曲面曲率計(jì)算方法的比較與分析綜述

1、 研究生專(zhuān)業(yè)課程報(bào)告 題目： 曲面曲率直接計(jì)算方法的比較 學(xué) 院： 信息學(xué)院 課程名稱(chēng)： 三維可視化技術(shù) 任課教師： 劉曉寧 姓 名： 朱麗品 學(xué) 號(hào)： 201520973 西北大學(xué)研究生處制 曲面曲率直接計(jì)算方法的比較 1、 摘 要 曲面曲率的計(jì)算是圖形學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，一般來(lái)說(shuō)，曲面的一階微分量是指曲面的切平面方向和法向量，二階微分量是指曲面的曲率等有關(guān)量.它們作為重要的曲面信息度量指標(biāo), 在計(jì)算機(jī)圖形學(xué), 機(jī)器人視覺(jué)和計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)等領(lǐng)域發(fā)揮了重要的作用.此文對(duì)曲面上主曲率的2種直接估算方法（網(wǎng)格直接計(jì)算法和點(diǎn)云直接計(jì)算法）進(jìn)行了論述, 并進(jìn)行了系統(tǒng)的總結(jié)與實(shí)驗(yàn), 并給出了其在顱像重合方

2、面的應(yīng)用。關(guān)鍵詞 曲面曲率、主曲率、點(diǎn)云、三角網(wǎng)格 2、引 言 傳統(tǒng)的曲面是連續(xù)形式的參數(shù)曲面和隱式曲面, 其微分量的計(jì)算已經(jīng)有了較完備的方法.隨著激光測(cè)距掃描等三維數(shù)據(jù)采樣技術(shù)和硬件設(shè)備的長(zhǎng)足進(jìn)步, 以及圖形工業(yè)對(duì)任意拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)光滑曲面造型的需求日益迫切, 離散形式的曲面細(xì)分曲面、網(wǎng)格曲面和點(diǎn)云曲面正在逐漸成為計(jì)算機(jī)圖形學(xué)和幾何設(shè)計(jì)領(lǐng)域的新寵.于是, 對(duì)這種離散形式的曲面如何估算微分量, 就成為一個(gè)緊迫的課題。 CT掃描技術(shù)獲得的原始點(diǎn)云和網(wǎng)格數(shù)據(jù)通常只包含物體表面的空間三維坐標(biāo)信息及其三維網(wǎng)格信息，沒(méi)有明確的幾何信息，而在點(diǎn)云和網(wǎng)格的簡(jiǎn)化、建模、去噪、特征提取等數(shù)據(jù)處理和模式識(shí)別中，常需要提

3、前獲知各點(diǎn)的幾何信息，如點(diǎn)的曲率、法向量等，也正基于此，點(diǎn)云和網(wǎng)格的幾何信息提取算法一直是研究的熱點(diǎn)。點(diǎn)的法向量和曲率通常采用離散曲面的微分幾何理論來(lái)計(jì)算，由于離散曲面分為網(wǎng)格和點(diǎn)集兩種形式，其法向量和曲率計(jì)算也分為兩類(lèi): 一類(lèi)是基于網(wǎng)格的法向量和曲率計(jì)算，另一類(lèi)是基于散點(diǎn)的法向量和曲率計(jì)算。由于基于三角網(wǎng)的點(diǎn)云幾何信息計(jì)算精度一般比較低，通常采用直接計(jì)算法。在點(diǎn)云幾何信息提取中，常采用基于散亂點(diǎn)的點(diǎn)云幾何信息計(jì)算方法，該類(lèi)方法主要是通過(guò)直接計(jì)算法和最小二乘擬合算法獲取點(diǎn)云的局部n 次曲面，然后根據(jù)曲面的第一基本形式和第二基本形式求解高斯曲率和平均曲率，而點(diǎn)云的局部曲面表示有兩種: 一是基于法

