三角形中做輔助線地技巧及典型例題

1、三角形中做輔助線的技巧口訣：三角形圖中有角平分線,可向兩邊作垂線.也可將圖對折看,對稱以后關(guān)系現(xiàn).角平分線平行線,等腰三角形來添.角平分線加垂線,三線合一試試看.線段垂直平分線,常向兩端把線連.線段和差及倍半,延長縮短可試驗.線段和差不等式,移到同一三角去.三角形中兩中點,連接那么成中位線.三角形中有中線,延長中線等中線.一、由角平分線想到的輔助線口訣：圖中有角平分線,可向兩邊作垂線.也可將圖對折看,對稱以后關(guān)系現(xiàn).角平分線平行線,等腰三角形來添.角平分線加垂線,三線合一試試看.角平分線具有兩條性質(zhì)：a、對稱性；b、角平分線上的點到角兩邊的距離相等.對于有角平分線的輔助線的作法,一般有兩種.從

2、角平分線上一點向兩邊作垂線；利用角平分線,構(gòu)造對稱圖形如作法是在一側(cè)的長邊上截取短邊.通常情況下,出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時,一般考慮作垂線；其它情況下考慮構(gòu)造對稱圖形.至于選取哪種方法,要結(jié)合題目圖形和條件.與角有關(guān)的輔助線一、截取構(gòu)全等如圖1-1,/AOCWBOC如取OE=OF并連接DEOE國OFD從而為我們證實線段、角相等創(chuàng)造了條例1.如圖1-2,AB/CD,BE平分/BCDCE/BCD點E在AD上,求證：BC=AB+CD例2.：如圖1-3,AB=2AC/BAD玄CADB,求證DCLAC例3.：如圖1-4,在ABC中,/C=2/B,AD平分/BAC求證：AB-AC=CD分析：此題的條件中

3、還有角的平分線,在證實中還要全等三角形,此題還是證實線段的和差倍分問題.用到的來證實的,在長的線段上截取短的線段,來證實.試試看的延長來證實呢?練習是截取法可否把短用到構(gòu)造=AC在ABC中,AD平分/BAG/B=2/C,求圖1-4證：AB+BD2.4.：D是4ABC的/BAC的外角的平分線AD上的任一點,連接DBDG求證:BD+CD>AB+AC：在ABC中,/CAB=2/B,AE平分/CAB交BC于E,AB=2AC求證：AE=2CE3.：在ABC中,AB>AC,AM/BAC的平分線,M為AD上任一點.求證：BM-CM>AB-AC二、角分線上點向角兩邊作垂線構(gòu)全等過角平分線上一

4、點向角兩邊作垂線,利用角平分線上的點到兩邊距離相等的性質(zhì)來證實問題.如圖2-1,AB>AD,/BAC4FAC,CD=BC求證:/ADC吆B=180分析：可由C向/BAD的兩邊作垂線.近而證/ADC與/B之例2.如圖2-2,在ABC中,/A=90,AB=AC/ABD=求證:BC=AB+AD分析：過D作DE!BC于E,那么AD=DE=CE那么構(gòu)造出全等三角形,從而得證.此題是證實線段的和差倍分問題,從中利用了相當于截取的方法.圖2-2例3.如圖2-3,ABC的角平分線BMCN相交于點P.求證:/BAC的平分線也經(jīng)過點P.分析：連接AP,證AP平分/BAC即可,也就是證P到ABAC的距離相等.

5、練習:PMFC圖2-3圖2-41.如圖2-4/AOPWBOP=15,PC/OA,PD±OA如果PC=4貝UPD=()2,在ABC中,/C=90,AD平分/CABCD=1.5,DB=2.5.求AG3.：如圖2-5,/BAChCAD,AB>ADCE±AB,文案大全AE=2AB+AD.求證：/D+/B=180.4 .：如圖2-6,在正方形ABCD43,E為CD的中點,F為BC上的點,/FAE=/DAE求證：AF=AD+CF5 .：如圖2-7,在RtABC中,/ACB=90,CD,AB,垂足為D,作FH/AB交BC于H.求證CF=BHAC口,B圖2-6FCADB歹D圖2-5A

