最新自主招生試題整理1

1、最新自主招生試題整理1 .求函數(shù) f(x) =2(j36 x2 +j64x2)x (0 <x<6)的最大值.(2013年中國科技大學(xué)夏令營)解法一：f (x) =1 ()36-x2 +，64 -x2)x = 2 J36 -x2 x-x + 3764- x2 父 4 x 2348312323242(36 -x2(-x)2) (64-x2(x)2)=24.34163當(dāng)且僅當(dāng) 736-x2 =-x, J64-x2 =- x ,43從而f (x)的最大值為24.說明：本解法直接利用平均值不等式，但系數(shù)并不滿足平均值不等式的要求，需要對系數(shù)加以變形處理，使之滿足要求，再利用平均值不等式求解解

2、法二：f(x) =1( 36-x2,64-x2)x = 1(.36-x2 x . 64 - x2 x)< 丁 (x2 64 一 x2)(36 一 x2 x2) v 1 8 6 = 24.說明：本題利用到柯西不等式：ac + bd M J(a2 +d2)(b2 +c2).解法三:f(x) =g(.36 -x264 -x2)x = 1(6. 122、x. (62 82)(122x / x一 :13664二24言/一亮央45x)2 (25x236 16)一 二24.41說明：本題首先利用柯西不等式， 然后再利用平均值不等式進(jìn)行求解，求解過程中應(yīng)該注意系數(shù)的湊配.f (x) = %，36解法四：

3、令 x =6sin a =8sin P , a , P w (0,=),則-x264 -x2)x =3xcos: 4xcos ：二 24sin : cos-： ； 24sin 二 cos : =24sin(-： '','1) - 24.當(dāng)且僅當(dāng)口 +P =時 即tana =4時等號成立 即 f(x)的最大值為24. 23解法五：構(gòu)造如下圖形:A其中 AB =6, AC =8, AD_LBC 且令 AD = x,顯然f(x) =1(j64 x2 +J36x2)x的幾何意義為AABC的面積.1_ 一 一而 &ABC 的面積又可表不為 f(x)=萬| AB|AC|si

4、nA = 24sinAM24.2 .若 a、B、了 w (0, q)，且 cos2u+cos2 B+cos2 了 =1.求證：tana tan P tan Y >272.(2013年中國科技大學(xué)夏令營)證明：由條件 cos2 a +cos2 P +cos2 了 =1,得2222sin a =1 -cos a =cos P +cos，之 2cos P cos ；,同理，得 sin2 P > 2cos« cos'' ,sin2 = 2cos 二 cos :.將上述三式相乘，得 sin2口 sin2 P sin2 >8cos2口 cos2 0 cos2 y

5、,即 tan 二 tan : tan :二 2 2.類似題目：若 a、P、w(0,：)，且 cos2"+cos2 P+cos2 y =1.求證：cot .： cot : cot _2、2.解：由條件 cos20c +cos2P +cos2y=1 ,得 cos% +cos2 P +cos2了 =2.得 cos2 1二1 -cos2 : 1 - cos2 =sin2 ： sin2 - 2sin : sin .同理，得 cos2 B 之 2sin Q sin '< , cos2 * 上 2sin a sin 口 .將以上三式相乘，得 cos2 a cos2 c cos2，之

6、8sin 2 asin2 B sin2 7,即得 cot ： cot ： cot 二 2、2.3x - x(2013年中國科技大學(xué)夏令營)3 .求函數(shù)f (x) =24的最大值與最小值的乘積1 2x x解法一：|f(x)| 二、，1解法二：-1三43x -x1 2x2 x41 +2xx2 "2 十2x2解法三：令x二tan二22x2 1 十 x21 -x21 x23x - x1 2x2 x41 -x21 2x,貝U f (x) = -22 1 x2 1 x1.1 .八=sinFcosi - sin2i.Ji4小1 2xx2 '22 + 2x26tan2_,2口1 tan -2

7、11所以f (x)的年小值為一一，最大值為一，從而取大值與年小值的乘積為*1n4.已知 nW N , n 之2.求證：(1+)<3. n1 一 , 1 c 11 一證法一：(1+fn =1 +c； +c；(1)2 +lli +cn()n。1 n(n -1) 1 n(n -1)(n -2)=2 o' 2!n23!<14,211 -tan 22l1 tan -2116(2013年中國科技大學(xué)夏令營)n(n-1) HI 2 111：2 - - 2! 3!11< 2 -12 2 31十n!(n -1) n111. .11=2 (1-1) (1-1) IH (-22 3 n -