4、向距離的局部曲面表示，二是基于歐幾里德距離的局部曲面表示。 本節(jié)中針對(duì)近幾年來(lái)國(guó)際上提出的對(duì)三角網(wǎng)格曲面估算離散曲率的直接估算法， 從數(shù)學(xué)思想與表達(dá)形式等方面進(jìn)行系統(tǒng)的歸納與總結(jié).3、三角網(wǎng)格曲面的曲率的計(jì)算及代碼實(shí)現(xiàn) 為了敘述清楚起見(jiàn), 引入統(tǒng)一的記號(hào).k 1和k 2表示主曲率,曲面的主曲率即過(guò)曲面上某個(gè)點(diǎn)具有無(wú)窮個(gè)曲線，也就存在無(wú)窮個(gè)曲率（法曲率），其中存在一條曲線使得該曲線的曲率為極大，這個(gè)曲率為極大值k 1，垂直于極大曲率面的曲率為極小值k 2。這兩個(gè)曲率的屬性為主曲率。它們代表著法曲率的極值。主曲率是法曲率的最大值和最小值。H 表示平均曲率,是空間上曲面上某一點(diǎn)任意兩個(gè)相互垂直的正交

5、曲率的平均值。如果一組相互垂直的正交曲率可表示為K 1、K 2，那么平均曲率則為：H= (K 1 +K 2 ) / 2。K 表示曲面的高斯曲率, 兩個(gè)主曲率的乘積即為高斯曲率，又稱(chēng)總曲率，反映某點(diǎn)上總的完全程度。K=k 1*k 2。  N fk表示法曲率, n 表示法向量.考慮三角網(wǎng)格的頂點(diǎn)V i。 （1）曲面三角網(wǎng)格的表示形式給一個(gè)三維曲面，如下圖所示，如果用文本形式將其打開(kāi)，則是由兩部分組成，第一部分以v開(kāi)頭是三維的點(diǎn)，第二部分以f開(kāi)頭是三個(gè)點(diǎn)組成的面三角形。（2）三角網(wǎng)格模型曲率計(jì)算-直接計(jì)算第一步：估計(jì)給定點(diǎn)的法向量 三角網(wǎng)格模型一般情況下可以由一對(duì)線性表表示，M=（V,F）

6、；其中V=vi：1<=i<=nv表示頂點(diǎn)集，F(xiàn)=fK:1<=k<=nf表示三角片集。如下圖所示： 各個(gè)三角片的法向量的計(jì)算，在計(jì)算以vi為公共頂點(diǎn)的法向量時(shí)，由于后面的計(jì)算要取其平均值，故必須保證法向量方向的一致性，在這里要用到了數(shù)學(xué)上的右手法則或者左手法則，即與vi相鄰的點(diǎn)形成一個(gè)三維的封閉的圈，按照右手法則給其線段標(biāo)注方向，如下圖所示。三角面片f k 的法向量N fk 的計(jì)算公式如下：N fk=(vi-vj+1)*(vj+1-vj)/|(vi-vj+1)*(vj+1-vj)|; 我們稱(chēng)1-環(huán)鄰域是與點(diǎn)vi相鄰的三角形集合。圖中除頂點(diǎn)vi外其它頂點(diǎn)組成的集合記為Vi。

7、如果頂點(diǎn)vj屬于Vi，則vj是vi的相鄰點(diǎn)。Vi中頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)稱(chēng)為其頂點(diǎn)的度，記為|N(i)|。包含vi的三角形片集合記為Fi。如果三角形片記fk屬于Fi。記為fk Fi。記|fk|為三角形片的面積。包含點(diǎn)vi的三角片的面積之和記為N(vi)。離散三角網(wǎng)格上法向量和法曲率也有一般的定義方法，這些幾何量估算的準(zhǔn)確度對(duì)高斯曲率和平均曲率的準(zhǔn)確度影響很大。對(duì)于離散三角網(wǎng)格曲面M=(V,F)，任意點(diǎn)vi的法向量一般可定義為1-環(huán)三角形某些幾何量的加權(quán)和。最簡(jiǎn)單的加權(quán)方法為1-環(huán)三角形的法向量平均值，定義如下： 對(duì)于三角網(wǎng)格上任意點(diǎn)vi，法曲率通常使用公式 第二步：計(jì)算法曲率，得到兩個(gè)主曲率K 1和K 2

