考研數(shù)學(xué)二真題及答案

1、2015年考研數(shù)學(xué)綜上所述，本題正確答案是C一、選擇題：(18小題，每小題4分，共32分。下列每題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的(1)下列反常積分中收斂的是(A) 2+OO 1_?+ OO(C)£儲？1一?(B)(D)+00 ?!?''+ OO ?+ F?+. ? 【解析】題干中給出4個反常積分,分別判斷斂散性即可得到正確答案。+OO1_+002局?？2v?j=+8；才8?+81-2°°+?+?辦(？)=2?2弋2+-?e +？(？?？n?(?r+?) =2 ?,?2?2)+ oo _ no _ _ _ _ ? ?aoo1+oo1.

2、28N?-+00?-?=-?*?|+°°+2?222=2?-?|+°°=3?,因此(D)是收斂的。綜上所述，本題正確答案是Do【考點】高等數(shù)學(xué)一一元函數(shù)積分學(xué)一反常積分(2)函數(shù)？?？= lim(1 +(A)連續(xù),*? ?-. 刀).?在(-°°,+ 00)內(nèi)(B)有可去間斷點(C)有跳躍間斷點(D)有無窮間斷點?2【解析】這是“廠”型極限，直接有?=lim(1+?曠?fo?2“？?、=?m- 旃(1+ 不-1)?im e ?fo?=?笠？? 0),?在?=0處無定義,且!m0?=11m?=1,所以？?=0是？?的可去間斷點，選R綜上

3、所述，本題正確答案是B?！究键c】高等數(shù)學(xué)一函數(shù)、極限、連續(xù)一兩個重要極限(3)設(shè)函數(shù)？?？=?cos/,?>°，(*>0,?>0).若？?(？?在？?=0,?w00處連續(xù)，則(A)%-B>1(B)0<%-BW1(C)%-B>2(D)0<?Q尸2【答案】A【解析】易求出?-1 ?T? = "cos： +再有?+?(0) = xlim+ "FB ?B-1sin', ?> 0, ? !0, ?W 0'=lim ? -1cosj= 7，七I' 0tx-0+?B不存在，%W1,?0)=0B- 1 >

4、; 0,B- 1 <0,于是，？?(0)存在？>1,止匕時？?(0)=0.當(dāng)%>1時,lim?-1cos5=0,limx-010,-?b-1sin二=/七人?B不存在,%-因止匕，？T?在？?=0連續(xù)？-B>1。選A【考點】高等數(shù)學(xué)一函數(shù)、極限、連續(xù)一函數(shù)連續(xù)的概念，函數(shù)的左極限和右極限設(shè)函數(shù)？?(?客(-8,+8)內(nèi)連續(xù)，其二階導(dǎo)函數(shù)?(?羽圖形如右圖所示,則曲線？?=?(?劭拐點個數(shù)為(A)0(B)(C)2(D)3【解析】?(?)(-s,+s)內(nèi)連續(xù)，除點？?=0外處處二階可導(dǎo)。？?=?(?)可疑拐點是?(?=0的點及？(?汴存在的點。?(?的零點有兩個，如上圖所示

5、，A點兩側(cè)？(?恒正，對應(yīng)的點不是？?=?拐點,B點兩側(cè)？?(?異號，對應(yīng)的點就是?=?的拐點。雖然f'(0)不存在，但點x=。兩側(cè)f'(x)異號，因而(0,f(0)是y=f(x)的拐點。綜上所述，本題正確答案是Co【考點】高等數(shù)學(xué)一函數(shù)、極限、連續(xù)一函數(shù)單調(diào)性，曲線的凹凸性和拐點設(shè)函數(shù)？?(辦滿足？?+?馬=?-?,則?？與?？=1依次是?ja=1?J心V=1V=11_1(A)2,0(B)0,211(C)-2，0(D)0,-；【答案】D【解析】先求出f(uw)產(chǎn)x+y,x=令_y?111+ V11 V2于是f( 49 =大(1+ V 2a2(1-1+ V附-1)1+x，y=因

