求函數(shù)的值域的方法大全

1、求函數(shù)值域方法大全（一）、最值與值域的高考地位傳統(tǒng)高考數(shù)學(xué)中的應(yīng)用題中凡涉及到利潤最大（或最?。?，最少的人力、物力等，均可歸結(jié)于最值與值域的求解；當(dāng)今高考數(shù)學(xué)中的求字母參數(shù)的取值范圍問題很大一部分歸結(jié)于最值與值域的求解通過求函數(shù)的最值與值域可大大的加深對(duì)一些數(shù)學(xué)思想的領(lǐng)會(huì)，提高運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解題的能力。（二）、最值與值域的關(guān)系1、有的函數(shù)知道值域就可以求最值如：函數(shù)的值域是，可知2、有的函數(shù)知道最值就可以求值域3、有的函數(shù)有值域但無最值如：函數(shù)的值域是，但,4、有的函數(shù)有最大值但無最小值如：函數(shù)，但5、有的函數(shù)有最小值但無最大值如：函數(shù)，但6、值域有可能是一個(gè)數(shù)，也可能是幾個(gè)數(shù)構(gòu)成的集合，但大多

2、是一個(gè)不等式構(gòu)成的集合如：常數(shù)函數(shù)的值域是7、求最值與值域的方法大同小異8、在由值域確定函數(shù)的最值時(shí)，需注意等號(hào)成立的條件下才能取到。如：已知值域，只有，而9、最值存在定理：連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上一定存在最大值和最小值（三）、基本初等函數(shù)的定義域與值域函數(shù)名函數(shù)解析式定義域值域一次函數(shù)RR二次函數(shù)R時(shí)，時(shí)，反比例數(shù)指數(shù)函數(shù)R對(duì)數(shù)函數(shù)R正弦函數(shù)R【-1,1】余弦函數(shù)R【-1,1】正切函數(shù)R（四）、函數(shù)的最值與值域的求解技巧即是求函數(shù)值的集合或是找到的y的不等式出來（以后者為重）如：已知函數(shù)，則此函數(shù)的值域是（ ）A、；B、；C、；D、法（一）：觀察法【及時(shí)反饋】1、函數(shù)的值域是（ ）A、；B、；C、

3、R；D、法（二）：反函數(shù)法、理論依據(jù)：巧妙根據(jù)原函數(shù)與它的反函數(shù)的定義域、值域的互調(diào)性，如下表所示：定義域值域原函數(shù)AC反函數(shù)CA由上表知，求原函數(shù)的值域就是相當(dāng)于求它的反函數(shù)的定義域、求反函數(shù)的步驟（“三步曲”）求；x、y互換；通過求原函數(shù)的值域得出反函數(shù)的定義域【及時(shí)反饋】（1）、求函數(shù)的值域（2）、求函數(shù)的值域法（三）：分離變量法常用于求形如的函數(shù)的值域求解技巧：“分子對(duì)分母說，我要變成你”，即把化成“常量+”的形式來?！炯皶r(shí)反饋】（1）、求函數(shù)的值域（2）、求函數(shù)的值域通過以上兩題的值域的求解，你發(fā)現(xiàn)了什么？（形如的函數(shù)的值域是）（3）、已知函數(shù)的值域是，則a的值是 法（四）：基本不等

4、式法若a0,b0，則 , 【及時(shí)反饋】(1)、若a、b是正數(shù)且，則ab、a+b的取值范圍分別是 （2）、已知實(shí)數(shù)m、n滿足mn0,則的值（ ）A、有最小值但沒有最大值；B、有最大值但沒有最小值；C、既有最大值也有最大值；D、沒有最大值也沒有最小值；型，可直接用不等式性質(zhì)，【及時(shí)反饋】求的值域（答：）型，先化簡(jiǎn)，再用均值不等式，【及時(shí)反饋】（2）求函數(shù)的值域（答：） 型，可用判別式法或均值不等式法，【及時(shí)反饋】求的值域（答：）在使用均值不等式求函數(shù)的最值與值域時(shí)注意：“一正二定三相等，和定積最大，積定和最小”這17字方針法（五）：配方法常用于二次型函數(shù)的最值與值域的求解。配方步驟：1、把二次項(xiàng)系