8、1 n-3-n ：3.、一一 11x證法二：原不等式等價于1+<3n.構(gòu)造函數(shù)f (x) =3x-x-1 ,nx (0,1).由于f (x)= 3 ln3 1 0所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，所以 f(x)> f (0),即，1 r、3 >x+1,令 x=即證. n說明：本題是一道非常著名的陳題，證明一，1 八，、，2 < (1 +) < 3.并且在數(shù)學(xué)分析書上有 n.一 1nnlm(1 n)=e的證明.詳細(xì)解法見高等教育出版社出版的同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編寫的 學(xué)(第六版上冊)第 53頁與第54頁.5.數(shù)列an滿足：a。= a1，Janan_2 + J an an

9、=2ani.求數(shù)列an的通項公式.（2013年中國科技大學(xué)夏令營）-1(n >2),且 b0 =1.所以 bn°1=2(必/ 1),由 b0=1,則 42=1,*則 an =an,=111 =a =a° =1,所以 an =1(n w N ).6 .已知異面直線a、b成60，角，M為空間內(nèi)一定點，則過點M與a , b成45的平面共有多少個?（2013年中國科技大學(xué)夏令營）解：共兩個將a, b平移到點M ,如圖，直線a', b及點M確 定平面二.且.a Mb =60:.a', b與一個平面成45,角，則a , b與該平面的法向量n都成45,角.一條法向量

10、n對應(yīng)著一個平面，則問題轉(zhuǎn)化為：過點M與a', b都成45角的直線（：所在的直線）有多少條?顯然這樣的直線有兩條.從而所求平面共有兩個.7 .證明：sin sin - |l| sin nn （n _ 2, n N*）. n nn 2（2013年中國科技大學(xué)夏令營）、r，一 2 兀2 兀證明：設(shè)1的2n次單位根為0 c cos+isin.n n則1 ,與4 ,，82(n口,02n都是x2n =1的根.由 x2n -1 =(x2 -1)(x2(nJ1) x2(T)HI x21)= (x2 -1)(x2 - 2)(x2 - 4)111 (x- 2(n4)2(n1) ,2(na222242.

11、2(n 叭x xx1=(x-)(x-') (x).令 x=1 則令，貝U得(18 2)(184川|(182(2) =n .由于=cos 2- isinn/日 k花,得 sin 二nk-k2kl0002i2i k兀所以sin sin ni (n1)冗2l)(04l)|(0 2(n)l)sin-n- (2i)n.jJS(2-i)( 4-i)H( 2(nJ)-i)(-2-1)( 4-1)1|1( -2(nJ)-1)(1-.2)(1 .4)|(i-.2(nJ)說明：本題是2011年清華大學(xué)金秋營中曾經(jīng)考查過的一道原題，也是一道非常經(jīng)典的試題，可參考全國重點大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)教程（張?zhí)斓?賈廣素

12、王瑋 主編 山東科學(xué)技術(shù)出版社）第290頁例12.8 .討論方程(x2014+1)(1+x2+x4+x2012) = 20 1 4 x2013 的根的情況.(2013年中國科技大學(xué)夏令營)20142420121007100610062013斛：(x 1)(1 x x x ) _ 2| x |(1007x x ) _ 2014x.第一個等號當(dāng)且僅當(dāng)|x| = 1時成立，第二個等式當(dāng)且僅當(dāng) x = 1時成立，從而原方程無解說明：本題進(jìn)一步還可證明1007L 2k x k 020131 2014x20141 x9 .數(shù)列an滿足：a1 = 1 , a2 = 1 , a3 = 2 , 2門書=&quo

13、t;書 述 （n>0,n 匚 N ）.an證明：數(shù)列 an中的項都是正整數(shù).（2013年中國科技大學(xué)夏令營）證明 : 由 工 書,得 ananS =an+and2 + 7 ,從而 an 書an+ = an42an43 * 7 ,an兩式作差，得anan* -4書=an七an4 -an七an忐，從而 -n- - n* n七=± _1，即 an 2an 2an 3 an 3anan 1 一 an 1an 4 - an 2an 3 u k -_ _ _ ，從而 anan-fe an -+an-fe an+an -2 - an+2anan 2an 2an 2an 3移項 , 付 an

14、a an -3 a an -2an -3 an _2an + + an+an 七)即 an 依(an ' an七 ) an 由(an42 ' an七 ) ,anan 2 _an，2 an -4anan 2a1a3 q所以=.令 bn =,從而 bn = bn七，且 b1 = = 3 ,an 1an 3an 1a2b2)紅衛(wèi)二5 .a3an - an 2 =3an i,n為奇數(shù), an an 2 =5an 1,n為偶數(shù) .所以3（2013年中國科技大學(xué)夏令營）10 .求證：在 AABC 中，cosA + cosB+cosC M-.2A B A-BAB -證法一： cosA cos

