll,CDH,則二面角的大小為<AB,CD>例8:如圖，在底面是直角梯形的四棱錐S-ABCD中，/ABC=90°,AB=BC=1,AD=1.求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值.2SA，面 ABCD , SA =點(diǎn)評(píng)：用向量知識(shí)杳J叫I的大小時(shí)，是將二面角的問題轉(zhuǎn)化為兩平面的法向量的夾角問題，(1)當(dāng)法向量

7、與口2的方向分別指向二面角內(nèi)側(cè)與外側(cè)時(shí)，二面角的大小等于法向量n1與電的夾角的大小。(2)當(dāng)法向量5與“的方向同時(shí)指向二面角的內(nèi)側(cè)或外側(cè)時(shí)，二面角的大小等于法向量q-qq-q必與門2的夾角的補(bǔ)角n-<ni,n2。三、利用向量知識(shí)解決平行與垂直問題。例9:如圖，在直三棱柱ABCAiBiCi中，AC=3,BC=4,AAi=4,AB=5,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，(I)求證：AC±BCi;(II)求證：AiC平面CDBi；點(diǎn)評(píng)：平行問題的轉(zhuǎn)化：面面平行Q化,線面平行轉(zhuǎn)化，線線平行;介介例i0.如圖，在長方體ABCDAiBiCiDi,中，AD=AA日,AB=2，點(diǎn)E在棱AD上移動(dòng).(i)證明：

8、DiEAiD;(2)當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)E到面ACDi的距離；(3)AE等于何值時(shí)，二面角Di-EC-D的大小為-.四、利用向量知識(shí)解決立體幾何中的探索性問題。例ii.如圖，在直三棱柱(i)求證AC-LBCi；ABC-AB1cl 中，AC=3,BC =4,AB = 5,AA(2)在AB上是否存在點(diǎn)D使得ACi -L CD ?BiAD(3)在AB上是否存在點(diǎn)D使得AC平面CDB1五、專題突破：1、如圖：已知二面角a一P的大小為120二，點(diǎn)Aw口，BwP,AC_Ll于點(diǎn)C,BD _Ll于 D ,且 AC =CD = DB =1,求(1)直線AB與CD所成角的大小,(2)直線AB與CD的距離。2

9、、如圖，在四棱錐P-ABCD中，PDL底面ABCD,底面ABCD為正方形，PD=DC,E、F分別是AB、PB的中點(diǎn).(I)求證：EFXCD;(II)在平面PAD內(nèi)求一點(diǎn)G,使GFL平面PCB,并證明你的結(jié)論;(出)求DB與平面DEF所成角的大小.3、如圖，在直三棱柱ABCA1BC1中，/ACB=90,CB=1,CA=33,AA1=%/6,M為側(cè)棱CC1上一點(diǎn)，AMIBA1.(1)求證：AM_1平面A1BC;(2)求二面角B-AM-C的大小;(3)求點(diǎn)C到平面ABM的距離.4、如圖，ABCD-ABC1D1是正四棱柱，側(cè)棱長為3,底面邊長為2,E是棱BC的中點(diǎn)。(I)求證：BD1/平面GDE;(n

10、)求二面角C1-DE-C的大小(出)在側(cè)棱BB1上是否存在點(diǎn)P,使得CP-L平面CQE?證明你的結(jié)論。5、如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，/ACB=90°,AC=BC=CC1=2.(I)證明：ABJBCi；(II)求點(diǎn)B到平面AB1C1的距離.(III)求二面角ClABlAi的大小6、(2006年湖南卷)如圖4,已知兩個(gè)正四棱錐P-ABCD與Q-ABCD的高分別為1和2,AB=4.(I)證明PQL平面ABCD;(n)求異面直線AQ與PB所成的角；AB(出)求點(diǎn)P到平面QAD勺距離.1Bi7、(2006年全國卷II)如圖，在直三棱柱ABCAiBiCi中，AB=BC,D、E分別為B

11、BPACi的中點(diǎn).(I)證明：ED為異面直線BBi與ACi的公垂線；(n)設(shè)AAi=AC=V2AB,求二面角AiADCi的大小.Ci參考答案：例1：解：設(shè)平面ABC的法向量n=(x,y,z)”n.AB=0,n.AC=0,所以(x,y,z)42,-2,1)=02x-2yz=03一 一z2-zqq =qz = 2，則 n=(3,2,2) ,.cos<n, ADa3 (-7) 2 (-7)-2 732 22 (-2)2 ,(-7)2(-7)2 72(x,y,z)*(4,0,6)=04x6z=0B一一一一、.q44494917所以設(shè)D到平面ABC的距離為d,d=ADcoscn,AD=9=49&l

