線性代數(shù)期末復習題

1、線性代數(shù)復習題一、判斷題(正確在括號里打V,錯誤打X)1.把三階行列式的第一列減去第二列，同時把第二列減去第一列，這樣得到的新行列式與原行列式相等，亦即abcabbacabcabbac()abcabbac2.若一個行列式等于零,則它必有一行(3%兀素全為零，或有兩彳-亍(列)完全相同，或后兩行(列)元素成比例.()3 .若行列式D中每個元素都大于零，則D>0.()4 .設(shè)A,B,C都是n階矩陣，且ABCE,則CABE.()5 .若矩陣A的秩為r，則A的r1階子式不會全為零.()6 .若矩陣A與矩陣B等價，則矩陣的秩R(A)=R(B).()7 .零向量一定可以表示成任意一組向量的線性組合.

2、()8 .若向量組內(nèi),02,.,&線性相關(guān)，則0cl一定可由oc2,.,as線性表小.()9 .向量組內(nèi),%,，%中，若火與&對應分量成比例，則向量組四,02,.,&線性相關(guān).()10 .o1,oc2,.,os(s3)線性無關(guān)的充要條件是：該向量組中任意兩個向量都線性無關(guān).()11 .當齊次線性方程組的方程個數(shù)少于未知量個數(shù)時，此齊次線性方程一定有非零解.()12 .齊次線性方程組一定有解.()13 .若為可逆矩陣A的特征值，則1為A1的特征值.()14 .方程組(EA)x0的解向量都是矩陣A的屬于特征值的特征向量.()15 .n階方陣A有n個不同特征值是A可以相似于對

3、角矩陣的充分條件16.若矩則R(A)R(B)、單項選擇題1.設(shè)行列式(A)m2.行列式(A)333.4.5.6.7.a11a21a12a22m,a13a23a12a21n,則行列式alla12a13a21a22a23(B)(mn)(C)nm(D)m四階行列式(A)的元素(B)a21的代數(shù)余子式A21的值為33(C)56(D)56中x的一次項系數(shù)為（(D)a11a12.a1naman2a21.a22.a2n.,D2an1,1.an1,2.an1an2.anna11a12(C)4(B)1Di設(shè)Di(A)D2Din階行列式(A)an已知A1(A)1(B)D2(C)D2Dnbn(B)an(B)2設(shè)A是

4、n階方陣且A|5,(A)5n1(B)5n1bn(C)2則(5AT)annan1,na1n，則D2與D的關(guān)系是（）n(n1)1)=Di的值為（）(D)D2(1)n(n1)Di(C)an(1)n1bn(D)n(ab)(D)3(C)5n1(D)5nm階方陣的是()8 .設(shè)A是mn矩陣，B是nm矩陣(mn),則下列運算結(jié)果是(A)AB(B)ATBT(C)BA(D)(AB)T9 .A和B均為n階方陣，且(AB)2A22ABB2,則必有(A) A E(B) B E(C) A B(D) AB BA10.設(shè)A B均為n階方陣，滿足等式AB O,則必有()(A) A O 或 B O (B) A B O(C) A

5、 ?；?B 0(D)|A B 011.設(shè)A是方陣，若有矩陣關(guān)系式AB AC ,則必有()(A) A O (B) B C 時 A O (C) A 。時 B C(D) A 0時 B C12.已知方陣Aaiia12a13a22a21a11a22a12a23a13,以及初等變換矩陣a31a32a33a31 a11 a32 a12 a33 a13P1010100,P2001(A) AP1P2 B(B)AP2PlB(C)P2RAB(D)P1P2AB13 .設(shè)A、B為n階對稱陣且B可逆，則下列矩陣中為對稱陣的是()_1_1_1_1_1_2(A)AB1B1A(B)AB1B1A(C)B1AB(D)(AB)214

6、 .設(shè)A、B均為n階方陣，下面結(jié)論正確的是()(A)若A、B均可逆，則A+B可逆(C)若A+B均可逆，則 A- B可逆(B)若A、B均可逆，則AB可逆(D)若A+B可逆，則A B均可逆15 .下列結(jié)論正確的是()(A)降秩矩陣經(jīng)過若干次初等變換可以化為滿秩矩陣(B)滿秩矩陣經(jīng)過若干次初等變換可以化為降秩矩陣(C)非奇異陣等價于單位陣(D)奇異陣等價于單位陣16 .設(shè)矩陣A的秩為r,則A中()(A)所有r1階子式都不為0(B)所有r1階子式全為0(C)至少有一個r階子式不為0(D)所有r階子式都不為017 .設(shè)A、RC均為n階矩陣，且ABC=E,以下式子BCA=E,(2)BAC=E,(3)CAB