6、E平分/CAB交CD于F,過FB三：作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形從角的一邊上的一點作角平分線的垂線,使之與角的兩邊相交,那么截得一個等腰三角形,垂足為底邊上的中點,該角平分線又成為底邊上的中線和高,以利用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合一的性質(zhì).如果題目中有垂直于角平分線的線段,那么延長該線段與角的另一邊相交例1.：如圖3-1,/BADhDACAB>AC,CDLAD于D,H是BC中點.求一1,一證：DHe(AB-AC)2分析：延長CD交AB于點E,那么可得全等三角形.問題可證.：如圖3-2,AB=AC/BAC=90,AD為/ABC的平分線,求證：BD=2CEE±BE.分析：給

7、出了角平分線給出了邊上的一點作角平分線的垂線,垂線與另外一邊相交,近而構(gòu)造出等腰三角形.例3.：如圖3-3在4ABC中,ARAE分另1JZBAC的內(nèi)、延長此角平分可外線,過頂點求證:分析：N圖3-3而有BF/AE,所以想到利用比例線段證相等.1例4.：如圖3-4,在ABC中,AD平分/BAGAD=ABCMLAD交AD延長線于帆求證：AM、2(AB+AC分析：題設(shè)中給出了角平分線AD,自然想到以AD為軸作對稱變換,作ABD關(guān)于AD的對稱AED即2A證DF是/然后只需證DMEC,另外由求證的結(jié)果AMAB+AC,22M=AB+AC也可嘗試作ACM于CM的對稱FCM然后只需=CF即可.練習：1 .：在

8、ABC中,AB=5,AC=3D是BC中點,AEBAC的平分線,且CELAE于E,連接DE,求DEAF±BF于F,AE±BE于E,連接EF分2 .BEBF分別是ABC的/ABC的內(nèi)角與外角的平分線,1一另反ARAC于MN,求證MN、BC四、以角分線上一點做角的另一邊的平行線有角平分線時,常過角平分線上的一點作角的一邊的平行線,從而構(gòu)造等腰三角形.或通過一邊上的點作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長線相交,從而也構(gòu)造等腰三角形.如圖4-1和圖4-2所示.圖4-1圖4-2例4如圖,AB>AC,/1=/2,求證：AB-AC>BD-CD=CAACE如圖,如圖,A練習:1

9、 .,如圖,/C=2/A,AC=2BC求證：ABC是直角三角形.2,：如圖,AB=2AC/1=Z2,DA=DB求證：DC!ACCB3.CEAD是ABC的角平分線,/B=60°,求證：AC=AE+CD4,：如圖在ABC中,/A=90°,AB=ACBD是/ABC的平分線,求證：BC=AB+AD由線段和差想到的輔助線口訣:線段和差及倍半,延長縮短可試驗.線段和差不等式,移到同一三角去.遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時,一般方法是截長補短法：1、截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條,然后證實剩下局部等于另一條;2、補短：將一條短線段延長,延長局部等于另一條短線段,然后證實

10、新線段等于長線段.對于證實有關(guān)線段和差的不等式,通常會聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊,故可想方法放在一個三角形中證實.在利用三角形三邊關(guān)系證實線段不等關(guān)系時,如直接證不出來,可連接兩點或廷長某邊構(gòu)成三角形,使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個或幾個三角形中,再運用三角形三邊的不等關(guān)系證實,如:例1、如圖1-1:D、E為ABC證:AB+AC>BD+DE+CE.證實：(法一)將DE兩邊延長分別交ABAC于MN,在AMN,AM+AN>MD+DE+NEl)在BDM43,MB+MD>BD(2)在CEN中,CN+NE>CE(3)圖1-2由(1)+(2)+(3)得：AM+AN

11、+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE.AB+AC>BD+DE+EC法二：圖1-2延長BD交AC于F,廷長CE交BF于G,在人85和4GFC4GDE中有:AB+AF>BD+DG+GB角形兩邊之和大于第三邊D接證不出GF+FC>GE+CE同上DG+GE>DE同上3由1+2+3得：AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DEAB+AC>BD+DE+EC二、在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時如直來時,可連接兩點或延長某邊,構(gòu)造三角形,使求證的大角在某個三角形的外角的位置上,小角處于這個三角形的內(nèi)角位置上,再

12、利用外角定理：例如：如圖2-1:D為ABCft的任一點,求證：/BDCXBAC畫由于/BDC與/BAC不在同個三角形中,沒有直接的聯(lián)系,可適當添加輔助線構(gòu)造新的三角形,使/BDC處于在外角白位置,/BAC處于在內(nèi)角的位置；證法一：延長BD交AC于點E,這日BDC是4EDC的外角,/BDC/DEC同理/DEC/BAC/BDC/BAC證法二：連接AD并廷長交BC于F,這時/BDF是ABDW外角,./BDFVBAD同理,CCDF>/CAD,/BDF+/CDF/BAD吆CAD即：/BDC/BAC注意：利用三角形外角定理證實不等關(guān)系時,通常將大角放在某三角形的外角位置上,小角放在這個三角形的內(nèi)角位

