立體幾何(小題)專題歷年高考真題模擬題匯總(解析版)

1、立體幾何一、年考試大綱二、新課標(biāo)全國卷命題分析三、典型高考試題講評(píng)2011一年新課標(biāo)全國(1卷、2卷、3卷)理科數(shù)學(xué)分類匯編一一11.立體幾何一、考試大綱1.空間幾何體(1)認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu).(2)能畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合)的三視圖，能識(shí)別上述三視圖所表示的立體模型，會(huì)用斜二側(cè)法畫出它們的直觀圖.(3)會(huì)用平行投影與中心投影兩種方法畫出簡單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式.(4)會(huì)畫某些建筑物的視圖與直觀圖(在不影響圖形特征的基礎(chǔ)上，尺寸、線條等不作嚴(yán)格要求).(5)

2、 了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式2 .點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系(1)理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義，并了解如下可以作為推理依據(jù)的公理和定理公理1:如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在此平面內(nèi)公理2:過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.公理3:如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線.公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行.定理：空間中如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).(2)以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)與判Tffl7E7E理

3、.理解以下判定定理.如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行.如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面都平行，那么這兩個(gè)平面平行.如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直.如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直.舊理解以下性質(zhì)定理，并能夠證明.：一如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么經(jīng)過該直線的任一個(gè)平面與此平面的交線和該直線平行.如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線相互平行.垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.如果兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線與另一個(gè)平面垂直3 .能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論

4、證明一些空間圖形的位置關(guān)系的簡單命題4 .空間直角坐標(biāo)系1) )了解空間直角坐標(biāo)系，會(huì)用空間直角坐標(biāo)表示點(diǎn)的位置(2)會(huì)推導(dǎo)空間兩點(diǎn)間的距離公式.、新課標(biāo)全國卷命題分析立體幾何小題?？嫉念}型包括：(1)球體；(2)多面體的三視圖、體積、表面積或角度，包括線線角、線面角以及面面角，要重視常見幾何體的三視圖、三視圖還原幾何體的常用方法、面積和體積的計(jì)算式以及點(diǎn)線面的位置關(guān)系等，也要注意提高空間想象能力與數(shù)學(xué)計(jì)算能力.立體幾何解答題第1問主要集中考查空間中直線、平面的位置關(guān)系的判斷，注重對(duì)公理、定理的考查，而第2問多考查空間向量在空間立體幾何中的應(yīng)用，在證明與計(jì)算中一般要用到初中平面幾何的重要定理，

5、空間思維要求較高，運(yùn)算量較大，對(duì)學(xué)生的空間想象能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力要求較高.在考查考生運(yùn)算求解能力的同時(shí)側(cè)重考查考生的空間想象能力和推理論證能力，給考生提供了從不同角度去分析問題和解決問題的可能，體現(xiàn)了立體幾何教學(xué)中課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)考生的知識(shí)要求和能力要求，提升了對(duì)考生的數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考查.本試題能準(zhǔn)確把握相關(guān)幾何元素之間的關(guān)系，把推理論證能力、空間想象能力等能力和向量運(yùn)算、二面角作圖、建立空間直角坐標(biāo)系等知識(shí)較好地融入試題中，使考生的空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力得到了有效考查.二2) (2016新課標(biāo)n,14)a、(3是兩個(gè)平面，mn是兩條直線，有下列四個(gè)命題:(1)如果vm

6、Ln,mLa,n/3,那么aX(3.曰(2)如果mila,n/a,那么miln.(3)如果a/(3,ma,那么m/(3.(4)如果m/n,a/(3,那么mUfa所成的角和n與B所成的角相等.其中正確的命題有.(填寫所有正確命題的編號(hào).)【答案】解析：略.2. (2018 新課標(biāo) n,9)在長方體ABCDA B1C1 Di 中，AB BC1 , AA 73 ,則異面直線 AD1與DB15所成角的余弦值為(B.C.D.【答案】C解析：法一：由幾何關(guān)系可知：EF1B1D 2由余弦定理可知：cos 5522解法二：坐標(biāo)法： 由幾何關(guān)系可知:uuur 一B1D1,1,73 ,點(diǎn)A的坐標(biāo)為1,0,J3,點(diǎn)

