15.3乘法公式

1、15 3 乘法公式 3 乘法公式課時(shí)安排課時(shí)從容說學(xué)習(xí)乘法公式，是在學(xué)習(xí)整式乘法的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，是由一般到特殊的體現(xiàn)，所以教學(xué)時(shí)，可以安排學(xué)生計(jì)算、2、 2、 2 等，在學(xué)生計(jì)算的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生導(dǎo)出公式，并進(jìn)一步揭示公式的結(jié)構(gòu)特征，使學(xué)生理解并掌握這些公式的特點(diǎn)，為正確運(yùn)用這些公式進(jìn)行計(jì)算打好基礎(chǔ)為了揭示公式特征，教學(xué)中要緊緊地采取對(duì)比的方式緊扣例題與公式進(jìn)行比較，讓學(xué)生自己進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)公式的特征盡管問題千變?nèi)f化，以千姿百態(tài)出現(xiàn)，通過對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)特征不變，仍符合公式特征，從而根據(jù)公式解決問題運(yùn)用乘法公式計(jì)算，有時(shí)需要添括號(hào)，在已學(xué)過去括號(hào)法則的基礎(chǔ)上，本節(jié)還安排了添括號(hào)法則它是乘法公式的進(jìn)

2、一步深化應(yīng)用的工具和基礎(chǔ)學(xué)習(xí)它可以和去括號(hào)法則對(duì)比進(jìn)行在對(duì)比中學(xué)，在對(duì)比中用，在對(duì)比中再進(jìn)行比較，從基本類型的題目到變化多端的題目，從單一題型到復(fù)雜題型，從式中的系數(shù)、指數(shù)、符號(hào)、項(xiàng)數(shù)、數(shù)字等逐一對(duì)比，抓住公式、法則的實(shí)質(zhì)，達(dá)到嫻熟駕馭，左右逢源，才能做到運(yùn)用自如的效果§15 3 1 平方差公式第九課時(shí)教學(xué)目標(biāo)教學(xué)知識(shí)點(diǎn)經(jīng)歷探索平方差公式的過程會(huì)推導(dǎo)平方差公式，并能運(yùn)用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)算能力訓(xùn)練要求 在探索平方差公式的過程中，培養(yǎng)符號(hào)感和推理能力培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、概括的能力情感與價(jià)值觀要求在計(jì)算過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并能用符號(hào)表示，從而體會(huì)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)捷美教學(xué)重點(diǎn)平方差公式的推導(dǎo)和應(yīng)用教學(xué)難

3、點(diǎn)理解平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，靈活應(yīng)用平方差公式教學(xué)方法探究與講練相結(jié)合通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進(jìn)一步探索公式的結(jié)構(gòu)特征，在老師的講解和學(xué)生的練習(xí)中讓學(xué)生體會(huì)公式實(shí)質(zhì)，學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用教具準(zhǔn)備投影片教學(xué)過程提出問題，創(chuàng)設(shè)情境 師 你能用簡(jiǎn)便方法計(jì)算下列各題嗎？XX× 1999998× 1002 生甲 直接乘比較復(fù)雜，我考慮把它化成整百，整千的運(yùn)算，從而使運(yùn)算簡(jiǎn)單，XX可以寫成XX+1， 1999 可以寫成XX-1 ，那么XX× 1999 可以看成是多項(xiàng)式的積，根據(jù)多項(xiàng)式乘法法則可以很快算出 生乙 那么 998× 1002=了 師 很好，請(qǐng)同學(xué)們自己動(dòng)手運(yùn)算一下 生

4、XX× 1999=XX2-1 × XX+1× XX+1×=XX2-1=4000000-1=399999998× 1002=10002+1000× 2+× 1000+× 2=10002-22=1000000-4=1999996 師 XX× 1999=XX2-1298× 1002=10002-22它們積的結(jié)果都是兩個(gè)數(shù)的平方差，那么其他滿足這個(gè)特點(diǎn)的運(yùn)算是否也有這個(gè)規(guī)律呢？我們繼續(xù)進(jìn)行探索導(dǎo)入新 師 出示投影片計(jì)算下列多項(xiàng)式的積觀察上述算式，你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？運(yùn)算出結(jié)果后，你又發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？再舉兩例驗(yàn)