15、B cosC =2coscos cosC 三 2cos cosCC 八 C2 C C 1 2 3 3= 2sin cosC =sin 1 2sin = (sin - -)一 一.2222 22 2證法二：(逐步調(diào)整法)由和差化積公式，得冗。A + B AB” (C +3) (C 3)cos A cosB cosC cos- = 2coscos 2cos- cos-32222C - - ABC - - ABC -三2回爐333cos-: 4cos cos244_兀兀A + B+C+-九+3,3,冗工 4cos二 4cos二 4cos.443-一 兀3所以 cosA cosB cosC _3cos

16、=.3 2322證法二：(配萬法)cosA 十cosB 十cosC E(1cosA cosB)十(sin A sin B)至03.3說明:仿上述證明，可以證明 sin A+ sin B+sin C E.一般地，在AABC中，對任2y, z有如下著名的“三角形嵌入不等式”2z 2yzcosA+2yzcosB+2zxcosC (*)222證明： x y - z -2yzcosA 2yzcosB 2zxcosC，Af、2， Af、2_ 一 、一小 I、u (z - ycosA - xcosB) +(ysin AxcosB)之0,而這顯然成立.3特力1J地，在(*)式中，取 x = y = z =1,

17、即得 cosA+cosB + cosC W (1)2取A = B =C =；,即得x2 +y2 +z2之xy +yz + zx .因此，不等式(*)是 兩個常用不等式(1), (2)的聯(lián)合推廣.,2在 1967 年，Mitrovic 建立了不等式：cosA+，-(cosB + cosC) <1 +二等號成立，當(dāng)2且僅當(dāng)0(九<2, B=C =arcco'.本題也可以看作是本不等式的一種特例.2 _ _ *_ _ *_. _. ._99 . 一11.求所有的f : N tN，滿足xf (y)+yf (x) =(x + y) f(x +y)對所有的正整數(shù) x , y都成立.(2

18、013年中國科技大學(xué)夏令營)證明：f(x)=x對所有的正整數(shù)xwN機(jī)立.證明如下：假設(shè)a#b,使得f (a) # f (b),不妨設(shè)f (a) < f (b),則(a + b) f (a) <af (b) +bf (a) <(a +b) f (b),所以(a +b) f (a) < (a +b) f (a2 +b2) < (a +b) f (b),即 f (a) c f (a2 +b2) < f (b).于是，在兩個不同的f值之間可插入另一個f的值，這一過程顯然可以無限次進(jìn)行.但f的值均為整數(shù)，而兩個整數(shù)之間只有有限個整數(shù)，矛盾！故命題得證. 一、-32一-

19、12 .設(shè)a,b,cw R ,使得萬程x +ax +bx+c=0有3個實根.證明：如果2Ea+b+cE0,則至少存在一個根在區(qū)間0,2中.(2013年清華大學(xué)夏令營)證明：假設(shè)該方程的三個實根x1、x2、x3不在區(qū)間0,3中，x x2 x3 = -a,由韋達(dá)定理，得 x1x2 +x2x3 +x3x1 =b,xx2x3 = -c.從而 a b c = xx2 x2x3 %不 一xx2x3 一(x x2 x3)= (1-X)(1-x2)(1-x3)-1W-2,0,從而-1 E(1x1)(1 -x2)(1-x3) <1 ,即 |(1x1)(1x2)(1x3)|W1.由假設(shè)，知 xi <0

20、或 xi >2 ,得 |1 -xi |>1 ( i =1,2,3 ),所以 |(1-x1)(1 一x2)(1x3)|1.矛盾!所以假設(shè)不成立，故至少存在一個根在區(qū)間0,2中.13 .已知x=j19+J99是函數(shù)f(x)=x4+bx2+c的一個零點，b,c為整數(shù)，則b + c的值是多少？(2013年清華大學(xué)夏令營)解法一：將 x = 7I9 +>/99 代入 x4 +bx2 + c = 0 中，得至U 21488+1416V19xV11+118b+6b7l9xVi1 +c = 0 ,由于b、c為整數(shù)，質(zhì)mJ行為無理數(shù)，從而,從而得 b = 236, c = 6400.21448