13、置上,再利用不等式性質(zhì)證實.三、有角平分線時,通常在角的兩邊截取相等的線段,構(gòu)造全等三角形,如:例如：如圖3-1:AD為ABC勺中線,且/1=Z2,73=BE+CF>EF國要證BE+CF>EF可利用三角形三邊關(guān)系定理證實,EF移到同一個三角形中,而由/1=/2,/3=/4,可在角的兩邊截取相等的線段,利用三角形全等等,把ENFN,EF移到同個三角形中.證實：在DN上截取DN=DB連接NENF,那么DN=DC在DB訝口NDE中：DN=DB輔助線作法1 /1=/2'ED=ED公共邊 .DBEE2NDESASBE=NE全等三角形對應邊相等同理可得：CF=NF在EFN中EN+FN&

14、gt;EF三角形兩邊之和大于第三邊BE+CF>EF注意：當證題有角平分線時,常可考慮在角的兩邊截取相等的線段,構(gòu)造全等三角形,然后用全等三角形的對應性質(zhì)得到相等元素.三、截長補短法作輔助線.例如：如圖6-1:在ABC中,AB>AC/1=/2,P為AD上任一點求證：AB-AC>PB-PC畫要證：AB-AC>PB-PC想到利用三角形三邊關(guān)系,定理證之,由于欲證的線段之差,故用兩邊之差小于第三邊,從而想到構(gòu)造第三邊AB-AC,故可在AB上截取AN等于AC,彳導AB-AC=BN再連接PN貝UPC=PN又在PNB中,PB-PN<BN即：AB-AC>PB-PC證實：截長

15、法在AB上截取AN=ACi接PN,在4APN和4APC中AN=AC輔助線作法V1=72AP=AP公共邊 AP陰APCSAS,PC=PN全等三角形對應邊相等 在4BPN中,有PB-PN<BN三角形兩邊之差小于第三邊BP-PC<AB-AC證實：補短法A延長AC至M,使AM=AB連接PM12在4ABP和AAMP.P實用文檔|AB=AM輔助線作法；/1=/2AP=AP公共邊.AB眸AMP(SAS)PB=PM全等三角形對應邊相等又在PCM43有：CM>PM-P*角形兩邊之差小于第三邊.AB-AC>PB-PC求證：AE=AD+BE例1.如圖,AC平分/BADCHAB,且/B+/D=

16、180'例2如圖,在四邊形ABCM,AC平分/BADCHAB于E,AD+AB=2AE求證：/ADC吆B=180o例3：如圖,等腰三角形ABC中,AB=ACZA=108°,BD平分NABG求證：BC=AB+DCDMLAB于M且AM=MB求證：CD例4如圖,RtABC中,/ACB=90,AD是/CAB的平分線,1=2DR【夯實根底】例：AABC中,AD是/BAC的平分線,且BD=CD求證AB=AC方法1:作DE±AB于E,彳DFLAC于F,證實二次全等方法2:輔助線同上,利用面積方法3:倍長中線AD【方法精講】常用輔助線添加方法一一倍長中線方式2:間接倍長1:延長AD到

17、E,使DE=AD連接BEA作C.AD于F,作BHAD的延長線于E連接BE【經(jīng)典例題】延長MDiijN,使DN=MD連接CDAB=5,AC=3求中線AD的取值范圍提示：畫出圖形,倍長中線AD利用三角形兩邊之和大于第三邊例2:在ABC中,AB=ACD在AB上,E在AC的延長線上,DE交BC于F,且DF=EF求證：BD=CE方法1方法2方法3過D作DG/AE交BC于G,證實ADGMACEF過E作EG/AB交BC的延長線于G,證實AEF®ADFB過D作DGLBC于G過E作EFUBC的延長線于H證實ABDeAECH例3:在ABC中,AD是BC邊上的中線,E是AD上一點,且BE=AC延長BE交A