7、D1的坐標(biāo)為1,1,0ujuu-AD10,1,V3,cos. 22422.5 .立體幾何（小題）（解析版）3. （2018新課標(biāo)全國I卷理7）某圓柱的高為2,底面周長為16,其三視圖如右圖所示，圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A,圓柱表面上的點(diǎn)N在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為（）A-217B.25C.3D.2【答案】B解析：當(dāng)路徑為線段MN寸，長度最短，故最短路徑的長度為4. （2018新課標(biāo)I,理12）已知正方體的棱長為1,每條棱所在直線與平面所成的角都相等，則截此正方體所得截面面積的最大值為（）A.3-1B,"C.3JD,立4342可得面A&

8、amp;B平移【答案】A解析：（直接法）平面A1GB符合題意，如圖（1）所示，例題中的平面平移后的圖象如圖（1）所示，六邊形EFGHMN為該截面設(shè)ANx,則有ENJ2x,MNJ2(1x)根據(jù)對(duì)稱性可知EF2（1x）,FGJ2x,延長EN,HM相交于點(diǎn)P延長EF,HG相交于點(diǎn)Q,易證HEFEHG60o所以EHQ為等邊三角形，同理EHP為等邊三角形,所以務(wù)邊形EFGHMNmaxSEHGSEPGSPMNSFGQ4(2)2-344(二2)2學(xué)司X)2康外)2.3i3(2x22x1)EFGHMNmax334【解法2】（特殊位置法）由題可知，截面應(yīng)與正方體體對(duì)角線垂直，當(dāng)平面平移至截面為六邊形時(shí),此時(shí)六邊

9、形不變，所以當(dāng)截面為正六邊形時(shí)，面積最大SA邊形EFGHMNmax6.364力,122(T)Ha5.(2018新課標(biāo)H,9)在長方體ABCDAB1C1D1中,ABBC1,AA1后,則異面直線ADi與DBi所成角的余弦值為（B5B.6【答案】C解析：法一：由幾何關(guān)系可知:心5,2d.21cc5BiD,22AE義3,AF1,由余弦定理可知：cos25C.EF解法二：坐標(biāo)法：由幾何關(guān)系可知:ujuurBiDi,i,V3,點(diǎn)A的坐標(biāo)為1,0,V3，點(diǎn)Di的坐標(biāo)為1,1,0uuuuuADi0,1,V3,cos2 55解法三：補(bǔ)型法（以右補(bǔ)為例）：由幾何關(guān)系可知：BDJ5,DG2,BiGJ5,由余弦定理可

10、得:cosC 120°，2,6.（20i7新課標(biāo)n,i0）已知直三棱柱0八中,CiiCiCCCii,則異面直線i與Ci所成角的余弦值為（）,33【答案】B解析：解法一：在邊BBi、BG、ABi、AB上分別取中點(diǎn)E、F、G、H,并相互連接.由三角形中位線定理和平行線平移功能，異面直線ABi和BCi所成的夾角為FEG或其補(bǔ)角,ii，利用余弦定理可求得異面直線2通過幾何關(guān)系求得EF工,FG,FH22解法二：補(bǔ)形通過補(bǔ)形之后可知:ABi和BCi所成的夾角余弦值為.BCiD或其補(bǔ)角為異面直線ABi和BCi由勾股定理或余弦定理可得異面直線AB和BCi所成的夾角余弦值為勺05B 0,0,i , C

11、i解法三：建系建立如左圖的空間直角坐標(biāo)系，A0,2,i,Bi0,0,0,BC1 uun BiAuuuuBC1uuir uuuu25210""5"7. （2016 新課標(biāo)I ,11）平面 過正方體 ABCD A1B1clD1的頂點(diǎn)A,/ 平面 CB1D1 ,I平面ABCD平面ABB1Al n,則m,n所成角的正弦值為（(B) (C)2,33(D)uuuu31uuuBC1,1,BA0,2,1，cos22/平面CB1D1，若設(shè)平面CB1D1I平面ABCD,則色/mBQ又平面ABCD/平面ABGD,結(jié)合平面B1D1CI平面ABC1D1B1D1/白，故B1D1IIm同理可得