6、此?1=1=2爪WV=1=1V =19 22祖I(1+ V 2 (1,1 )綜上所述，本題正確答案是D【考點】高等數(shù)學(xué)-多元函數(shù)微分學(xué)-多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分(6)設(shè)D是第一象限中由曲線2?1,4?1與直線？?=?=逐?？圍成的平面區(qū)域，函數(shù)f(x,y)在D上連續(xù)，則？Df(x,y)dxdy=兀1(A) Ad0尸120f(rcos0rsin0>dr42sin20兀1(B) d0s1n20f(rcos0rsin01dr4，2sin20兀1(C) d0/in120f(rcos0rsin0)dr42sin20兀1(D) jfd0s1n2ef(rcos0rsin0dr4V2sin20【答案】B

7、【解析】D是第一象限中由曲線2xy=1,4xy=1與直線y=x,y=v3x圍成的平面區(qū)域，作極坐標(biāo)變換，將？Df(x,y)dxdy化為累次積分。D的極坐標(biāo)表示為-<0<-,1<0<1,34vsin20v2sin20因此?Df(x,y)dxdy=d0廣產(chǎn)f(rcos0rsin0>dr4V2sin29綜上所述，本題正確答案是B?！究键c】高等數(shù)學(xué)一多元函數(shù)積分學(xué)一二重積分在直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系下的計算。1111設(shè)矩陣A=12?,b=?。若集合Q=1,2,則線性方程?1 4?有無窮多解的充分必要條件為(A) ?&?&(B)?6Q(C) ?6Q?(D)?6Q

8、?6Q【答案】D【解析】Ax=b有無窮多解?r(A|b)=r(A)<3|A|是一個范德蒙德行列式，值為(a-1)(a-2),如果a?Q,則網(wǎng)"r(A)=3,此時Ax=b有唯一解,排除(A),(B)類似的，若d?Q,則r(A|b)=3,排除(C)當(dāng)a6Qd6Q時，r(A|b)=r(A)=2,Ax=b有無窮多解綜上所述，本題正確答案是D?！究键c】線性彳t數(shù)-線性方程組-范德蒙德行列式取值，矩陣的秩，線性方程組求解。(8)設(shè)二次型？?(?？,？?)在正交變換？?=?的標(biāo)準(zhǔn)形為2y12+y22-£其中？?=(?),若Q=(?,-?»在正交變換?=?的標(biāo)準(zhǔn)形為(A)2

9、y12-y22+y32(B)2y12+y22-v3(D) 2y12-y22-v3(D)2y12+y22+y32【答案】A【解析】設(shè)二次型矩陣為A則2 00?=?01000-1可見？?？?都是A的特征向量，特征值依次為2,1,-1，于是-?M是A的特征向量，特征值為-1,因此200?=?0-10001因此在正交變換？?=?的標(biāo)準(zhǔn)二次型為2y12-y22+y32綜上所述，本題正確答案是A?！究键c】線性代數(shù)-二次型-矩陣的秩和特征向量，正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。二、填空題：(914)小題，每小題4分，共24分。?=?初？、:.,II及?=3?+?，貝也|?=1=【答案】48【解析】由參數(shù)式求導(dǎo)法?

10、?歷=:?)?3+3?2-T- = 3(1 + ?2?)21+?2再由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得?名？?1k赤?3(1+?%2=赤?3(1+黨2礪?=6(1+?)?2?=12?(1+ ?)2,?吊？訴|?=1=48綜上所述，本題正確答案是48?！究键c】高等數(shù)學(xué)-一元函數(shù)微分學(xué)-復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)(10)函數(shù)？?？=?2?在?=0處的n階導(dǎo)數(shù)？?(0)=【答案】？?Q1)(?22(?=1,2,3,?)【解析】解法1用求函數(shù)乘積的？階導(dǎo)數(shù)的萊布尼茨公式在此處鍵入公式。?(?=丫?：。？?”?)?"?-?)其中？?=?；，注意(？?)?=c=0(?=2),?=?當(dāng)，于是?!?-?!''&