21、 118b c =01416 6b =0所以 b c =6164.解法二：設(shè) x = M +曬，y =炳屈，則 x + y = 2腐，xy =99 19 = 80 ,于是 x2 + y2 = (x + y)2 -2xy = 236 ,獎 y =80代入上式，有 x2+6400=236,即 x4 -236x2 +6400 =0. xx于是 b =-236,c=6400,所以 b+c = 6164.解：陵向思考：什么樣的方程有這樣的根？曲已知變形得工如=而，2國工+少=典即再平方得廿一 160+6400=76?,即 /-236i-*+fr400= 0,i= 236, !?=6400£j

22、+ £=61G4說明：解法二是有一定的缺陷的，它未能有效地說明b、c的唯一性.但卻也不失為是一種好的方法.類似題目：求一個整系數(shù)多項式f (x) = anxn+anxn，+|+a1x + a0,使得f(x) = 0有-(2009年清華大學(xué))賈廣素 王瑋 主編，2013年7月山東個實根為3 3.2.(見全國重點大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)教程張?zhí)斓?科學(xué)技術(shù)出版社出版 第32頁例11.)14 .已知點。是AABC的外心，H為垂心，且滿足 OH =m(OA+OB +OC),則m的值為多少？(2013年清華大學(xué)夏令營)1T T- t ttt解：因為 OG = - OH ,所以O(shè)H =3OG = OA+

23、AG + OB+BG十OC十CG,又G為重 3r r r t t 心，AG +BG+CG =0,所以 OH =OA+OB+OC ,故 m=1.說明：本題是2005年高考數(shù)學(xué)全國I卷的一道理科填空題.其試題背景是歐拉線， 即三1角形AABC的重心G、垂心H和外心O共線，且OG=OH.3若D為BC的中點，則AH =2OD ;若I為 MBC的內(nèi)心，外接圓與內(nèi)切圓的半徑分別為R , r ,則OI = JR(R 2r);連接AI交外接圓與點 M ,則有MI =MB = MC.15 .已知 A、B、C(0 (0,2),且 sin2 A+sin2 B+sin2 C =1 .求 A+B + C 的最大值.(2

24、013年清華大學(xué)夏令營)解：由 sin2 A +sin2 B +sin2C =1 ,得 cos2A+cos2B+cos2c =1 ,從而 2cos(A + B)cos( A B) = 1 cos2C ,=sin2C .1 -2cos2C 1 -cos2c所以 cos(A ' B):2cos(A-B)22 _2同理可證 cos(B+C)之sin A , cos(C+A)之 sin B ,_兀且同時可得 A + B、B+C、C + Aw(0,-).將上述三式相加，得 cos(A B) cos(B C) cos(C A) _ sin2C sin2 B sin2 A = 1 .由于cosx在(

25、0,三)中上凸，所以由琴生不等式，得2(A B) (B C) (C A) cos(A B) cos(B C) cos(C A) 1cos之之一,3 33一 2(A B C) 131即cos-至一,所以 A十B十C <-arccos-,當(dāng)且僅當(dāng) A = B = C時取等號.2323故A + B +C的最大值為-arccos-. 232 .22 一類似題目1：已知銳角A、B、C滿足cos A+cos B+cos C =1 ,求A + B+C的取值范圍.解：先給一個引理：f(x)是R的函數(shù)，在(g,c)內(nèi)為下凸函數(shù)，在(c,y)內(nèi)為上凸函數(shù)，n變量Xi , X2 ,，Xn為R上的n個實數(shù)，且滿

26、足X1工X2E Xn ,工Xi = C ( C為常i=1n數(shù))，記F =E f (為)，則F在x2 = x3 =111 = xn時取得最小值，在x1 = x2 = III = xn時取 i 1得最大值.將“銳角”的條件改為 A、B、C £ 0, ,令 x = cos2A, y = cos2 B , z = cos2C,則原題轉(zhuǎn)化為x、y、z20且x + y+z=1,令f (x) = arccosJG ,則問題轉(zhuǎn)化為求"*) + "丫)+”2)的取值范圍求二階導(dǎo)數(shù)，易知 f(x)在0,1上先下凸再上凸，即滿足引理的條件由對稱性，不妨設(shè)設(shè) x<y <z,先

27、求最小值，由引理知，只需考慮 a = b與c = 1兩種情況，后者顯然只能得到f(x) + f (y)+f(z)=冗，而前者則化為,.1，一 ，一，1求 g(t) =2f(t)+f(12t)的最小值，其中 tw0,1.3求導(dǎo)，易得g (t)=3t -1.t(1 二t)(1 12t)(2 J二2t 2(1 二t)'故當(dāng)t =1時，g(t)取得最小值3arccos,所以f (x)+f (y) + f (z)的最小值就是 333arccos .下求最大值:3 . . . , ,一 河由引理知，只需考慮 a=b與b = 0兩種情況，前者轉(zhuǎn)化為求 垓+ f(t) + f (1t)的最大1值，其中