5、數(shù)化為1；2、在一次項(xiàng)之后加上又同時(shí)減去一次項(xiàng)的一半的平方；3、把前三項(xiàng)湊成完全平方式。（一）、不帶限制條件的二次型函數(shù)的最值與值域的求解技巧1：通過配方后得到當(dāng)時(shí)，；值域是當(dāng)時(shí)，；值域是技巧2：求出對(duì)稱軸，然后把對(duì)稱軸帶入原函數(shù)即得【及時(shí)反饋】（1）、求函數(shù)的最值與值域。（2）、求函數(shù)的最值與值域（要求配方后作出函數(shù)的圖像）。（3）、求函數(shù)的最值與值域。（4）、求函數(shù)的最值與值域。（提示：分離變量后用配方法，當(dāng)然還可以用判別式法處理本題。答案：）（二）、帶有限制條件二次型函數(shù)的最值與值域的求解有兩類：1、是求具體函數(shù)（即不含字母參數(shù)的）在閉區(qū)間上的最值與值域；技巧1：通過配方后畫出圖形，由數(shù)

6、形結(jié)合即可求解帶有限制條件的二次函數(shù)圖像的畫法須注意以下幾點(diǎn)：對(duì)稱軸；開口；頂點(diǎn)；與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)注意：先畫全圖，后根據(jù)定義域加以取舍。技巧2：可不畫圖求出對(duì)稱軸，看對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系若對(duì)稱軸包含在區(qū)間內(nèi)，則把端點(diǎn)及對(duì)稱軸處的函數(shù)值全求出來加以比較，最大者為最大值，最小者為最小值。若對(duì)稱軸在區(qū)間外，則只需把端點(diǎn)處的函數(shù)值求出來即可最大者為最大值，最小者為最小值。【及時(shí)反饋】（1）、求函數(shù)的最值與值域。（2）、求函數(shù)的值域（答：4,8）；（3）、求函數(shù)在如下區(qū)間中的的最值與值域。、；、；、；、（4）、求函數(shù)的最值與值域。（提示：先轉(zhuǎn)化為帶有限制條件的二次型函數(shù)的最值與值域的求解）（5）、若，則

7、函數(shù)（ ） A、有最小值，最大值-3；B、有最小值，最大值12；C、有最小值，無最大值；D、無最小值，有最大值12；2、是求區(qū)間定（動(dòng)），對(duì)稱軸動(dòng)（定）的最值問題（即含字母參數(shù)的）。此時(shí)要分“軸在區(qū)間左；軸在區(qū)間右；軸在區(qū)間內(nèi)”三種情況加以討論【及時(shí)反饋】（1）、當(dāng)時(shí)，函數(shù)在時(shí)取得最大值，則的取值范圍是_（答：）；（2）、分別根據(jù)下列條件，求實(shí)數(shù)a的值：、函數(shù)在區(qū)間上有最大值2；（答案：a=-1或2）、函數(shù)在區(qū)間上有最大值4；（答案：a=-3或）、函數(shù)在區(qū)間上有最大值3；（答案：a=或）（3）、求函數(shù)在區(qū)間上的最大值。小結(jié)：求二次函數(shù)的最值與值域問題，勿忘數(shù)形結(jié)合，注意“兩看”：一看開口方向；

8、二看對(duì)稱軸與所給區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系。法（六）：換元法通過換元把一個(gè)較復(fù)雜的函數(shù)變?yōu)楹?jiǎn)單易求值域的函數(shù)，其函數(shù)特征一般是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型代數(shù)換元法【及時(shí)反饋】1、（1）、求函數(shù)的最值與值域。解：令（運(yùn)用換元法時(shí)，要特別要注意新元的范圍），易知所以，所以，欲求原函數(shù)的值域，只需求的最值與值域即可（解法同上面的【及時(shí)反饋】）。（2）、求函數(shù)的最值與值域。（答案：）2、的值域?yàn)開（答：）；3、的值域?yàn)開（答：）（令，。運(yùn)用換元法時(shí)，要特別要注意新元的范圍）；4、的值域?yàn)開（答：）；5、求函數(shù)的最值與值域。三角換元法【及時(shí)反饋】（1）、求函數(shù)的最值與值域。思考：此題同上面的【及時(shí)反饋