12、t;171歷17例2:解：建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系O-xyz._.a、.2-a一一、F(1,0,0),B(0,1,0),C(0,1,1),AM=(1-)AC-(0,1,1),1aBN =_a= BF, AN =(1 _. 2_：a一1_AB二AF二(a,.2-a,0)222n=I彳nnnjmN11,一二AN-am=Ka,0,aJ2).MNV2(2)由 MN = J(a 21+得a2近一,MN2、.2min、,21 1(3) ;a=,MN = (1,0 1)，又 MA =221 1(0,-1,-1), MB = (0,1,1)所以可求得平面 2MNA與平面q -qM N B勺法向量分別為r =

13、(1,1,1),%= (1,1,1),所以q.q4.qcos : ni,n2 =.3 31, .1一一,所以日=n -arccos-33例 3：解：如圖建立坐標(biāo)系，則 A(1,0,0), A(1,0,1),B1(1,1,1),C1(0,1,1), AB =(0,1,1), AC1 =(1,1,0),設(shè) MN 是直線 AC1與 AB1的公垂線，且/AN = ' AB1 (0, ，, ), AM =uAC1 =(-u,u,0)則 MN =MA +AA +AN =(u,u,0)+(0,0,1)+(0,%K)=(u,u,C1AB1CyMN *A1 =0 一一q -qqMN'.AB； =

14、02u = 0,='=2 -u =-1mn-O=MN：=i3例4:解：丫 BC/ADAD； u 平面 ACD1二 BC1 平面ACD1,同理 B 平面 ACD1,又A1B H BC1 =B;平面A,BC平面ACD,建立直角坐標(biāo)系 Dxyz,; AB=4,BC=3,CCi=2, A(3,0,2), B(3,4,0), C；(0,4,2)一一 q-qqq二 AB =(0,4, 2),BC1 =(3,0,2)，設(shè) n=(x,y,z)為平面 A1BC1 的法，zq q q =iq向量，則 n_L AB 口 n，AB =0,= 4y2z = 0,q - q q由 n _ BG = n *BC/

15、= 0= -3x 2z = 012不妨設(shè) z =1,. y= 一 ,x= 一 2312 1n=(3，2,1)二、利用向量知識(shí)求線線角，線面角，二面角的大小。 例5:小一 x /A解：(1)如圖建立坐標(biāo)系，則 A'(0,0, a),C(a,a,0), D(0, a,0), E(a,a,0)2,a 二 AC =(a,a, a), DE =(a, ，0),2S q_J J AC *DE15, cos < AC , DE >=qAC ,DE15故AC與DE所成的角為arccos1515(2) ;/ADE =/ADF,所以AD在平面BEDF內(nèi)的射影在 /EDF的平分線上，又B EDF

16、為菱形，,DB為/EDF的平分線，故直線 AD與平面B EDF所成的角為NADB ,建立如圖所示坐標(biāo)系，則 A( 0 , 0 B 0a , a( D 0 ,a ) ,( 0 ,二 DA=(0,-a,0), DB' =(a,-a,a)，! I -CA CCDA*DBV3二 cos < DA, DB >=Sr =DA , DB'|3故AD與平面B'EDF所成角為arccos3,_'_a_由A(0,0,0),A(0,0,a),B(a,0,a),D(0,a,0),E(a,0)所以平面ABCD的法向量為2m=AA=(0,0,a)下面求平面B EDF法設(shè) n =

17、 (1, y, z)，由一！ a ED«a萬，吁an*ED=0-a 0 ,1 , )2j nEB =(y = 2z=1. n = (1,2,1)B-q q'' '' m *n cos < n, m =' I '二m.|n平面o(所成的角為 arcco1一q(3)設(shè)n1,n2是二面角a -l -P的面a, P的法向量，則-q -q-q -q( n1, n2 A arc cos7,6_-a、，6,所以平面BEDF與平面ABCD所成的角arccos66點(diǎn)評(píng)：(1)設(shè)li,l2是兩條異面直線，A,B是li上的任意兩點(diǎn)，C,D是直線12上的

