醫(yī)用高數(shù)第二章

1、第二章 導(dǎo)數(shù)和微分 一、導(dǎo)數(shù)的概念 二、微分及其應(yīng)用 微積分學(xué)的創(chuàng)始人: 德國(guó)科學(xué)家 Leibniz 微分學(xué)導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)描述函數(shù)變化快慢微分微分描述函數(shù)變化程度是描述物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的工具 (從微觀上研究函數(shù))微分 歷史背景導(dǎo)數(shù)思想最早由法國(guó)數(shù)學(xué)家 Ferma 在研究極值問(wèn)題中提出.英國(guó)科學(xué)家 Newton牛頓(1642 1727)偉大的英國(guó)數(shù)學(xué)家偉大的英國(guó)數(shù)學(xué)家 , 物理學(xué)家物理學(xué)家, 天文天文學(xué)家和自然科學(xué)家學(xué)家和自然科學(xué)家. 他在數(shù)學(xué)上的卓越他在數(shù)學(xué)上的卓越貢獻(xiàn)是創(chuàng)立了微積分貢獻(xiàn)是創(chuàng)立了微積分. 1665年他提出正年他提出正流數(shù)流數(shù) (微分微分) 術(shù)術(shù) ,次年又提出反流數(shù)次年又提出反流數(shù)(積分積分)

2、術(shù)術(shù),并于并于1671年完成流數(shù)術(shù)與無(wú)窮級(jí)數(shù)一書(shū)年完成流數(shù)術(shù)與無(wú)窮級(jí)數(shù)一書(shū) (1736年出版年出版). 他他還著有自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理和廣義算術(shù)等還著有自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理和廣義算術(shù)等 .萊布尼茲(1646 1716)德國(guó)數(shù)學(xué)家德國(guó)數(shù)學(xué)家, 哲學(xué)家哲學(xué)家.他和牛頓同為他和牛頓同為微積分的創(chuàng)始人微積分的創(chuàng)始人 , 他在學(xué)藝雜志他在學(xué)藝雜志上發(fā)表的幾篇有關(guān)微積分學(xué)的論文中上發(fā)表的幾篇有關(guān)微積分學(xué)的論文中,有的早于牛頓有的早于牛頓, 所用微積分符號(hào)也遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓所用微積分符號(hào)也遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓 . 他還設(shè)計(jì)了作乘法的計(jì)算機(jī)他還設(shè)計(jì)了作乘法的計(jì)算機(jī) , 系統(tǒng)地闡述二進(jìn)制計(jì)系統(tǒng)地闡述二進(jìn)制計(jì)數(shù)法數(shù)法 , 并把它

3、與中國(guó)的八卦聯(lián)系起來(lái)并把它與中國(guó)的八卦聯(lián)系起來(lái) .一、導(dǎo)數(shù)的引入一、導(dǎo)數(shù)的引入二、導(dǎo)數(shù)的定義二、導(dǎo)數(shù)的定義三、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算三、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算四、高階導(dǎo)數(shù)四、高階導(dǎo)數(shù)第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念1、變速直線運(yùn)動(dòng)的速度自由落體運(yùn)動(dòng)tsv221gts202021)(21gtttgststtgtgt20)(2120)(21tggt一、導(dǎo)數(shù)的引入一、導(dǎo)數(shù)的引入tsvt00lim0gt二、導(dǎo)數(shù)的定義（定義二、導(dǎo)數(shù)的定義（定義13合并）合并） 1.定義 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)有定義，若函數(shù)的增量 與自變量增量x之比)(xf0 x0 x)()(00 xfxxfyxxfxxf)()(00 xy當(dāng)x0時(shí)極限存在，則稱函數(shù) 在點(diǎn)

4、 處可導(dǎo)這個(gè)極限值為 在 處的導(dǎo)數(shù)。)(xfy)(xf0 x記為:xxfxxfx)()(lim000 xyx0lim)(0 xf)(xf的導(dǎo)函數(shù)。稱為)(xf的導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)2xy 例例1解解).5 . 1 (),2(ff并計(jì)算xxxxx220)(limxyx0lim)(0 xf由導(dǎo)數(shù)定義有xxxxx20)(2lim)2(lim0 xxxx2xx2)(2即4|2) 2(2xxf3|2) 5 . 1 (5 , 1xxf導(dǎo)數(shù)的其它記法導(dǎo)數(shù)的其它記法0|xxy0|xxdxdy0|)(xxdxxdfttsttst)()(lim000變速直線運(yùn)動(dòng)的速度dtdsv 單側(cè)導(dǎo)數(shù)單側(cè)導(dǎo)數(shù)若極限xxfxxfxyxx