28、tw0,.事實上，有恒等式 arccosjx+arccosJLx =一，所以刖者只能得到22f(x)+f(y) + f(z)=冗，而后者仍然轉(zhuǎn)化為上述求g(t)的最大值，只是此時t的范圍.1 1_.1 一 一 變成tw,一,顯然t=一時g(t)取得最大值 /，所以f(x)+f(y)+f (z)的最大值為 冗 3 22綜上所述，由函數(shù)的連續(xù)性，所求的取值范圍是3arccos ,力而原題是在“銳角”3 、3情形下，取不到 冗，但可以趨近它，從而原題的答案是3arccos X,力.3類似題目 2：已知角 A、B、CW(0,)，滿足 sin2 A + sin2B+sin2C =1 ,求 A+B C4的

29、取值范圍.解：由 sin2 A+sin2 B+sin2C =1 ,得 cos2A + cos2B+cos2c =1.令 x =cos2A, y =cos2 B , z =cos2c ,則 x + y + z = 1 ,1 ,我們只需求 -(arccosx + arccosy + arccosz)的最大值。1.設(shè) f (x) =arccosx , x = (0,1),貝U f (x) = -1, f (x)=.1-x2(1-=<0, 23x )于是函數(shù)f(x)是(0,1)上的上凸函數(shù).由琴生不等式，有31)9(3)=一 arccos-.即A+B +C的最大值為一 arccos-.“小、T2

30、 冗16.求證：cos2n 1234九 一 2n九cos I cos 2n 12n 1證明：先證一個一般式:cosx cos2x cosnx =21sin(n -)xo - x 2sin2（2013年清華大學(xué)夏令營）*)配湊消去交叉項:.x .sin (cosx cos2x "I cosnx).x . x _. . x=sin-cosx sincos2x I sin-cosnx2221 rsin3x . x . 5x , 3x(2n 1)x=-sin sin-sinsin-sin22221. (2n 1)x. x=sin-sin .222(2n-1)x2整理，得 cosx cos2x

31、 cosnx =. /1、sin(n -)x 1o . x 22sin2（人2兀 -2?；氐皆}，令x=K,得cos*2n 1,4 7t Mi2n 九cos I cos 2n 12n 1說明：類似地，我們還可以得到一般結(jié)論:x /1、cos- - cos(n -) x sinx sin2x HI sinnx =222sin- 2對于如 sin a +sin(a + P) +sin(ot +2?) +| +sin(ot +(n 1)P)及cos"+cos(a + P)+cos(。+2 B)十| I+cos(a+(n1)B )的代數(shù)式，可以乘以P sin2，再sin 2逐項積化和差，依次

32、將各項一拆為二，達(dá)到相消的目的.如當(dāng)2 /2即時,13-(arccosx arccosy arccosz) - f (sin(2 n-1 : )sin-:sin 工；sin( ： ")sin(工二 2 ：) HI sin-s " (n 1):2-2sin2，n -1 n ： cos( - )sincos二二 cos(一i ,-1) cos(2二 2 ) 川 cos二:(n-1) :22sin-:2217 .設(shè) x1 >x2 >x3 >x4 >2 ,且 x2 +x3 +x4 2 x1.求證：(x1 +x2 +x3 +x4) <4x1x2x3x4.

33、(2013年清華大學(xué)夏令營)1 .證法一：設(shè) x1 = k(x2 + x3 + x4),依題息，得 一 W k E1.3要證2 .(x1 x2 x3 x4)二 4kxx2x3x42 .2即證(k 1) (x2 x3 x4) .4k(x2 - x3 x4)x2x3x422,(k 1)x2x3x4(k 1)1即證 1L <2 3 4一 ,即證 1L <4kx2 x3 M4k 111乂3人 乂24 x?x31之4即可.3x3x4*24*2*32(k 1)4易得1< 匚<-,從而要證原不等式成立，只需證只4k 3,一 111314由于 x!>x2>x3>x42

34、,從而得 0 <+<一，故> 一x3*4 x2x4 x?x34 L . L .3x3、x4< 24x成立.從而原不等式成立. 2證法一：令a=x2+x3+M, b = x2x3x4 ,則待證不等式轉(zhuǎn)化為(x1 + a) < 4x1b ,即x2 +2(a2b)xI +a2=0 .令 f (x)x2+2(a2b)x + a2,則只需證明 f(x1)W0.因為 =4(a -2b)2 -4a2 =16b(b - a),h a x2 "3x4111. 1113而一=+w<1,所以 b>a,從而 A >0,b x2x3x4 x2x3x3x4x2x4

