自然界和社會上發(fā)生的現(xiàn)象是各種各樣的.（課堂PPT）

1、引言引言 自然界和社會上發(fā)生的現(xiàn)象是各種各樣的，可分為兩類：自然界和社會上發(fā)生的現(xiàn)象是各種各樣的，可分為兩類： 確定性現(xiàn)象確定性現(xiàn)象：在一定條件下必然發(fā)生某一結(jié)果的現(xiàn)象。：在一定條件下必然發(fā)生某一結(jié)果的現(xiàn)象。 其特性是在相同的條件下重復(fù)進行實驗或觀察，它的結(jié)其特性是在相同的條件下重復(fù)進行實驗或觀察，它的結(jié)果總是確定不變的。果總是確定不變的。 例如：在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，純水加熱到例如：在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，純水加熱到1001000 0C C時必然會沸騰，時必然會沸騰，半徑是半徑是R時，圓面積一定是時，圓面積一定是 等。等。 隨機現(xiàn)象：隨機現(xiàn)象：在相同條件下，重復(fù)進行實驗或觀察，它的結(jié)在相同條件下，重復(fù)進行

2、實驗或觀察，它的結(jié)果未必是相同的現(xiàn)象。果未必是相同的現(xiàn)象。 其特性是重復(fù)進行實驗或觀察，可預(yù)言該條件下實驗或其特性是重復(fù)進行實驗或觀察，可預(yù)言該條件下實驗或觀察的所有可能結(jié)果，但是在實驗前或觀察前無法預(yù)測出現(xiàn)觀察的所有可能結(jié)果，但是在實驗前或觀察前無法預(yù)測出現(xiàn)哪一個結(jié)果，而實驗或觀察后必然出現(xiàn)一個可能結(jié)果。哪一個結(jié)果，而實驗或觀察后必然出現(xiàn)一個可能結(jié)果。 例如：擲硬幣出現(xiàn)正面反面情況，在一定條件下，某射例如：擲硬幣出現(xiàn)正面反面情況，在一定條件下，某射手向靶射擊一彈，觀察中靶情況，等等。手向靶射擊一彈，觀察中靶情況，等等。2R 概率論與數(shù)理統(tǒng)計就是研究隨機現(xiàn)象的數(shù)量統(tǒng)計規(guī)律性概率論與數(shù)理統(tǒng)計就是

3、研究隨機現(xiàn)象的數(shù)量統(tǒng)計規(guī)律性的數(shù)學(xué)分支。的數(shù)學(xué)分支。 確定性現(xiàn)象是用經(jīng)典的數(shù)學(xué)理論方法來研究其確切的因確定性現(xiàn)象是用經(jīng)典的數(shù)學(xué)理論方法來研究其確切的因果關(guān)系。果關(guān)系。 概率論研究隨機現(xiàn)象有其獨特的方法，是通過對隨機現(xiàn)概率論研究隨機現(xiàn)象有其獨特的方法，是通過對隨機現(xiàn)象的大量觀察揭示其規(guī)律性。象的大量觀察揭示其規(guī)律性。 同學(xué)在學(xué)習(xí)中要注意其規(guī)律和方法。同學(xué)在學(xué)習(xí)中要注意其規(guī)律和方法。 隨機現(xiàn)象其結(jié)果的發(fā)生呈現(xiàn)偶然性，但在一定條件下對其隨機現(xiàn)象其結(jié)果的發(fā)生呈現(xiàn)偶然性，但在一定條件下對其進行大量重復(fù)實驗或觀察，它的結(jié)果會出現(xiàn)某種規(guī)律性，這是進行大量重復(fù)實驗或觀察，它的結(jié)果會出現(xiàn)某種規(guī)律性，這是隨機現(xiàn)象

4、所呈現(xiàn)的固有規(guī)律性，稱為隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性。隨機現(xiàn)象所呈現(xiàn)的固有規(guī)律性，稱為隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性。這正是概率論所研究的對象這正是概率論所研究的對象。第一章第一章 概率論的基本概念概率論的基本概念隨機試驗隨機試驗 我們把對隨機現(xiàn)象進行一次試驗或觀察，統(tǒng)稱為隨機試我們把對隨機現(xiàn)象進行一次試驗或觀察，統(tǒng)稱為隨機試驗，記為驗，記為E E。 敘述試驗，我們要注意到：敘述試驗，我們要注意到： 1 1、“在一定條件下，進行一次試驗在一定條件下，進行一次試驗”包括內(nèi)容：包括內(nèi)容： 試驗條件；試驗條件； 觀察特性（要觀察的目的）觀察特性（要觀察的目的） 2 2、結(jié)果的描述、結(jié)果的描述 隨機試驗有什么特點？下面