11、#39;1?=0'-2?(0)=?2?(2?尹?-2)|?=0=?1)(?2)2(?A2)?(0)=0因止匕？?(0)=?1)(?)2(?=1,2,3,?)解法2利用泰勒展開?=?2?=?=?少=0竺詈? o?+2 _?=0?T?= 與?=2由于泰勒展開系數(shù)的唯一性，得?-2 2?-2 2 ? (?-2)!'-?(0)(?-2)!?!可得？?(0)=?1)(?)2(?=1,2,3,?)綜上所述，本題正確答案是？?？1)(?)2(?=1,2,3,?)【考點】高等數(shù)學(xué)一一元函數(shù)微分學(xué)一高階導(dǎo)數(shù)，泰勒展開公式(11)設(shè)函數(shù)？?雁續(xù)，M?=('?(?)?：1)=1,0(1)=5

12、，則?1)=【答案】2?夕【解析】改寫©(?=?(?)?變限積分求導(dǎo)法得一？?C一6(?=?(?)?)?2?=?(?)?)0/t/0,/由M1)=1=，？(？)？?0(1)=，?(?)?1)=1+2?1)可得？?1)=2【考點】高等數(shù)學(xué)一一元函數(shù)積分學(xué)一變限積分函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用(12)設(shè)函數(shù)y=y(?是微分方程？+?-2?=0的解，且在？?=0處y(?取得極值3,則y(?二【答案】？?？+2?【解析】求y(?歸結(jié)為求解二階常系數(shù)齊次線性方程的初值問題_<<<?+?-2?=0y(0)=3,?夕0)=0由特征方程岸+入-2=0可得特征根力=-2,不=1,于是得通解？?=

13、?-2?+?又已知1,?= 2?+?=3?=-2?1+?=0.T=綜上所述，本題正確答案是？?？+2?【考點】高等數(shù)學(xué)一常微分方程一二階常系數(shù)齊次線性方程(13)若函數(shù)？?=?(?西方程？?+2?+3?+?1確定，則dz|(0,0)二【答案】-1?2?【解析】先求？?(0,0),在原方程中令？?=0,?=0得?3?=1?0,0)=0方程兩邊同時求全微分得?+2?+3?,?2?3?A?(?令?=0,?=0,?=0得dx+2dy+3dz|(0,0)=0一.12dz|(0,0)=-?-?2?綜上所述，本題正確答案是-1?:?【考點】高等數(shù)學(xué)-多元函數(shù)微分學(xué)-隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分(14)設(shè)3階矩陣A

14、的特征值為2,-2,1,?=?-?+?其中E為3階單位矩陣，則行列式|B尸【答案】21【解析】A的特征值為2,-2,1,則B的特征值對應(yīng)為3,7,1所以|目=21【考點】線性代數(shù)一行列式一行列式計算線性代數(shù)一矩陣一矩陣的特征值三、解答題：1523小題，共94分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。(15)設(shè)函數(shù)？?？=?+?+?=?若？?與?在？?0時是等價無窮小，求？?的值?！窘馕觥坷锰├展?=?=?+?+?、，I!I=?+?1?+1?+?)+?2？+?)=(1+?+(?-2)?+?+?)當(dāng)？?0時，？?7?,貝u?=-1,?=-1,?=-1【考點】高等數(shù)學(xué)一函數(shù)、極限、連續(xù)一無窮小

15、的比階，泰勒公式(16)設(shè)A>0,D是由曲線段？?=?我天2)及直線y=0,?=；所圍成的平面區(qū)域，？?,？?分別表示D繞？軸與繞？軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積。若？?=?,求A的值【解析】?1-cos 2? ?吊?=?002?sin?=?02由A>0可得?=2?J02?=-2ntAg?7?£os?=-2兀A(?-0?=2?又?=?可得A=8Tt【考點】高等數(shù)學(xué)一一元函數(shù)積分學(xué)一定積分的應(yīng)用(17)已知函數(shù)？?刑足?=2(?1)?璃?0)=(?1)?0,?=?+2?求?？的極值。【解析】由僦?？=2(?+1)?得?(?=(?+1)2?+?(?)又已知?(?0)=(?+1)?可得