5、)()(limlim0000則稱此極限值為)(xf在 處的右右 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù),0 x記作)(0 xf即)(0 xfxxfxxfx)()(lim000(左左)0( x)0( x)(0 xf0 xxyoxy 定義定義 存在,)(0 xf 存在)(0 xf)(0 xf例如例如,)(xxf.1)0(f, 1)0(fxy0y = f (x)M)(0 xf xN yxx 0)( xf 考考慮慮)()(00 xfxxfy MNKxy xy 斜斜率率是是.x0令令 x0導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義xy0y = f (x)M)(0 xf xN yxx 0)()(00 xfxxfy MNKxy x0令令 x0)( x

6、f 考考慮慮導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義.xy 斜斜率率是是xy0y = f (x)M)(0 xf)()(00 xfxxfy MNKxy 處處切切線線的的斜斜率率 ) )表表示示曲曲線線在在點(diǎn)點(diǎn)0(xxf . .x0令令 x0.)( xf 考考慮慮導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義.xyx0lim )(0 xf =tan 程。處的切線方程和法線方在點(diǎn)求曲線)4 , 2(02Mxy 例例2解解.,21KK 法線斜率為設(shè)切線斜率為41112kk21|xyK則4|22xx切線方程為由直線的點(diǎn)斜式方程得) 2( 44xy44 xy即于是法線方程為：) 2(414xy294xy即極限定義極限定義連續(xù)定義連續(xù)定

7、義)(lim0 xfxx)()(lim00 xfxfxx 導(dǎo)數(shù)定義導(dǎo)數(shù)定義xyx 0lim存在存在存在存在0lim0 yx極限存在極限存在連續(xù)連續(xù)導(dǎo)數(shù)存在導(dǎo)數(shù)存在可導(dǎo)性和連續(xù)性的關(guān)系可導(dǎo)性和連續(xù)性的關(guān)系1.可導(dǎo)必連續(xù)可導(dǎo)必連續(xù))(lim0 xxyxyx0lim可導(dǎo)在0)(xxfyxxyxx00limlim0)(0 xf02.連續(xù)不一定可導(dǎo)連續(xù)不一定可導(dǎo)點(diǎn)連續(xù)，在0|xxy不可導(dǎo)。，但在0 x1|lim0 xxx因?yàn)?|lim0 xxx而數(shù)不存在。左右極限不相等，故導(dǎo)x0y| xy 極限存在極限存在連續(xù)連續(xù)導(dǎo)數(shù)存在導(dǎo)數(shù)存在由由定義定義求導(dǎo)數(shù)的步驟（三步法）求導(dǎo)數(shù)的步驟（三步法）f f( (x x

8、) )x x) )f f( (x xy y求求增增量量( (1 1) )x xf(x)f(x)x)x)f(xf(xx xy y算比值算比值(2)(2)x xy yl li im my y求求極極限限( (3 3) )0 0 x x 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1.幾個(gè)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)幾個(gè)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)xyyx0lim為常數(shù)CCxfy)(1).常數(shù)的導(dǎo)數(shù)0)()(xfxxfyxx0lim00常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0.0C為正整數(shù)nnxy(2).冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)nnxxxy)(nnnxxxnnxnx)()(! 2) 1(221xyyx0lim1nnx)(nx1nnx二項(xiàng)式定理xysin(3).正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)xxx

9、ysin)sin(2sin)2cos(2xxxxyyx0lim02cos()sin22limxxxxx cosx xxcos)(sinxxsin)(cos2sin2cos2sinsin 2cos2sin2sinsin 2cos2cos2coscos 2sin2sin2coscos 和差化積和差化積xyyx0limxyalog(4).對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)xxxyaalog)(logxy)1 (logxxaxxxa)1 (logxxaxxx)1 (log1)010(xaa且xxaxxxx)1 (log1lim0 xxxaxxx)1 (limlog10exalog1axln1)(log xaaxln1xx

