平面解析幾何基礎知識

1、07. 直線和圓的方程知識要點一、直線方程.1. 直線的傾斜角：一條直線向上的方向與軸正方向所成的最小正角叫做這條直線的傾斜角，其中直線與軸平行或重合時，其傾斜角為0，故直線傾斜角的范圍是.注：當或時，直線垂直于軸，它的斜率不存在.每一條直線都存在惟一的傾斜角，除與軸垂直的直線不存在斜率外，其余每一條直線都有惟一的斜率，并且當直線的斜率一定時，其傾斜角也對應確定.2. 直線方程的幾種形式：點斜式、截距式、兩點式、斜切式.特別地，當直線經(jīng)過兩點，即直線在軸，軸上的截距分別為時，直線方程是：.注：若是一直線的方程，則這條直線的方程是，但若則不是這條線.附：直線系：對于直線的斜截式方程，當均為確定的

2、數(shù)值時，它表示一條確定的直線，如果變化時，對應的直線也會變化.當為定植，變化時，它們表示過定點（0，）的直線束.當為定值，變化時，它們表示一組平行直線.3. 兩條直線平行：兩條直線平行的條件是：和是兩條不重合的直線.在和的斜率都存在的前提下得到的.因此，應特別注意，抽掉或忽視其中任一個“前提”都會導致結(jié)論的錯誤.（一般的結(jié)論是：對于兩條直線，它們在軸上的縱截距是，則，且或的斜率均不存在，即是平行的必要不充分條件，且）推論：如果兩條直線的傾斜角為則. 兩條直線垂直：兩條直線垂直的條件：設兩條直線和的斜率分別為和，則有這里的前提是的斜率都存在.，且的斜率不存在或，且的斜率不存在. （即是垂直的充要

3、條件）4. 直線的交角：直線到的角（方向角）；直線到的角，是指直線繞交點依逆時針方向旋轉(zhuǎn)到與重合時所轉(zhuǎn)動的角，它的范圍是，當時.兩條相交直線與的夾角：兩條相交直線與的夾角，是指由與相交所成的四個角中最小的正角，又稱為和所成的角，它的取值范圍是，當，則有.5. 過兩直線的交點的直線系方程為參數(shù)，不包括在內(nèi)）6. 點到直線的距離：點到直線的距離公式：設點，直線到的距離為，則有.注：1. 兩點P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距離公式：.特例：點P(x,y)到原點O的距離：2. 定比分點坐標分式。若點P(x,y)分有向線段,其中P1(x1,y1),P2(x2,y2).則 特例，中點坐標公式；重

4、要結(jié)論，三角形重心坐標公式。3. 直線的傾斜角（0180）、斜率:兩點. 當（即直線和x軸垂直）時，直線的傾斜角，沒有斜率兩條平行線間的距離公式：設兩條平行直線，它們之間的距離為，則有.注；直線系方程1. 與直線：Ax+By+C= 0平行的直線系方程是：Ax+By+m=0.( mR, Cm).2. 與直線：Ax+By+C= 0垂直的直線系方程是：Bx-Ay+m=0.( mR)3. 過定點（x1,y1）的直線系方程是： A(x-x1)+B(y-y1)=0 (A,B不全為0)4. 過直線l1、l2交點的直線系方程：（A1x+B1y+C1）+( A2x+B2y+C2）=0 (R） 注：該直線系不含l

5、2.7. 關于點對稱和關于某直線對稱：關于點對稱的兩條直線一定是平行直線，且這個點到兩直線的距離相等.關于某直線對稱的兩條直線性質(zhì)：若兩條直線平行，則對稱直線也平行，且兩直線到對稱直線距離相等.若兩條直線不平行，則對稱直線必過兩條直線的交點，且對稱直線為兩直線夾角的角平分線.點關于某一條直線對稱，用中點表示兩對稱點，則中點在對稱直線上（方程），過兩對稱點的直線方程與對稱直線方程垂直（方程）可解得所求對稱點.注：曲線、直線關于一直線（）對稱的解法：y換x，x換y. 例：曲線f(x ,y)=0關于直線y=x2對稱曲線方程是f(y+2 ,x2)=0. 曲線C: f(x ,y)=0關于點(a ,b)的