18、任意兩點(diǎn),AB*CD|則li2所成的角為arccos-ABICDI(2)設(shè)AB是平面a的斜線，且Bwa,BC是斜線AB在平面a內(nèi)的射影，則斜線AB與.q-cAB,BCABBC二面角的平面角或補(bǔ)角的大小。例6:(I)證明：建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，設(shè)AD=PD=1,AB=2a(a>0),則E(a,0,0),1111、C(2a,0,0),A(0,1,0),B(2a,1,0),P(0,0,1),F(a,一,一).得EF=(0,一,一),PB=(2a,1,1),222211AB=(2a,0,0).由EFAB=(0,一)(2a,0,0)=0,得EF_LAB,即EF.LAB,22同理 EF _LP

19、B ,又 ABPB =B所以，EF_L平面PAB.(n )解：由 AB = 72BC,得 2a =拒，即 a =-2得 e號(hào),0,0), "¥，*)，C(我,0,0).一 ,.21 1有 AC =(亞,-1,0) , AE=(21,0)，Eft。，1，).設(shè)平面AEF的法向量為n=(x, y,1),PCD,n EF =0由 一n AE = 01 1(x, 乂1) (。,*2)=0(x, y,1)(5，-1,0)=0于是 n=(-、.2,-1,1).y=-1解得x-2設(shè)AC與面AEF所成的角為0,AC與n的夾角為<AC,n>.AC n則 sin 日=cos <

20、; AC, n > =一 , AC -|n|(72,-1,0)(-72,-i,i),2 10、211""6所以,點(diǎn)評(píng):JTAB *n- -arccos-qrq,-ABn或者arcsinAB*n得)arcsin6AC與平面AEF所成角的大小為arcsin6q設(shè)n是平面a的法向量，AB是平面a的一條斜線，則AB與平面a所成的角為例7：解：建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系C-xyz,取PB的中點(diǎn)D,連DC,可證DC_LPB,作AE_LPB于E,則向量DC與EA的夾角的大小為二面角A-PBC的大小。丁 A(1,0,0), B(0,應(yīng)0),C(0,0,0), P(1,0,1),D為P

21、B的中點(diǎn),/在 RtVPAB 中，EBAP2AB2.E分PB曲比為133 ',2 3E(-,)EA=(一,-4 4 44121、DC =( -，- ，一)222 -1；,3EA,DC = , EA =， 22DC= 1,cos；EA,DC =2 ;由3 .3面角A - PC -C的大小為arc cos'?3例8:1解：如圖建立直角坐標(biāo)系，則B(0,1,0),D(,0,0),C(1,1,0),S(0,0,1)2111AD=(,0,0),SC=(1,1,-1),SD=(,0,-1),丁SA_L平面ABCD,二AD_L平面SAB22-cq所以AD是平面SAB的一個(gè)法向量。設(shè)平面SCD

22、的一個(gè)法向量n=(x,y,z)z由<qn _SCX y-Z=° x=2zn _SD n*SD=01x.z=0 =2y = Z令 z=1,n=(2, 1,1),.AD *n. cos < AD, n >= qADn6=，tan 二 AD,n、二3S-C2AD平面SCD與平面SAB所成的二面角的正切值為,2點(diǎn)評(píng)：用向量知識(shí)求二面角的大小時(shí)，是將二面角的問題轉(zhuǎn)化為兩平面的法向量的夾角問題,(1)當(dāng)法向量n1與n2的方向分別指向二面角內(nèi)側(cè)與外側(cè)時(shí)，二面角的大小等于法向量q-q力與n2的夾角的大小。(2)當(dāng)法向量n丐出的方向同時(shí)指向二面角的內(nèi)側(cè)或外側(cè)時(shí)，二面角的大小等于法向量

23、q-qq71與門2的夾角的補(bǔ)角冗<n1,n2。三、利用向量知識(shí)解決平行與垂直問題。例9:解：直三棱柱ABCA1B1C1底面三邊長AC=3,BC=4,AB=5,，AC、BC、C1C兩兩垂直，如圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線CA、CB、CC分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4),D(3,2,0)2(1)AC=(3,0,0),BC1=(0,-4,0),AC?BC1=0,ACXBC1.(2)設(shè)CB1與C1B的交戰(zhàn)為E,則E(0,2,2)./DE=(3,0,2),AC1=(-3,0,2I/I1 -4),D