10、1)(ln0C1)(nnnxxaxxaln1)(logxx1)(lnxxcos)(sinxxsin)(cos處可導(dǎo)，則：在點(diǎn)函數(shù)xxvxu)(),()() 1 (vuvu.函數(shù)四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則函數(shù)四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則)() 2(uvvuvu)(1CuCu推論為常數(shù)C2推論處可導(dǎo)，則：在點(diǎn)函數(shù)xxwxvxu)(),(),()(uvwwuvvwuwvu2)() 3 (vuvvuvu)0(v321yxxxy求設(shè)例例解解21xxy221xx12123xy1213x5,lncosyxxy求設(shè)例例解解5)ln(cosxxy )ln5(cosxx )ln(cos5xx)(lncos5ln)(cos5xxxx

11、xxxxcos5lnsin5.)(）和（求ctgxtgx例例解解)(tgx)cossin(xxxxxxx2cos)(cossincos)(sinxxx222cossincosx2cos1x2secxscetgx2)(xctgx2csc)(同理.csc)(sec）和（求xx例例解解)(sec xcos1xxxx2cos)(cos1cos1xx2cossinxtgx sectgxscexx)(secxctgxxcsc)(csc同理在對(duì)應(yīng)的連續(xù)，其反函數(shù)在點(diǎn)若)()(yxxxfy3.反函數(shù)的求導(dǎo)法則反函數(shù)的求導(dǎo)法則1yxxy 可導(dǎo)，且在點(diǎn)處單調(diào)，則點(diǎn)xxfyy)()(1)(yxf或函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與其反函

12、數(shù)的導(dǎo)數(shù)互為倒數(shù)說(shuō)說(shuō)明明：xy 0limxyx yxx0lim1yxy0lim11yx),1,0(yaaayx求設(shè)例例9解解yxayaxlog的反函數(shù)是因?yàn)榍铱蓪?dǎo)內(nèi)單調(diào)在,),0()(log yxay0ln1ay1yxxy ayln11aylnaaxlnaaaxxln)(xxee)(.)(arccos,)(arcsinxx求例例10解解yxxysinarcsin的反函數(shù)是因?yàn)榍铱蓪?dǎo)內(nèi)單調(diào)在,)2,2- ()(sin yxy0cos y1yxxy ycos1211)(arcsinxxy2sin11211x211)(arccosxx0C1)(nnnxxxxcos)(sinxxsin)(cosaxx

13、aln1)(logxx1)(lnxscetgx2)(xctgx2csc)(tgxscexx)(secxctgxxcsc)(cscaaaxxln)(xxee)(211)(arcsinxx211)(arccosxx211)(xarctgx211)(xarcctgx4.求導(dǎo)公式求導(dǎo)公式都可導(dǎo)，則：和連鎖規(guī)則定理)(u),(xufy)()()(xufxf5.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則dxdududyuyyxux或3sin,yxy求求例例2-13解解3,sinyu ux設(shè)設(shè)xuxyyu23cosux23sincosxx y例例),13ln(yxarctgy求設(shè)解解)13(ln112 x131

14、x3)13(ln1)13(32 xx例例解解2),43(sinlnyxy求求設(shè)設(shè) 2)43(sinln xy22)43(sin)43(sin1 xx2)43)sin(43sin(2)43(sin1 xxx)43)(43cos()43sin(2 xxx)43cot(6 xxycos11 y1.設(shè)函數(shù)，則 xxxfarctan)1 ()(22.設(shè)函數(shù))0(f則xxfsin)(3.設(shè)函數(shù) )(xf則一、填空題一、填空題 xycos11 y1.設(shè)函數(shù)，則xxxfarctan)1 ()(22.設(shè)函數(shù))0(f則xxfsin)(3.設(shè)函數(shù) )(xf則一、填空題一、填空題 2)cos1(sinxx 12cos