6、對稱曲線方程是f(a x, 2b y)=0. 二、圓的方程.1. 曲線與方程：在直角坐標系中，如果某曲線上的 與一個二元方程的實數(shù)建立了如下關系：曲線上的點的坐標都是這個方程的解.以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點.那么這個方程叫做曲線方程；這條曲線叫做方程的曲線（圖形）.曲線和方程的關系，實質(zhì)上是曲線上任一點其坐標與方程的一種關系，曲線上任一點是方程的解；反過來，滿足方程的解所對應的點是曲線上的點.注：如果曲線C的方程是f(x ,y)=0，那么點P0(x0 ,y)線C上的充要條件是f(x0 ,y0)=0 2. 圓的標準方程：以點為圓心，為半徑的圓的標準方程是.特例：圓心在坐標原點，半徑為

7、的圓的方程是：.注：特殊圓的方程：與軸相切的圓方程與軸相切的圓方程與軸軸都相切的圓方程3. 圓的一般方程：.當時，方程表示一個圓，其中圓心，半徑.當時，方程表示一個點.當時，方程無圖形（稱虛圓）.注：圓的參數(shù)方程：（為參數(shù)）.方程表示圓的充要條件是：且且.圓的直徑或方程：已知（用向量可征）.4. 點和圓的位置關系：給定點及圓.在圓內(nèi)在圓上在圓外5. 直線和圓的位置關系： 設圓圓：； 直線：； 圓心到直線的距離.時，與相切；附：若兩圓相切，則相減為公切線方程.時，與相交；附：公共弦方程：設有兩個交點，則其公共弦方程為.時，與相離.附：若兩圓相離，則相減為圓心的連線的中與線方程. 由代數(shù)特征判斷：

8、方程組用代入法，得關于（或）的一元二次方程，其判別式為，則：與相切；與相交；與相離.注：若兩圓為同心圓則，相減，不表示直線.6. 圓的切線方程：圓的斜率為的切線方程是過圓上一點的切線方程為：.一般方程若點(x0 ,y0)在圓上，則(x a)(x0 a)+(y b)(y0 b)=R2. 特別地，過圓上一點的切線方程為.若點(x0 ,y0)不在圓上，圓心為(a,b)則，聯(lián)立求出切線方程.7. 求切點弦方程：方法是構造圖，則切點弦方程即轉(zhuǎn)化為公共弦方程.如圖：ABCD四類共圓.已知的方程又以ABCD為圓為方程為，所以BC的方程即代，相切即為所求.三、曲線和方程1.曲線與方程：在直角坐標系中，如果曲線

9、C和方程f(x,y)=0的實數(shù)解建立了如下的關系：1） 曲線C上的點的坐標都是方程f(x,y)=0的解（純粹性）；2） 方程f(x,y)=0的解為坐標的點都在曲線C上（完備性）。則稱方程f(x,y)=0為曲線C的方程，曲線C叫做方程f(x,y)=0的曲線。2.求曲線方程的方法：.1）直接法：建系設點，列式表標,簡化檢驗; 2）參數(shù)法; 3）定義法， 4）待定系數(shù)法.高中數(shù)學第八章-圓錐曲線方程考試內(nèi)容：數(shù)學探索版權所有橢圓及其標準方程橢圓的簡單幾何性質(zhì)橢圓的參數(shù)方程數(shù)學探索版權所有雙曲線及其標準方程雙曲線的簡單幾何性質(zhì)數(shù)學探索版權所有拋物線及其標準方程拋物線的簡單幾何性質(zhì)數(shù)學探索版權所有考試要

10、求：數(shù)學探索版權所有（1）掌握橢圓的定義、標準方程和橢圓的簡單幾何性質(zhì)，了解橢圓的參數(shù)方程數(shù)學探索版權所有（2）掌握雙曲線的定義、標準方程和雙曲線的簡單幾何性質(zhì)數(shù)學探索版權所有（3）掌握拋物線的定義、標準方程和拋物線的簡單幾何性質(zhì)數(shù)學探索版權所有（4）了解圓錐曲線的初步應用 08. 圓錐曲線方程 知識要點一、橢圓方程.1. 橢圓方程的第一定義：橢圓的標準方程：i. 中心在原點，焦點在x軸上：. ii. 中心在原點，焦點在軸上：.一般方程：.橢圓的標準參數(shù)方程：的參數(shù)方程為（一象限應是屬于）.頂點：或.軸：對稱軸：x軸，軸；長軸長，短軸長.焦點：或.焦距：.準線：或.離心率：.焦點半徑：i. 設