5、舉例看一看！隨機試驗有什么特點？下面舉例看一看！隨機試驗隨機試驗E，樣本空間，樣本空間 ， 基本事件，事件，概率的定義基本事件，事件，概率的定義 S 序號序號試驗條件試驗條件觀察特性觀察特性可能結(jié)果可能結(jié)果E1 1將一枚硬幣拋擲一將一枚硬幣拋擲一次次出現(xiàn)正面出現(xiàn)正面H反反面面T的情況的情況H, TE2 2將一枚硬幣拋擲二將一枚硬幣拋擲二次次同上同上E3 3從六張卡片每張標(biāo)從六張卡片每張標(biāo)有有1 1，2 2， ，6 6一個一個數(shù)字?jǐn)?shù)字（4張紅色，張紅色，2張白色）任取一張張白色）任取一張觀察抽取卡片觀察抽取卡片上的號碼數(shù)上的號碼數(shù)1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，6 6E4 4同上同上觀察

6、卡片上的觀察卡片上的顏色顏色“紅色紅色”，“蘭蘭色色”THHTHT 上面所列舉的試驗，其共同的特點是：上面所列舉的試驗，其共同的特點是： 1 1、可以在相同的條件下重復(fù)進行（可重復(fù)性）、可以在相同的條件下重復(fù)進行（可重復(fù)性） 2 2、試驗的可能結(jié)果不止一個，并能事先明確試驗的所有可、試驗的可能結(jié)果不止一個，并能事先明確試驗的所有可能的結(jié)果能的結(jié)果 （預(yù)知性）（預(yù)知性） 3 3、一次試驗之前不能確定預(yù)言中哪一個結(jié)果會出現(xiàn)（隨機、一次試驗之前不能確定預(yù)言中哪一個結(jié)果會出現(xiàn)（隨機性）性） 具有上述三個特點的試驗稱為隨機試驗，簡稱為試驗，記為具有上述三個特點的試驗稱為隨機試驗，簡稱為試驗，記為E E。

7、 我們是通過研究隨機試驗來研究隨機現(xiàn)象的。我們是通過研究隨機試驗來研究隨機現(xiàn)象的。（二）隨機試驗（二）隨機試驗E的每一個可能出現(xiàn)的結(jié)果叫做基本事件，的每一個可能出現(xiàn)的結(jié)果叫做基本事件， 記為記為 或或e 所有基本事件組成的集合叫樣本空間，記為所有基本事件組成的集合叫樣本空間，記為 eS 或或樣本點樣本點 滿足兩點：滿足兩點：1 完備性：樣本點是完備性：樣本點是E 的所有可能結(jié)果的所有可能結(jié)果2 互斥性：任何兩個基本事件都不會在一次試驗中同時發(fā)生。互斥性：任何兩個基本事件都不會在一次試驗中同時發(fā)生。 （三）一個或多個基本事件組成的集合叫隨機事件。（三）一個或多個基本事件組成的集合叫隨機事件。 記

8、為記為A，B，C.集合論集合論全集（集合）全集（集合）點點子集子集概率論概率論樣本空間樣本空間S S樣本點樣本點 （基本事件）（基本事件）事件事件A A關(guān)系：關(guān)系：如如TTTHHTHHSE2，： （出現(xiàn)正面）（出現(xiàn)正面）THHTHHA， （第二次出現(xiàn)正面）（第二次出現(xiàn)正面）THHHB， ,654321SE3，： （取到卡片上號碼大于（取到卡片上號碼大于3）=C =（4，5，6）（四）頻率與概率（四）頻率與概率頻率：在相同條件下，獨立重復(fù)進行頻率：在相同條件下，獨立重復(fù)進行n次試驗，在這次試驗，在這n次試驗中，次試驗中， 事件事件A發(fā)生的次數(shù)發(fā)生的次數(shù)nA叫事件發(fā)生的頻數(shù)，比值叫事件發(fā)生的頻數(shù)，

9、比值nA/n稱為事稱為事 件件A發(fā)生的頻率，發(fā)生的頻率， 記為記為f n(A)。 特點：（特點：（1）頻率在一定程度上可以反映事件）頻率在一定程度上可以反映事件A發(fā)生的可能性大小。發(fā)生的可能性大小。 （2）具有波動性的弱點。）具有波動性的弱點。頻率具有頻率具有“穩(wěn)定性穩(wěn)定性”的特性，即當(dāng)試驗次數(shù)的特性，即當(dāng)試驗次數(shù)n逐漸增大時。逐漸增大時。頻率頻率f n(A)逐漸穩(wěn)定某一逐漸穩(wěn)定某一 定數(shù)定數(shù)。 實驗者實驗者 試驗次數(shù)試驗次數(shù)正面向上次數(shù)正面向上次數(shù)正面向上頻率正面向上頻率德德. .摸根摸根204810610.5181蒲豐蒲豐404020480.5069K.K.皮爾遜皮爾遜1200060190

