《數(shù)學(xué)分析》(2)復(fù)習(xí)-多元函數(shù)積分

1、 多元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué) 數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析（2 2）復(fù)習(xí)）復(fù)習(xí)（課本（課本 ch19,ch20,ch21,ch22ch19,ch20,ch21,ch22）2.2.第一類曲線積分與第一類曲面積分的計(jì)算第一類曲線積分與第一類曲面積分的計(jì)算 3. 3.第二類曲線積分與第二類曲面積分的計(jì)算第二類曲線積分與第二類曲面積分的計(jì)算 1. 1.二重積分的計(jì)算（直角坐標(biāo)，極坐標(biāo)），二次積二重積分的計(jì)算（直角坐標(biāo)，極坐標(biāo)），二次積分交換積分次序，三重積分的計(jì)算（直角坐標(biāo)，柱面坐分交換積分次序，三重積分的計(jì)算（直角坐標(biāo)，柱面坐標(biāo)，球面坐標(biāo)），利用對(duì)稱性計(jì)算重積分標(biāo)，球面坐標(biāo)），利用對(duì)稱性計(jì)算重積分考試要求考試

2、要求 4. 4.利用格林公式計(jì)算曲線積分，曲線積分與路徑利用格林公式計(jì)算曲線積分，曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的等價(jià)條件，利用高斯公式計(jì)算曲面積分無(wú)關(guān)的等價(jià)條件，利用高斯公式計(jì)算曲面積分?jǐn)?shù)學(xué)分析（數(shù)學(xué)分析（2 2）多元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)一、二重積分的計(jì)算，二次積分交換積分次序一、二重積分的計(jì)算，二次積分交換積分次序數(shù)學(xué)分析（數(shù)學(xué)分析（2 2）多元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué) 多元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué) 基基本本題題型型三、三重積分的計(jì)算三、三重積分的計(jì)算五、第二類曲線積分的計(jì)算，格林公式五、第二類曲線積分的計(jì)算，格林公式六、第二類曲面積分的計(jì)算，高斯公式六、第二類曲面積分的計(jì)算，高斯公式重重難難點(diǎn)點(diǎn)

3、二、第一類曲線積分的計(jì)算二、第一類曲線積分的計(jì)算四、第一類曲面積分的計(jì)算四、第一類曲面積分的計(jì)算一、二重積分的計(jì)算，二次積分交換積分次序一、二重積分的計(jì)算，二次積分交換積分次序數(shù)學(xué)分析（數(shù)學(xué)分析（2 2）多元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué) 直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算方法是二次積直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算方法是二次積分法，化二重積分為二次積分的步驟是：分法，化二重積分為二次積分的步驟是：作出積分區(qū)域的草圖作出積分區(qū)域的草圖選定積分次序，定出積分選定積分次序，定出積分改變二次積分的次序的步驟：改變二次積分的次序的步驟：根據(jù)定限規(guī)則作出積分區(qū)域的草圖根據(jù)定限規(guī)則作出積分區(qū)域的草圖按定限規(guī)則，改變選定積分次

4、序按定限規(guī)則，改變選定積分次序:用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分 DDddrrrrfdxdyyxf )sin,cos(),(練習(xí)練習(xí)1.1.交換下列二次積分的積分次序：交換下列二次積分的積分次序： xxxyyxfxyyxfx20212010d),(dd),(d )1(2 yyxyxfyxyxfy30312010d),(dd),(d )2(2.2.計(jì)算二重積分：計(jì)算二重積分：. 1),( ,)32( )2(222 yxyxDdyxxD其其中中 , )1(2 Ddxdyxyy其中是由三直線其中是由三直線 0, 1, xyxy圍成的平面閉區(qū)域圍成的平面閉區(qū)域.數(shù)學(xué)分析（數(shù)學(xué)分析（2 2）多元

5、函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)基本方法：基本方法：由積分曲線的表達(dá)式求出由積分曲線的表達(dá)式求出弧微分元素弧微分元素，定積分定積分定限定限：下限小于上限：下限小于上限.將積分曲線將積分曲線代入代入被積函數(shù)，被積函數(shù)，.化曲線積分為定積分化曲線積分為定積分LdsL 的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度 tdzyxtztytxf222)(, )(, )( Lsdzyxf),( ttzztyytxxL)()()(:二、第一類曲線積分的計(jì)算二、第一類曲線積分的計(jì)算數(shù)學(xué)分析（數(shù)學(xué)分析（2 2）多元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué),1.3222dszyxL 計(jì)計(jì)算算 15:222zzyxL練習(xí)練習(xí)1.已知曲線已知曲線：, 20 ,2 xxy則則

