高等數(shù)學(xué)(上冊(cè))第三章教案

1、第三章：一元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用教學(xué)目的與要求 1理解不定積分和定積分的概念及性質(zhì)。2掌握不定積分的基本公式，不定積分、定積分的換元法與分部積分法。3會(huì)求簡(jiǎn)單的有理函數(shù)的積分。4理解變上限的積分作為其上限的函數(shù)及其求導(dǎo)定理，掌握牛頓（Newton）-萊布尼茲（Leibniz）公式。5了解廣義積分的概念。6了解定積分的近似計(jì)算法（梯形法和拋物線法）。7掌握用定積分表達(dá)一些幾何量與物理量（如面積、體積、弧長(zhǎng)、功、引力等）的方法所需學(xué)時(shí)：20學(xué)時(shí)（包括：18學(xué)時(shí)講授與2學(xué)時(shí)習(xí)題）第一節(jié)：不定積分的概念與性質(zhì)1、原函數(shù)概念引例 在下列括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)：（1） （2） 上例中的問(wèn)題是：已知 求 定義1

2、 若在區(qū)間上，對(duì)任意有 或 則稱是在上的原函數(shù)。例如：，則是的一個(gè)原函數(shù)；又，則是的一個(gè)原函數(shù)。原函數(shù)存在定理： 若是連續(xù)函數(shù)，則必有原函數(shù)。由有，因此可知的原函數(shù)不止一個(gè)，而是無(wú)窮多個(gè)。說(shuō)明：（1）若有一個(gè)原函數(shù)，則就有無(wú)窮多個(gè)原函數(shù)（為任意常數(shù)），即是的全部原函數(shù)；（2）的任意兩個(gè)原函數(shù)之差是一個(gè)常數(shù)。 設(shè)，則有由前面所學(xué)定理知 2、不定積分定義2 在區(qū)間上，函數(shù)的全體原函數(shù)的集合，稱為在上的不定積分，記為 ,其中“”稱為積分號(hào)，稱為被積函數(shù) ，稱為被積表達(dá)式，稱為積分變量.由不定積分的定義可知：求的不定積分就是求的所有原函數(shù).若為的一個(gè)原函數(shù)，則 .其中為任意常數(shù)，稱之為積分常數(shù).簡(jiǎn)言之

3、，求已知函數(shù)的不定積分，就是求出它的一個(gè)原函數(shù)，再加上任意常數(shù)即可.例1 求下列不定積分.（1） （2） （3）解 （1）因?yàn)椋允堑囊粋€(gè)原函數(shù)，于是 .（2）因?yàn)?，所以是的一個(gè)原函數(shù)，于是.（3）因?yàn)?，所以是的一個(gè)原函數(shù)，于是 .例2 已知某曲線上任意點(diǎn)處切線斜率為，并且曲線過(guò)點(diǎn)，求曲線方程。 解： 設(shè)曲線方程為，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義和題意知，則有 ；，又因?yàn)?，代入上式得 ，所以曲線方程為3、基本積分公式根據(jù)不定積分的定義，由導(dǎo)數(shù)或微分的基本公式可得下列基本積分公式（式中為任意常數(shù)）.對(duì)比導(dǎo)數(shù)公式，是記憶積分公式的基礎(chǔ).導(dǎo)數(shù)公式積分公式導(dǎo)數(shù)公式積分公式以上基本積分公式組成基本積分表，許多不定

4、積分最終要應(yīng)用這些基本積分公式，請(qǐng)讀者務(wù)必牢記.利用不定積分的性質(zhì)和基本積分公式，直接求出不定積分的方法，稱為直接積分法.4、不定積分性質(zhì)性質(zhì)1 由于是的原函數(shù)，則有 或 又由于，是的原函數(shù)，則有 或 性質(zhì)2 ； 例3 求 解： 原式例4 求 解：原式例5 求 解： 原式例6 求 解： 原式例7 求 解： 原式例8 求： 解： 原式例9 求 解： 原式課后作業(yè)及小結(jié)：1、學(xué)習(xí)了不定積分相關(guān)概念2、掌握基本不定積分公式及其計(jì)算方法。作業(yè)：P148.2,7第二節(jié)：不定積分的換元法與分部法1、引入求.分析 這個(gè)不定積分在積分表中直接查不出來(lái)，因?yàn)樗谋环e函數(shù)是以為變量的復(fù)合函數(shù)，與積分變量不同.但如