10、.5016例：擲一枚均勻硬幣，記錄前例：擲一枚均勻硬幣，記錄前400次擲硬幣試驗中，正面出次擲硬幣試驗中，正面出現(xiàn)頻率現(xiàn)頻率 fn (H)的趨勢，如圖的趨勢，如圖0.51由上面演示可看出：由上面演示可看出： 在多次試驗中，事件的頻率總是在一個在多次試驗中，事件的頻率總是在一個”定值定值“附近擺動，附近擺動，而且當(dāng)試驗次數(shù)而且當(dāng)試驗次數(shù)n越大，這個擺動的振幅越小。這個特性叫頻越大，這個擺動的振幅越小。這個特性叫頻率的穩(wěn)定性。這是大量實踐中得到的隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性。率的穩(wěn)定性。這是大量實踐中得到的隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性。 我們將頻率穩(wěn)定于某一定數(shù)定義為我們將頻率穩(wěn)定于某一定數(shù)定義為A發(fā)生的概率，記

11、發(fā)生的概率，記P(A)。用它表示事件用它表示事件A發(fā)生的可能性大小。發(fā)生的可能性大小。概率的頻率定義概率的頻率定義 在一組不變的條件下，重復(fù)作在一組不變的條件下，重復(fù)作n次試驗，記次試驗，記m是是n次試驗中事件次試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)。當(dāng)試驗次數(shù)發(fā)生的次數(shù)。當(dāng)試驗次數(shù)n很大很大時，如果頻率時，如果頻率m/n穩(wěn)定地在某數(shù)值穩(wěn)定地在某數(shù)值p附近擺動，附近擺動，而且一般地說，隨著試驗次數(shù)的增加，這種擺動而且一般地說，隨著試驗次數(shù)的增加，這種擺動的幅度越來越小，稱數(shù)值的幅度越來越小，稱數(shù)值p為事件為事件A在這一組不在這一組不變的條件下發(fā)生的概率，記作變的條件下發(fā)生的概率，記作P(A)=p.概率的定義：

12、設(shè)概率的定義：設(shè)S是試驗是試驗E的樣本空間，對于的樣本空間，對于E的每一事件的每一事件A賦予賦予一個實數(shù)一個實數(shù)P(A)，如果如果P(A)滿足：滿足：公理（公理（1）對于任何事件）對于任何事件A，有有公理（公理（2）對于）對于S，有，有P(S)=1公理（公理（3）對于對于兩兩互斥的事件）對于對于兩兩互斥的事件A1,A2,Am, 1kk1kkAPAP)()(則稱則稱P(A)為事件為事件A的概率的概率概率的公理化定義概率的公理化定義 1AP0 )(二二. 概率的計算概率的計算（一）直接計算（一）直接計算古典概型古典概型: 1. E的樣本空間的樣本空間S只含有限個樣本點（基本事件）記只含有限個樣本點

13、（基本事件）記 n2. E的每個基本事件發(fā)生的可能性相同的每個基本事件發(fā)生的可能性相同nkAP )(古典概型中古典概型中:其中其中n是是S中中 的個數(shù)的個數(shù)k是是A中包含的中包含的 個數(shù)個數(shù) （1）計算計算n，k要用到兩個基本原理和排列、組合要用到兩個基本原理和排列、組合1. 乘法原理乘法原理如果完成某件事需經(jīng)如果完成某件事需經(jīng)k個步驟個步驟第一個第一個 第二個第二個 第第k個個 步驟有步驟有 步驟有步驟有 步驟有步驟有n1種方法種方法 n2種方法種方法 nk種方法種方法 必須經(jīng)過每一步驟才能完成此事。必須經(jīng)過每一步驟才能完成此事。則完成這件事共有則完成這件事共有 種不同方法種不同方法k21n

14、nn .如如 火車3列 火車2列北京 飛機2班 濟南 飛機3班 上海 汽車4趟 汽車2趟北京到上海的走法共有北京到上海的走法共有6379 2. 加法原理加法原理 設(shè)完成某件事有設(shè)完成某件事有k種方式：種方式：第一種第一種 第二種第二種 第第k種種 方式有方式有 方式有方式有 方式有方式有n1種方法種方法 n2種方法種方法 nk種方法種方法無論通過哪種方式都可以完成此事。無論通過哪種方式都可以完成此事。則完成這件事總共有則完成這件事總共有n1+n2+nk 種方法。種方法。如如 火車火車5列列 北京北京 飛機飛機3班班 天津天津 汽車汽車6趟趟北京到天津的共有北京到天津的共有3+5+6=11種方法