5、證你的發(fā)現(xiàn) 生甲 上面四個(gè)算式中每個(gè)因式都是兩項(xiàng) 生乙 我認(rèn)為更重要的是它們都是兩個(gè)數(shù)的和與差的積例如算式是x 與 1 這兩個(gè)數(shù)的和與差的積；算式是與2這兩個(gè)數(shù)的和與差的積；算式是2x 與1?這兩個(gè)數(shù)的和與差的積；算式是x 與這兩個(gè)數(shù)的和與差的積 師 這個(gè)發(fā)現(xiàn)很重要，請(qǐng)同學(xué)們動(dòng)筆算一下，相信你還會(huì)有更大的發(fā)現(xiàn) 生 解：=x2+x-x-1=x2-12=2+2-2-2 × 2=2-22=2+2x-2x-1=2-12=x2+•x-x•-2=x2-2 生 從剛才的運(yùn)算我發(fā)現(xiàn)：也就是說，兩個(gè)數(shù)的和與差的積等于這兩個(gè)數(shù)的平方差，這和我們前面的簡(jiǎn)便運(yùn)算得出的

6、是同一結(jié)果 師 能不能再舉例驗(yàn)證你的發(fā)現(xiàn)？ 生 能例如：1× 49=502+50-50-1=502-12 即 =502-12 =•+•+b•+b•=2-b2=a2-b2這同樣可以驗(yàn)證：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差 師 為什么會(huì)是這樣的呢？ 生 因?yàn)槔枚囗?xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則展開后，中間兩項(xiàng)是同類項(xiàng)，且系數(shù)互為相反數(shù)，所以和為零，只剩下這兩個(gè)數(shù)的平方差了 師 很好請(qǐng)用一般形式表示上述規(guī)律，并對(duì)此規(guī)律進(jìn)行證明 生 這個(gè)規(guī)律用符號(hào)表示為：=a2-b2 其中a、 b 表示任意數(shù)，也可以表示

7、任意的單項(xiàng)式、多項(xiàng)式利用多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則可以做如下證明：=a2-ab+ab-b2=a2-b2 師 同學(xué)們真不簡(jiǎn)單老師為你們感到驕傲能不能給我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律=a2-b2 起一個(gè)名字呢？ 生 最終結(jié)果是兩個(gè)數(shù)的平方差，叫它“平方差公式”怎樣樣？ 師 有道理這就是我們探究得到的“平方差公式”，?請(qǐng)同學(xué)們分別用文字語言和符號(hào)語言敘述這個(gè)公式兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差即： =a2-b2平方差公式是多項(xiàng)式乘法運(yùn)算中一個(gè)重要的公式，用它直接運(yùn)算會(huì)很簡(jiǎn)便，但必須注意符合公式的結(jié)構(gòu)特征才能應(yīng)用在應(yīng)用中體會(huì)公式特征，感受平方差公式給運(yùn)算帶來的方便，從而靈活運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算例 1

8、：運(yùn)用平方差公式計(jì)算：例2：計(jì)算：02× 98- 師生共析 運(yùn)用平方差公式時(shí)要注意公式的結(jié)構(gòu)特征，學(xué)會(huì)對(duì)號(hào)入座在例 1 的中可以把3x 看作a， 2 看作 b即： =2-22 =a2-b2同樣的方法可以完成、如果形式上不符合公式特征，可以做一些簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化工作，使它符合平方差公式的特征比如應(yīng)先作如下轉(zhuǎn)化：=如果轉(zhuǎn)化后還不能符合公式特征，則應(yīng)考慮多項(xiàng)式的乘法法則 例 1 解： =2-22=9x2-4 =2-b2=4a2-b2 =2-2=x2-4y2 例 2 解： 102 × 98=1002-22=10000-4=9996 -=y2-22-=y2-4-y2-4y+5=-4y+1