5、果把積分表達(dá)式改變一下，使得被積函數(shù)的變量與積分變量變得相同，那么就可以公式求出此不定積分了，其中是的函數(shù).解：因?yàn)?，所?將上述方法推而廣之，若能選擇適當(dāng)?shù)淖儞Q，使代換后的積分關(guān)于積分變量易于求出，則可求出的積分將大大增加.定理1 （第一類換元積分法） 設(shè)連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)，具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則有換元積分公式.證明 只需要證明等式右邊的導(dǎo)數(shù)是即可.用這種方法的計(jì)算步驟是先“湊”微分式，再作變量替換，因此我們將這類求不定積分的方法也稱為湊微分法例 求 解： 原式例 求 解： 原式 例 求 解： 原式例 求 解： 原式 用第一換元積分法解題時(shí)，關(guān)鍵是把被積表達(dá)式湊成兩部分：其一為；其二 為。即因此此法

6、又稱為湊微分法。下面給出一些常用的湊微分式子： 例 求 解： 原式= =例 求 解： 原式=例 求 解： 原式=例 求 解： 原式= =例 求 解： 原式= =例 求 解：原式= 例 求 解： 原式= =例 求 解： 原式= = =利用第一類換元積分法求不定積分時(shí)，如果變量代換已熟練，那么，中間變量可以不必引入，利用積分公式可直接寫出結(jié)果.2、第二換元積分法定理2（第二換元積分法） 設(shè)是單調(diào)可導(dǎo)的函數(shù)，且，又設(shè)具有原函數(shù)，則有其中是的反函數(shù)。例 求 解： 令 ，則 =，則， 原式=例 求 解： 令 ，則 因?yàn)?，則 所以， 原式=例 求 解： 利用，即 令 ，則 =， 則 ， 原式 例 求 解

7、： 利用 令 則 ，則 原式 例 求 解：被積函數(shù)分母變量次數(shù)較高時(shí)，可使用倒代換，令補(bǔ)充公式：（P158） （16） （17） （18） （19） （20） （21） （22） （23） （24） 例 求下列積分（學(xué)生先做） （1） ； （2） ； （3）3、分部積分法前面學(xué)習(xí)的換元積分法雖然解決了許多積分的計(jì)算問(wèn)題，但有些積分，如：，等，用換元積分法是無(wú)法計(jì)算的?，F(xiàn)由兩個(gè)函數(shù)乘積的微分法則，推出求積分的另一種方法：分部積分法。設(shè) ，具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，由乘積的微分法則 有 ，兩邊積分得 上式稱為分部積分公式。其作用是若求比較困難，而求比較容易時(shí)，可用公式化難為易，上式還可以寫為例 求 解：設(shè) ，

8、 則 但如果取 ， ，則上式右邊的積分比原積分更復(fù)雜，更難求解。因此，在使用分部積分法時(shí)，恰當(dāng)?shù)倪x取和是一個(gè)關(guān)鍵，一般考慮下列兩點(diǎn)： （1） 要容易求得； （2） 要比容易計(jì)算。 一般地，下列類型的被積函數(shù)考慮用分部積分公式：， 等等。例 求 解： 設(shè) ， 則例 求 解 注：若被積函數(shù)是冪函數(shù)（指數(shù)為正整數(shù)）與指數(shù)函數(shù)或正（余）弦函數(shù)的乘積時(shí)，可設(shè)冪函數(shù)為。例 求 解： 令 ，例 求 解： 令 注：若被積函數(shù)是冪函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)的乘積，可設(shè)對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為。例 求 解： 設(shè) 例 求 解： 例 求 解： 移項(xiàng)得 即 注： 若被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)與正（余）弦函數(shù)的乘積時(shí)，此時(shí) 可隨意