15、種方法).()()!(!1mn1nnmnnAPmnmn 排列公式排列公式如：如：6034525P35 !該公式可視為以下模型：該公式可視為以下模型：m個球放在個球放在n個盒子中，每個盒子最多個盒子中，每個盒子最多有一個球（或說有一個球（或說m個球都不在同一盒子中）個球都不在同一盒子中）第一個球任意放在第一個球任意放在n個盒中之一，有個盒中之一，有n種方法可放種方法可放第二個球任意放在剩下第二個球任意放在剩下n-1個盒中之一，有個盒中之一，有n-1種方法種方法第第m個球任意放在剩下個球任意放在剩下n-m+1個盒中之一，有個盒中之一，有n-m+1種方法種方法 把把m個球全放完共有方法：個球全放完共

16、有方法：)()(1mn2n1nn 種種特別：特別：可重復(fù)排列，如：可重復(fù)排列，如：m個球任意放入個球任意放入n個盒子中，盒中個盒子中，盒中球的個數(shù)不限，共有方法球的個數(shù)不限，共有方法 種。種。mn如：從如：從0，1，2.9個數(shù)字中任取個數(shù)字中任取7個數(shù)字為某城市的電話個數(shù)字為某城市的電話號碼，該城市最多可安裝電話的部數(shù)是號碼，該城市最多可安裝電話的部數(shù)是710組合公式：組合公式：1C10m1mn1nnmnmnmPmnC0nmnmn ,!).()!( !規(guī)規(guī)定定（2）抽樣方法抽樣方法10無放回抽樣（抽?。┘词堑谝淮螐闹腥稳∫粋€，不放回再無放回抽樣（抽?。┘词堑谝淮螐闹腥稳∫粋€，不放回再 取一個，

17、又不放回，再取下一個取一個，又不放回，再取下一個.20 有放回抽樣（抽?。┘词堑谝淮螐闹腥稳∫粋€，放回再有放回抽樣（抽取）即是第一次從中任取一個，放回再 取一個，又放回，再取下一個取一個，又放回，再取下一個.例例1：從：從1，3，5三個數(shù)字中任取一個數(shù)字，求取的數(shù)字大三個數(shù)字中任取一個數(shù)字，求取的數(shù)字大 于等于于等于3的概率？的概率？解：設(shè)解：設(shè)A表示事件表示事件“任取一個數(shù)字大于等于任取一個數(shù)字大于等于3”。S=1,3,5, n=3, k=232AP )(例例2：從：從1，3，5三個數(shù)字中任取一個數(shù)字，不放回的再從中三個數(shù)字中任取一個數(shù)字，不放回的再從中任取一個數(shù)字。求下列事件的概率。任取一

18、個數(shù)字。求下列事件的概率。（1）“第一次取的是第一次取的是3，第二次取的是，第二次取的是5”=A（2）“取的兩個數(shù)字是取的兩個數(shù)字是3和和5”=B分析分析第一次取球的情況第一次取球的情況不放回，第二次抽取不放回，第二次抽取1 3 53 5 1 5 3 1可知可知S=(1,3), (1,5), (3,1), (3,5), (5,1), (5,3)解：解： n=6)(623P23 (1) k=161AP )(2) k=23162BP )(此問題，能否用如下方法計算是否對？此問題，能否用如下方法計算是否對？3123Cn23 !31AP )(31C1BP23 )(例例3. 如果例如果例2中的抽樣方法為

19、有放回抽樣，求中的抽樣方法為有放回抽樣，求P(A),P(B)第一次取球的情況第一次取球的情況有放回，第二次抽取有放回，第二次抽取1 3 51 3 5 1 3 5 1 3 5 S=(1,1), (1,3), (1,5), (3,1), (3,3), (3,5), (5,1), (5,3), (5,5)n=9分析分析解：解： 932 91AP )(92BP )(例例4：從分別標(biāo)號為：從分別標(biāo)號為1，2，3，4，5，6，7，8，9的的9件同型產(chǎn)件同型產(chǎn)品中，有放回的任取品中，有放回的任取3件，求件，求“取得取得3件的號碼都是偶數(shù)件的號碼都是偶數(shù)”的概率？的概率？分析：由于是有放回的抽取，每取一件產(chǎn)品