24、E=-AC1,-DEHAC1.DEU平面CDB1,AC1(z2平面CDB1,AC1/平面CDB1；點(diǎn)評(píng)：平行問題的轉(zhuǎn)化：面面平行七線面平行轉(zhuǎn)|線平行;介介例10.解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線DA,DC,DD1分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AE=x,則A1(1,0,1),D1(0,0,1),E(1,x,0),A(1,0,0)C(0,2,0)(1)因?yàn)橥?D1E=(1,0,1),(1,x,1)=0,所以DA11DTE.D1E=(1,1,1), AC =(1,2,0),(2)因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，則E(1,1,0),從而D1B1TA1nAC=0,AD1=(1,0,1),設(shè)平面ACDi的法向量為

25、n=(a,b,c),則qqnAD1=0,-f-a+2b=0a=2b-一也即，得，從而n=(2,1,2),所以點(diǎn)E到平面ADiC的距離為a+c=0a=c.|DiEn|21-21h=：=|n|33(3)設(shè)平面D1EC的法向量n=(a,b,c),CE=(1,x2,0),DC=(0,2,1),DD1=(0,0,1),-q,n.D1c=0,12b-c=0由<qq=<令b=1,.c=2,a=2x,n*CE=0,ab(x-2)=0.-n=(2-x,1,2).q徐日萬事:|n*DD1|22,.2依題思cos=一=.4|n|DD112.(x-2)252x1=2+J3(不合，舍去)，x2=2-J3.A

26、E=2V3時(shí)，二面角Di-EC-D的大小為:.四、利用向量知識(shí)解決立體幾何中的探索性問題。例11.解：直三棱柱ABCAB1c1,AC=3,BC=4,AB=5,AC,BC,CC1兩兩垂直，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線CA,CB,CC1分別為x軸y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則C(0,0,4),A(3,0,0),G(0,0,4),B(0,4,0),B,(0,4,4)(1);AC=(-3,0,0),BC1=(0,-4,4)，二AC,BG=03AC_LBC.AC_BC,x(2)假設(shè)在AB上存在點(diǎn)D，使得AC1.LCD,則AD=£AB=(34人,0)其中0E九E1,則D(33%4九,0),于是CD=

27、(33九,4九,0)由于AG=(3,0,4),且AC1CD所以9+9九=0得九=1,所以在AB上存在點(diǎn)D使得AC11CD,且這時(shí)點(diǎn)D與點(diǎn)B重一q-q(3)假設(shè)在AB上存在點(diǎn)D使得AC"/平面CDB1,則AD=九AB=(3八,4九，0)其中0E九E1則D(33£,4兀0),B1D=(33九,4九一4,4)又B1C=(0,-4,-4).由于AC1=（3,0,的C1/平面CDB1,所以存在實(shí)數(shù)m,n,使AC1=mB1D+nBC成立，,一、，一，1二1（3一3九）=一3,m|（4九一4）一4門=0,m1-4門=4,所以九=,所以在AB上存在點(diǎn)D2使得AC1平面CDB1,且D使AB的

28、中點(diǎn)?？偨Y(jié)：向量有一套良好的運(yùn)算性質(zhì)，它可以把幾何圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)了數(shù)與形的結(jié)合，在解決立體幾何的距離與夾角、平行與垂直、探索性等問題中體現(xiàn)出巨大的優(yōu)越性，請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真領(lǐng)會(huì)。五、專題突破：-iqq-iqq-qqqqqqqqoqq。1解：設(shè)AC=a,CD=b,DB=c,a=b=C=1,<a,b>=<b,c>=90；<a,c>=60',AB;而工花)2:7Fc27b72bc72aC;2,(1)一嗎一.qi ； qAB .CD, cos < AB, CD >=q-q r (a' bAB ,CD2- c)*b bc b 2

29、1，AB,CD所成的角為60q.q_.dq(2)設(shè)與AB,CD都垂直的非零向量n=xa+yb+z&由n_LAB,n_LCD得r q q(xa yb qq(xa ybq q 。 (a' b cb = 0二0 3x 2y 3z = 0，令y =0設(shè)AB與CD的距離為d ,，d一q cAC *n(a： -c) *a 1d7日Aqqqx=1/寸z=-1,n=a-c2、解：以DA、DC、DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，設(shè)AD=a,則D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a,a,0)、_a_aaa_C(0,a,0)E(a,a,0)、F(a,-,a)>P(0