12、：CD1IInn的所成角的大小與B1D1、CD1所成角的大小相等，即CD1B1的大小.3而B1CB1D1CR(均為面對(duì)交線)，因此CRB1-,即sinCD1B132故選A.8.（2015新課標(biāo)I,6）九章算術(shù)是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺.問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一），米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3,估算出堆放的米約有(A)14斛(B)解析：22斛2R（C）36斛（D）66斛8,圓錐底面半徑R1

13、6,米堆體積1V12R2h320V人堆放的米約有22,選（B）.1.629.(2014新課標(biāo)n,11)直三棱柱ABCABC中，/BCA90o,MN分別是ABi,AC的中點(diǎn)，BGCACC,則BM與AN所成的角的余弦值為（）A. ±B. 2C. _2£D. J2105而2【答案】C解析：取BC的中點(diǎn)P,連結(jié)NP AP, /M N分別是A1B1, A1C1的中點(diǎn)，四邊形 NMB的平行四邊形，BM/ PN，所求角的余弦值等于/ ANP勺余弦值，不妨令 BCCA=CC=2,則 AN=AP=V5 , NP=MB=6 ,cos ANP|AN|2 |NP|2 |AP|22 |AN| |NP

14、|(、.5)2 Q6)2 Q 5)22 .5 630而【另解】如圖建立坐標(biāo)系，令A(yù)C=BC=OC=2,則A（0, 2, 2）, B（2, 0, 2）,M1,uuuuBM1,0)UULTcos 0(1,1, 2),AN uuuT uuur BM AN-UULULUU| BM | | AN |(0, 1,0 1 46.5N0,2),30101,0)10. （2013 新課標(biāo)n, 4）已知m, n為異面直線，m 平面,n 平面.直線l滿足l m, l n , ll，貝U ()A. a /§ 且 l aB. 且lC.與相交，且交線垂直于lD.與相交，且交線平行于l【答案】D解析：因?yàn)閙l a

15、 , l la,所以l/a.同理可得l/§.又因?yàn)閙n為異面直線,所以a與B相交，且l平行于它們的交線.故選D.11. （2018新課標(biāo)n,理16）已知圓錐的頂點(diǎn)為S,母線SA,SB所成角的余弦值為-,SA與圓錐底面8所成角為45.若4SAB的面積為5折,則該圓錐的側(cè)面積為【答案】40立解析：由面積的關(guān)系可知：SASB4由幾何關(guān)系可知：SOAO2加側(cè)面積SSAl,l2OA4布,側(cè)面積SSAl40、歷ABC的直角邊AC所12. （2017新課標(biāo)出，）16.a,b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形在直線與a,b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論:當(dāng)直線AB與a成6

16、0o角時(shí)，AB與b成30o角;當(dāng)直線AB與a成60o角時(shí)，AB與b成60o角;直線AB與a所稱角的最小值為4S；直線AB與a所稱角的最小值為60o；其中正確的是.(填寫所有正確結(jié)論的編號(hào))不妨設(shè)圖中所示正方體邊長為【答案】解析：由題意知，a,b,AC三條直線兩兩相互垂直，畫出圖形如圖.C為圓心,1為半徑的圓.1,故AC1,AB22,邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，則A點(diǎn)保持不變，B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以LUJfLUU、坐標(biāo)原點(diǎn)，以CD為X軸正萬向，CB為y軸正萬向，CA為z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.則D(1,0,0),A(0,0,1),直線a的方向單位向量a(0,1,0),a1.B點(diǎn)起始坐標(biāo)為(0,1,0),直線b的方向單位向量b (1,0,0) , b 1 .設(shè)B點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中的坐標(biāo)B cos ,sin其中為BC與CD的夾角,0,2 t).UULT 那么AB'在運(yùn)動(dòng)過程中的向量 AB ( cos,sin ,1)，uuuuAB. 2.ABr與a所成夾角為一 兀 一0,-，貝U cos2(cos , sin ,1) (0,1,0)UULU a AB4,2,所以正確，錯(cuò)誤.ABr與b所成夾角為0,；,cosUUUUAB biULUEI b|ABcos ,sin ,1) (1,0,0)M-rar ABcos當(dāng)ABr與a