9、取，但兩次分部積分中，必須是同類型。例 求 解： 例 求 解： 令 課后作業(yè)及小結(jié)：1、學(xué)習(xí)了第一換元法、第二換元法與分部積分法2、熟練運(yùn)用3種運(yùn)算方法。作業(yè)：P162.2,3,4第三節(jié)：有理函數(shù)的不定積分（略）第四節(jié)：定積分的概念與性質(zhì)1、實(shí)例分析在初等數(shù)學(xué)里，我們學(xué)習(xí)了多邊形及圓等特殊圖形的面積，但在實(shí)際應(yīng)用中，往往需要計(jì)算以曲線為邊的圖形的面積.任意曲線所圍成的平面圖形的面積的計(jì)算,依賴于曲邊梯形面積的計(jì)算，所以我們先討論曲邊梯形面積的計(jì)算問(wèn)題.在直角坐標(biāo)系中，由閉區(qū)間上的一條連續(xù)曲線，直線及軸所圍成的平面圖形，稱為曲邊梯形，如圖所示. 如何計(jì)算曲邊梯形的面積呢？我們知道，當(dāng)時(shí)，曲邊梯形

10、就是矩形，其面積可由公式 來(lái)計(jì)算.當(dāng)不等于常數(shù)時(shí)，曲邊梯形在底邊上各點(diǎn)處的高在區(qū)間上是變化的，故不能用初等數(shù)學(xué)的方法來(lái)計(jì)算面積.然而在區(qū)間上是連續(xù)的，在很小一段區(qū)間上它的變化很小，近似于不變，基于這一認(rèn)識(shí)，我們用平行于軸的直線將曲邊梯形分割成若干個(gè)小的曲邊梯形，對(duì)于每個(gè)小曲邊梯形，因其底邊所在區(qū)間長(zhǎng)度很小，所以其上的高近似不變，因而它可近似地看作是底邊相同，而高為底邊上某一點(diǎn)的函數(shù)值所構(gòu)成的這樣一個(gè)小矩形.所有這些小矩形面積之和可作為曲邊梯形面積的一個(gè)近似值.顯然,分割越細(xì)密，近似程度就越高，從而，將曲邊梯形無(wú)限細(xì)分，所有小矩形面積之和的極限值就是曲邊梯形面積的精確值.根據(jù)上述思想，我們采用“

11、分割近似代替求和取極限”的過(guò)程來(lái)計(jì)算曲邊梯形面積.（1）分割：把以區(qū)間 為底邊的曲邊梯形分成若干個(gè)小曲邊梯形. 在內(nèi)插入個(gè)分點(diǎn)： 把區(qū)間任意分成個(gè)小區(qū)間：，記第個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為（）,過(guò)各分點(diǎn)作平行于軸的直線，于是原曲邊梯形被分成個(gè)以這些小區(qū)間為底邊的小曲邊梯形. (2) 近似代替：求小曲邊梯形面積的近似值. 當(dāng)?shù)趥€(gè)子區(qū)間的長(zhǎng)度很小時(shí)，在其上的變化也很小，因此可以把該子區(qū)間上任 圖5-2意一點(diǎn)處的函數(shù)值（）作為第個(gè)小曲邊梯形的近似高度，從而它的面積可用以為高，為寬的矩形面積去近似替代，即.(3) 求和：求原曲邊梯形面積的近似值. 把這個(gè)小曲邊梯形面積的近似值加起來(lái)，即得曲邊梯形面積的近似值：=.