9、5】）有何區(qū)別與聯(lián)系？解：定義域優(yōu)先考慮：由得 聯(lián)想到 三角函數(shù)中的的范圍不就也是嗎？所以令，其中，則所以求函數(shù)的最值與值域問題就轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值與值域。（下略）（2）、已知變量滿足，求的最值。（3）、已知變量滿足，求的最值。（4）、已知，則的最小值為( )A、 B、 C、 D、2（）（5）的值域?yàn)開（答：）；法（七）：?jiǎn)握{(diào)性法若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則，；若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則，；【及時(shí)反饋】1、求函數(shù)的最值與值域。易知此函數(shù)的定義域?yàn)?，而在此區(qū)間內(nèi)函數(shù)遞增，故當(dāng)時(shí)，。2、求函數(shù)的最值與值域。（答案：）3、求函數(shù)的最值與值域。法（八）：判別式法對(duì)分式函數(shù)（分子或分母中有一個(gè)是二次）都可通

10、用，但這類題型有時(shí)也可以用其它方法進(jìn)行求解，不必拘泥在判別式法上，也可先通過部分分式后，再利用均值不等式。如型，通常用判別式法【及時(shí)反饋】（1）求的值域。（2）、求函數(shù)的最值與值域。解：易知定義域?yàn)镽，由變形得(當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為字母參數(shù)時(shí)注意對(duì)其分等于0和不等于0兩情形加以討論)當(dāng)時(shí)，即y=2，方程變?yōu)?，此時(shí)當(dāng)時(shí)，即，因?yàn)?方程恒有實(shí)根又值域?yàn)椋?）、若函數(shù)的值域是，則a,b的值為 （答：a=4,b=3,）（3）、已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，值域?yàn)?，2，求常數(shù)的值（答：）判別式法的思想意義：“判別式法”這種思想方法巧妙的把函數(shù)、不等式、方程有機(jī)的勾結(jié)起來，使得函數(shù)、不等式、方程三者互相轉(zhuǎn)化的思想體現(xiàn)

11、得淋漓盡致。法（九）：導(dǎo)數(shù)法導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)極其重要的概念，是處理很多函數(shù)問題的有力工具，自從高中數(shù)學(xué)引入了導(dǎo)數(shù)，函數(shù)問題的處理思想和方法置于更加廣闊的天地之中。一般適用于高次多項(xiàng)式函數(shù)的最值與值域的求解。曾記否？用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值與值域的步驟：【及時(shí)反饋】（1）、求函數(shù)，的最小值。（答：48）（2）、 ( 2005高考貴州卷)用長為90cm,寬為48cm的長方形鐵皮做一個(gè)無蓋的容器,先在四角分別截去一個(gè)小正方形,然后把四邊翻轉(zhuǎn)90角,再焊接而成(如圖),問該容器的高為多少時(shí),容器的容積最大?最大容積是多少?解：設(shè)容器的高為x，容器的體積為V1分則V=（90-2x）（48-2x）x,(0

12、x24) =4x3-276x2+4320x5分V=12 x2-552x+43207分由V=12 x2-552x+4320=0得x1=10，x2=36x0,10x36時(shí)，V36時(shí)，V0,所當(dāng)x=10,V有極大值V(10)=196010分V(0)=0,V(24)=011分當(dāng)x=10, V有最大值V(10)=196012分（3）、（2008年高考重慶卷）已知函數(shù)的最大值為M,最小值為m，則的值為（ ）A、；B、；C、；D；答案：C（4）(2004年高考貴州-理22)（本小題滿分14分）已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)x，g(x)=xlnx.（）求函數(shù)f(x)的最大值；（）設(shè)0ab,證明0g(a)+g

13、(b)-2g()a恒成立，則a的取值范圍是 法（十一）：函數(shù)有界性法直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以利用已學(xué)過函數(shù)的有界性，來確定所求函數(shù)的值域，最常用的就是三角函數(shù)的有界性【及時(shí)反饋】（1）、求函數(shù)的值域解：由變形得，因?yàn)?，所以，解此不等式即得。（答案：）?）、的值域（答：）；（3）、（答案：（0,1）；法（十二）：對(duì)勾函數(shù)法【及時(shí)反饋】（1）、已知，則的最小值是（ ）A、；B、；C、2；D、-2；（2）、（2008年高考江西卷）已知函數(shù)的值域是，則函數(shù)的值域是（ ）A、；B、；C、；D；答案：B提醒：（1）求函數(shù)的定義域、值域時(shí)，你按要求寫成集合形式了嗎？函數(shù)的最值與值域綜合練習(xí)1. 函數(shù)()的最小值是 （）A1 B2 C5 D0 2若集合，則等于() A B C D3.設(shè)，函數(shù)在區(qū)間【】上的最大值與最小值之差是，則=A、 B、 C、4 D、24.已知集合，則=A、 B、 C