16、?+?=(?+1)?得？=?從而?=(?+1)2?+?對？積分得？?？=(?+1)2?+(?1)?+少(y)又？?0,?=?+2?所以-y)=0所以？?？=(?+1)2?+(?1)?于是?(?=(2?+2)?=(?+?+2?+2)?=2?令醺?=0,?(?=0得駐點(0,-1),所以A哪跋,-1)=1B=?府0,-1)=0C叫0,-1)=2由于B2-AC<0,A>0,所以極小值為?0,-1)=-1【考點】高等數(shù)學(xué)一多元函數(shù)微分學(xué)一二元函數(shù)的無條件極值(18)計算二重積分？(?？?)?其中D=(?)|?+?W2,?A?【解析】因為區(qū)域D關(guān)于y軸對稱，所以？?原式=?d?/?右可？=2

17、/?(,2-?-?)?=21?，2-?2/?令？?=V2?“?”?CC？?"2-?琢4?=?雪(1-?=>-.1.1又/?05所以二重積分=?-5【考點】高等數(shù)學(xué)一多元函數(shù)積分學(xué)一二重積分的計算(19)已知函數(shù)？?？=Cv¥+羽?？/"V?碇？?的零點個數(shù)【解析】?彳？=-V1+?+2?V+?,令?(?=0,得駐點？?=1,當(dāng)？?<:時，?(?<0,?單調(diào)減少；當(dāng)？?>時，?(?>0,?單調(diào)增加；因為？1)=0,所以？?在(2,+8)上存在唯一零點。2)上存在唯又？1)<?1)=0,lim?=+s,所以？?在(-82?f-OO一

18、零點。綜上可知，？?有且僅有兩個零點。【考點】高等數(shù)學(xué)一一元函數(shù)微分學(xué)一方程的根(零點問題)(20)已知高溫物體置于低溫介質(zhì)中，任一時刻改物體溫度對時間的變化率與該時刻物體和介質(zhì)的溫差成正比。現(xiàn)將一初始溫度為120c的物體在20c恒溫介質(zhì)中冷卻，30min后該物體降溫至30C,若要將該物體的溫度繼續(xù)降至21C,還需冷卻多長時間？【解析】設(shè)該物體在t時刻的溫度為？?)?C,由題意得?_?=-?(?-20)其中k為比例系數(shù)，k>0.解得?=?+20將初始條件T(0)=120代入上式，解得C=100將？30,?=30代入得？?=耽0所以30?%?=100?可?+20令T=21,得t=60,因此

19、要降至21攝氏度，還需60-30=30(min)【考點】高等數(shù)學(xué)一常微分方程一一階常微分方程，微分方程應(yīng)用(21)已知函數(shù)？?在區(qū)間?+s上具有2階導(dǎo)數(shù)，?=0,?(?>0,?(?>0.設(shè)？?>?。線？?=?在點(？?(?班的切線與？軸的交點是(？?,0),證明？?<?<?【解析】曲線？?=?在點(？?(?泄的切線方程是?2?=?(?(?.?),*./，解得切線與？軸交點的橫坐標(biāo)為?= ?Q?(?) ?(?)由于？?(?>0,故？?單調(diào)增力口。由?>?可知？?？>?=0.又？?(?>0,故")>0,即有？<?(?)0?a=b?(?)?=(?-?>?(?-?(?)-0?(?)?(?)由拉格朗日中值定理得_L?=?-?=?(?)(?,?<?<?因為？(?>0,所以？?(？?單調(diào)增加，從而?(?<?(?,故?<?由此可知？-?>0,即？>?綜上所述，？?<?