12、（4）取極限：求原曲邊梯形面積的精確值. 記，當(dāng)時(shí)，分點(diǎn)的個(gè)數(shù)無(wú)限增多，上面和式的極限如果存在，那就是曲邊梯形面積的精確值，即.2、定積分的定義定義 設(shè)在區(qū)間有定義,在內(nèi)任意插入個(gè)分點(diǎn)：，此分法表示為.分法將分成個(gè)小區(qū)間：,第個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為.在中任取一點(diǎn)，作和數(shù) ，稱為在上的積分和. 令,如果當(dāng)時(shí)，和數(shù)趨于確定的極限，且與分法無(wú)關(guān)，也與在中的取法無(wú)關(guān)，則稱在上可積，極限稱為在上的定積分，記作. 即.其中叫做被積函數(shù)，叫做被積表達(dá)式，叫做積分變量，與叫做積分的下限與上限.利用定積分的定義，前面所討論的實(shí)際問(wèn)題可以分別表述如下：曲線（）,直線及軸所圍成的面積等于函數(shù)在區(qū)間上的定積分即注：（1）如

13、果當(dāng)時(shí)，積分和不存在極限，則稱在區(qū)間上不可積. （2）若函數(shù)在區(qū)間上可積，則它在上的定積分是一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)僅與積分區(qū)間和被積函數(shù)有關(guān)，而與積分變量的符號(hào)無(wú)關(guān),所以盡可以把積分變量換成別的字母而不改變定積分的值,即.（3）在定積分的定義中，是一個(gè)區(qū)間，所以有. 為了記號(hào)上的方便，引入下面的補(bǔ)充說(shuō)明： 若函數(shù)在區(qū)間上可積，則； 若函數(shù)在點(diǎn)處有定義，則.對(duì)于定積分，函數(shù)在上滿足怎樣的條件，在上一定可積?這個(gè)問(wèn)題我們不作深入討論，而只給出以下兩個(gè)充分條件定理1 設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，則在上可積定理2 設(shè)在區(qū)間上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則在上可積例1 求.解 函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，從而在區(qū)間上可積.將區(qū)間分

14、成等分，選取 ，作積分和. 則由定積分的定義可知，有，從而 3、定積分的幾何意義由曲邊梯形的面積公式及定積分的定義可以得出在上連續(xù)函數(shù)的定積分的幾何意義如下：（1）若在上，則定積分表示由曲線 軸及直線所圍成的曲邊梯形的面積（如圖5-3所示）；（2）若在上，則定積分表示上述曲邊梯形的面積的相反數(shù)（如圖5-4所示）；（3）若函數(shù)在上有正有負(fù), 則定積分表示各部分面積的代數(shù)和（如圖5-5所示）.+- +a b +-+圖5-3圖5-4圖5-5 a b 4、定積分的性質(zhì)性質(zhì)1 被積函數(shù)中的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)的外面,即有（為常數(shù)）.性質(zhì)2 兩個(gè)函數(shù)代數(shù)和的積分等于各個(gè)函數(shù)積分的代數(shù)和，即. 證明 .這

15、一性質(zhì)可以被推廣到個(gè)函數(shù)的情形.即 . 性質(zhì)3（定積分的可加性）若函數(shù)在區(qū)間上可積，則對(duì)任意的， .性質(zhì)4 如果在區(qū)間上，則這個(gè)性質(zhì)的證明請(qǐng)讀者自己完成性質(zhì)5（保號(hào)性） 若函數(shù)在區(qū)間上可積，且，則.此性質(zhì)也可由定積分的幾何意義直接看出來(lái).它有如下幾個(gè)重要的推論：推論1 若函數(shù)在區(qū)間上可積，且，則.推論2 ().證明 因?yàn)?， 則 ，即 .性質(zhì)6 設(shè)M與分別為在上的最大值與最小值,那么. 證明 因?yàn)?根據(jù)推論1得 ，又 ， 故有.這個(gè)性質(zhì)說(shuō)明，由被積函數(shù)在積分區(qū)間上的最大值及最小值可以估計(jì)積分值的大致范圍例1 比較下列積分值的大小.（1）與 （2）與解 （1）時(shí)，故，因此，.（2）當(dāng)時(shí)，故,因此