11、為橢圓上的一點，為左、右焦點，則由橢圓方程的第二定義可以推出.ii.設為橢圓上的一點，為上、下焦點，則由橢圓方程的第二定義可以推出.由橢圓第二定義可知：歸結(jié)起來為“左加右減”.注意：橢圓參數(shù)方程的推導：得方程的軌跡為橢圓.通徑：垂直于x軸且過焦點的弦叫做通經(jīng).坐標：和共離心率的橢圓系的方程：橢圓的離心率是，方程是大于0的參數(shù)，的離心率也是 我們稱此方程為共離心率的橢圓系方程.若P是橢圓：上的點.為焦點，若，則的面積為（用余弦定理與可得）. 若是雙曲線，則面積為.二、雙曲線方程.1. 雙曲線的第一定義：雙曲線標準方程：.一般方程：.i. 焦點在x軸上： 頂點： 焦點： 準線方程 漸近線方程：或i

12、i. 焦點在軸上：頂點：. 焦點：.準線方程：. 漸近線方程：或，參數(shù)方程：或 .軸為對稱軸，實軸長為2a, 虛軸長為2b，焦距2c.離心率.準線距（兩準線的距離）；通徑.參數(shù)關系.焦點半徑公式：對于雙曲線方程（分別為雙曲線的左、右焦點或分別為雙曲線的上下焦點）“長加短減”原則： 構成滿足（與橢圓焦半徑不同，橢圓焦半徑要帶符號計算，而雙曲線不帶符號）等軸雙曲線：雙曲線稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為，離心率.共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線，叫做已知雙曲線的共軛雙曲線.與互為共軛雙曲線，它們具有共同的漸近線：.共漸近線的雙曲線系方程：的漸近線方程為如果雙曲線的漸近線為時，

13、它的雙曲線方程可設為.例如：若雙曲線一條漸近線為且過，求雙曲線的方程？解：令雙曲線的方程為：，代入得.直線與雙曲線的位置關系：區(qū)域：無切線，2條與漸近線平行的直線，合計2條；區(qū)域：即定點在雙曲線上，1條切線，2條與漸近線平行的直線，合計3條；區(qū)域：2條切線，2條與漸近線平行的直線，合計4條；區(qū)域：即定點在漸近線上且非原點，1條切線，1條與漸近線平行的直線，合計2條；區(qū)域：即過原點，無切線，無與漸近線平行的直線.小結(jié)：過定點作直線與雙曲線有且僅有一個交點，可以作出的直線數(shù)目可能有0、2、3、4條.（2）若直線與雙曲線一支有交點，交點為二個時，求確定直線的斜率可用代入法與漸近線求交和兩根之和與兩根

14、之積同號.若P在雙曲線，則常用結(jié)論1：P到焦點的距離為m = n，則P到兩準線的距離比為mn.簡證： = .常用結(jié)論2：從雙曲線一個焦點到另一條漸近線的距離等于b.三、拋物線方程.3. 設，拋物線的標準方程、類型及其幾何性質(zhì)：圖形焦點準線范圍對稱軸軸軸頂點 （0，0）離心率焦點注：頂點.則焦點半徑;則焦點半徑為.通徑為2p，這是過焦點的所有弦中最短的.（或）的參數(shù)方程為（或）（為參數(shù)）.四、圓錐曲線的統(tǒng)一定義.4. 圓錐曲線的統(tǒng)一定義：平面內(nèi)到定點F和定直線的距離之比為常數(shù)的點的軌跡.當時，軌跡為橢圓；當時，軌跡為拋物線；當時，軌跡為雙曲線；當時，軌跡為圓（，當時）.5. 圓錐曲線方程具有對稱