7、=E,(4)CBA=E中，一定成立的是()(A)(1)(3)(B)(2)(3)(C)(1)(4)(D)(2)(4)18 .設(shè)A是n階方陣，且AsO(s為正整數(shù))，則(EA)1等于()112ss1(A)(B)EA1(C)AA2.As(D)EA.As1EA31219.已知矩陣A101,A*是A的伴隨矩陣，則A*中位于(1,2)的元素是()214(A)6(B)6(C)2(D)-220 .已知A為三階方陣，R(A)=1,則()(A)R(A)3(B)R(A)2(C)RA)1(D)R(A)021 .已知34矩陣A的行向量組線性無關(guān)，則矩陣AT的秩等于()(A)1(B)2(C)3(D)422 .設(shè)兩個向量組

8、如物.，%和0,份，.，3s均線性無關(guān)，則()(A)存在不全為。的數(shù)1,2,.,s使得1的2a2.s%。和102份.s所0(B)存在不全為0的數(shù)1,2,.,s使得1(的31)2(“2fe).s("s用0(C)存在不全為0的數(shù)1,2,.,s使得1(的31)2(“2fe).s(%用)0(D)存在不全為0的數(shù)1,2,.,s和不全為0的數(shù)1,2,.,s使得，s,ss %0 和 1 團 222.s 3s023 .設(shè)有4維向量組小02,.,%,則()(A)的，“2,.,a6中至少有兩個向量能由其余向量線性表示(B)可，物,依線性無關(guān)(C)1,0C2,.,06的秩為4(D)上述說法都不對24 .設(shè)

9、外“2,曲線性無關(guān)，則下面向量組一定線性無關(guān)的是()(A)0,也，口(C)的初，82的，的的(D)182，絕口3，的的25 .n維向量組如如，%(3sn)線性無關(guān)的充要條件是()(A)如”2,，出中任意兩個向量都線性無關(guān)(B)的，a，2,.,as中存在一個向量不能用其余向量線性表不'(C)3,孫，0s中任一個向量都不能用其余向量線性表示(D)冷物，中不含零向量26. 下列命題中正確的是( )(A) 任意 n 個n+1 維向量線性相關(guān)(C) 任意n+1 個 n 維向量線性相關(guān)a11x1a12 x2 . a1nxn27. 已知線性方程組a21x1a22x2 . a2nxn.an1 x1an

10、2x2. annxn(A) 一定有唯一解(C) 一定無解(B) 任意n 個 n+1 維向量線性無關(guān)(D) 任意n+1 個 n 維向量線性無關(guān)00 的系數(shù)行列式D =0，則此方程組( )0(B) 一定有無窮多解(D) 不能確定是否有解28. 已知非齊次線性方程組a11x1a12x2.a1nxna21 x1a22x2.a2nxnb1b2 的系數(shù)行列式D =0，把D 的第一列an1 x1an2 x2.a nn xnbn換成常數(shù)項得到的行列式D10 ，則此方程組( )(A) 一定有唯一解(B) 一定有無窮多解(C) 一定無解(D) 不能確定是否有解29.已知A為m n矩陣，齊次方程組 Ax 0僅有零解

11、的充要條件是 ()(A) A的列向量線性無關(guān)(C) A的行向量線性無關(guān)(B) A的列向量線性相關(guān)(D) A的行向量線性相關(guān)30.已知A為m n矩陣，且方程組 Axb 有唯一解，則必有( )(A)R(A,b)m(B)R(A,b)n(C)R(A,b)m(D)R(A,b)n31 .已知n階方陣A不可逆，則必有()(A)R(A)n(B)R(A)n1(C)A0(D)方程組Ax0只有零解32 .n元非齊次線性方程組Axb的增廣矩陣的秩為n+1,則此方程組()(D) 不能確定其解的(A)有唯一解(B)有無窮多解(C)無解數(shù)量33 .已知飛b是非齊次線性方程組Axb的任意兩個解，則下列結(jié)論錯誤的是()(A)

12、n 也是Ax 0的一個解1(B) -(ri電)是Ax b的一個解 2(C) i 正是Ax 0的一個解(D) 2 m 正是Ax b的一個解34.若Vi, V2, V3M4是線性方程組 Ax0的基礎(chǔ)解系，則Vi V2 V3 V4是該方程組的()(A)解向量 (B)基礎(chǔ)解系(C)通解(D) A的行向量35.若刀是線性方程組Ax b的解,E是方程Ax0的解，則以下選項中是方程Axb的解的是()(C為任意常數(shù))(A) y CE36.已知m n矩陣A的秩為n 1,(B)CrCE(C)CrCE(D)Cye級,“2是齊次線性方程組Ax0的任意兩個不同的解，k為任意常數(shù)，則方程組Ax0的通解為(M)(D) k(