16、，.性質(zhì)7（積分中值定理） 若函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)，使得, .例2 判斷定積分 與的大小。 解：， 由性質(zhì)5有。例3 估計(jì)定積分 的值。 解： 在上， 例4 估計(jì)定積分 的值。 解： 設(shè)， 所以是上的單增函數(shù)，則有， 即 ，所以課后作業(yè)及小結(jié)：1、學(xué)習(xí)了定積分基本概念2、熟練運(yùn)用定積分的性質(zhì)作業(yè)：P177.4,5,6,7,8第五節(jié)：微積分基本定理1、變速直線運(yùn)動(dòng)的路程（不講自學(xué)）2、積分上限函數(shù)設(shè)在上連續(xù)，則在上可積，又設(shè)是上任意一點(diǎn)，那么在上也連續(xù)，則在上可積，即 存在，由于定積分的值與積分變量用什么字母無(wú)關(guān)，因此上述積分可記為若在上變化，也隨之變化，則構(gòu)成一個(gè)新函數(shù)，記為此函數(shù)

17、稱為積分上限函數(shù)（變上限積分函數(shù)）。定理1 若在上連續(xù)，則在上可導(dǎo)，且推論1 （由定理和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可得）推論2 定理2 若在上連續(xù)，則 就是在上的一個(gè)原函數(shù)。例 已知，求 解： 例 求 解： 原式例 求 解：原式3、微積分基本定理（牛頓萊布尼茲公式）定理3 若是連續(xù)函數(shù)在上的一個(gè)原函數(shù)，則 證： 設(shè)是的一個(gè)原函數(shù)，又也是的一個(gè)原函數(shù)，則 （）令，有，則代入（）得令，則 證畢。定理中的公式稱為牛頓萊布尼茲公式，也稱為微積分基本公式。 例 求 解： 原式 例 求 解： 原式 例 求 解： 例 求 解： 課后作業(yè)及小結(jié)：1、學(xué)習(xí)了微積分基本定理2、綜合運(yùn)用微積分基本定理進(jìn)行計(jì)算作業(yè)：P184.

18、2,3,8,9第六節(jié)：定積分的換元法和分部法由上節(jié)知道，計(jì)算定積分的簡(jiǎn)便方法便是把它轉(zhuǎn)化為求的原函數(shù)的增量，在第四章中，我們介紹了用換元法可以求出一些函數(shù)的原函數(shù),同理，我們也可以用換元法來(lái)計(jì)算定積分所以我們有下面的定理1、定積分的換元法定理1 假設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，令滿足以下條件：（1）在區(qū)間上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)；（2）當(dāng)從變到時(shí)，從單調(diào)地變到，則有上式稱為定積分的換元公式證明 設(shè)是在上的一個(gè)原函數(shù)，則，再設(shè) 對(duì)求導(dǎo)， 得,即是的一個(gè)原函數(shù)，因此有.又 ，則，所以 .這就證明了換元公式注意：（1）用把原來(lái)變量代換成新變量時(shí)，原積分限也要換成相應(yīng)于新變量的積分限；（2）求出的一個(gè)原函數(shù)后，不必像計(jì)算不定

19、積分那樣把變換成原來(lái)變量的函數(shù)，而只要把新變量的上、下限分別代入中，然后相減即可例1 求.解 令，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.于是 .例2 求.解 令，當(dāng)時(shí)，；時(shí)，于是 . 從幾何圖形上看，此積分值為由圓與軸和軸在第一象限所圍成的平面圖形的面積例3 求 解 設(shè),則，當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，于是注 如果不明確寫出新的變量，則定積分的上、下限就不需要變更如例4 求.解 令，則, ，當(dāng)時(shí)，；時(shí)，于是.例5 設(shè)在對(duì)稱區(qū)間上連續(xù)，求證：（1）當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，；（2）當(dāng)為偶函數(shù)時(shí)，.注 此例的結(jié)果也稱為奇偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間積分的性質(zhì)(簡(jiǎn)記為偶倍奇零)，利用此性質(zhì)可簡(jiǎn)化對(duì)稱區(qū)間上奇函數(shù)及偶函數(shù)的定積分的計(jì)算.2、定積分的分部積分法