30、,0,a).2222aa、(I)EFDC=(-a,0,-)(0,a,0)=0,EFDC.22(n)設(shè)G(x,0,z),則G平面PAD.：aaaFG=(x-,-,z-),222''aaaaaFGCB=(x-,-,z-)(a,0,0)=a(x)=0,x=3；222222(m)設(shè)平面DEF的法''aaaaaFGCP=(x-2,-,z-)(0,a,a)=+a(z5)=0,z=0.二G點(diǎn)坐標(biāo)為(go。),即G點(diǎn)為AD的中點(diǎn).2向量為n=(x,y,z).n DF =0,田 , q qn DE =0(x,y,z) C-，-譚)得2 2 2=0,(x,y,z) (a,-,0)

31、= 0,a,、八(xyz)=0,即2取x=1M=-2,z=1,aaxy=0.2qqn = (1,-2,1).cos BD,n =、3BD n|BD|n| J2a166,DB與平面DEF所成角大小為-arccosf(即arcsine3、證明：(1)在直三棱柱ABCAiBiCi中，易知面ACCiAj面ABC,./ACB=90,.BCL面ACC1A1,AMu面ACC1A1,.BC，AMAM_LBA1,且BCBA1=B,AM_L平面A1BC解：(2)如圖以C為原點(diǎn)，CA,CB,CCi所在直線分別為x軸,y軸,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(V3,0,0),A，:3,0r6B(0,1,0設(shè)M(0,0,z

32、);AM_LBAi，.二AMBA=0即m- AM, mu aB,m AM' = 0，-q 即m AB = 03+0+76乙=0,故乙=-,所以M(0,0,W6)122q設(shè)向量m=(x,y,z)為平面AMB的法向量，則Jr-.3xz-02，令x=1,的平面AMB的一個(gè)法向量為m=(1,J5,J3),顯然向量CB是J3xy=0-Q - m CB平面AMC的一個(gè)法向量,cos：m,CB-：!-|m|CB|q易知，m與CB所夾的角等于二面角BAMC的大小，故所求二面角的大小為45°.qtqTf-向量CB在法向量m上的投影的長！m,CBJ即為所求距離，;m:CBJ=W3=f2|m|m|

33、,62點(diǎn)C到平面ABM的距離為24、(I)建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,如圖，則又D(0,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),Ci(0,2,3),Di(0,0,3),E(1,2,0)連接CD1,與GD相交于O,連接EO易知O(0,1,1.5)BDi=(-2,-2,3),EO=(-1,-1,1.5)BDi=2EO.EO/BD1又BD1紅平面GDE,EO匚平面C1DE.BD1平面C1DE(n)解：過點(diǎn)C做CH.LDE于H，連接C1H，在正四棱柱ABCDABC1D1中，CC1.L平面ABCDC1HIDE,C1HC是二面角C1-DE-C的平面角根據(jù)平面幾何知識(shí)，易得H(0.8,1.6,0)HC

34、=(0.8,0.4,0),HC1=(0.8,0.4,3)一二一：HCHC2cosC1HC=cos(HCWC1)=日干-1=一22-1/CHC=arccos-，二面角C1-DEC的大小為arccos-77(出)解：在側(cè)棱BB1上不存在點(diǎn)P,使得CP_L平面C1DE證明如下：假設(shè)CP-L平面C1DE,則必有CP-LDE-q-q設(shè)P(2,2,a),其中0EaE3,則CPWE=2#0,這顯然與CP_LDE矛盾假設(shè)CP_L平面GDE不成立，即在側(cè)棱BB1上不存在點(diǎn)P,使得CP1平面C1DE5、(1)如圖建立直角坐標(biāo)系，其中C為坐標(biāo)原點(diǎn).依題意A(2,0,0),B(0,2,0),B1(0,2,2),Ci(0,0,2),因?yàn)锳BBC1=(2,2,2)<0-2,2)=0,所以ABJBC1.(2)設(shè)n1=(x1,y1,4)是平面AB1C1的法向量,由 n1ABi= 0,n1 AC1 =0得_ x1y1-x1z1Zi = 0, =0,yi=0,人令乙=1,則 n =(1,0,1), =z1,因?yàn)?AB = (2,2,0),所以,B到平面AB 1C1的距離為d = 1 AB1 | = J2|ni I(3)設(shè) n2 = (x2, y2 ,z2)是平面 AiAB i 的法向量.由 n2 AB = 0, n2 AA =