20、都有分析：由于是有放回的抽取，每取一件產(chǎn)品都有9種不同的取法。種不同的取法。有放回的抽取有放回的抽取3件，便有件，便有 種不同的結(jié)果種不同的結(jié)果999 而要求取得的號碼是偶數(shù)，所以只能從標(biāo)號為偶數(shù)的而要求取得的號碼是偶數(shù)，所以只能從標(biāo)號為偶數(shù)的4個中取得，個中取得，有放回的取有放回的取3件，便有件，便有 種不同的結(jié)果。種不同的結(jié)果。444 解：解：設(shè)設(shè)D=“取得取得3件產(chǎn)品的標(biāo)號都是偶數(shù)件產(chǎn)品的標(biāo)號都是偶數(shù)”34444k 39999n 09094nkDP33.)( 思考：如果是無放回的抽取，結(jié)果如何呢？思考：如果是無放回的抽取，結(jié)果如何呢？例例5. 在在100件同型產(chǎn)品中有件同型產(chǎn)品中有5件廢

21、品，其余都是正品。今從件廢品，其余都是正品。今從100件中無放回的任取件中無放回的任取10件，求取的產(chǎn)品正好有三件廢品的概率件，求取的產(chǎn)品正好有三件廢品的概率分析：正好取得分析：正好取得3件廢品實際上是件廢品實際上是“正好取得正好取得3件廢品，件廢品，7件正品件正品從從100件中無放回的取件中無放回的取10件，共有件，共有 種不同的取法。種不同的取法。10100C正好取得正好取得3件廢品，只能從件廢品，只能從5件廢品中任取件廢品中任取3件，共有件，共有 不同的取法不同的取法35C而另外而另外7件必須從件必須從95件正品中取得，其不同的取法有件正品中取得，其不同的取法有 種。種。795C所以正好

22、取得所以正好取得3件廢品共有件廢品共有 種不同的取法種不同的取法79535CC解：解：設(shè)設(shè)A=“正好取得正好取得3件廢品件廢品”00640CCCnkAP1010079535.)( 10100Cn 79535CCk “A、B中至少有一個發(fā)生時中至少有一個發(fā)生時”， “A發(fā)生或發(fā)生或B發(fā)生發(fā)生”與與“事件事件A B發(fā)生發(fā)生”是等價的。是等價的。（二）用概率性質(zhì)（二）用概率性質(zhì)（1）集合運算：和、交（積）、差，自己復(fù)習(xí)）集合運算：和、交（積）、差，自己復(fù)習(xí)“事件事件A和和B同時發(fā)生同時發(fā)生”， “A發(fā)生且發(fā)生且B發(fā)生發(fā)生”， “A和和B都發(fā)生都發(fā)生”與與“事件事件AB發(fā)生發(fā)生”是等價的。是等價的。A

23、發(fā)生且發(fā)生且B不發(fā)生時，事件不發(fā)生時，事件A B發(fā)生發(fā)生。BAABA與與B互斥（互不相容）即互斥（互不相容）即A與與B沒有共同元素沒有共同元素AB A與與B對立（互逆）對立（互逆）BAS 滿足條件：滿足條件： AB且且A ABS-A也稱為也稱為A的逆事件，記為的逆事件，記為A（2）概率的性質(zhì)。要熟記）概率的性質(zhì)。要熟記10 若若 AB則則 ）（）（）（BPAPBAP 20 一般加法公式一般加法公式）（）（）（）（ABPBPAPBAP ABAB30n21AAA，. n1kkn1kkAPAP)()(兩兩互斥，則兩兩互斥，則）（）（AP1AP 如：產(chǎn)品的次品率是如：產(chǎn)品的次品率是5% （次品）（次品

24、）=A（正品）（正品）=050AP.)( 950AP.)( A40 )()()()()()()()(BPAPBAPABPAPBPAPBABAP獨立獨立一般一般若若BAABAB例例5：甲、乙二人獨立破譯密碼，甲、乙能譯出的概率依次：甲、乙二人獨立破譯密碼，甲、乙能譯出的概率依次 為為0.5，0.6，又知甲乙能同時譯出的概率是，又知甲乙能同時譯出的概率是0.4，求密碼能，求密碼能 譯出的概率？譯出的概率？解：（甲能譯出）解：（甲能譯出）=A（乙能譯出）（乙能譯出）=B（甲乙能同時譯出）（甲乙能同時譯出）=AB由條件知由條件知 P(A)=0.5P(B)=0.6P(AB)=0.4P(密碼能譯出密碼能譯