20、利用不定積分的分部積分法及牛頓萊布尼茨公式，即可得出定積分的分部積分公式定理1 設(shè)，在區(qū)間上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),，則有上式稱為定積分的分部積分法 證明 由求導(dǎo)公式，對(duì)上式兩端從到作積分，得 ，移項(xiàng)得 ,即 . 利用分部積分法計(jì)算定積分，由于沒(méi)有引入新變量，所以在計(jì)算過(guò)程中，定積分的積分限不變，而且選擇，的方法也與不定積分的分部積分法相同.需要注意的是，定積分的分部積分法可將原函數(shù)已經(jīng)求出的部分,，先用上、下限代入，以便簡(jiǎn)化后面的計(jì)算. 例6 求.解 ，則，故 .例7 求.解 .例8 求.解 ,故有 .例9 求. 解 先用換元法令,則， .再用分部積分法計(jì)算：因此 例10 設(shè)在上可導(dǎo)，且，,試求解 課

21、后作業(yè)及小結(jié)：1、學(xué)習(xí)了定積分的分部積分法與換元法的概念2、熟練運(yùn)用積分方法作業(yè)：P193.1,3第七節(jié)：定積分的幾何應(yīng)用與物理應(yīng)用1、平面圖形的面積直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積（1）當(dāng)時(shí)，由曲線，直線及軸所圍成的曲邊梯形。 面積為： （2）若，由曲線，直線所圍成的圖形 面積為： （3）若，由曲線，直線所圍成的圖形 面積為： 求平面圖形面積的步驟：（1）根據(jù)問(wèn)題的要求，作出簡(jiǎn)單的圖形，選取合適的變量（或）作為積分變量，并確定其變化范圍（或）。（2）寫出積分表達(dá)式：，然后進(jìn)行計(jì)算。 例1 求曲線與所圍成圖形的面積。 解：解方程組 得兩條曲線的交點(diǎn)為 和，選取為積分變量，其變化區(qū)間為，則面積為若取為

22、積分變量，其變化區(qū)間也是，且有例2 求拋物線與直線所圍成圖形的面積。 解： 解方程組得交點(diǎn)和，取為積分變量，其變化區(qū)間為，則 若取為積分變量，其變化區(qū)間為，在上有在上有所求面積為： .由此可見(jiàn)，積分變量取得好，計(jì)算則簡(jiǎn)單，反之較麻煩。例3 求曲線與直線所圍成圖形的面積。 解：解方程 ，得交點(diǎn)，取為積分變量則 2、空間立體的體積（1） 旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體平面圖形繞平面上一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體（如：球、圓柱、圓錐等），直線為旋轉(zhuǎn)軸。旋轉(zhuǎn)軸為軸的旋轉(zhuǎn)體體積：若平面圖形由曲線，直線及軸圍成。則所求旋轉(zhuǎn)體體積為：例4 求由拋物線與直線及軸所圍成圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周后的旋轉(zhuǎn)體體積。 解： 拋物線與軸和直線的交點(diǎn)分別為和 類似地，由曲線，直線及軸所圍成圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周后的旋轉(zhuǎn)體體積為 例5 求由拋物線與直線及軸所圍成圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周后的立體體積。 解：3、曲線弧長(zhǎng)（不講）課后作業(yè)及小結(jié)：1、掌握平面圖形的面積公式與空間立體的體積公式作業(yè)：P209.1,4第八節(jié)：反常積分1、無(wú)限區(qū)間上的反常積分定義1 設(shè)函數(shù)在無(wú)窮區(qū)間連續(xù)，取的正數(shù)，如果極限存在，則稱此極限為在區(qū)間上的無(wú)窮積分，記為，即 ,這時(shí)，也稱無(wú)窮積分存在或收斂；若極限不存在，則稱上無(wú)窮積分不存在或發(fā)散.類似地，設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，那么我們可以定義.如果上式中的極限存在，則稱無(wú)窮積分存在或收斂，如果不存在，則稱無(wú)窮積分不存在