6、 Lxds,. 222xayL 是是下下半半圓圓周周設(shè)設(shè) Lnsdyx)(22則則數(shù)學(xué)分析（數(shù)學(xué)分析（2 2）多元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué),xyDxoy平面投影得投影區(qū)域向 ),(),(),(),(yxyxDdzzyxfdydxdvzyxf21xyOz),(2yxz ),(1yxz xyD 方法方法“先一后二先一后二”(投影法投影法)再化為三次積分計(jì)算再化為三次積分計(jì)算.三、三重積分的計(jì)算三、三重積分的計(jì)算數(shù)學(xué)分析（數(shù)學(xué)分析（2 2）多元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)方法方法 “先二后一先二后一”(截面法截面法)dxdydzzyxf),(于是三重積分化為于是三重積分化為( , , )dcf x yd

7、xddzyz )(zDzcd( )D z軸的截面垂直于zzD_)(數(shù)學(xué)分析（數(shù)學(xué)分析（2 2）多元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué):換元法換元法柱柱坐坐標(biāo)標(biāo). 1 dzddrrzrrfdvzyxf ),sin,cos(),( dvzyxf),(球坐標(biāo)球坐標(biāo). 2 dddfsin)cos,sinsin,cossin(2數(shù)學(xué)分析（數(shù)學(xué)分析（2 2）多元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)練習(xí)練習(xí).2222所圍區(qū)域所圍區(qū)域?yàn)榍蛎鏋榍蛎鍾zyx ,)( . 3222 dxdydzzyx數(shù)學(xué)分析（數(shù)學(xué)分析（2 2）多元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)四、第一類曲面積分的計(jì)算四、第一類曲面積分的計(jì)算數(shù)學(xué)分析（數(shù)學(xué)分析（2 2）多元函

8、數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué);1),(,22dxdyzzyxzyxfxyDyx dSzyxf),(),(:yxzz 若曲面若曲面則則計(jì)算方法：一投、二代、三變換計(jì)算方法：一投、二代、三變換類似還有兩個(gè)公式類似還有兩個(gè)公式. SdSzyx)( . 1計(jì)計(jì)算算.222yxRz 為上半球面為上半球面其中其中練習(xí)練習(xí) ,)( . 222dSzyx 計(jì)計(jì)算算.1 22的的邊邊界界為為立立體體 zyx數(shù)學(xué)分析（數(shù)學(xué)分析（2 2）多元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)五、第二類曲線積分的計(jì)算五、第二類曲線積分的計(jì)算 格林公式格林公式數(shù)學(xué)分析（數(shù)學(xué)分析（2 2）多元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)1.基本方法：基本方法：由積分曲線的

9、表達(dá)式確定定積分的由積分曲線的表達(dá)式確定定積分的積分變量積分變量，將積分曲線將積分曲線代入代入被積表達(dá)式，被積表達(dá)式，定積分定積分定限定限：起點(diǎn)對(duì)應(yīng)下限，終點(diǎn)對(duì)應(yīng)上限：起點(diǎn)對(duì)應(yīng)下限，終點(diǎn)對(duì)應(yīng)上限.2.利用格林公式利用格林公式 DLyxyPxQyQxPdd)(dd其中其中 L 是是 D 的的整個(gè)整個(gè)正向邊界曲線正向邊界曲線.3.利用曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件利用曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件技巧：不閉則補(bǔ)，出奇則挖技巧：不閉則補(bǔ)，出奇則挖1.1.已知已知 L 為圓周為圓周 x2 y2 2y 上從原點(diǎn)上從原點(diǎn) O 按逆時(shí)針方向到點(diǎn)按逆時(shí)針方向到點(diǎn) A(0,2) 的圓弧的圓弧, 計(jì)算計(jì)算 (sin)(1cos ).yyLIexy dxex dy練習(xí)練習(xí)數(shù)學(xué)分析（數(shù)學(xué)分析（2 2）多元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)六、第二類曲面積分的計(jì)算六、第二類曲面積分的計(jì)算 高斯公式高斯公式數(shù)學(xué)分析（數(shù)學(xué)分析（2 2）多元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)“一投一投, ,二代二代, ,三定號(hào)三定號(hào)” xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,),(),( :yxzz 則有則有給出給出, ,由由如果如果 當(dāng)積分曲面與投影坐標(biāo)面垂直時(shí)積分為零當(dāng)積分曲面與投影坐標(biāo)面垂直時(shí)積分為零高高 斯斯 公公 式式 dvzRyQxP Rd