25、出)= P(A+B)= P(A)+P(B)- P(AB) =0.5+0.6-0.4=0.7 例例6：已知事件：已知事件A的概率的概率P(A)=0.6，2 . 0)( BAP求求)(BAP法一：條件擴大法一：條件擴大2 . 0)()()()( ABPBPABPBAP8 . 02 . 06 . 0)()()()( ABPBPAPBAP法二：法二：8 . 02 . 06 . 0)()()()( BAPAPBAAPBAP互斥互斥B BABA例例7：在同型產(chǎn)品中，有：在同型產(chǎn)品中，有8件次品，其余為正品，今從這件次品，其余為正品，今從這100 件產(chǎn)品中，任取件產(chǎn)品中，任取10件。求至少取得件。求至少取得

26、1件次品的概率。件次品的概率。解：記解：記A=“至少取得一件次品至少取得一件次品”.法一：用古典概率知：法一：用古典概率知：10100292888922899218)(CCCCCCCAP 法二：先計算法二：先計算)(APA=“不取得次品不取得次品”4208210100909010CCCAP10100109208.!)( 58. 042. 011 ）（）（APAP三、條件概率與乘法公式三、條件概率與乘法公式例：甲、乙兩廠生產(chǎn)同一種零件，它們的產(chǎn)品情況如下表：例：甲、乙兩廠生產(chǎn)同一種零件，它們的產(chǎn)品情況如下表：產(chǎn)品混放在一起，從中任取一件產(chǎn)品，產(chǎn)品混放在一起，從中任取一件產(chǎn)品，（1）“取得的一件產(chǎn)

27、品是甲廠生產(chǎn)的取得的一件產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的”=A。 求求P(A)（2）“取得的一件產(chǎn)品是次品取得的一件產(chǎn)品是次品”=B。求。求P(B)（3）“取得的一件產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的次品取得的一件產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的次品”=AB 求求P(AB)（4）已知取得的一件是甲廠的產(chǎn)品，求它是次品的概率）已知取得的一件是甲廠的產(chǎn)品，求它是次品的概率，正品正品次品次品小計小計甲廠甲廠505020207070乙廠乙廠25255 5303075752525100100解：解：70. 010070)(1 AP）（25. 010025)()2( BP*)()(10070100207020)()()4(APABPBPABPA 表表達(dá)達(dá)

28、為為20. 010020)()3( ABP注意：以上四個問題的不同之處，什么叫注意：以上四個問題的不同之處，什么叫“條件條件”。定義：若定義：若P(A)0,A發(fā)生的條件下發(fā)生的條件下B發(fā)生的條件概率為發(fā)生的條件概率為)()()|(APABPABP 若若P(B)0,B發(fā)生的條件下發(fā)生的條件下,A發(fā)生的條件概率為發(fā)生的條件概率為)()()|(BPABPBAP 計算方法（一）公式法計算方法（一）公式法 * （二）直接計算（二）直接計算 *注：條件概率具有概率的性質(zhì)。請自己總結(jié)注：條件概率具有概率的性質(zhì)。請自己總結(jié)（2 2） 乘法公式乘法公式若若P(A)0有有)|()()(ABPAPABP P(B)0

29、有有)|()()(BAPBPABP 注意：注意： 如何把實際問題表述成事件的關(guān)系運算來求如何把實際問題表述成事件的關(guān)系運算來求解。解。 區(qū)分區(qū)分)(ABP)|(BAP如：一批產(chǎn)品是甲、乙二廠生產(chǎn)的，從中任取一件產(chǎn)品。如：一批產(chǎn)品是甲、乙二廠生產(chǎn)的，從中任取一件產(chǎn)品?！叭稳∫患羌讖S的產(chǎn)品任取一件是甲廠的產(chǎn)品”=A，“任取一件是次品任取一件是次品”=B，求甲廠的生產(chǎn)的次品求甲廠的生產(chǎn)的次品的概率。如何表達(dá)？的概率。如何表達(dá)？甲廠產(chǎn)品的次品率。甲廠產(chǎn)品的次品率。如何表達(dá)？如何表達(dá)？)(ABP)|(ABP例例8:盒中有盒中有10件同型產(chǎn)品，其中件同型產(chǎn)品，其中8件正品，件正品，2件次品?，F(xiàn)從件次品。

30、現(xiàn)從盒中無放回的連取盒中無放回的連取2件，求第一次、第二次都取得正品的概率。件，求第一次、第二次都取得正品的概率。解：記解：記A=“第一次取得正品第一次取得正品”B=“第二次取得正品第二次取得正品”則則 AB =“第一次取得正品，第二次也取得正品第一次取得正品，第二次也取得正品”因為在第一次已取得正品下，第二次在取得產(chǎn)品時，盒中只剩因為在第一次已取得正品下，第二次在取得產(chǎn)品時，盒中只剩9件產(chǎn)品，其中正品只有件產(chǎn)品，其中正品只有7件。所以件。所以97)( ABP由乘法公式得：由乘法公式得：4528107108)|()()( ABPAPABP例例9:將將6個球（其中個球（其中3個紅球，個紅球，3個