13、 小 的)()(B) A 0(D) A的特征值都不等于零A的三個特征值分別為1,2, 3,則下列矩陣中是可(C) A 3E (D) A 2E(A)k認(B)k“2(C)k(出37 .n階方陣A為奇異矩陣的充要條件是(A)A的秩小于n(C)A的特征值都等于零38 .已知A為三階方陣，E為三階單位陣，逆矩陣的是()(A)AE(B)AE39 .已知i,2是n階方陣A的兩個不同特征值，對應的特征向量分別為3,&,則()(A)&和&線性相關(guān)(B)&和&線性無關(guān)(C)8和a正交(D)自和&的內(nèi)積等于零40 .已知A是一個n(3)階方陣，下列敘述中正確的是()

14、(A)若存在數(shù)和向量“使得Aaa,則a是A的屬于特征值的特征值(B)若存在數(shù)和非零向量a使得(EA)a0,則是A的特征值(C)A的兩個不同特征值可以有同一個特征向量(D)若1,2,3是A的三個互不相同的特征值，小Q,%分別是相應的特征向量，則出,“2,"3有可能線性相關(guān)41 .已知°是矩陣A的特征方程的三重根，A的屬于0的線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)為k,則必有()(A)k3(B)k3(C)k3(D)k342 .矩陣A與B相似，則下列說法不正確的是()(A) RA)= RB) (B) A = B43. n階方陣A具有n個線性無關(guān)的特征向量是(A)充分條件(B)必要條件必要條件4

15、4. n階方陣A是正交矩陣的充要條件是()(A) A相似于單位矩陣E(C) AT A 145.已知A是正交矩陣，則下列結(jié)論錯誤的是2(A) A 1(B) A 必為 1(C) A |B (D) A與B有相同的特征值A(chǔ)與對角陣相似的()(C)充要條件(D)既不充分也不(B) A的n個列向量都是單位向量(D) A的n個列向量是一個正交向量組()(C)A1AT(D)A的行(列)向量組是單位正交組46.n階方陣A是實對稱矩陣，則()(A)A相似于單位矩陣E(B)A相似于對角矩陣(C)A1AT(D)A的n個列向量是一個正交向量組47.已知A是實對稱矩陣，C是實可逆矩陣,B CTAC，則()(A) A與B相

16、似(B) A與B不等價(C) A與B有相同的特征值(D) A與B合同三、填空題1 .已知a31a2ia13a5ka44是五階行列式中的一項且?guī)д?，則i=,k=.1232 .已知三階行列式D456,Aj表示元素aij對應的代數(shù)余子式，則與aA21bA22CA23789對應的三階行列式為1313 .已知05x0,則x=一1224 .已知A,B均為n階方陣，且Aa0,|Bb0,則T1“1(2A)B,-AB.5 .已知A是四階方陣，且A1/3,則Aa11 a1211.矩陣Aa21 a22的行向量組線性 關(guān).a31 a 3212. 一個非齊次線性方程組的增廣矩陣的秩比系數(shù)矩陣的秩最多大13.設(shè)A是3

17、4矩陣，R(A) 3,若小也為非齊次線性方程組 Ax b的兩個不同的解，則該方程的通解為n),則齊次線性方程組 Ax 0的一個基礎(chǔ)解系中含有解的個數(shù)為 21 x115.已知方程組 2 3a 2 x21 a 2x3iXi x2 x30x1 x2 x3 0只有零解，則 需要滿足x1 x2 x3 0,3A*4A1.6 .已知三階矩陣A的三個特征值分別為1,2,3,則4A13A*.a11a12a137 .設(shè)矩陣A111213,B是方陣，且AB有意義，則B是階矩陣，AB是行a21a22a23列矩陣.8 .已知矩陣A,B,C(Cj)sn,滿足ACCB,則A與B分別是,階矩陣.9 .可逆矩陣A滿足A 0 1

18、 1 x可相似對角化，則 x = 0 5A2E。，則A114.已知A是m n矩陣，R(A) r(12無解，貝U a =.316.若齊次線性方程組17.已知矩陣A18 .已知向量“、3的長度依次為1419 .已知向量a 0 ,b 2 .2312120.已知x1為A5 a11 b2和3,則向量內(nèi)積a 8 a 3 c與a正交，且b a c,貝U23 的特征向量，則 a =, b =210 .已知出(1,1,1)1“2(x,0,y)T,%(1,3,2)T,若g,如“3線性相關(guān)，則x,y滿足關(guān)系式21 .已知三階矩陣A的行列式A8,且有兩個特征值1和4,則第三個特征值為.22 .設(shè)實二次型f(Xi，X2