15、2xx二、選擇題二、選擇題 )(xf0 x)(0 xf )(lim0 xfxx1.設(shè)函數(shù)在處不連續(xù)，則（ ）。必存在 ； B. 必不存在 ； 必存在 ； D. 必不存在。A.)(0 xf C.)(lim0 xfxx)(xf1 x2. 設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo)，且有21)1()21(lim0 xfxfx則)1(f A.21； B.41C.41 D.21 等于（ ）。二、選擇題二、選擇題 )(xf0 x)(0 xf )(lim0 xfxx1.設(shè)函數(shù)在處不連續(xù)，則（ ）。必存在 ； B. 必不存在 ； 必存在 ； D. 必不存在。A.)(0 xf C.)(lim0 xfxx)(xf1 x2. 設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo)，

16、且有21)1()21(lim0 xfxfx則)1(f A.21； B.41C.41 D.21 DB等于（ ）。可可化化為為顯顯函函數(shù)數(shù)03 yx五、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)五、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為為隱隱函函數(shù)數(shù)不不可可化化為為顯顯函函數(shù)數(shù),0)1sin( xyexyy有的函數(shù)可化為顯函數(shù)函數(shù)而有的函數(shù)不可化為顯怎怎么么求求導(dǎo)導(dǎo)？隱隱函函數(shù)數(shù) ,3xy 例例15解解的導(dǎo)數(shù)。確定的隱函數(shù)求由)(0 xyexyexy求導(dǎo)。對(duì)的復(fù)合函數(shù)，方程兩邊看作把xxey)0()(xxxyexye0)()()(xxxxyexye0 xxxyexyyyexeyeyyx例例17解解。處對(duì)應(yīng)于點(diǎn)的切線方程在求曲線41742xyx14yx

17、時(shí)，當(dāng)符合條件，點(diǎn)) 1, 4() 1, 4(BA332042yxyyyx ， Ak3) 1(2422 Bk的切線方程為：點(diǎn)) 1, 4( A)4(21 xy的切線方程為：點(diǎn)) 1 , 4(B)4(21 xy5、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù).,)()(定的函數(shù)定的函數(shù)稱此為由參數(shù)方程所確稱此為由參數(shù)方程所確間的函數(shù)關(guān)系間的函數(shù)關(guān)系與與確定確定若參數(shù)方程若參數(shù)方程xytytx , 0)(,)(),( ttytx且且都都可可導(dǎo)導(dǎo)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxd

18、tdydxdy 即即解解dtdxdtdydxdy ttcos1sin taatacossin 2cos12sin2 tdxdy. 1 .方程方程處處的的切切線線在在求求擺擺線線2)cos1()sin( ttayttax例例2-17.),12(,2ayaxt 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 所求切線方程為所求切線方程為)12( axay)22( axy即即八、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法八、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法) 0)()()()(xuxuxfxv1 1：冪指函數(shù)：冪指函數(shù)2 2：較復(fù)雜的乘積，商或根式函數(shù)求導(dǎo)時(shí)：較復(fù)雜的乘積，商或根式函數(shù)求導(dǎo)時(shí)可利用先取對(duì)數(shù)后求導(dǎo)的方法計(jì)算可利用先取對(duì)數(shù)后求導(dǎo)的方法計(jì)算xxyytanlncos1例例18對(duì)以下

19、函數(shù)求導(dǎo)對(duì)以下函數(shù)求導(dǎo)sin(1)(tan)xyx （1）解：等式兩邊取對(duì)數(shù)得）解：等式兩邊取對(duì)數(shù)得sinlnln(tan )xyx xxtanlnsinsin(tan)(coslntansec)xyxxxx 等式兩邊對(duì)等式兩邊對(duì)x求導(dǎo)求導(dǎo)xxx2sectansin33311)2(xxy)1ln()1ln(3111ln31)11ln(ln33333331xxxxxxy33311xxy（2）解：）解：等式兩邊取對(duì)數(shù)得等式兩邊取對(duì)數(shù)得62323212)1313(311xxxxxxyy等式兩邊對(duì)等式兩邊對(duì)x求導(dǎo)求導(dǎo)623331211xxxxy1)(nnnxx證明：證明：nxy等式兩邊取對(duì)數(shù)得等式兩邊