8、對(duì)于三角網(wǎng)格上任意點(diǎn)vi，法曲率通常使用公式 第三步：計(jì)算高斯曲率和平均曲率 K=K 1*K 2 H=（K 1+K 2）/2實(shí)現(xiàn)代碼見(jiàn)附件4、點(diǎn)云曲面的曲率的計(jì)算及代碼實(shí)現(xiàn)(1)點(diǎn)云簡(jiǎn)介點(diǎn)云(Cloud Points)是由很多單個(gè)的點(diǎn)組成的集合。點(diǎn)是最簡(jiǎn)單、最基本的幾何定義實(shí)體。記錄了模型表面離散點(diǎn)上的各種物理信息，例如模型表面離散點(diǎn)的三維位置坐標(biāo)、大小、法向量、顏色、透明度、紋理特征等。用點(diǎn)云表示的顱骨如下圖所示：（2）點(diǎn)云模型曲率計(jì)算-直接計(jì)算1)選取當(dāng)前的點(diǎn)Pi(x,y,z);2)運(yùn)用kd-tree查找點(diǎn)Pi的最近鄰的m個(gè)點(diǎn)，夠成m*3的矩陣A；3)計(jì)算協(xié)方差矩陣AA；4)求解3）中獲得

9、的協(xié)方差矩陣的特征值，；5）取，中的最小特征值；6）計(jì)算的曲率：/(+);實(shí)現(xiàn)代碼見(jiàn)附件5、 曲面曲率的應(yīng)用（1）基于曲率的點(diǎn)采樣曲面簡(jiǎn)化對(duì)于從原始的幾何形體采樣得到的密集點(diǎn)云來(lái)說(shuō),有時(shí)并不需要豐富的細(xì)節(jié)特征只需要形體的大致輪廓,或者為了避免對(duì)利用采樣得到的密集點(diǎn)云進(jìn)行曲面重建后再簡(jiǎn)化。這時(shí)為了有利于繪制, 方便后續(xù)處理就有必要對(duì)點(diǎn)采樣曲面進(jìn)行簡(jiǎn)化。關(guān)于點(diǎn)采樣曲面的簡(jiǎn)化,Pauly 等【4】 提出了幾種有效的方法, 主要是將原來(lái)網(wǎng)格曲面成熟的簡(jiǎn)化算法推廣到點(diǎn)采樣曲面。從微分幾何的角度來(lái)看, 原始曲面曲率較高的區(qū)域, 應(yīng)該用較多的采樣點(diǎn)表示, 相反則用相對(duì)較少的采樣點(diǎn)表示。曲率是反映曲面的基本特

10、性, 因此常用作簡(jiǎn)化的閾值準(zhǔn)則之一。一般基于曲率的簡(jiǎn)化是這樣的:設(shè)一個(gè)閾值, 小于閾值的簡(jiǎn)化掉, 反之則給予保留;反復(fù)重復(fù)該過(guò)程直至簡(jiǎn)化之后的點(diǎn)個(gè)數(shù)滿足要求為止, 或者當(dāng)沒(méi)有小于閾值的采樣點(diǎn)了。然而這種做法一個(gè)明顯不足的是, 簡(jiǎn)化可能一直在某個(gè)曲相差微小的區(qū)域進(jìn)行, 相反在需要簡(jiǎn)化的曲面區(qū)域則沒(méi)有簡(jiǎn)化到。為此, 簡(jiǎn)化算法可以這樣改進(jìn):首先根據(jù)曲率大小把曲率分成不同的區(qū)間段, 相當(dāng)于對(duì)點(diǎn)采樣曲面進(jìn)行分割, 然后設(shè)一個(gè)曲率偏差, 最后把每個(gè)區(qū)間段內(nèi)與最大曲率點(diǎn)相差小于偏差的采樣點(diǎn)簡(jiǎn)化掉。這樣做法的最大好處在于點(diǎn)采樣曲面的不同曲率間段的區(qū)域都簡(jiǎn)化到。根據(jù)不同的需要,區(qū)間段的個(gè)數(shù), 曲率偏差可以取不同