18、C于F,求證：AF=EF提示：倍長AD至G連接BG證實ABDeACDA三角形BEG是等腰三角形例4:：如圖,在AABC中,AB=AC,D、E在BC上,且DE=EC過D作DFBA交AE于點F,DF=AC.求證：AE平分NBAC提示：方法1:倍長AE至G連結(jié)DG方法2:倍長FE至H,連結(jié)CH例5:CD=AB/BDA4BADAE是ABD的中線,求證：/C=ZBAE提示：倍長AE至F,連結(jié)DF證實AAB段AFDE(SAS進而證實AAD障AADC(SAS【融會貫穿】1、在四邊形ABCD43,AB/DCE為BC邊的中點,/BAE=/EAF,AF與DC的延長線相交于點F.試探究線段AB與AF、CF之間的數(shù)量

19、關(guān)系,并證實你的結(jié)論提示：延長AE、DF交于G證實AB=GCAF=GF所以AB=AF+FC2、如圖,AD為AABC的中線,DE平分/BDA交AB于/AD佼AC于F.求證：BE+CF>EF第14題圖E,DF平分實用文檔提示：方法1:在DA上截取DG=BD連結(jié)EGFG證實ABDEAGDEADC庭ADGF所以BE=EGCF=FG利用三角形兩邊之和大于第三邊方法2:倍長ED至H,連結(jié)CHFH證實FH=EFCH=BE利用三角形兩邊之和大于第三邊3、：如圖,iABC中,/C=90口,CM_AB于MAT平分/BAC交CM于D,交BC于T,過D作DE/AB交BC于E,求證：CT=BE.提示：過T作TN&

20、#177;AB于N證實ABT陰AECD1.如圖,AB/CDAE、DE分另1J平分/BAD各/ADE求證：AD=AB+CD2.如圖,ABC中,AB=ACAE是過A的一條直線,且B,C在AE的異側(cè),BD±AE于D,CELAE于E.求證：BD=DE+CE四、由中點想到的輔助線口訣：三角形中兩中點,連接那么成中位線.三角形中有中線,延長中線等中線.在三角形中,如果一點是三角形某一邊上的中點,那么首先應該聯(lián)想到三角形的中線、中位線、加倍延長中線及其相關(guān)性質(zhì)直角三角形斜邊中線性質(zhì)、等腰三角形底邊中線性質(zhì),然后通過探索,找到解決問題的方法.一、中線把原三角形分成兩個面積相等的小三角形即如圖1,AD

21、是AABC的中線,那么SaabfSaac=2Saabc由于AABDAAC皿等底同高的.例1.如圖2,AABC中,AD是中線,延長AD到E,使DE=ADDF是ADC前中線.AABC的面積為2,求：ACDF的面積.解：由于AD是AABC的中線,所以SaacefIsaab=1X2=1,又因CD是AACE的中線,故Sacd=Saace=1,22因DF是ACDE勺中線,所以Sacd=1sacde=1X1=1o222ACDF的面積為一.2二、由中點應想到利用三角形的中位線例2.如圖3,在四邊形ABCD43,AB=CDE、F分別是BCAD的中點,BACD的延長線分別交EF的延長線GH.求證：/BGE=/CH

22、E證實：連結(jié)BD并取BD的中點為M連結(jié)MEMF M比ABCD的中位線, .ME1IcD/MEF=/CHE=2 MF是AABD的中位線,MF'-AB,/MFE=/BGE=2 AB=CDME=MFMEF=/MFE從而/BGE=ZCHE期鬻口B4三、由中線應想到延長中線例3.圖4,AABC中,AB=5AC=3,連BC上的中線AD=2求BC的長.實用文檔解：延長AD至ijE,使DE=AD貝UAE=2AD=2<2=4.在AAC訊AEBD中,AD=ED/ADC=EDBCD=BD .AAC里AEBD1-AC=BE從而BE=AC=3在AABE中,因AE"+bE2=42+32=25=aB

23、!,故/E=90bd=J?e,+"=護+2'=而,故BC=2BD=2/13°C邊上的中線.求證:例4.如圖5,AABC中,AD是/BAC的平分線,AD又是BAABC是等腰三角形.證實：延長AD至ijE,使DE=AD仿例3可證:ABENACAD故EB=AC/E=Z2,又/1=/2,./1=/E,.AB=EB從而AB=AC即AABC是等腰三角形.四、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)例5.如圖6,梯形ABCD43,AB/DC,AC!BC,AD!BD,求證：AC=BD證實：取AB的中點E,連結(jié)DECE,貝UDECE分別為RtAABD,RtAABC斜邊AB上的中線,故DE=CE=AB