20、取對(duì)數(shù)得xnylnln xnyy1xnyy xnxyn1nnxy初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都連續(xù)，但不都可導(dǎo)初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都連續(xù)，但不都可導(dǎo)導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)處無(wú)意義，并不表示該函數(shù)導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)處無(wú)意義，并不表示該函數(shù)在該點(diǎn)不可導(dǎo)在該點(diǎn)不可導(dǎo)解釋解釋40頁(yè)頁(yè)四、高階導(dǎo)數(shù)四、高階導(dǎo)數(shù).),(atfs求求加加速速度度，其其位位移移函函數(shù)數(shù)為為一一物物體體做做變變速速直直線線運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)設(shè)設(shè) 的的變變化化率率對(duì)對(duì)時(shí)時(shí)間間是是速速度度加加速速度度tva. )()()( tftvta定義定義.若函數(shù))(xfy 的導(dǎo)數(shù))(xfy可導(dǎo),或,dd22xy即)( yy或)dd(dddd22xyxxy類似地 , 二階導(dǎo)數(shù)的

21、導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù) ,1n階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為 n 階導(dǎo)數(shù) ,y ,)4(y)(,ny或,dd33xy,dd44xynnxydd,)(xf的二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù) , 記作y )(xf 的導(dǎo)數(shù)為依次類推 ,分別記作則稱例例. 設(shè)求解解:特別有:,xaey .)(ny,xaeay ,2xaeay xanneay)(xnxee)()(例例.),()(nyRxy求求設(shè)設(shè) 解解1 xy)(1 xy2)1( x32)2)(1()1( xxy)1()1()1()( nxnynn則則為為自自然然數(shù)數(shù)若若,n )()()(nnnxy , !n ) !()1( nyn. 0 例例.),1ln()(nyxy求求設(shè)設(shè) 解解xy

22、 112)1(1xy 3)1(! 2xy 4)4()1(! 3xy )1! 0, 1()1()!1()1(1)( nxnynnn例例. 設(shè),sin xy 求.)(ny解解: xycos)sin(2x)cos(2 xy)sin(22x)2sin(2x)2cos(2 xy)3sin(2x一般地 ,xxnsin()(sin)(類似可證:xxncos()(cos)()2n)2n一、導(dǎo)數(shù)的引入一、導(dǎo)數(shù)的引入二、導(dǎo)數(shù)的定義二、導(dǎo)數(shù)的定義三、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算三、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算四、高階導(dǎo)數(shù)四、高階導(dǎo)數(shù)總結(jié)xyx0lim)(xf可導(dǎo)可導(dǎo)連續(xù)連續(xù)求求導(dǎo)導(dǎo)方方程程兩兩邊邊對(duì)對(duì) x先取對(duì)數(shù)后求導(dǎo)先取對(duì)數(shù)后求導(dǎo)隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)

23、的導(dǎo)數(shù)對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法一、微分的概念一、微分的概念二、微分的幾何意義二、微分的幾何意義三、微分的基本公式及其運(yùn)算法則三、微分的基本公式及其運(yùn)算法則四、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用四、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用第二節(jié)微分及其應(yīng)用微分的概念微分的概念 0 xxxx 020 xA xx 02)( x2200()Axxx 20)(2xxx關(guān)于x 的線性主部高階無(wú)窮小0 x時(shí)為例例x的微分微分,)(xfy 在點(diǎn) 的增量可表示為0 x)()(00 xfxxfy( A 為不依賴于x 的常數(shù))則稱)(xfy而 稱為xA在)(xf0 x點(diǎn)記作yd,df或即xAyd)( xoxA在點(diǎn)0 x可微可微,定義定義.設(shè)設(shè)x22

24、0)(xxxA20)(2xxx可微可微可導(dǎo)可導(dǎo)證證: “ ”已知)(xfy 在點(diǎn) 可微 ,0 x則)()(00 xfxxfy)(limlim00 xxoAxyxxA)(0 xfA即)( xoxA “ ”已知)(lim00 xfxyx)(xfy )(0 xfxy)0lim(0 xxxxfy)(0)()(0 xoxxf 線性主部 即xxfy)(d0在點(diǎn) 的可導(dǎo),0 x則說(shuō)明說(shuō)明:xxfy)(d,)()(. 1xoxxfy0 x時(shí)yyd2.當(dāng) dxx dxdyxf )(導(dǎo)數(shù)又稱為微商導(dǎo)數(shù)又稱為微商.處處的的微微分分在在點(diǎn)點(diǎn)為為函函數(shù)數(shù)稱稱xxfydy)( xxfy)(d例例 設(shè)設(shè) y = x3，求，