11、的值, 甚至每個(gè)區(qū)間段的曲率偏差可以取不同。（2）特征提取特征提取在計(jì)算機(jī)視覺(jué)、圖像處理、逆向工程等領(lǐng)域得到廣泛研究。在逆向工程中, 三維幾何形體的特征提取在曲面的重建、光順去噪等都占有重要的地位。Gumhold等【5】通過(guò)Hoppe 等的主元分析, 為每個(gè)采樣點(diǎn)加權(quán), 接著利用最小生成圖(minimum spanning graph)提出一種直接在點(diǎn)云曲面進(jìn)行特征提出的方法;與之類(lèi)似,Pauly 等 5 將圖像處理中的多尺度概念引入點(diǎn)采樣曲面,提出一種抗干擾性更強(qiáng)的多尺度特征提取方法。本文對(duì)點(diǎn)采樣曲面進(jìn)行特征提取采用的方法也與Gumhold 類(lèi)似, 只不過(guò)算法中的曲率計(jì)算方法不一樣。曲率計(jì)算

12、在工程、醫(yī)學(xué)、信息學(xué)等方面都有很多的應(yīng)用，在法醫(yī)學(xué)上，對(duì)于無(wú)身源顱骨和失蹤人照片重疊的過(guò)程中，輪廓線的曲率是一個(gè)重要的指標(biāo)。在工程制造方面，曲率的一致性也發(fā)揮了很大的作用6、 總結(jié)本文首先給出了兩種方法在點(diǎn)集上直接計(jì)算曲率,試驗(yàn)表明這兩種方法都可以達(dá)到很小的誤差,然后我們從準(zhǔn)確度和效率上對(duì)這兩種方法做了比較,給出了各自的適用場(chǎng)合.進(jìn)一步的工作可以考慮曲率的一些應(yīng)用.在點(diǎn)集的重采樣和點(diǎn)集的簡(jiǎn)化6中,曲率可以起指導(dǎo)作用,比如曲率小的區(qū)域比較平坦,采樣密度可以小一些. 在點(diǎn)集的繪制方面, A. Ka laiah等人4提出了一種基于曲率的繪制方法,但是他們的曲率是通過(guò)參數(shù)曲面或者網(wǎng)格計(jì)算得到的,而結(jié)合

13、我們的方法,就可以直接從點(diǎn)集進(jìn)行繪制.本文填補(bǔ)了從點(diǎn)集模型計(jì)算曲面曲率的空白,拓展了點(diǎn)集模型的應(yīng)用。 7、參考文獻(xiàn)【1】鄔凱，等 山區(qū)公路路基邊坡地質(zhì)災(zāi)害遠(yuǎn)程監(jiān)測(cè)預(yù)報(bào)系統(tǒng)開(kāi)發(fā)及應(yīng)用J 巖土力學(xué)，【2】賀美芳 基于散亂點(diǎn)集數(shù)據(jù)的曲面重建關(guān)鍵技術(shù)研究D 南京航空航天大學(xué)，2006 【3】吳劍煌.點(diǎn)采樣曲面曲率估計(jì)?！?】王奎武.基于點(diǎn)表示的曲面曲率計(jì)算方法?！?】Zwicker M , Pauly M, Knoll O et al. Poin tsh op 3D: an int eractive s yst em f or point-bas ed s urf ace editing C . Proceedings of