9、師 我們能不能總結(jié)一下利用平方差公式應(yīng)注意什么？ 生 我覺得應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：公式中的字母a、 b 可以表示數(shù)，也可以是表示數(shù)的單項(xiàng)式、多項(xiàng)式即整式要符合公式的結(jié)構(gòu)特征才能運(yùn)用平方差公式有些多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法表面上不能應(yīng)用公式，?但通過加法或乘法的交換律、結(jié)合律適當(dāng)變形實(shí)質(zhì)上能應(yīng)用公式 生 運(yùn)算的最后結(jié)果應(yīng)該是最簡(jiǎn)才行 師 同學(xué)們總結(jié)得很好下面請(qǐng)同學(xué)們完成一組闖關(guān)練習(xí)優(yōu)勝組選派一名代表做總結(jié)發(fā)言隨堂練習(xí)出示投影片：計(jì)算：解： =a2-b2 =2-a2=b2-a2 =2-2=9a2-4b2 =2-2=a10-b4 =2-2=-4c2=a2+a•2b+2b•

10、a+2-4c2=a2+4ab+4b2-4c2=2-2=a4-b4 優(yōu)勝組總結(jié)發(fā)言：這些運(yùn)算都可以通過變形后利用平方差公式其中變形的形式有：位置變形；?符號(hào)變形；系數(shù)變形；指數(shù)變形；項(xiàng)數(shù)變形；連用公式關(guān)鍵還是在于理解公式特征，學(xué)會(huì)對(duì)號(hào)入座，有整體思想課時(shí)小結(jié)通過本節(jié)學(xué)習(xí)我們掌握了如下知識(shí)平方差公式兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積等于這兩個(gè)數(shù)的平方差?這個(gè)公式叫做乘法的平方差公式即=a2-b2 公式的結(jié)構(gòu)特征公式的字母a、 b 可以表示數(shù)，也可以表示單項(xiàng)式、多項(xiàng)式；要符合公式的結(jié)構(gòu)特征才能運(yùn)用平方差公式；有些式子表面上不能應(yīng)用公式，但通過適當(dāng)變形實(shí)質(zhì)上能應(yīng)用公式?如：=+y-y=2-y2課后作業(yè)課本

11、P179 練習(xí)1、 2課本P182 P183習(xí)題15 3 1 題活動(dòng)與探究計(jì)算：1234567892-123456788 × 123456790解方程：5x+6-54=2 過程：看似數(shù)字很大，但觀察到：123456788=123456789-1 ，123456790=123456789+1 ，所以可以用平方差公式去化簡(jiǎn)計(jì)方程中含有多項(xiàng)式的乘法，而且符合平方差公式特征，可以用平方差公式去化簡(jiǎn)結(jié)果： 1234567892-123456788 × 123456790=1234567892-=1234567892-=1234567892-1234567892+1=1 原方程可化為：x+6-54x2-2=2 5x+6-54x2+6=2即 5x+54x2-24-54x2+6=2移項(xiàng)合并同類項(xiàng)得5x=20 x=4板書設(shè)計(jì)備課資料 例 1 利用平方差公式計(jì)算：；分析：適合平方差公式的形式，應(yīng)先計(jì)算；中適合平方差公式的形式，應(yīng)先計(jì)算×解答：原式=2-92=a4-81 ；原式 = =2-12=2-1=16x4-1 方法總結(jié)：觀察、發(fā)現(xiàn)哪兩個(gè)多項(xiàng)式符合平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，?符合公式結(jié)構(gòu)特征的先算這是這類試題的計(jì)算原則 例 2 計(jì)算：002-992+982-972+962-952+ +22-12；分析：直接計(jì)算顯然太復(fù)雜，不難發(fā)現(xiàn)每兩個(gè)項(xiàng)正好是平