19、，X3，X4，X5)的秩為4,正慣性指數(shù)為3,則其規(guī)范形f(Zi,Z2,Z3,Z4,Z5)為.23 .二次型f(x1,x2,x3)2x1x24x2x33x32的矩陣為.12024. 已知二次型 f(x,y,z)的矩陣為235,則此二次型050f(x,y,z).2xi&是正定的，則t要滿足25.已知二次型f(x1,x2,x3)2x23x2tx22x1x2四、行列式計算1.已知A,B為三階方陣,1，B2,求行列式(2AB*)1A.2.已知行列式D3.計算n階行列式2369Dn是1,其它元素都是0.求5A11A214A31A41.,其中主對角線上的元素都是2,另外兩個角落的元素4.計算n階行

20、列式Dn210.00121.005.計算n階行列式Dn012.00000.12xabcdaxbcdabxcdabcx6.計算行列式d7.計算行列式8.計算行列式Dnx1x1x2x2xnxnx1X2xn五、矩陣計算1.設(shè)AABT;(2)4A2.已知且AX3.設(shè)AB均為三階方陣,E為三階單位陣，且ABEA2B,求B.44.設(shè)BX滿足關(guān)系式3,E為四階單位陣，且矩陣1X(CB)T5.已知A123k6.設(shè)A12k3,問：當k取何值時，有(1)R(A)1;(2)R(A)2;(3)R(A)3.k23六、向量組的線性相關(guān)性及計算1.設(shè)的13451412,y,a3c,"411232231并判斷g,&

21、quot;2,“3,%是線性相關(guān)還是線性無關(guān),求向量組內(nèi),如%,a4的秩和一個最大線性無關(guān)向量組,2.設(shè)小4,109,133107余向量用該最大無關(guān)組線性表示3.當a取何值時，向量組22,求此向量組的秩和一個最大無關(guān)組，并將其,83121/2線性相關(guān)?a14.將向量組g2110七、線性方程組的解2130、，”11.第7E向重組級,寵3,01tX3八,M02243419合；若是，則求出線性表達式.4x12x2x322.求解非齊次線性方程組3x1x22x310.11x13x28為x23x3x413.求解非齊次線性方程組3x1x23x34x44.x15x29x38x40規(guī)范正交化.,0C2,03,試

22、判斷04是否為知02,%的線性組XiX22X3k4 .當k滿足什么條件時，線性方程組x12x2kx3k2有唯一解，無解，有無窮多解？并在22xiX2kX30有無窮多解時求出通解.kx1(k1)x2x315 .當k滿足什么條件時，線性方程組kXikX2X32有唯一解，無解，有無窮多解？2kxi2(k1)x2kx32并在有無窮多解時求出通解.XiX2X3X4X526 .已知非齊次線性方程組Axb為3X12X2X3X43X5a,問：當a、b取何值時，方x22x32x46x535x14x23x33x4x5b程組Axb有無窮多個解？并求出該方程組的通解.X1X2X307.設(shè)方程組X12x2ax30與方程

23、X12x2x3a1有公共解，求a的值.28.設(shè)四元非齊次線性方程組X14x2ax30Axb的系數(shù)矩陣A的秩為3,已知小刀2,4是它的三個解向量,2 13 2,、，出刀3,求該萬程組的通解4 35 49.設(shè)非齊次線性方程組 Ax b的增廣矩陣AA b , A經(jīng)過初等行變換為11012A0113則(1)求對應的齊次線性方程組Ax 0的一個基礎(chǔ)解系;(2)取何值時，方程組 Axb有解？并求出通解.八、方陣的特征值與特征向量2001 .已知 A001, B01x2 000 y 0 ,若方陣A與B相似，求X、y的值.0 012.0、，1設(shè)方陣A 100100000的一個特征值為3,求y的值.123.已知三階方陣A的特征值為1、2、3,求行列式A13A2E的值.4.求方陣A020的特征值與對應的特征向量5 .設(shè)A01 1101,求可逆矩陣 P,使得P 1AP為對角矩陣.1106 .設(shè)A22 0212 ,求正交矩陣 P,使得P 1AP為對角矩陣02 07 .已知矩陣A1 1 04 3 0,判斷是否存在一個正交矩陣P,使得P 1AP為對角矩陣8 .已知矩陣A022234的特征值為1、1、 8 ,求正交矩陣P,使得P 1AP為對角陣.243九、二次型1 .當t取何值時,f(X1,X2,X3) x2 4x2 4x22tx1X2 2x1