31、白球）隨機放入個白球）隨機放入3個盒子中。個盒子中。求每個盒子正好都放入一個紅球一個白球的概率。求每個盒子正好都放入一個紅球一個白球的概率。解：記解：記Ai =“第第i個盒子正好放入一個紅球一個白球個盒子正好放入一個紅球一個白球”，i=1,2,3則則“每盒正好放入一個紅球一個白球每盒正好放入一個紅球一個白球”事件可表成事件可表成A1A2A3。由概率的乘法公式得：由概率的乘法公式得：)|()|()()(213121321AAAPAAPAPAAAP 52221111241212261313 CCCCCCCCC例例10:某廠產(chǎn)品的次品率是某廠產(chǎn)品的次品率是0.04，正品中一等品占，正品中一等品占90

32、%，求從這批產(chǎn)品中任取一件是一等品的概率求從這批產(chǎn)品中任取一件是一等品的概率?解：設(shè)解：設(shè)“正品正品”=A，“一等品一等品”=B已知已知P(A)=0.9604. 0)( AP9.0)( ABP1.0)( ABPP(任取一件產(chǎn)品是一等品任取一件產(chǎn)品是一等品)=P(B)|()()(ABPAPABP 864. 09 . 096. 0 (4) 事件的獨立性事件的獨立性如果如果)()|(BPABP )()|(APBAP 說明說明B的發(fā)生對的發(fā)生對A發(fā)生的概率無影響發(fā)生的概率無影響說明說明 A的發(fā)生對的發(fā)生對B發(fā)生的概率無影響發(fā)生的概率無影響稱稱 A與與B互相獨立?；ハ嗒毩?。)()()|()()(BPAP

33、ABPAPABP獨獨立立 )()()|()()(BPAPBAPBPABP獨獨立立 定義：若事件定義：若事件A,B滿足滿足)()()(BPAPABP 則稱則稱A和和B互相獨立。（反之也成立）互相獨立。（反之也成立）若若n21AAA，互相獨立，則互相獨立，則 n1iin21APAAAP)(),(注意：注意：n21AAA，互相獨立的定義應(yīng)是：互相獨立的定義應(yīng)是：nji1APAPAAPjiji ),()()(nkji1APAPAPAAAPkjikji ，）（）（）（)( 兩兩獨立兩兩獨立 n1iin21APAAAP)(),(必須滿足以上所有等式都成立。必須滿足以上所有等式都成立。 有有1n2CCCnn

34、n3n2n 小結(jié)：（小結(jié)：（1） )(ABP)()(BPAP)|()(ABPAPA和和B獨立獨立一般情況一般情況 （2 2）如果已知）如果已知A與與B相互獨立，則可知：相互獨立，則可知：)()|(),()|(BPABPAPBAP （3 3）如果）如果A與與B相互獨立，則相互獨立，則BABABA與與，與與，與與 如甲、乙二人的射擊問題。如甲、乙二人的射擊問題。例例11:已知事件已知事件A與與B相互獨立相互獨立,且知且知,.)(60AP 30BP.)( ?)|( BAP則則?)|( ABP?)|( BAP 解：解：60APBAP.)()|( 30BPABP.)()|( 40APBAP.)()|(

35、例例12:已知已知,.)(40AP 30BP.)( （1）若）若A與與B互斥?；コ狻Ｇ螅呵螅?,( ABP),(BAP),(BAP )(ABP （2）若）若A與與B互相獨立互相獨立求：求：),( ABP),(BAP),(BAP )(ABP 解：解：0ABP )(40APBAP.)()( 704030BPAPBAP.)()()( 30BPABP.)()( （1）若）若A與與B互斥。互斥。1203040BPAPABP.)()()( 28030140BPAPBAP.).(.)()()( 5801204030ABPBPAPBAP.)()()()( 18040130APBPABPABP.).(.)()(

36、)()( （2）若）若A與與B互相獨立互相獨立注意：注意：A與與B對立（互逆），對立（互逆）， A與與B互斥（互不相容），互斥（互不相容）， A與與B獨立的概念區(qū)別，用處。獨立的概念區(qū)別，用處。A與與B對立對立A與與B互斥互斥A與與B互相獨立互相獨立？ SBAAB AB ABAB)()()(BPAPABP 0AP )(0BP )(0ABP )(若若則則即即 ABAB例例12:甲、乙兩名穩(wěn)健射手各對目標(biāo)射出一發(fā)子彈，記：甲、乙兩名穩(wěn)健射手各對目標(biāo)射出一發(fā)子彈，記：A=“甲命中目標(biāo)甲命中目標(biāo)”，B=“乙命中目標(biāo)乙命中目標(biāo)”，已知，已知,.)(90AP 950BP.)( 求：（求：（1）甲、乙都命中