24、,因此/CDEWDCE2 AB/DC, ./CDE=/1,/DCEh2,/1=72,在AAD訝口ABCE中, DE=CE/1=/2,AE=BE.AAD珞ABCE,AD=BC從而梯形ABCD等腰梯形,因止匕AC=BD五、角平分線且垂直一線段,應想到等腰三角形的中線題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線,常延長加倍此線段,再將端點連結(jié),便可得到全等三角形.例一：如圖4-1:AD為4ABC的中線,且/1=/2,/3=74,求證:BE+CF>EF證實：廷長ED至M使DM=DE連接CMME在BDE'BD=CD中點定義/1=/5對頂角相等1ED=MD輔助線作法/.ABDEECDMSAS又:/1=72,

25、/3=74Z1+Z2+73+74=180°平角的定義/3+Z2=90°和CDM43,即：/EDF=90/FDM=EDF=90在EDFAMD沖ED=MD輔助線作法/EDFWFDM已證DF=DF公共邊AEDFMDFSASEF=MF全等三角形對應邊相等在CM沖,CF+CM>MF三角形兩邊之和大于第三邊文案大全例6.如圖7,AABC是等腰直角三角形,/BAC=90,BD平分/ABC交AC于點D,CE垂直于BD交BD的延長線于點E.求證：BD=2CE證實：延長BACE交于點F,在ABEF和ABEC中, /1=/2,BE=BE/BEF=/BEC=90, .ABE陣ABEC1-EF

26、=EC從而CF=2CE又/1+/F=/3+/F=90°,故/1=/3.在AABDAACF中,-/1=/3,AB=AC/BAD叱CAF=90,AAB陰AACFBD=CFBD=2CE注：此例中BE是等腰ABCF的底邊CF的中線.六中線延長口訣：三角形中有中線,延長中線等中線.BE+CF>EF上題也可加倍FD,證法同上.E當涉及到有以線段中點為端點的線段時,可通過延長加倍此線段,構(gòu)造全等三角形,使題中分散的條件集中.例二：如圖5-1:AD為ABC的中線,求證：AB+AC>2AD分析：要證AB+AC>2AD由圖想至U：AB+BD>AD,AC+CD>A可以有AB+

27、AC+BD+CD>AD+AD=2AD邊比要證結(jié)論多BD+CD故不能直接證出此題,而由2AD想到要構(gòu)造2AD,即加倍中線,把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個三角形中去證實：延長AD至E,使DE=AD連接BE,CEADAABC的中線 .BD=CD中線定義在ACDEBD中BD=CD已證/1=/2對頂角相等AD=ED輔助線作法 .AC里EBDSASBE=CA全等三角形對應邊相等 在ABE中有：AB+BE>AE三角形兩邊之和大于第三邊E圖5-1AB+AC>2AD練習:1如圖,AB=6,AC=&D為BC的中點,求AD的取值范圍.2如圖,AB=CDE為BC的中點,/BAC=zBCA求證：A

28、D=2AE3如圖,AB=ACAD=AEM為BE中點,/BAC=ZDAE=90.求證：AMLDQ4,ABCAD是BC邊上的中線,分別以AB邊、AC邊為直角邊各向外作等腰直角三角形,如圖-2,求證EF=2AD圖5-25.：如圖AD為ABC的中線,AE=EF求證：BF=AC常見輔助線的作法有以下幾種：1遇到等腰三角形,可作底邊上的高,利用“三線合一的性質(zhì)解題,思維模式是全等變換中的“對折.2遇到三角形的中線,倍長中線,使延長線段與原中線長相等,構(gòu)造全等三角形,利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn).3遇到角平分線,可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線,利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折,所考知

29、識點常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理.4過圖形上某一點作特定的平分線,構(gòu)造全等三角形,利用的思維模式是全等變換中的“平移或“翻轉(zhuǎn)折疊5截長法與補短法,具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等,或是將某條線段延長,是之與特定線段相等,再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明.這種作法,適合于證實線段的和、差、倍、分等類的題目.特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時,常把某點到原三角形各頂點的線段連接起來,利用三角形面積的知識解答.一、倍長中線線段造全等那么中線AD的取值范圍是1:“希望杯試題BE+CFfEF的大/、.2:如圖,ABC中,E、F分別在ARAC上,DEIDF,D是中點,試比擬3