35、4 4 4 4u =2b-a-2, b(b -a),f(x)的圖象與x軸有兩個不同的交點.易知這兩個交點為 v = 2b-a 2 ,b(b-a),下證 x u,v.aaa因為 a w3x1三3a ,所以 x < 一, a,只需證,au,v,即 u 工一，a E v.333由于 v=2ba 2,. b(b -a) -2b-a -a=2b - a_2、b(b 二 a) =(bb - b ba)2abb 、b-a)2所以x1 w u,v,從而必有“xJWO.所以原不等式得證.證法三：只需證明f (x1)三0 ,而a Ex1 Ea,因此只需證f (a) <0 , f (a) < 0,

36、而 f(a)=4a(a-b), f (*=g (4a -3b),由于t，可證得 f(a)M0, fg)W0.說明：通過構(gòu)造二次函數(shù)，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)來證明一些不等式問題，往往會使問題簡化.18 .數(shù)列an、bn的定義是 4=1, 6=2, %書=1.% fn ,不中=1+bn ' anbn bnan(2013年清華大學(xué)夏令營)求證：aa2013 ：二 5.1ananbn/口 ,1an(1bn1bn證明： 由an + =, 得an 4 +1 =, 從而 二從而1_anbn 1 1(1 an)(1 , bn)bnbnan 1 - 1(1 an)(1 bn)同理，由 bn1 =1bn

37、anbn，得 bn1 ; ILLI , anan正式作差，得11an 1 1bn 1 . 1:1an 1bn 111an 4 1bn1a1 1b11故an 1bn111所以>-,即 an <5 ,顯然 a2013 <5.an 16-1 2 1319 .右函數(shù)f (x) =-x +萬在區(qū)間a,b上的最小值是2a ,最大值是2b.求區(qū)間a,b.(2013年清華大學(xué)夏令營)13131 2 13斛：(1)右 f (x)mx =2b =,則 b = , f (a) =a + = 2a ,解得 a = -2 ±W7 ,檢驗知a = -2 -57, b=-符合題意；413右f(x

38、)max#5'則聯(lián)立一、 12 13cf (a) = - a = 2b,221 2 13f (b) b , = 2a,22解得 a=1, b=3或a=3, b=1.(舍去)綜上知，所求區(qū)間為1,3或一2 07,£.420 .已知a、b、c都是有理數(shù)， 商+而+ JC也是有理數(shù)求證： 石、出、而都是有理數(shù).(2013年清華大學(xué)夏令營)本題的解答見全國重點大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)教程(張?zhí)斓沦Z廣素王瑋主編山東科學(xué)技術(shù)出版社2013年7月出版)第313頁第14題21 .若對每一個實數(shù)x, y,函數(shù)f(x)滿足f(x+ y) = f(> f( yT xy,1若(2013年清華大學(xué)夏令營

39、)f( 2)= 2試求滿足f(a)=a的所有整數(shù)a.121212解：由 f (x + y) = f (x) + f (y) +xy +1 ,且 xy = (x + y) - x - y , 22212-1 2-1 2從而 f (x y) -(x y) 1f(x)-x 1 f(y)-y 11 2令 g(x) = f (x) x +1,則得 g(x + y) = g(x) +g(y).12.1. 一由 Cauchy 萬程，得 g(x) =kx ,即 f (x) =-x2 +kx-1 ,又由于 f (2) = 2 2k 1 = 2 ,一 31 2 3得卜=一.所以f(x)= x十一x-1. 2221

40、z12_._令 f(x) = x,即一x + x1=0,即 x +x 2=0 ,即(x1)(x + 2) = 0 , 22解得x =1或x = 2.所以滿足f (a) =2的所有整數(shù)只有1、-2兩數(shù).解法二：令 x = y=0,得 f(0) = 1,令 x = y=1,由 f(2) = 2,得 f(1) = 2.又令 x=1, y =1,得 f (1) = 1.再令 x=1,得 f (y+1) = f(y) + y+2 ,又 f(1) = 1 ,所以 y 之1 時，f(y+1) = f(y)+y+2>y+1,即對大于1的正整數(shù)t,恒有f (t) At.又由條件，得 f(3) = 1, f