37、目標(biāo)的概率。）甲、乙都命中目標(biāo)的概率。 （2）甲乙至少有一人命中目標(biāo)的概率。）甲乙至少有一人命中目標(biāo)的概率。解：因為甲、乙二人都穩(wěn)健，可認(rèn)為其中一人命中與否，解：因為甲、乙二人都穩(wěn)健，可認(rèn)為其中一人命中與否，不影響另一人命中與否的概率，即不影響另一人命中與否的概率，即A與與B互相獨立。互相獨立。855095090BPAPABP1.)()()()( （2）法一：）法一：9950855095090BPAPBPAPABPBPAPBAP.)()()()()()()()( 法二：法二：BABA 且易知且易知 與與 獨立獨立AB005005010BPAPBAPBAP.)()()()( 995000501B

38、AP1BAP.)()( 例例13:袋中有袋中有4個紅球，個紅球，3個白球，每次從中任取一個不放回的個白球，每次從中任取一個不放回的取二次，求下列事件的概率。取二次，求下列事件的概率。（1）第二次才取到紅球。（）第二次才取到紅球。（2）第二次取到紅球。）第二次取到紅球。解：設(shè)解：設(shè) 表示第表示第i次取到的是紅球。次取到的是紅球。i=1,2)(iAP(1) P第二次才取到紅球第二次才取到紅球)(21AAP 726473AAPAP121 )|()(（2）)()(2112AAAPAP )()(2121AAPAAP )|()()|()(121121AAPAPAAPAP 7464736374 四、全概率公

39、式與貝葉斯公式四、全概率公式與貝葉斯公式 設(shè)設(shè)S為試驗為試驗E的樣本空間，的樣本空間，B1，B2，Bn為為E的一組的一組事件，且事件，且SB2n21jijiBB1n1kkji ;,., 1BPBPn1kkn1kk )()(即即則則)()(kn1kkBAPBPAP ）（全概率公式）（全概率公式）)()()()(APBAPBPABPkkk （貝葉斯公式）（貝葉斯公式）小結(jié)：用全概率公式求解問題一般應(yīng)具有三個條件。小結(jié)：用全概率公式求解問題一般應(yīng)具有三個條件。（1）問題是求一個事件（如設(shè)為）問題是求一個事件（如設(shè)為A）的概率）的概率P(A)；（2）A的發(fā)生可能有的發(fā)生可能有“多種原因多種原因”或或“

40、多種條件多種條件”或或“多種情況多種情況 下發(fā)生下發(fā)生”的諸事件記為：的諸事件記為： B1，B2，Bn，滿足滿足;,.,n21jijiBBji SBn1kk 和和（3）由題中條件易求出）由題中條件易求出)|(kBAP1BPn1kk )(注意注意（4）)()(kn1kkBAPBPAP ）（)()()()(APBAPBPABPkkk k=1,2,.n例例14 某庫內(nèi)有同型產(chǎn)品某庫內(nèi)有同型產(chǎn)品1000件，其中件，其中500件是甲廠生產(chǎn)的件是甲廠生產(chǎn)的300件是乙廠生產(chǎn)的，件是乙廠生產(chǎn)的，200件是丙廠生產(chǎn)的。已知甲廠產(chǎn)品件是丙廠生產(chǎn)的。已知甲廠產(chǎn)品次品率為次品率為1%，乙廠產(chǎn)品次品率為，乙廠產(chǎn)品次品率為2%，丙廠產(chǎn)品次品率為，丙廠產(chǎn)品次品率為4%，今從庫內(nèi)任取一件產(chǎn)品，求：今從庫內(nèi)任取一件產(chǎn)品，求：（1）求取得一件次品的概率。）求取得一件次品的概率。（2）若已知取得一件次品，求取得的產(chǎn)品屬于甲廠的產(chǎn)品）若已知取得一件次品，求取得的產(chǎn)品屬于甲廠的產(chǎn)品的概率。的概率。解解（1）記）記 “取得的產(chǎn)品屬于甲廠產(chǎn)品取得的產(chǎn)品屬于甲廠產(chǎn)品” 1A“取得的產(chǎn)品屬于乙廠產(chǎn)品取得的產(chǎn)品屬于乙廠產(chǎn)品” 2A“取得的產(chǎn)品屬于丙廠產(chǎn)品取得的產(chǎn)品屬于丙廠產(chǎn)品” 3A“取得一件次品取得一件次品” B