30、:如圖,ABC中,BD=DC=ACE是DC的中點,求證：AD平分/BAE.中考應用09崇文二模以MBC的兩邊ARAC為腰分別向外作等腰RtAABD和等腰RtMCE,/BAD=/CAE=90：連接DEE,MN分別是BCDE的中點.探究：AM與DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系.1如圖當AABC為直角三角形時,AM與DE的位置關(guān)系是,線段AMWDE的數(shù)量關(guān)系是;2將圖中的等腰Rt&ABD繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn).日英.后,如圖所示,1問中得A二、截長補短A._DB<C2:如圖,AC/BD,EA,EB分別平分/CAB,/DBACD±點E,求證;AB=,0CC=AC+BDB一1.如圖,AA

31、BC中,AB=2ACAD平分/BAC,且AD=BD求證：CDLAC3：如圖,在LABC內(nèi),NBAC=60,NC=40是,BAC,2ABC的角平分線.求證：bq+aq=ab+bp4:如圖,在四邊形ABCD中,BC>BA,AD=CD,A-0AC=180文案大全BC0,P,Q分別在BC,CA上,并且AP,BQ分別BD平分2ABe,求證：aBD如圖中,假設(shè)/B=2/ACB如果以C為角的頂點,CA為角的一邊,在形外作/ACD=/ACB交BA的延長線于點D,那么4DBC等腰三角形.5:如圖在ABC中,AB>AC,/1=Z2,P為AD上任意一點,求證；AB-AC>PB-PC中考應用08海淀

32、一模如圖,在四邊如AHCD中一4.HBC.點E是池上一個勁點.假設(shè)乙月二60、方“二吟K上DEC=60、判斷4D卜*E與以.的美系并i正明你的結(jié)論解:；例題講解：一、利用轉(zhuǎn)化倍角,構(gòu)造等腰三角形當一個三角形中出現(xiàn)一個角是另一個角的2倍時,我們就可以通過轉(zhuǎn)化倍角尋找到等腰三角形如圖中,假設(shè)/ABO2/C如果作BD平分/ABC那么4DBO等腰三角形；如圖中,假設(shè)/ABC=2/C如果延長線CB到D,使BD=BA連結(jié)AD那么ADC等腰三角形;2、如圖,ABC43,/ACB=2/B,BC=2AC求證：/A=90°.二、利用角平分線+平行線,構(gòu)造等腰三角形當一個三角形中出現(xiàn)角平分線和平行線時,我

33、們就可以尋找到等腰三角形如圖中,假設(shè)AD平分/BACAD/EC那么AC蕾等腰三角形；如圖中,AD平分/BACDE/AC那么ADE等腰三角形；如圖中,AD平分/BACCE/AB那么AC9等腰三角形；3、如圖,ABN,AB=AC,在AC上取點P,過點P作EF,BC交BA的延長線于點E,垂足為點F.求證：.AE=APAD上,且DE=CD圖1EF=AC三、利用角平分線+垂線,構(gòu)造等腰三角形當一個三角形中出現(xiàn)角平分線和垂線時,我們就可以尋找到等腰三角形假設(shè)AD平分/BACAD±DC那么AEC是等腰三角形.如圖1中,5、如圖2,等腰RtAABC,證：BF=2CD四：其他方法總結(jié)1 .截長補短法6

34、、如圖,：正方形ABCD43,求證：AB+BE=AC2 .倍長中線法Q求題中條件假設(shè)有中線,可延長一倍,以構(gòu)造全等三角形,從而將分散條件集中在一個三角形內(nèi).7、如圖7AD是4ABC的中線,BE交AC于E,求證：AC=BF8、ABCAD是BC邊上的中線,分別以AB邊、AC邊為直角邊各向外作等腰直角三角形,如圖,求證EF=2AD=E3.平行線法或平移法假設(shè)題設(shè)中含有中點可以試過中點作平行線或中位線,對Rt,有時可作出斜邊的中線.B9、4ABC中,/BAC=60,/C=40°AP平分/BAC交BC于P,BQ平分/ABC交AC于Q求證：AB+BP=BQ+AQ說明：此題也可以在AB截取AD=AQ連OD構(gòu)造全等三角形,即“截長補短法PC圖2此題利用“平行法解法也較多,舉例如下:如圖1,過.作ODBC交AC于D,那么AD堂ABO解決.如圖2,過.作DEMBC交AB于D,交AC于E,那么4AD筆AQ(OABOA