15、性. 例如：橢圓的標準方程對原點的一條直線與雙曲線的交點是關于原點對稱的.因為具有對稱性，所以欲證AB=CD, 即證AD與BC的中點重合即可.注：橢圓、雙曲線、拋物線的標準方程與幾何性質(zhì)橢圓雙曲線拋物線定義1到兩定點F1,F2的距離之和為定值2a(2a|F1F2|)的點的軌跡1到兩定點F1,F2的距離之差的絕對值為定值2a(02a|F1F2|)的點的軌跡2與定點和直線的距離之比為定值e的點的軌跡.（0e1）與定點和直線的距離相等的點的軌跡.圖形方程標準方程(0)(a0,b0)y2=2px參數(shù)方程(t為參數(shù))范圍axa，byb|x| a，yRx0中心原點O（0，0）原點O（0，0）頂點(a,0)

16、, (a,0), (0,b) , (0,b)(a,0), (a,0)(0,0)對稱軸x軸，y軸；長軸長2a,短軸長2bx軸，y軸;實軸長2a, 虛軸長2b.x軸焦點F1(c,0),F2(c,0)F1(c,0),F2(c,0)焦距2c （c=）2c （c=）離心率e=1準線x=x=漸近線y=x焦半徑通徑2p焦參數(shù)P1. 橢圓、雙曲線、拋物線的標準方程的其他形式及相應性質(zhì).2. 等軸雙曲線3. 共軛雙曲線5. 方程y2=ax與x2=ay的焦點坐標及準線方程.6.共漸近線的雙曲線系方程.因該注意的問題：1. 直線方程的幾種形式：點斜式、斜截式、兩點式、截矩式、一般式以及各種形式的局限性，（如點斜式不

17、適用于斜率不存在的直線，所以設方程的點斜式或斜截式時，就應該先考慮斜率不存在的情形）。2. 設直線方程時，一般可設直線的斜率為k，你是否注意到直線垂直于x軸時，斜率k不存在的情況？（例如：一條直線經(jīng)過點，且被圓截得的弦長為8，求此弦所在直線的方程。該題就要注意，不要漏掉x+3=0這一解.）3. 簡單線性規(guī)劃問題的可行域求作時，要注意不等式表示的區(qū)域是相應直線的上方、下方，是否包括邊界上的點。利用特殊點進行判斷）。4. 對不重合的兩條直線，有； 5. 直線在坐標軸上的截矩可正，可負，也可為0。6. 直線在兩坐標軸上的截距相等，直線方程可以理解為，但不要忘記當a=0時，直線y=kx在兩條坐標軸上的

18、截距都是0，也是截距相等。7. 處理直線與圓的位置關系有兩種方法：（1）點到直線的距離；（2）直線方程與圓的方程聯(lián)立，判別式法。一般來說，前者更簡捷。8. 處理圓與圓的位置關系，可用兩圓的圓心距與半徑之間的關系。9. 在圓中，注意利用半徑、半弦長、及弦心距組成的直角三角形。10. 定比分點的坐標公式是什么？（起點，中點，分點以及值可要搞清）在利用定比分點解題時，你注意到了嗎？11. 曲線系方程你知道嗎？直線系方程？圓系方程？共焦點的橢圓系，共漸近線的雙曲線系？12. 兩圓相交所得公共弦方程是兩圓方程相減消去二次項所得。x0x+y0y=r2 表示過圓x2+y2=r2上一點（x0，y0）的切線，若點（x0，y0）在已知圓外，x0x+y0y=r2 表示什么？（切點弦）13. 橢圓方程中三參數(shù)a、b、c的滿足a2+b2=c2對嗎？雙曲線方程中三參數(shù)應滿足什么關系？14. 橢圓中，注意焦點、中心、短軸端點所組成的直角三角形。15. 橢圓和雙曲線的焦半徑公式你記得嗎？16. 在解析幾何中，研究兩條直線的位置關系時，有可能這兩條直線重合，而在立體幾何中一般提到的兩條直線可以理解為它們不重合。17. 在利用圓錐曲線統(tǒng)一定義解題時，你是否注意到定義中的定比的分子分母的順序？18.