41、(Y)=1 , f(5) = 4, f(6) = 7,猜想當(dāng) tE4 時，f(t)A0.證明如下：由 f (t) f (t+1) = (t+2),得當(dāng) t<-2 時,f(t)> f(t+1),所以t< 4時，f(t)單調(diào)遞減，故f (t)之f (=1 >0.綜上所述，滿足f(a)=a的整數(shù)只有a=1或a = -2.解法三：同法二，求得 f (1) = 1,由f(y +1) = f(y) +y +2 ,令y = n ,由數(shù)列遞推知識,123.一 2一.一得 f (n) = a n + n1,令 f(n)=n,得 n +n2 = 0,得門=1或門=-2.ax b22.已知

42、a、b、c、d 為非負(fù)實數(shù)，f(x)=(xw R)，且 f(19) T9 , f (97) = 97 ,cx d4d右x#,對任意的x均有f (f (x) =x ,試求出f(x)值域以外的唯一數(shù).cax babcx dax b cdcx d(2013年清華大學(xué)夏令營)解：由題設(shè)，對任意實數(shù)dx =,有 f(f(x) =x，所以 c化簡，得(a +d)cx2 +(d2 -a2)x -b(a + d) = 0 ,d 22由于上述萬程對 x = 一一恒成立，故a + d=0,且d -a =0,所以d = -a.c又f(19)=19, f(97)=97,即19, 97是方程 與止=乂的兩個根，即方程是

43、a -db=116, = 1843,結(jié)合 cc一、58x -18431521f (x)=58 +，x-58x-58cx d2cx +(d -a)x-b=0的兩個根，故由韋達(dá)定理，得d = -a ,得 a =58c b = -1843c, d = -58c,從而于是f(x)取不到58這個數(shù)，即58是f(x)值域外的唯一數(shù)說明：本題是第 15屆美國數(shù)學(xué)邀請賽試題，考查值域問題.參考奧林匹克與自主招生(第一輯)(賈廣素主編 濟(jì)寧一中校本教材)23.若實數(shù)a、b、c滿足2a+2b =2" , 2a+2b+2c =2a*+,則c的最大值是多少？(2013年清華大學(xué)夏令營)a ”1a b解：因為

44、2 =2十2至2 2 .所以a+b至1+,解得a+b至2,于是2 至4.2a b a ba b ca .b ca b c a b c將2+2 =2 ，代入2 +2+2 =2 ，得2+2=2父2 ,c 114 - lg3lg3解得2 =f+1 M+一，所以c W2一上一，從而c的最大值為2 一 1.2-14-13lg2lg224.比較2-cos(x - y) +1sin xcosy 與 1 的大小.22(2013年清華大學(xué)夏令營)回工 ,、1 .,2,、 1解： cos(x-y) sinxcosy=cos(x - y) -sin(x ' y) sin(x- y) 22243 2.2.1

45、. . 一 1 .=-cos(x - y) sin(x-y) sin(x y)4 334令sin中=2五,cos平=1 , 33213,13 1所以 cos(x - y) sin xcosy =-sin(x - y -、1) sin(x y) 一 = 1.22444 4一一 . 一開取等號的條件當(dāng)且僅當(dāng) x y十邛=2m：t+， 2口口九平中即 x =(m+n)冗十萬一萬，y = (n -m) Tt+, ，九 -x+y = 2nTt+, m,n = Z.2m,n w Z時，等號成立.22 x y25.已知橢圓2 +2- =1 ,過橢圓的左頂點 A(-a,0)的直線l與橢圓父于點 Q ,與y軸父

46、于 a b點R.過原點且與直線l平行的直線交橢圓于點 P.求證：AQ、J2OP、AR成等比數(shù)列.(2013年清華大學(xué)夏令營)(2009年清華大學(xué))證法一：由題意知直線l的斜率顯然存在，設(shè)為 k ,則該直線的方程為 y = k(x +a),過原點與直線l平行的直線方程為 y = kx ,不難得到R(0, ka).設(shè)交點 P(x1,y1), Q(x2, yz),則有 k='=Xx2 ax1對于 OP ， AQ, AR 有 2OP2 = 2( x；+ y；) =2x；(1 +k2),且 AQ = . (x2 a)2 y2 , AR = . a2 (ka)2 ,所以 AQ AR = (x2 a

47、)2 y2a2 (ka)2 = a(x2 a)(1 k2).將P、Q及兩直線代入橢圓方程，得2.2 2與十詈=1,即2x2 =2a b1 k_a2 b2(*)2逐.2 ak2(x2 a)b2=1,整理，得2 1k2x2旨苫2ak2x2 a2k2L1=0.b b由于A、Q為直線l與橢圓的兩交點，由韋達(dá)定理，得2ak2b2x2 -a =b-r , a(x2 a) =21k21k2-2-2abab22結(jié)合(*)式，有 2xi =a(X2 +a),即 2OP =AQ AR.從而AQ、J2OP、AR成等比數(shù)列 證法二：由題意知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y = k（x + a）,則R（0,ka）.