25、求 x = 1 處的微分處的微分.解解 y = (1 + + x)3 13 = 3 x + + 3( x)2 + + ( x)3.所以函數(shù)所以函數(shù) y = x3 在點(diǎn)在點(diǎn) x = 1 處的微分是處的微分是dy = 3 x . 為了方便起見(jiàn)，把自變量的增量為了方便起見(jiàn)，把自變量的增量 x 寫(xiě)成寫(xiě)成 dx ，即即 x = dx. dy = Adx . 對(duì)比課本例對(duì)比課本例 24做法做法xyoMN.f (x)dy x )(0 xf )(dxyy xyx0lim tan 很很小小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x )()(xxfxf xxf )(00 xxx 0)(0 xf)( x .dydy =tan x二二. . 微分

26、微分的幾何意義的幾何意義 y即：即：. yxxfxf )()(微分是切線縱坐標(biāo)的增量微分是切線縱坐標(biāo)的增量1. .基本初等函數(shù)的微分公式基本初等函數(shù)的微分公式dc =三、微分的基本公式及其運(yùn)算法則三、微分的基本公式及其運(yùn)算法則0.dx = x - -1dx.dex =exdx.dax =axlnadx. xdln.d1xx xadlog.dln1xaxdsin x =cos xdx.dcos x = - - sin xdx.dtan x =sec2 xdx.dcot x =- - csc2 xdx.dsec x =sec xtan xdx.dcsc x =- - csc xcot xdx. x

27、darccos xdarctan xdarccot xdarcsin.d112xx .d112xx .d112xx .d112xx 2. .微分的四則運(yùn)算微分的四則運(yùn)算定理定理 2設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) u、v 可微，可微， 則則d(u v) = du dv.d(uv) = udv + + vdu. )0(ddd2 uuuvvuuv3. .復(fù)合函數(shù)的微分復(fù)合函數(shù)的微分定理定理 6設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) y = f (u)， u = (x) 均可均可微，微，dy = f (u) (x) dx .則則 y = f ( (x) 也可微，也可微， 且且由于由于du = (x) dx，所以上式可寫(xiě)為所以上式可寫(xiě)為dy =

28、f (u) du .從上式的形式看，從上式的形式看， 它與它與 y = f (x) 的微分的微分 dy = f (x)dx 形式一樣，這叫形式一樣，這叫一階微分形式不變性一階微分形式不變性. 其意義是：不管其意義是：不管 u 是自變量還是中間變量，函是自變量還是中間變量，函數(shù)數(shù) y = f (u) 的微分形式總是的微分形式總是 dy = f (u)du .一階微分形式不變性一階微分形式不變性. (1)ln(1)1:1xxxyexedydxexeye 解解1例例求求下下列列函函數(shù)數(shù)的的微微分分增加類型增加類型例例 2,11 22xxy 設(shè)設(shè)求求 dy .解解2211ddxxy 222222)1

29、(111)1 (xxxxx)d()d(.d)1(422xxx 2222)1()2xd1(d)2)(1(xxxxxx 此頁(yè)隱藏此頁(yè)隱藏例例 3設(shè)設(shè) y = sin(2x)，求微分，求微分 dy . 解解 dy = cos 2x d(2x) = 2cos 2xdx .例例 4設(shè)設(shè) y = e- -3x cos 2x，求，求 dy . 解解 dy = d(e- -3x cos 2x) = e- -3x dcos 2x + + cos 2xde- -3x = - -e- -3x sin 2xd(2x) + + e- -3x cos 2x d(- -3x ) = - -e- -3x (2sin 2x + + 3cos 2x)dx ，由此也可知由此也可知y = - -e- -3x (2sin 2x + + 3cos 2x) .sinsinsinsinsin()coscos( cossin)( cossin)axaxaxaxaxaxaxaxaxaxyebxdydydebxbx deedbxbx edaxebxdbxasimbxdxbbxdxebbxabx dxyebbxabxee 課課本本例例題題求求 （不不講講）四、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用四、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用當(dāng)當(dāng) | x | 很小時(shí)很小時(shí)( (記作記作 | x | 1) )， y dy .即即f (x0 + + x) -