48、22ab b2 a2k2又直線OP的方程為y =kx,代入勺+ 4=1,化簡，得（b2+a2k2）x2=a2b2, a b所以 OP = .1 k2 |xp -0|= .1 k222同理，將 y =k(x +a)代入 之 +4=1，化簡得(b2 +a2k2)x2 +2k2a3x -a2(b2 -a2k2) = 0 a b2ab2付 AR = .1 k|xa-xb尸-.1k,(xaxb)-4xaxb=、. 1 k-22_2.b a k又 AR=aj1+k2 ,所以 2OP2=AQ AR.從而 AQ、J2OP、AR成等比數(shù)列.說明：本題在2009年的清華大學(xué)的自主招生試題中就曾經(jīng)出現(xiàn)過，是一道較為

49、經(jīng)典的試題.可參考決勝自主招生（2010版、2011版、2012版、2013版等）（賈廣素 主編 濟(jì)寧一中校本教材）26 .設(shè)集合X是含n（n >2）個元素的集合，A、B是X中的兩個互不相交的子集，分別含有m, k （m1, k之1, m + k <n）個元素.求X中既不包含于 A也不包含于B的子集 的個數(shù).（2013年清華大學(xué)夏令營）（2009年復(fù)旦大學(xué)）解：包含A的子集有2n個，包含B的子集有2n4個，既包含A又包含B的子集為2n”個，根據(jù)容斥原理，所以既不包含 A也不包含B的子集的個數(shù)有2n-2n"m-2n”+2nf 個.說明：本題是2009年復(fù)旦大學(xué)的一道自主招生

50、原題 .其思路十分簡單：首先 X集合應(yīng) 該分為三類：一類是屬于 A的，一類是屬于 B的，另一類既不屬于 A也不屬于B的.因此可 用間接法來進(jìn)行考慮.27 .證明：內(nèi)接于一個平行四邊形的三角形的面積不可能大于這個平行四邊形面積的一半.（2010年北京大學(xué)夏令營）28 .圓O是等腰梯形ABCD的內(nèi)切圓，M為切點.BM與圓O的另一個交點為T, AM與圓O的另一個交點為P .求公M +BM的值.（2010年北京大學(xué)夏令營）AP BT29 .在一雙向無窮等差數(shù)列中有三項：sinx、cosx、tanx.求證：cot x也是該數(shù)列中的一項.（2010年北京大學(xué)夏令營）30 .已知sinx、sin y、sin

51、z為遞增的等差數(shù)列，求證： cosx、cosy、cosz不是等差數(shù)列.（2011年北京大學(xué)優(yōu)秀中學(xué)生體驗營）31 .求證：tanxsinx+cotxc0sx 2 2,x w （0, 5.（2011 年北京大學(xué)夏令營）32 .是否存在定義域為 R的函數(shù)f （x）,使f （n2 +3n+1）= f 2（n）+2對任意nw Z均成立.（2011年北京大學(xué)優(yōu)秀中學(xué)生體驗營）n33 .求所有的正整數(shù)n,使得集合M =1,2,|,4n可以分成n個四元子集 M = U Mk,對 k總于每個集合M k =ak,bk,ck, dj （ k =1,2,川，n ）的ak, bk , ck , dk四個數(shù)字中，一個數(shù)

52、是另外三個數(shù)白算術(shù)平均數(shù).（2010年北京大學(xué)夏令營）12 f214 I 434 .已知平行四邊形 ABCD的四個頂點按逆時針順序排列，并且AC BD = AB + AD ,求平行四邊形的銳角內(nèi)角的度數(shù).（2013年華東師范大學(xué)）35 .已知 x, y w R，求屈 x2 9 y2 64 x6- y65 6 J ” “6 x-5 戶 的最大值.（2013年華東師范大學(xué)）36 .求證：（x +1）2n +（x -1）2n沒有實系數(shù)的一次項.（2013年華東師范大學(xué)）*37 .數(shù)列an中，a1=2, an+ =4an -3n +1 , n = N .（1）求證：an -n為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列6口的前n項和Sn.（2008年武漢大學(xué)）38 .已知正數(shù)a、b、c滿足a2+ab+ ac+bc = 6+2J5 ,則3